Самосопряженная дилатация операторного узла диссипативного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, том 3(31), No. 1-2, 45-48

УДК 517.432

Самосопряженная дилатация операторного узла диссипативного оператора

Ю. Л. Кудряшов

Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: m_katya_10_89@mail.ru

Аннотация. В статье на основе понятия операторного узла для ограниченных операторов вводится понятие операторного узла для произвольных диссипативных операторов с непустым множеством регулярных точек. С помощью операторов такого узла строится спектральное представление самосопряженной дилатации для неограниченного диссипативного плотно заданного оператора. Полученные результаты могут быть использованы для построения дилатаций конкретных операторов, их функциональных моделей и обобщенных собственных функций.

Ключевые слова: дилатация, диссипативный неограниченный оператор, операторный узел.

1. Введение

В случае сжатий в [1] и [6] было введено понятие операторного узла следующим образом. Множество линейных ограниченных операторов, действующих из гильбертова пространства Hi в гильбертово пространство H2 обозначим L(Hi, H2), если И\ = H2, то L(Hi).

Определение 1. Совокупность гильбертовых пространств G, G-, G+ и операторов T € L(G), \\T|| < 1, a € L(G, G-), в € L(G+, G-), Y € L(G+, G) называется операторным узлом A = (T, a, в, Y, G, G+, G-), если выполняются следующие условия:

aa* + в в * = Ig_, TT * + yy * = Ig, Ta* + Yв* = 0, a* a + T* T = Ig, в* в + Y* Y = Ig+, в* a + Y* T = 0.

Оператор T называется основным оператором узла A, a и y называются каналовыми, а в — деформирующим оператором узла A.

С помощью узла A в [1] и [6] строится унитарная дилатация оператора сжатия. В данной работе вводится понятие операторного узла для диссипативного оператора, вообще говоря, неограниченного. Понятие узла дает больше возможностей для построения дилатаций конкретных операторов [3] за счет выбора операторов узла.

Заметим, что понятие операторного узла для построения симметрической дилатации диссипативного оператора было введено в [6].

2. Предварительные сведения

Пусть A — диссипативный, необязательно ограниченный оператор с плотной областью определения, действующий в гильбертовом пространстве G, и —i € p(A).

© Ю. Л. КУДРЯШОВ

Рассмотрим вспомогательные операторы

Б = гК-г - г К—г - 2 К_г К_г,

Б = г К_г - г К_ - 2 К_г К_, где К_ = (А + г1 )-1, Т = I - 2 гК_г.

Определение 2. Совокупность гильбертовых пространств 9, Е_, Е+ и операторов А : 9^9, ф € Ь(9, Е+), ф € Ь(Е_, 9), ф € Ь(Е_, Е+) называется операторным узлом

в = (А, ф, ф, ф, 9, Е+, Е_), если выполняются следующие условия:

Б = Ф* ф, (1)

Б = фф*, (2)

Тф* = фф*, (3)

ф* ф = ф* Т, (4)

фф* + фф* = 1е+ , (5)

ф* ф + ф* ф = 1е-. (6)

Оператор А называется основным оператором узла в, ф и ф — каналовыми, а ф — деформирующим оператором узла в.

Всякий диссипативный оператор с -г € р(А) может быть включен в операторный узел в, если положить

ф = у/Б, ф = у/в, ф = Т*, Е_ = Е+ = 9 (или Е_ = ф9, Е+ = ф9) . (7) Возможны и другие способы включения оператора А в узел [1].

Определение 3. Оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н называется дилатацией оператора А, действующего в гильбертовом пространстве 9, если 9 С. Н и Рн(А - XI)-1|я = (А - XI)-1 при любых Л, принадлежащих некоторой области 1т Л < -а, (а > 0) [1].

Определение 4. Оператор А называется дилатацией узла в, если А является дилата-цией основного оператора узла при любых ф, ф, и ф из узла в.

3. Построение самосопряженной дилатации

Рассмотрим линейное многообразие вектор — функций h(t) со значениями в гильбертовом пространстве E и t € [a, b]. Обозначим L2(a, b; E) гильбертово пространство, полученное в результате замыкания данного линейного многообразия вектор — функций по норме

Г ь

\\h\\l2{a,b; E) = \\h(t)\\2E dt< ж.

Ja

САМОСОПРЯЖЕННАЯ ДИЛАТАЦИЯ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА

47

Рассмотрим пространства Н- = Ь2((-ж, 0); Е-), Н+ = Ь2((0, ж); Е+), где Е- и Е+ — из узла В. Введем пространство Н = Н- ф § ф Н+ со скалярным произведением

(н, л)н = {и-, Н-)н + (Ло, Цд + (н+, Цн+,

где Н = (Н-, Н0, Н+), Н = Н0, .

Построим в пространстве Н оператор 5 следующим образом. Вектор Н = (Н-, Но, Н+) € 0(5) тогда и только тогда, когда

1) {Н-, С Ы-ж, 0; Е-),{Н+, С Ы0, ж; Е+);

2) Н = Но + фН-(0) € О(А);

3) Н+(0) = -фН-(0) + г ф (А + г1) Н. Оператор 5 определяется так:

h-

Sh = S I ho I = h+

( . dh-(t) \

г

dt

-г ho + (A + г I) h г dh+(t) \ г^Г )

Теорема 1. Опрератор 5 является самосопряженной дилатацией узла В. Доказательство. Выполняется равенство:

Уф (А + г1) Но\\1+ =21т (АНо, Но)д (8)

для любого Н0 € О(А).

Покажем, что 5 — эрмитов оператор.

(БН, Н)н - (Н, БН)н =

= -г \\Н-(0)\\2Е_ - г \\Н+(0)\Е+ +2 г 1т (АН, Но)д + 2 г 1т г (фН-(0), Но)д = 0. Используются равенства (1) — (7), (8) и условие 3) на 0(5). Легко видеть, что

Б(5) = Н и 5 — замкнутый оператор.

Докажем, что в = в*. Для этого достаточно показать, что {г, -г} С р(в) или А(в + г I) = Д(5 - г1) = Н. Введем обозначение:

ЛН-(1) ^ и . (Н+(г) Г_ П- = г —-—, Г+Н+ = г —-—, М ' + + (И '

Го = Г+\м, М = {Нт € Б(Г+) : Н+(0) = 0}.

1) Докажем, что Д(5 + г I) = Н. Допустим противное, то есть что существует Н = 0, Н € Н и Н = (Н-, Н0, Н+) ± Д(5 + г I).

а) Положим Н+(0) = Н0 = 0 и Н-(Ь) = 0. Тогда, так как -г € р(Г0), то Н+(г) = 0.

б) Положим h-(t) = 0. Тогда условие 3) на D(S) примет вид

h+(0) = ip (A + iI) h0

и ясно, что ho может принимать любые значения из D(A), так как —i € p(A), то h0 = 0.

в) Пусть h-(0) — произвольно. Так как —i € (Г-0), Г-0 = Г_|м/, где

M' = {h_ € D(r_) : h_(0) = 0}

и (Г_0)* = Г_, то —i € р(Г_) и, следовательно, А(Г_ + i I) = H_. Тогда h'_(t) = 0.

2) Теперь докажем, что A(S — i I) = H. Допустим противное, как и в первом случае.

а) Положим h0 = h_(0) = 0 и h+ (t) = 0. Тогда, так как i € р(Г_0), то h_ =0.

б) Преобразуем условие 3) на D(S)

h+(0) = —фh_ (0)+ i ф(А + iI)h, h € D(A).

Действуя на это равенство оператором ф* и используя (1) — (6), можно получить:

(A + iI)h — (A* — iI)h = 2 i h0,

где h = h0 + фh_(0) € D(A), h = h0 + ф* h+(0) € D(A*).

Положим h+(t) = 0, тогда (A + i I)h — 2 ih0 = (A* — i I) h0. Таким образом h0 = 0, т. к. i € p(A*).

в) Пусть h+(0) — произвольно. Тогда, так как А(Г+ — iI) = H+, то h+ = 0. Следовательно, h = 0.

Теперь докажем, что S — дилатация оператора A. Действительно,

/ h_ \ I (Г_ — XI)_1h_ \ 1 V_ \

(S — XI)_1 I h0 | = I Rx h0 — (I + ßRx) фV_(0) I = I V0 I , \h+J V (Г0 — XI)_1h+ + e_iXtV+(0) J \v+J

где V_(0) = [(Г_ — XI)_1h_(t)]t=0, ß = X + i, V+(0) = —фV_(0) + ip (I + ßRx)(h0 — p$V_(0)). □

В заключении заметим, что дилатация, определяемая узлом (8) была построена в [2]

и [5].

Список цитируемых источников

1. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. // Харьков: ХНУ, — 2003. — 342 с.

2. Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов. // Сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения — 1982. — Вып. 37 — С. 51-54.

3. Кудряшов Ю. Л. Спектральное представление самосопряженной дилатации одного класса операторов. // Динам. системы — 2007. —Вып. 23 — С. 95-98.

4. Кудряшов Ю. Л. а — симметрическая дилатация операторного узла неограниченного оператора // Ученые записки ТНУ им. В. И. Вернадского. Серия «Физ. - мат. науки» — Симферополь: Т. 23(62) №2, 2010. — С. 92-96.

5. Кужель А. В., Кудряшов Ю.Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов // ДАН СССР. Т. 253 №4, 1980. — С. 812-815.

6. Temme D. The point spectrum of unitary dilations in krein spaces. // Mathematische Nachriehten — 1995.— С. 1-20.

Получена 30.03.2013