Изоморфизм двух представлений самосопряженной дилатации диссипативного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 32-38.

УДК 517. 432

Ю. Л. Кудряшов

ИЗОМОРФИЗМ ДВУХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ САМОСОПРЯЖЕННОЙ ДИЛАТАЦИИ ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА

В работе рассматривается спектральное представление самосопряженной дилатации диссипативного оператора и представление только для ограниченного диссипативного оператора. В случае ограниченного оператора непосредственно построен изоморфизм указанных представлений дилатации.

Введение

В [1] было построено спектральное представление самосопряженной дилатации произвольного диссипативного оператора с непустым множеством регулярных точек, а в [2] получена самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шре-дингера. Последнее представление дилатации можно обобщить [3] только на случай

произвольного ограниченного оператора, т. к. при построении дилатации использу-

А - А*

ется дефектный оператор -:—, который в случае неограниченных операторов

применять, вообще говоря, нельзя в связи с тем, что области определений операторов А и А* могут не совпадать.

Пусть оператор А действует в гильбертовом пространстве Я.

Определение 1. Дилатации $1 и £2 оператора А, действующие соответственно в гильбертовых пространствах Н1 и Н2 называются изоморфными, если существует унитарное отображение и пространства Н1 на Н2 такое, что

1) иН = Н (VН е£);

2) $2 = ив1и-1.

1. Предварительные сведения

Пусть А, вообще говоря, неограниченный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 0, плотно заданный и —г € р(А). Будем использовать дефектные операторы

В = гЯ_i + гЯ_— 2 Я_¿,

В = г R-i + г Я_i — 2 .¿, где = (А + г I)-1.

Так как В > 0 и В > 0 [1], то существуют операторы < = л/В, 0 = л/В?. Рассмотрим пространства вектор — функций Н+ = ¿2 (0, те; 01) и

Н_ = ¿2 (—те, 0; £2), где 01 = 00, 02 = 00.

Образуем гильбертово пространство Н = Н- ф£фН+ и построим в нем оператор Б следующим образом.

/ Л_ \

Вектор Л =

тогда, когда

Ло

УЛ+/

где Л± € Н±, Л0 € £ принадлежит Э(5) тогда и только

1) Л-,

(Л_

(Л

С ¿2(—те, 0; 01), Л+, \ С ¿2(0, те; £2);

(г

2) ^ = Ло + <0Л_(0) € ®(А);

3) Л+ (0) = Т*Л_(0) + гР<р, где Т* = I + 2Р = 0 (А + г/). Если Л € Э(5), то

БЛ = Б

( л_ \ / р_ л_

Ло = — г Ло + (А + г I) ^

V Л+ ) V Р+ л+ у

, (Л+ _ , (Л_ где Р+ Л+ = г ——, Р_ Л_ = г ——.

aí aí

Оператор Б является спектральным представлением самосопряженной дилатации оператора А [1].

Теперь пусть А — ограниченный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 0, Э(А) = 0.

А А_

Рассмотрим дефектный оператор V =-:— > 0.

2г

Образуем гильбертово пространство Н = Н+ ® 0 ® Н_, где Н_ = ¿2( —те, 0; Е), Н+ = ¿2(0, те; Е), Е = /УЕ.

Построим в Н оператор £у следующим образом: вектор у = тогда и только тогда, когда

( V- \

ho

\v+;

G D(Sv)

dV+

dV_

V+, C L2(0' ^ E)^ V-, ^ } С L2(-œ, 0; E);

2) ho G D(A);

3) V+(0) = i V2Vho + V-(0).

Если / G D(SV ), то

sv F = sv

V-

ho

V+

l P- V- \

A ho + V2V V-(0)

v P+ V+ )

Оператор Sv является самосопряженной дилатацией оператора A [3].

2. Основной результат

Теорема 1. Самосопряженные дилатации S и Sv диссипативного ограниченного оператора A, —i G p(A) изоморфны.

Доказательство. Учитывая, что D(A) = G, дилатацию S можно преобразовать к виду

hh

ho h+

V

Sh = S

где h G D(S) тогда и только тогда, когда 1) h

A ho + (A + il ) Q h-(0)

P+ h+ У

dh dh+

' С L2(—^, 0; G2M h+, —f ^ С L2(0, то; Gl);

dt

dt

2) ho G G ;

3) Н+(0) = гЯ (А + И) Но + [гЯ (А + И) Я + Т^ Н-(0).

Построим унитарное отображение пространства Н+ = ¿2(0, то; Е) на Н+ = ¿2(0, то; ^1). Для этого достаточно построить унитарное отображение пространства Е на пространство Я1.

Будем использовать легко проверяемое равенство

2 УНо = (А* - Ц) В (А + И) Но (V Но е Я),

из которого следует равенство:

/2У Ло

= 110 (А + г I) Ло||

(1)

Тогда отображение Н, определяемое равенством

Н (/2У Ло) = 0(А + г/) Ло,

определено на плотном в Е множестве и сохраняет норму ввиду (1). Расширяя Н по непрерывности на все пространство Е, получим унитарное отображение Н пространства Е на 01 .

Теперь построим унитарное отображение Н пространства Н+ на пространство Н+ по правилу:

н2 л+ = н л+ф = л+

(оператор И1 действует на векторы Л+(£) при каждом фиксированном ¿). Аналогично, используя равенство

2 УЛо = (А + г/) В (А* — г/) Ло,

из которого следует, что

/2У Лс

, построим унитарное отоб-

0 (А* — г/) Ло ражение И2 пространства Н1 на Н_.

И, наконец, построим унитарный оператор И, отображающий пространство Н на Н по формуле:

/ V- \ / Н V. \ / Л_

и

Ло I = ,_о

^ V/ У ^ Н2 V/ У

2

Ло

Ло

Л+

Докажем, что Бу = Н 1Б Н. Для этого достаточно показать:

а) если 3 € £(Бу), то Н 3 € £(5) и, что

Н Бу 3 = 5 Н 3;

б) если Л € £(Б), то Н_1 Л € £(Бу) и, что

Бу Н_1 Л = Н БЛ.

В силу унитарной эквивалентности пространств Н+, Н_ и Н+, Н_ соответственно, оператору дифференцирования при отображении Н будет соответствовать этот же оператор.

а) Пусть 3 € £(Бу), докажем, что Н3 € £(Б). Для этого достаточно проверить только выполнение условия 3) на £(Б).

Так как V+(0) = Н1_1 Л+(0), V_(0) = Н^1 Л_(0) и V/ (0) = г /23 Ло + ^(0), то

1

или

Л+(0) = Ло + Н Л_(0)

Л+(0) = г0 (А + г/) Ло + Н1 Н Л_(0).

Так как Н-(0) е <3 Я и Я = (А* — гI) Я, то преобразуем вектор 1 Н- (0), когда

Н-(0) = <3 (А* — И) НО

и и!-1 Н-(0) = и и!-1 <3 (А* — г I) НО =

= < (А + г I) НО = Я (А + г I) Е- (А* — г I) НО. Ввиду равенства (А + г I) Е*^ = г (А + г I) В + Т*, имеем:

и и!-1 Н-(0) = < (г (А + г I) В3 + Т*) (А* — г I) НО =

= г< (А + гI) <3 [<3 (А* — г1) НО] + Т* [< (А* — г1) НО

= г < (А + г I) <3 Н-(0) + Т* Н-(0).

Мы использовали равенство <Т* = Т* <3 [1]. Таким образом,

Н+ (0) = г< (А + г I) Но + (V* + г< (А + г1) <3) Н-(0).

Это равенство выполняется для любого вектора Н-(0), т.к. операторы и и 1, Т* и < (А + г I) <3 _ ограниченные. Условие 3) на Э(£) доказано.

Теперь проверим равенство и £у 3 = $ и У3. Так как

АНо + У-(0) = АНо + и!-1 Н-(0), то полагая, как и выше, Н-(0) = <3 (А* — г!) НО, где НО е ®(А) = Я, получаем

АНо + У- (0) = = АНо + 2 У НО = АНо + (А + И) <3 [<3 (А* — гI) НО] = (А + И) <3 Н-(0).

А так как 2 У = (А + г I) В (А* — г I), то первая часть утверждения доказана. б) Пусть теперь Н е Э(£), и докажем, что и- 1 Н е ®(£у). Проверим выполнение условия 3) на ®(£у). Так как Н е Э(£), то

Н+ (0) = г< (А + г I) Но + (г< (А + г^ <3 + Т*) Н-(0),

Н+(0) = и1 У+(0), Н-(0) = и! У-(0). Из этих равенств получаем:

и У+ (0) = г< (А + г I) Но + (г< (А + г^ <3 + Т*) и! У-(0), У+(0) = г Но + и-1 (г< (А + И) <3 + Т *) и! У-(0).

Преобразуем вектор Ф = Н_ -1 (г0 (А + г/) 0 + Т*) Н1 V_(0), считая, что V_(0) = /2^Л, где Л € 0

Ф = Н1_1 (г0 (А + г/) + Т*) Н1 V_(0) =

= г 03 Н1 V_(0) + Н1_1 Т* Н1 V_(0) =

= г 030 (А* — г/) Л + Н1_1 Т* 0(А* — г/) Л. Так как В (А* — г /) Л = г (А* — г /) Л — г Л — 2 Л, то Ф = г /27 (г (А* — г /) — г / — 2 Я_*) Л + Н1_1 0 (/ + 2 г Я_*) (А* — г /) Л =

= л—/27(А*—г/)Л—2г/27л+н1_1 [0(А + г/)] ((А* — г/) + 2г/)л = = ^(0)—г (А*—г/) Л—2 г л+/2^ (А*—г/) л+2 г л = ^(0).

Таким образом, V+(0) = г л/2 V Ло + V_(0) и условие 3) на £(Бу) выполнено. Теперь преобразуем выражение

АЛо + (А + г/) 0Л_(0) = АЛо + (А + г/) 03Н1 V_(0) = = А Ло + (А + г /) 03 Н1 Л = А Ло + (А + г /) В3 (А* — г /) Л =

= АЛо + 2 VЛо = АЛо + ^(0). Таким образом, Бу — дилатация оператора А, изоморфная дилатации Б. □

Выводы

В случае ограниченности диссипативного оператора А для построения его самосопряженной дилатации можно использовать методы работ [1] или [3], что приводит к одинаковым результатам. В частности, при построении функциональной модели оператора А.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Кудряшов Ю.Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипатив-ных операторов. - Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1982, вып. 37, с. 51-54.

[2] Павлов Б.С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шредингера и 'разложение по его собственным функциям. - Мат. сб., 1977, 102(144) №4, с. 511-536.

[3] Золотарев В.А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. - Харьков: ХНУ, 2003. - 342 с.

1зоморф1зм двох представлень самосопряженноТ дилатацп дисипатив-ного оператора

У роботг розглядаеться спектральне представления самоспряжног ди-латацгг дисипативного оператора г представления лише для обмеженого дисипативного оператора. В разг обмеженого оператора безпосередньо по-будован гзоморфгзм вказаних представлень дилатацгг.

Ключов1 слова: необмежений оператор, вузол, дилатащя.

Isomorphism of two presentations of self-conjugate dilatation of dissipative operator

Spectral presentation of self-conjugate cHlatation of dissipative operator and presentation is in-process examined only for the limited dissipative operator. In the case of the limited operator the isomorphism of the indicated presentations of dilatation is directly built.

Keywords: unbounded operator, knot, dilation.