J -изометрическая и j -унитарная дилатации операторного узла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.432 MSC2010: 47A48, 47A20

3-ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ И 3-УНИТАРНАЯ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА © А. В. Биданец, Ю. Л. Кудряшов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация Е-МА1Ь: аЫхапйет.ЫйапеЬввуапйех.ти

J-isometric and J-unitary dilations of operator knot.

Bidanets A. V., Kudryashov Yu. L.

Abstract. The method of dilations is used in the study of the non-unitary operators. Herewith, the theory of the unitary dilations of the contractions has been full enough developed in the works of B. Szokefalvi-Nagy and Ch. Foyash. Further, the J-unitary dilation of an arbitrary bounded operator was constructed by Ch. Davis and A. V. Kuzhel.

In the work "The point spectrum of unitary dilations in krein spaces" of Temme, D., and after that in the work "Analytic methods of spectral representations of non-self-adjoint and non-unitary operators" of V. A. Zolotarev the term of the operator knot has been introduced. Using this term, the J-unitary dilation of an arbitrary bounded operator has been constructed. Along with the open system construction has been used.

This paper provides a direct proof that the operator, built by the knot, is the J-unitary dilation of the main operator of the knot and its minimality.

Following the work "Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space" of B. Szokefalvi-Nagy and Ch. Foyash the J-isometric dilation is built preliminarily and some of its properties are proved.

A set of linear bounded operators acting from an entire Hilbert space H1 into a Hilbert space H2, will be denoted by [Hi, H2].

Definition 1. The assembly of Hilbert spaces H, H_, H+ and operators T e [H,H], tf e [H,H+], $ e [H-,H] ,K e [H-,H+] ,J_ e [H-,H-] ,J+ e [H+,H+ ], -1 T J+ = J+1 is called the unitary metric knot [6] A (further, knot) T $

, H © H+, J+ I if the following relations hold:

J- = J- = J-1, J, A = ( J-,H ® H-, V =

Ф K

T *T + Ф^Ф = I T *Ф + Ф^К = 0

(1) (2)

(ф*т + к v+ф = о)

Ф*Ф + К *J+K = J-TT * + Ф* = I

(2*)

(3)

(4)

T ^ + K * = 0 (tfT * + KJ_$* = 0)

(5)

(5*)

tftf* + KJ_K * = J

+

(6)

These relations (1) — (6) can be written in a more compact form.

Let us introduce the spaces H © H_, H © H+ and the operator T

V =

K

following form: V*

G [H © H_,H © H+]. Then the conditions (1) — (3) can be written in the , and conditions (4) — (6) can be written in the following form:

Ih 0 V = Ih 0"

0 J+ 0 J_

V Ih 0" V * = Ih 0"

0 J_ 0 J+

Moreover, the operatorr

is called the main operator of the knot, ^ are the canal operators, K are the deforming operator, and J+, J- are the metric operators of the knot A. Let T e [H, H] be included in the knot A.

Form the Hilbert space H consists of the vectors h = (h0, hi, h2,...) with components

..2

h0 e H, hn e H+ (n > 1). Every such h e H if (and only if) ^

n=1

h

< œ and

h, h'j = ^ (hk, h'fc), where h' = (^h'0,h'1,h'2, ..^j. Let identify the vector (h0, 0,0, ...j = ho,

then H c H and the operator Ph = (h0,0,0,... j = h0 is orthogonal projection from H onto H.

Let us introduce J-metric by use of the operator J in the space H: J (h0, h1, h2, ...j = (h0, J+h1, J+h2, ...j, where J = J * = J-1 h [h, h' ] = Jh, h'j.

Let consider the operator V: Vh = V (h0, h1, h2, ...j = ^Th0, ^h1, h2, ...j in the space H, where the operator ^ from the knot A.

Theorem 1. The operator V is the J-isometric dilation of the operator T (and hence, of the knot A).

Definition 2. The J-isometric dilation V e [H, H] of the operator T e [H, H] is called minimal if H = span |VnH | n e N

Theorem 2. The J-isometric dilation V is minimal if H+ = ^H.

Theorem 3. The minimal J-isometric dilation of the operator T is determined up to J-unitary isomorphism.

Let T e [H, H] and T be inclueded in the knot A.

Form the Hilbert space H, whose elements are the vectors h = .., h-2, h-1, h0 , h1, h2,... j (a frame indicates, that the element, which placed in it, is situated on zero position), where h0 e H,hn e H+, h-n e H- (n e N).

го 2 / \ го / ч

h G H if (and only if) ^ hk < œ и (h, h'l = ^ (hk, h'fc), where

fc=-œ V ) г,— V У

fc=—го

h' = ^h-2,h-1, h0 ,h'1,h'2,..^ • Let identify the vector .., 0,0, ho , 0, 0, ...j = ho, thus we

obtain H c H and the operator Ph = .., 0, 0, ho , 0,0,... j = h0 is the orthogonal projection from H onto H.

Let consider the operator U :

Uh = Ç .., h_3, h-2, Th0 + $h-i , ^h0 + Kh-i, hi,... ).

Theorem 4. The operator U is the J-unitary dilation of the operator knot A.

Definition 3. The J-unitary dilation U G [H, H] of operator the T G [H, H] is called minimal if

H = span junH | n G z}, where U-1 = JU * J.

Theorem 5. If H+ = ФЯ, H- = J_$*H, then the J-unitary dilation U is minimal.

Theorem 6. The minimal J-unitary dilation of the operator T G [H, H] is determined up to J-unitary isomorphism.

Keywords: minimal J-isometric dilatation, minimal J-unitary dilatation, J-unitary isomorphism of dilatations

Введение. Предварительные сведения

При изучении неунитарных операторов используется метод дилатаций. При этом теория унитарных дилатаций сжатий довольно полно развита в работах Б. Секефальви-Надя и Ч. Фояша [1],[2]. Затем Ч. Дэвис [3] и А. В. Кужель [4] построили J-унитарную дилатацию произвольного ограниченного оператора.

В [5], а затем в [6] было введено понятие операторного узла. С помощью этого понятия строится J-унитарная дилатация произвольного ограниченного оператора. При этом использовалась конструкция открытой системы.

В данной работе приводится непосредственное доказательство того, что построенный с помощью узла оператор является J-унитарной дилатацией основного оператора узла и ее минимальность.

Следуя работе [1] предварительно строится J-изометрическая дилатация и доказываются некоторые ее свойства.

Множество линейных ограниченных операторов, действующих из всего гильбертова пространства Hi в гильбертово пространство H2, обозначим через [Hi, H2].

Определение 1. Совокупность гильбертовых пространств И, И_ и H+ и операторов T G [H, H] , Ф G [H,H+] , Ф G [H_,H] ,K G [H_,H+] ,J_ G [H_,H_] ,J+ G [H+,H+],

Х+ = = называется унитарным метрическим узлом [6] А (в

Т Ф

= л_ = л1

дальнейшем узлом) А = | Л_, Н ф Н_, V ся следующие соотношения:

Ф K

H ф H+, J+ , если выполняют-

T *Т + Ф*/+Ф = I (1)

T *Ф + Ф* J+K = 0 (2)

(Ф*Т + K */+Ф = 0) (2*)

Ф*Ф + K *J+K = J- (3)

TT * + Ф/_Ф* = / T Ф + Ф J-K * = 0 (ФТ * + KJ- Ф* = 0) ФФ* + KJ-K * = J+

(4)

(5) (5*)

(6)

V = виде:

V *

Соотношения (1) — (6) можно записать в более компактном виде. Введем пространства Н ф Н_, Н ф Н+ и ТФ

Ф K /я

оператор

€ [Н ф Н_ ,Н ф Н+] . Тогда условия (1) — (3) можно записать в

0 V= /я 0

J+ 0 J-

, а условия (4) — (6) в виде: V

/я 0 V* = /я 0

0 J- 0 J+

При этом оператор Т называется основным оператором узла, Ф, Ф - каналовыми, К - деформирующим, а Х+ и Л_ - метрическими операторами узла А.

Произвольный оператор Т€ [Н, Н] может быть включен в узел А, например, так: Пусть £т = I — Т*Т, £т* = I — ТТ*, Е+ = ©ГЯ, Е_ = , От = |®т|2,

Qт* = |®т* |1, Х+ = , = *, Ф = От*, Ф = От,К = Т*.

Определение 2. Оператор В € [Н, Н] называется дилатацией оператора Т € [Н, Н], если

Н С Н и РнВгай = Тпй (Уй € Н, п € Н), (7)

где Рн - ортопроектор в Н на Н.

Условие (7) можно записать равносильным условием:

(тпк,к'^ = (Впй,й') ,Уп € Н,у{М'} С Н. (8)

Определение 3. Оператор В называется дилатацией операторного узла А, если В является дилатацией основного оператора узла при любых операторах Ф, Ф, К, Л_, Х+, образующих узел А.

Определение 4. Дилатации В1 и В2, Вг € [Нг, Нг] ,2 = 1, 2 оператора Т € [Н, Н] называются Х-унитарно изоморфными, если существует Х-унитарное отображение Ф пространства Н2 на Н1, такое, что

1. ФН = НУНе Н

2. В2 = Ф В^Ф.

1. /-изометрическая дилатация операторного узла

Пусть оператор Т € [Н, Н] включен в узел А.

Образуем гильбертово пространство Н из векторов Н = (Н0, Н1, Н2,...) с компонентами Н0 € Н, Нп € Н+ (п > 1). При этом Н € Н тогда и только тогда, когда

^ Н„ < то и ^Н, Н'^ = ^ ^Нк, Н'к ^, где Н' = (Н0ХН2,...). Отождествим вектор ^Н0, 0, 0,...) = Н0, тогда Н С Н и оператор РН = ^Н0, 0, 0,...^ = Н0 является ортопроектором из Н на Н.

Введем в пространстве Н /-метрику с помощью оператора /: / (Н0,НЬН2,...) = (н0, /+НЬ /+ Н2,...), где / = /* = /-1 и [Н, Н ] = (/Н,Н). Рассмотрим в пространстве Н оператор У:

^Н = V ^Н0, Н1, Н2, ... ^ = (ТН0, ФН1, Н2, ... ^, где оператор Ф из узла А.

Теорема 1. Оператор V является /-изометрической дилатацией оператора Т (и, следовательно, узла А).

Доказательство.

^Н, VН] = (^Н, Н) = ((ТН0, /+ФН0, /+НЬ /+Н2,...), (ТН0, ФН0, Н1, Н2,...)) = = (ТН0, ТН0) + (/+ФН0, ФН0) + (/+Н1, Н1) + ... =

= (Н0, ТТН0) + (Н0, Ф*/+ФН0) + (/+НЬ Н1) + ...;

Используя (1), получаем

^Н^Н] = (Н0,Т *ТН0) + ((I - Т *Т) Н0, Н0) + (/+Н1,Н1) + ••• = /-изометрический оператор.

Найдем п-ую степень оператора V на векторе Н0 € Н.

VН0 = (ТН0, ФН0, 0, 0,...),

V2Н0 = (Т2Н0, ФТН0, ФН0, 0, 0,...) , V"Н = (ТгаН0, ФТга-1Н0, ФТга-2Н0,..., ФН0 , 0, 0,...),

[Н, Н], т.е. V

PV"Но = Т"Н0, Уп € N и Н0 € Н.

Теорема доказана. □

Определение 5. /-изометрическая дилатация V € [Н, Н] оператора Т € [Н, Н]

называется минимальной, если Н = зрап < ^Н | п € N

"

Теорема 2. Л-изометрическая дилатация V является минимальной, если

H+ = ФН.

Доказательство. Обозначим Н = зрап <|^пН | п € Ни(0}}. Надо доказать, что

Н = Н.

Очевидно, что Н С Н. Докажем, что и Н С Н.

Пусть к = (к0, кь к2,...) € Н , где к0 € Н, кк € ФН, к € N. Тогда

Vnho = I Tnho, ФТn-1ho, ФТп-2ho,..

Ф^о , 0, 0

Vn-1ho = Tnho, Фтп-1^, Фтп-2^,..., ФTho , 0, 0

n— 1

Vnho — Vn-1Tho = ^ 0,0, Теорема доказана.

Ф^

, 0, 0,

€ Н, при п > 1, следовательно Н С Н.

□

Теорема 3. Минимальная Л-изометрическая дилатация оператора Т определена с точностью до Л-унитарного изоморфизма.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда п > т

Vnh, Vmh

V n-1h,V m-1h

JVn-mh, h

Vn-mh, Jh

Tn-mh, Jh

Tn-mh, h

Мы использовали определение дилатации (8) и доказали, что ^пк, Vmк ] не зависит от оператора V. Поэтому можно рассмотреть отображение Ф (У^к) = V2nк, где V и V) минимальные Л-изометрические дилатации оператора Т.

Ф-изоморфизм J-унитарный, т.е. [V^h, V™h] = [V2nh, V2nh].

Теорема доказана.

□

2. J-УНИТАРНАЯ ДИЛАТАЦИЯ

Пусть Т € [Н, Н] и Т включен в узел А.

Образуем гильбертово пространство Н из векторов

= .., к_2, к_1, к0 ,к1,к2,..^ (рамка обозначает, что помещенный в ней

элемент расположен на нулевом месте), где к0 € Н, кп € Н+, к_п € Н_ (п € Н).

2

h

к € Н тогда и только тогда, когда ^

к=—оо

где к'

h_ 2, h

21

ho

< то и (к, к') = Е (кк,кк),

4 7 к = _Е 4 7

,к'1,к'2,..^. Отождествим вектор .. , 0, 0, к0 , 0, 0, ...^ = к0,

n

n

получим вложение Н С Н и оператор РН ортопроектором из Н на Н. Рассмотрим оператор и:

0, 0, Н0 , 0,0,

Н0 является

иН = (...,Н_ з, Н_ 2,

ТН0 + ФН-11, ФН0 + КН-1, Н1,... ) .

Теорема 4. Оператор и является /-унитарной дилатацией узла А. Доказательство. Найдем оператор и*.

иН, Н ^ = ■ ■ ■ + ^Н_з, Н_2^ + ^Н-2, + (ТН0 + ФН-1, Н^ + (^ФН0 + КН_1, Н^ + + (Н1, Н^) + (Н2, Н'з) + ■ ■ ■ = ■ ■ ■ + (Н_з, + (Н_2, + (ТН0, н0) + (фн_1, н0) + + (фн0, Н1) + (КН_Ь н!) + (нь Н'2) + (Н2, Н'3) + ■ ■ ■ = ■ ■ ■ + (н_з, Н'_2) + (^Н_2, +

+ (н0,т *н0 + ф*н!) + (н_1, ф*н0 + к * н!) + (нь н'2) + (Н2, н'з) + ■ ■ ■ =

Н,

Таким образом:

(н, (...,н'_2,н'_1, ф*н0 + к * н!,

Т *Н0 + Ф*Н

Н2

и*Н = (..., Н_2, Н_1, Ф*Н0 + к*НЬ|Т*Н0 + Ф*Н11, Н2, Нз,... )

Рассмотрим оператор /и* /:

/и*/Н = (..., Н_2, Н_1, (Ф*Н0 + К*/+Н1) ,|Т*Н0, +ФУ+Н

Н2, Нз,... I .

Докажем, что и 1 = /и*/. Обозначим /и* / = С. Надо доказать, что Си = иС = I.

СиН = с(...,Н_з,Н_2,|ТН0 + ФН17], ФН0 + КН_1,Н1,Н2,..^ =

= (..., Н_з, Н_2, (Ф* (ТН0 + ФН_1) + К */+ (ФН0 + КН_1))

Т* (ТНр + ФН_1) + Ф*/+ (ФН0 + КН_1) |, Н1, Н2, Нз,... )

(..., Н_з, Н_2, (/_Ф*ТН0 + /_К*/+ФН0) + (/_Ф*ФН_1 + /_К*/+КН_1)

(Т*ТНр + Ф*/+ФН0) + (Т*ФН_1 + Ф*/+ КН_1) |, Н1, Н2, Нз,... ) = Н

Используем соотношения для узла: (2*) , (3) , (1) , (2). Теперь рассмотрим и ■ С:

иСН = и (..., Н_2, Н_1, (Ф*Н0 + К*/+Н1) ,|Т*Н0 + ФУ+Н

Н2, Нз,

(..., h-2, h-1, | T (T*ho + Ф* J+hQ + Ф (J- (Ф*^ + K* J+M)

Ф (T*ho + Ф* J+h1) + K (J- (Ф*hoK* J+h1)), h2, ha,...)

^ ..., h-2, h-1, | (TT* + ФJ-Ф*) ho + (TФ* J+ + ФJ-K* J+) h1

(ФT* + KJ-Ф*) ho + (ФФ* J+ + KJ-K* J+) h1, h2, ha,...) = h.

Используем соотношения для узла (4) , (5) , (5*) (6).

Теперь докажем, что оператор и является дилатацией оператора Т.

Uho

..., 0,0, Tho , Ф^, 0,0,...

U2 ho = (..., 0,0,

T 2ho

Ф^, Фh0, 0, 0,...

Ua ho =

0, 0,

T aho

ФT2ho, ФTho, Фho, 0,0,

U nho

, 0, 0,

T nho

ФTn-1ho,..., ФT2ho, Ф^, Фho, 0, 0,... ) .

PUnho = Tnho ч.т.д.

;io) □

Определение 6. Л-унитарная дилатация и € [Н, Н] оператора Т € [Н, Н] называется минимальной, если Н = зрап |ипН | п € ^|, где и_1 = Ли*Л.

Теорема 5. Если Н+ = ФН, Н_ = Л_Ф*Н, то Л-унитарная дилатация и является минимальной.

Доказательство. Как и в случае Л-изометрической дилатации, обозначим

Н = зрап |ипН | п € Z

Надо доказать, что Н С Н. Докажем, что Н С Н.

Пусть к = (..., к_2, к_1, к0, к1, к2,...) € Н, где к0 € Н, кк € ФН, к > 0 и кк € Л_Ф*Н, при к < 0.

Используя (9), получаем:

U-1h = (..., h-2, h-1, J- (Ф*^ + K* J+h1) ,|T*ho + ФУ+^~

h2, ha,

U-1ho = (..., 0, 0, J Ф*ho;

T *ho

0, 0, . . .

U-2ho = (..., 0,0, J-Ф*ho, J-Ф*T *ho, T * 2ho

U-nho = i..., 0,0, JФ*ho, JФ^*ho,..., JФ*T*n-1ho

0, 0, . . .

T*nho

0, 0, . . . .

Из формул для и"Н0 и и ™Н0, п > 1, получаем:

0, 0,

Т "Н0

ФТ™_!Н0,..

ФН0 ,0,... -

, 0, 0, Т"Н0 , ФТ"_!Н0,..., ФТН0, 0 , 0

0 ,..., 0, ФН0 , 0, 0

и_"Н0 - и_™+!Т*Н0

. . . , 0,

/_ Ф* Н0

/_ Ф*Т *Н0,..., /_ Ф*Т *™_1Н0

Т*" ъ

Н0

0, 0, . . .

. . . , 0, 0,

/_ Ф*Т * Н0

. . ., /_Ф*Т*"_!Н0,

Т*П 7

Н0

0, 0, . . .

_™+1

..., 0,0, /_ Ф*Н0 , 0, 0,...

Эти формулы показывают, что Н С Н.

□

Теорема 6. Минимальная /-унитарная дилатация оператора Т € [Н, Н] определена с точностью до /-унитарного изоморфизма.

Доказательство. Пусть Н € Н, тогда при п > т

и™н, итн

При п < т

и"Н, итн

и™_!н, ит_!н'

/и™_тН, Н = и"_тН, /Н

Т"_тН, /Н

Т"_тН, Н

(/Н,ит_"Н') = (и т_"Н' ,/Н) = (Т т_"Н' ,/Н) = (/Н,Тт_"Н')

и скалярное произведение не зависит от дилатации и. Поэтому мы можем построить /-унитарный изоморфизм Ф:

Ф (и"Н) = , Уп € Н, п € где и и и — две минимальные /-унитарные

дилатации оператора Т. □

Заключение

Нами показано, что при приведении доказательств были использованы все условия (1-6) операторного узла. Кроме этого, явно построена минимальная /-унитарная дилатация узла.

л

п

—1>

— п

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сёкефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Сёкефальви-Надь, Ч. Фояш. — Москва: Мир, 1970. — 432 с.

SZOKEFALVI-NAGYB., FOYASH Ch. (1970) Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. Moscow: Mir. 432 p.

2. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. — Москва: Мир, 1979. — 592 с.

RIESZ F., SZOKEFALVI-NAGY B. (1979) Functional analysis. Moscow: Mir. 592 p.

3. DAVIS Ch. (1970) J-unitary dilation of a general operators. Mathematical Problems of Cybernetics. Acta Sci. Math. 31, № 1-2 (1970). p. 75-86.

4. Кужель А. В. Самосопряженные и J-самосопряженные дилатации линейных операторов / А. В. Кужель // Теория функций, функциональный анализ и их приложения / Вып. 37. — 1982. — C. 54-62.

KUZHEL A. V. (1982) Self-adjoint and J-self-adjoint dilations of linear operators. Function theory, functional analysis and their applications. Vol. 37 p. 54-62.

5. TEMME D. (1995) The point spectrum of unitary dilations in krein spaces. Mathematische Nachriehten. p. 1-20.

6. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов / В. А. Золотарев. — Харьков: ХНУ, 2003. — 342 c. ZOLOTAREV V. А. (2003) Analytic Methods of Spectral Representations of Nonself-Adjoint and Nonunitary Operators. Kharkov University. 342.