CC BY
7УДК 517.983
О СТРОЕНИИ ОСТАТОЧНОГО ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЛУУНИТАРНОЙ ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ВНУТРЕННИМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ © Д. Л. Тышкевич
Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского,
факультет математики и информатики
пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, Крым, Украина, 95007 e-mail: dtyshk@inbox.ru
Abstract
In this work we analyze and describe the construction of residual subspace of a semiunitary dilation of a linear bounded operator acting in a Banach space with an indefinite inner product.
Введение
О чём здесь речь. Целью данной работы является описание конструкции остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного непрерывного оператора, действующего в банаховом пространстве, наделённом (индефинитным) внутренним произведением, при определённых условиях на оператор и пространство, в котором оператор действует.
Дилатация (dilation) оператора — это такое расширение данного оператора, с выходом из основного пространства, которое «сохраняет степени» (см. ниже (13) на стр.82). Использование полуунитарной и унитарной дилатации явилось, пожалуй, самым мощным средством для изучения неунитарных сжимающих операторов в гильбертовом пространстве при наличии тесных связей с теорией характеристических функций и функциональных моделей сжимающих операторов (хорошо известны книги [4, 9]). Работа [3], в которой приводилась конструкция уже J-унитарной дилатации но уже и для произвольного оператора (несжатия) в гильбертовом пространстве, открыла путь для исследования операторов, действующих в пространствах с индефинитным внутренним произведением. С тех пор разными авторами были построены различные конструкции полуунитарной и унитарной дилатаций в пространстве Понтрягина и в пространстве Крейна, однако позже выяснилась общность этих конструкций (см. список источников на стр.82). Однако конструкции полуунитарной (и тем более унитарной) дилатации в пространствах с внутренним произведением, более общих, чем пространства Крейна (насколько известно автору) не исследовались (также автором не найдены, работы, в которых бы изучалось строение остаточного подпространства и в случае пространств Крейна). Так что, насколько позволяет делать вывод осведомленность автора1, конструкция полуунитарной дилатации оператора, действующего в банаховом пространстве с внутренним
1Кроме тщательного исследования литературы, сюда входят и довольно многочисленные беседы автора с известным специалистом в этой области Т. Я. Азизовым, который был оппонентом кандидатской диссертации автора [22], и которому автор, пользуясь случаем, ещё раз выражает свою признательность.
произведением, а также конструктивное описание её остаточного подпространства приведены в данной работе впервые.
Соглашения и обозначения. «ПВП» — сокращение для «пространство с внутренним произведением». Под внешней ортогональной суммой ПВП Ж и 2) понимается декартово произведение этих пространств, наделённое внутренним произведением [(xi, yi), (х2,2/2)] := [xi,X2]x + [iji, Уг]?)- Знак [+] означает (внутреннюю) прямую ортогональную сумму. Все рассматриваемые в данной работе ПВП полагаются невырожденными.
В(3£, 2)) означает совокупность всех линейных ограниченных всюду заданных операторов из банахова пространства Ж в банахово пространство 2), Е(Т) — область значений линейного оператора Т. Сильный предел последовательности {./■„ }• „ •. обозначен через s. lim хп.
п—г-оо
Через Ix обозначен единичный оператор в пространстве Ж. Под натуральными мы понимаем здесь целые числа, начиная с единицы (а не с нуля); обозначение множества натуральных чисел стандартное - КГ; - обозначение для множества {0}UN (расширенный натуральный ряд). Через а,Ь обозначается отрезок расширенного натурального ряда {о, о + 1,,,,, Ь} (о ^ Ь).
С понятиями, которые в данной работе не оговариваются и особо не разъясняются, можно подробнее ознакомится в [7, 12, 18],
Необходимые определения и факты
Правильные банаховы пространства. Банахово пространство Ж с внутренним произведением [•, •] называется правильным банаховым, пространством (regular Banach space; далее, коротко, п.б,п. - [6, 16, 20, 22]) если
36 > 0 Ух,у еЖ \[х,у]\ «С Ь||х|||Ы|; (1)
3с>0 Ух ЕЖ sup у]\^ с||я;||, (2)
В случае, если выполнено лишь условие (1), говорят, что Ж есть пространство с мажорантой ([7, 20, 22]),
Замечание 1. П.б.п, особенно прозрачно определяется при помощи так называемого оператора Грама ([1, 2, 7, 12]) пространства X, т.е. линейного всюду заданного оператора Gx ■ Ж —Жа , определяемого формулой
(Gxx)(y) := [х,у]х-
Здесь Жа - антисопряжённое пространство к Ж., т.е. совокупность всех сильно непрерывных антилинейных функционалов на Ж. Так вот, легко видеть, что условия (1), (2) эквивалентны ограниченности (усл. (1)) и ограниченной обратимости (усл. (2)) оператора Грама Gx-
Разложение Б о г н а р а К р а м л и. Разложением Богпара-Крамли самосопряжённого оператора А в ПВП Ж называется представление оператора А в форме
С*С = А, (3)
где С - сопрягаемый оператор с областью определения - всем Ж и областью значений, лежащей в некотором ПВП 2) ([18, 20, 22]), Оператор С называется в [20, 22] квадратичным расщеплением самосопряжённого оператора А. Особенно важны квадратичные расщепления с нулевым ядром сопряжённого:
кегСй = {0} (4)
((4) равносильно плотности образа С в определённых топологиях, [7, 8, 22]), Из (4) и (3) следует равенство
ко г С = ко г А .
В случае банаховых ПВП, как правило, необходима ограниченность С и его сопряжённого (см, таблицу категорий в следующем пункте).
Категории ПВП. В [19, 20, 22] вводятся понятия категории с сопряжением и категории с квадратичным, расщеплением. Охарактеризовать эти категории, не вдаваясь в детали, можно следующим образом. Категория с сопряжением, в которой объектами являются ПВП, а стрелками - линейные всюду определённые операторы между ПВП - замкнуты относительно образования матричных операторов, относительно сопряжения операторов и содержат нулевой объект - нулевое пространство. Категория с квадратичным расщеплением - это категория с сопряжением, в которой произвольный самосопряжённый объект должен обладать квадратичным расщеплением с нулевым ядром сопряжённого, и это квадратичное расщепление - стрелка категории. Мы приведём три примера категорий с сопряжением (банаховых ПВП) в следующей табличке:
Категория Объекты, Стрелки
^(гш^ас!]) Банаховы пространства с мажорантой Ограниченные сопрягаемые операторы, для которых сопряжённый ограничен
Правильные банаховы пространства Ограниченные сопрягаемые операторы
Кг Пространства Крейна Ограниченные операторы
Снизу вверх они образуют башню полных подкатегорий. Из них Кг и яв-
ляются категориями с квадратичным расщеплением (доказательство того, что Кг -категория с квадратичным расщеплением содержится, вне рамок теории категорий, в [18]; доказательства для 11е§В(а<1^. в теоретнко-категорных рамках, - в [22] и частично в [20]),
О пространстве £2(Ж). Для банахова пространства Ж линейное пространство 12{Х) определяется (см., например, [17]) как совокупность всех бесконечных поеледова-
оо
тельностей (2:1,2:2,...) элементов из X, для которых сходится ряд ^ Ц^пЦ2- Норма в
п=1
£2(Х) определяется как
оо
\\(Х1,Х2 ...)\и2(Х) ■= ■
п=1
С такой нормой Iг(3£) становится банаховым пространством. Если А Е В(3£, 2)), то естественным образом определяется оператор £2(А) Е В (|2(3£),12(?))):
£2(А)(х1,Х2 ...):= (АХ!,АХ2, ...).
При этом для произвольных А Е В(3£, 2)), В Е В(3,3£)
Щх) = ЫАВ) = £2(А)£2(В), \\£2{А)\\ = 1И11 ;
таким образом, £2{-) является (ковариаптпым) функтором в категории банаховых пространств. Также, в частности, это влечёт одновременную ограниченную обратимость операторов А и £2{А), Существует естественный изометрический изоморфизм между £2(Х*) и £2(Х)*, осуществляемый отображением
оо
(Ф(/ъ /2, ■ ■ ■)) ((Х1,Х2, .. ■)) := ^2/п(хп),
п=1
(хъа:2,...)ее2(Х), (/ь/2,...) е4(Г). (5)
Эта же конструкция приводит к изометрической изоморфноети £2{Ха) и ¿2(Х)а.
Если X - банахово ПВП, то на X естественным образом индуцируется внутреннее произведение
оо
[(хъх2, ...), (уъ У2; ■ ■ -)}е2(х) := У^х ■
п=1
В таком случае имеет место связь между сопряжёнными:
4(А)« = 4(А«), (6)
а операторы Грама в X и ¿2(Х), как нетрудно видеть, связаны соотношением
ОЫХ) = Ф ¿2(СХ) (7)
(для антисопряжённой версии Ф), Действительно, согласно (5)
оо
(Се2{х)(хъХ2,...))((уъУ2,---)) = [(хъх2,...),(уьу2,---)]е2(х) = ^[хтУп]х =
оо
= ^2(Оххп)(уп) = (Ф(СХХ1, СХХ2, ■ ■.)) ((Уъ У2, ■■■)) =
п=1
п=1
2{Сх){х1,Х2, ■ ■ .)){{УЪУ2, ■ ■ ■))
Из (6), (7) и замечания 1 следует, что если Ж - п.б.п. (пространство с мажорантой), то и 12{Ж) - п.б.п, (пространство с мажорантой). Кроме того, ясно, что если Ж -пространство Крейна, то и ¿-¿(Ж) является пространством Крейна.
Замечание 2. Более точно, все эти рассуждения показывают, что Л_>(-) является функтором в категориях B^m"tad'^. RegB(ad^ и Кг.
Полуунитарные операторы и сдвиги в ПВП. Всюду определённый оператор W, действующий из ПВП Ж в ПВП 2), и сохраняющий внутреннее произведение: [Wxi, Wx2]z} = [xi,X2]x (для всех xi, х2 G X) (т.е. изометрический относительно внутреннего произведения), но образ которого не совпадает с 2), называется полу-■унитарным (semiunitary; ср. [8, 12, 21]). Отметим без доказательства2 следующие свойства полуунитарного оператора W, которые далее нам понадобятся:
2) = E(PF)[+]kerPFe; (8)
ker W*п = [+] Wk ker W* (n e M). (9)
fceo,n-i
Далее, подпространство f-] \¥пЖ пространства 2) называется остаточным под-
n&í
пространством полуунитарного оператора W (residual subspace; см. [8, 10, 11, 20]).
Пусть далее Ж = 2), Полуунитарный оператор называется односторонним сдвигом, (unilateral shift), если его остаточное подпространство - нулевое3. Сопрягаемый односторонний сдвиг W назовём проекционно устойчивым ([22]), если s. lim ||И/пР0"а;|| = 0 для любого х е Ж. Специальный класс проекционно устойчивых односторонних сдвигов составляют правосторонние сдвиги в пространствах £2(Ж):
W(xi, х2, ...):= (0, xi, х2,.. ■) (10)
(правосторонний сдвиг служит моделью абстрактного одностороннего сдвига в случае гильбертовых пространств: [10]). При этом W является одновременно изометрическим относительно нормы и внутреннего произведения. Сопряжённый к W есть левосторонний сдвиг:
U :(гг...):= (х2,х3,...). (11)
Из (10) и (11) непосредственно видна проекционная устойчивость W:
оо
\\WnWin(xi, х2,.. .)||2 = 11(0,... ,0,хп+1,хп+2,.. .)||2 = У^ llaifef^O, п^г оо.
k=n+1
2Доказательства данных свойств - чисто технические, при этом не требуется никаких особых топологических выкладок - лишь «линейные» рассуждения и работа понятия сопряжённости. Эти доказательства имеются в наших работах [21, предл. 3, лем. 1], [22, предл. 5.3, лем. 5.17] (соответственно).
3Это
— косвенное определение. Прямое (равносильное приведённому) определение в случае инде-финитности внутреннего произведения требует определённых топологических выкладок и дополнительных определений, которых мы стремимся в данной работе избегать, так как на формулировку и доказательство основного результата они не имеют прямого влияния.
Отметим следующий важный момент: из (11) непосредственно вытекает равенство
kerPF0 = {(ж, 0, 0,...) \х е Зе} (12)
(т.е. kor \ \ : изометрически изоморфно 3t).
Предложение 3. Пусть W - правосторонний сдвиг (10), и — двойная
fee o,n-i
последовательность «треугольного вида» векторов из kor U Тогда
п п
У WkXkn f - сильно сходится -ФФ- lim \ ||xfe„||2 < оо.
' * ) n&i га-юо ' *
fe=О fc=о
Доказательство. Справедливость этого утверждения обеспечивается цепочкой:
п п
11 У ^ W' Я-fen || — 11 (05 ■ ■ ■ 5 0 ; ■ ■ ■ ; Хпп, 0, 0, , , ,) || — У ^ liefen || ■
к=т к=т
Полу унитарная дилатация. Известное определение дилатации линейного непрерывного (или, по меньшей мере, всюду заданного) оператора ПВП с гильбертовым носителем ([3, 4, 5, 9, 10, 12, 13, 14, 15]) без труда может быть перенесено на случай произвольных ПВП,
Пусть Т - всюду заданный линейный оператор в ПВП X, (р - инъективное изометрическое (относительно внутреннего произведения) вложение X в некоторое ПВП Я. Линейный всюду заданный оператор V в Я называется дилатацией оператора Т, если
[Тпх1,х2]х = [Уп(рх1, <рх2]я (п е Н; хих2 е X). (13)
В таком общем виде определение (13) ещё слишком «сыро»; естественно, в зависимости от класса рассматриваемых ПВП, нужно наделить вложение ц) дополнительными свойствами (в основном, непрерывностью в той или иной топологии). Например, в случае банаховых ПВП естественно требовать гомеоморфности ц) относительно сильных топологий, что далее будем считать выполненным.
Приведём конструкцию полуунитарной дилатации для операторов из категории 2(пийа<ц) (самой широкой для описываемой ниже конструкции). Пусть Т - оператор, - стрелка в в(ти*а<Ш с началом и концом в X, - для которого его (самосопряжённый) дефект по полуунитарности 6т '■= I — Т^Т - ненулевой (т.е. Т не является полу унитарным); причём 5у обладает сопрягаемым квадратичным расщеплением С е В(3£,2)) с ограниченным сопряжённым: 0 е В(2),3£), Если Т является стрелкой некоторой подкатегории в(ти*а<Ш с квадратичным расщеплением (например, или Кг), то такие требования излишни, однако в общем случае мы вынуждены ограничиться специальным классом операторов Т в X. Пусть 0 - некоторый объект в (т.е. банахово ПВП с мажорантой), и ф - изометрическое относительно внутреннего произведения и гомеоморфное вложение 2) в 0, обладающее следующим свойством:
ф - сопрягаемый оператор, (14)
откуда автоматически следует, что ф^ е В(0,2)), ибо в данном случае, как показывают простые выкладки, = ф| Щс).
Пусть IV - стрелка в с началом и концом в 0 (т.е. IV е В(0), IV
сопрягаем и Р0 Е В(0)), являющаяся полуунитарным оператором со свойством:
гф = ког П ". (15)
Пусть С - распространение на 0 оператора С:
С := фС. (16)
Тогда из (15) и (16) тривиально следует равенство
И/ЙС = 0. (17)
Так как ф - изометрическое (относительно внутреннего произведения) и гомеоморф-ное вложение, то, как легко проверить, С е В(3£, 0), С - сопрягаем, С е В(0, 3£), и С является квадратичным расщеплением дефекта 5т'.
СС = 5Т . (18)
Пусть Я - внешняя ортогональная сумма Ж и 0, ц) - естественное изометрическое (относительно внутреннего произведения) и гомеоморфное вложение Ж в Я. Рассмотрим оператор V, заданный матрицей
V :--
Индукцией легко доказывается формула
грп
уп 1
т о
С IV
о '
71— 1
V \\Ч'("Г" 1 к 1Г"
,к=О
(п е М).
(19)
(20)
Покажем теперь, что V - полуунитарная дилатация Т. Действительно, оператор V - полуунитарный:
Т^Т + СС
Р0С \Vt\V
'тч С "Т о"
0 С IV
и является дилатацией Т:
(20)
(17М18) 1х 0"
0 /0
1&
[\/п(рх1,(рх2]я
п-1
шкСтг'
,к=0
Тпх\
п-1
^Ц'кСТп-1-кхг ,к=0
Х2 0
Х\ х2 1 _
к ц/п 0 ) 0 -
[тпхъх2]х (п еН; х2 е X)
Дилатация V оператора Т (13) называется минимальной (см, начало этого пункта и список источников там), если ортогональное дополнение линейной оболочки множеств Уп(рЖ (п 6 М+) - пулевое4.
Это - косвенное определение. См. сноску на стр. 81.
Важность условия (4) и понятия одностороннего сдвига при работе с полуунитарной дилатацией показывает следующая теорема.
Теорема 1. Дилатация V оператора Т (15), (16), (19) минимальна тогда и только тогда, когда выполняются условия: ядро сопряжённого к оператору С, порождающему С - нулевое, и IV - односторонний сдвиг.
Доказательство. Пусть д е 0, Тогда справедливо равенство (см, чуть выше последнюю цепочку равенств):
п-1
[V
X "0"
0 ) 9_
}я = ^УкСТп-1-кх,д}<
(21)
к=О
Необходимость. I, Пусть у Е кегС^, Тогда Сфу 0ф^фу = 0у = О,
Отсюда
X " 0 "
0 ) фу_
я
п-1
(15)
к=О
= [Тп-1х,Сфу\х = 0 (!е X).
Из последней цепочки по определению минимальной дилатации вытекает равенство фу = 0, откуда у = 0, Итак, показано, что ко г (= {0},
II, Пусть у (г П П "0. Тогда существует такая последовательность {//„, }• „,. . пз
нем
0, что д = П "'//„,. Имеем цепочку:
X "о"
0 ) 9_
п-1
к=О п-1
©
^2[Ш^т-к)СТп-1х, дт}& (= 0 (х ЕХ, пец т^п).
к=О
Тогда по определению минимальной дилатации получаем равенство д = 0, Итак, показано, что IV - односторонний сдвиг,
х0
9о.
I "Я (п (Е КГ+), Тогда, в частности, будем иметь:
Достаточность. Пусть вектор
ортогонален каждому из линеалов
0 = [V
X х0 1 г X х0
0 ) к - [ 0 ) Ж
]я=[х, х0]х (хеХ).
Таким образом, .г„ = 0, Далее, по (21) при п = 1
0 = [V
X "0"
0 )
}я=[Сх,д0}& (хеХ).
Покажем при помощи индукции, что
[ШпСх,5о]б = о (пещ, хеХ)
(22)
Базис индукции уже обоснован. Пусть п > 0 и
Ух ЕЖ УкЕ0~п [ШкСх, 5о]б = 0.
Тогда
п+1
(23)
0 = [V
-п+2
X "0"
0 )
(21)
(2= [\¥п+1Сх, д0]& (хЕЖ).
к=О
Индуктивный переход обоснован, и (22) доказано. Далее, в силу обратимости С" (по условию теоремы)
Е(С)М = кег С (14)^16) кегС^й = кег^ = Щф)Ш ^ (кегР0)
(15)
до Е (\¥п кег IV
откуда, в свою очередь, получим цепочку (22)
Ц^пд0 Е Е(С)[±] = (кегР0)[±] ■ И, наконец,
Уп Е до Е (IVй кег Ц \/п е N д0 Е (кег IV1
« УпеМ д0 Е Е(РГ") ^ д0 Е [)\¥п(5 .
п Е М4
(24)
(25)
Так как по условию теоремы IV - одноето
Хо
9 о
0, Итак, показано, что вектор
9 о
эонний сдвиг, то согласно (22), (24), (25) , ортогональный каждому из линеалов
I '"Я (п Е М+) - нулевой, т.е. дилатация V - минимальна, □
/ Осуществимость конструкции. Конструкция полуунитарной дилатации с условиями (14), (15) легко осуществима (при наличии квадратичного расщепления дефекта в общем случае), если задействовать правосторонний сдвиг в £2(-)-пространстве. Действительно, пусть 0 := £2(%)), Ф - естественное вложение 3) в б:
Фу ■= (у, 0,0,
(у еф),
(изометрическое по внутреннему произведению и норме), а IV - правосторонний сдвиг (10), Тогда свойства (14), (15) легко проверяются (см, (12)),
Формулировка и доказательство основного результата
Положим
«уГ := 1)0,п-1 х {п}
нем
(т.е. N есть совокупность всех пар (к,п), п Е 'Ы, 0 ^ к < п - «бесконечный нижний треугольник» декартова квадрата К2),
Замечание 3. В этом подразделе мы будем считать, что односторонний сдвиг П . используемый в конструкции полуунитарной дилатации, является проекционно устойчивым. Это, снижая общность, не снижает силу построений (см, ниже ключевой момент (31)); наоборот, согласно рассуждениям пункта /, для любого оператора Т, имеющего соответствующее квадратичное расщепление дефекта, всегда можно построить полуунитарную дилатацию «максимальной силы».
Рассмотрим множество
г л—1
Х¥(х) := < ь еД 4) { - сильно сходится
^ {к,п)ЕЛ к=0
(иначе говоря, Ь представляет собой двойную последовательность «треугольного вида» {/1;ы}пем , в которой Тк+1ккп = х). Теперь определим множество ке о,п-1
Х^ := {хе Р|ТпЖ I Ху(х) Ф 0} .
нем
Предложение 4. Множество ХуЛ является линейным многообразием.
Доказательство. Множество (") ТпЖ является линейным многообразием. Далее, со-
пем
вокупность всех двойных последовательностей элементов из Ж «треугольного вида», очевидно, является линейным многообразием относительно обычных операций сложения и умножения на число. При этом, если 0 - нулевая последовательность, то Тй+1б((А;, п}) = 0, поэтому О Е Хуа. Далее, если Тк+1§1 ((&, п}) = х\ и Тк+1$)2({к, п)) = Х2, то для произвольных «1,0:2 € С
Тк+1((а1Ъ1 + а2Ь2)({к,п))) = Тк+1 (о^х((к, п») + Тк+1 п») =
= а{Тк+1\)1{{к,н)) + а2Тк+\2{{к,н)) = оцхл + а2х2 (ябК, к е 0,п - 1), причём (предел суммы двух сходящихся последовательностей равен,,,)
л-1
8. Нш У^1¥кС(а1Ь1 + а2Ь2)((к,п))
л—г-оо
к=О
л—1 л—1
«1 5. Нш У^\¥ъС\)Мк,п)) + а28. Нш У^ \¥ъС\)2{{к, п)).
Л—5-00 ' * Л—5-00 '
к=0 к=О
Таким образом, линейная комбинация векторов из лежит в ХуЛ. □
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2. Остаточное подпространство полуунитарной дилатации V оператора Т имеет следующий вид:
Г 1
ПупЯ = { Х \хе Х^, д = 8. Иш У"\¥кО)((к,п)), ъ е Х{х)} (26)
II I О 1 л—г-сю J
лем
к=О
Доказательство. Из (20) следует эквиваленция е I "Я ~ Зхп е Ж 35вб0
Тпхп
п-1
v WkCTn-l-kxn + Wngn Л=О
Согласно (27) определим последовательность I"). полагая
Щк,п)) -.= Тп-1-кхп, (к,п)е N.
Покажем, что
I) е XV (ж).
Согласно правой части последнего равенства в (27) (первая строка столбца)
Тк+Щк,п)) (= Тк+1Тп-к-1хп = Тпхп = х
и (вторая строка)
п-1
WnWing = ]Пг"1Г:;" к]СГ 1 k.r„ + WnWinWngn (= W
9п
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
к=О
откуда из проекционной устойчивости W следует, что s. lim U "//„ = 0. Последнее
п—*оо
равенство влечёт цепочку
п-1
п-1
g = s. lim ТП^ГУ" 1 k.r„ (=j s. lim У" WkCt)((k, n». (32)
n—t-oo ' ^ n—t-oo ' ^
fc=0 fc=0
Из (32) и (30) непосредственно следует (29). Тогда согласно (27) - (29) справедлива эквиваленция
п-1
Е Р| ¥пЯ ~ (я; е PI Т"3е) & (з f) е Xv(a;) 3 = s. Jim ^ PFfeCf) ((А;, п» ) .
нем
нем
fc=0
которая равносильна равенству (26).
В случае обратимости оператора Т, вид остаточного подпространства его полуунитарной дилатации V заметно упрощается (в частности, отпадает необходимость рассмотрения промежуточных множеств Ху(х)).
Следствие 1. Пусть Т - обратимый оператор. Тогда
сю
Xм1 = {хе Р\ТпЖ | 1¥кСТ-(к+1)х - (сильно) сходится} ;
нем
к=О
Г 1
Р|VnЯ = { Х \хе g = J2wkCTHk+l)x}
пт
к=О
Доказательство. Из уравнения Tk+1i)^(k, п)) = я; однозначно определяется вектор {)((&, п)): он равен □
Описание остаточного подпространства ещё более упрощается, если дилатация V построена по образцу пункта /,
Следствие 2. Пусть V пункта /. Тогда
полуунитарная дилатация оператора Т конструкции
п-1
Xv{x) = U еД (Tk+l) ({х}) Jim J2\\Ct)({k,n})\\2 < оо
^ (fe,n)eN п
а в случае обратимости Т
к=О
oy~nd
{xef)TnX\ J2 \\CT-
(fe+i)
x\
< oo
}
fc=0
Доказательство. См, предложение 3, теорему 2 и следствие 1, □
Иллюстрации
Замечание 4. Дилатации, рассматриваемые в данном подразделе, имеют конструкцию пункта /,
Пример 1. Положим Ж := С2, и внутреннее произведение на Ж зададим как
[(жь ш), (х2, у2)]ж := + У\Щ ■ (33)
Будем отождествлять операторы с порождающими их матрицами относительно базиса {(1, 0), (0,1)}, Тогда внутреннее произведение (33), очевидно, порождено сим-
метрией
0 1 1 0
, Наше Ж является объектом Кг (если, на всякий случай, мыслить о
пространстве Крейна с возможностью конечномерности носителя и равными положительным и отрицательным индексами инерции),
0 а] _
Прямыми вычислениями находим степень и
0 ¡3
0 -2Re(a/?)' 0 0
Рассмотрим оператор Т := дефект:
Тп = (пе^), 5Т
Чтобы дефект был ненулевым, числа о н > должны удовлетворять условиям:
п ф 0. (Зф 0, Не(7Т i) ф 0,
которые и будем далее полагать выполненными (формально, первые два неравенства излишни, так как следуют из третьего).
Легко находится квадратичное расщепление С дефекта 5 г с условием ко г (= {0}, Действительно, положим 2) := С и зададим внутреннее произведение:
Тогда С и его сопряжённый имеют вид:
- sgn ( Re (а/3)) у/2\а(3\ 0
с= [о ^ДЩ] , С«
Отсюда видно, что пространство 0, в котором реализуется односторонний сдвиг, есть просто ¿2 с внутренним произведением равным ± скалярное произведение в зависимости от знака числа Ее(а(3). Далее, вполне очевидно, что
Р| ТпЖ = ТЖ
нем
г
-1 /
и уравнение Тк+1 откуда находим:
Л-1 кп
Л-2 кп
Л-1 кп г
Ыкп_
а ¡Зг
даёт решение: - любое, /г2;ы = а^/З^г,
С
^/2\а(3\а-1(3-кг, || С
Л-2 кп
2\а\~1\Р\
1| Д|1-2й|г|2
(34)
Из (34) следует, что Нт V '
п^оок=0
Л-1 кп
< оо в том и только том случае, если \(3\ > 1
(независимо от г). Таким образом, если \[3\ ^ 1, то остаточное подпространство минимальной полуунитарной дилатации V оператора Т - нулевое (т.е. V представляет собой в этом случае односторонний сдвиг). Если же \(3\ > 1, то согласно (34) и следствию 2 остаточное подпространство имеет следующее строение:
Р| Vя Я
натянуто на вектор
у2М(1,г\г2,...;
Пример 2. Положим теперь Ж : = С[— 1,1], и определим внутреннее произведение:
(35)
[х,у]х := уж(-<)у(<) М
-1
(симметричность формы (35) обеспечивается симметричностью интервала [—1,1]). По стандартным свойствам интеграла (Римана) выполняется (1) (где в качестве Ь может выступать любое число ^ 2), т.е. Ж - пространство с мажорантой. Однако Ж, как можно догадаться, не является п.б.п.: отрицание свойства (2) -
(36)
Vс > 0 ЗхсеЖ зир|[я;с,:
< с\\хг
- легко доказать, рассмотрев, например, функции .г,.( /) := , где // - произ-
вольная функция, удовлетворяющая условию 0 < г](с) < с ^ 2 (справедливость (36) достаточно доказать, в частности, для с ^ 2). Действительно, тогда
1 1
сИ = Г](с) < с = с\\хс\\
-1 о
(||жс|| = 1 так как -• 1 > 0 в силу наложенных на // н г условий). Таким образом Ж - объект в^ти1;а<1-'), но не является объектом 11е§В(а<1>}.
вир \[хс,у}\ «С 1\хс{-г)\<И = 21№ 1Ы|г%1
I
Рассмотрим интегральный оператор (Тх)^) := [х(т) с!т. Оператор Т оказыва-
-1
ется самосопряжённым (!) относительно введённого внутреннего произведения:
1-4 -< <
[Тх,у]х = j[jx(т)dтjy(t)dt=jx(т)dтjy(т)dт - j(-х(-?)) ^у(т) dт>j dt
-1 -1 -1 -1
1 1 <
1 <
( Jу(т) йт} йг = [х, Ту]х ,
-1 -1
и это позволяет (при помощи трюка) построить квадратичное расщепление его дефекта 5т = I — Ч "2• А именно, пусть 2) - то же пространство С[— 1,1], но с внутренним произведением [х, у]%) := —[х, у]х- Обозначим через Т тот же оператор Т, но действующий из Ж в 2), Тогда Т = ^Т:
[■Тх,у}% := -[Тх,у]х = ~[х,Ту]х = -[х, Ту]х (х Е Ж, уЕ 2)).
Положим С ■.= I + Т. Тогда С - квадратичное расщепление 5т '■
СЙС = (1 + Т)й(/ + Т) = (I - Т)(/ + Т) = (I - Т){1 + Т) = I - Т2 = 5т.
Ядро 0 - нулевое. Действительно, если х0 Е кегСй, то
<
0 = (1+ Т)*х0 = {1- Т)х0 = (!- Т)хо «Ф» х0{г) = / х0(т) йт &
•ФФ- х'0(г) = х0(г), а;0(-1) = о -ФФ- х0 = о.
Далее, нетрудно видеть, что (") ТпЖ состоит из всех бесконечно дифференци-
пем
руемых функций х, удовлетворяющих условию 1) = 0 (п Е Н+). Оператор
Т обратим, и СТ-(к+1^х = (I + Т)Т~^к+^х = х(к+^ + х^ для х Е П Ч'"Х. Тогда
нем
оо сю
V х\\2 < оо в том и только том случае, если V ||(я;' + х)^\\2 < оо. Но для
к=О " к=О
интегрального оператора известно, что ||Г"|| —0, п —оо, и учитывая сходимость ||(х/ + 0, п —оо, получим цепочку соотношений:
\\х' + х\\ = \\Тп(х'+ х)(п)\\ «С НГЧЦКж' + а^Н -Ю, п ^ оо,
из которой следует равенство х' + х = 0, А функция х, удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению с начальным условием а;'(—1) = 0 - нулевая.
Итак, мы выяснили, что для данного случая множество ХуЛ состоит лишь из нуль-вектора (см, следствие 2), Таким образом, остаточное подпространство минимальной полуунитарной дилатации V интегрального оператора Т - нулевое, и V представляет собой односторонний сдвиг.
Замечание 5. Рассуждения этого пункта без труда переносятся на чуть более обь " _
щий случай X = С[а,Ь] с внутренним произведением [х,у]х '.= /— ¿) сИ и
а
I
оператором (Тх)(£) := /х{т)йт.
а
Заключение
Итак, дано конструктивное описание остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного непрерывного оператора, действующего в банаховом пространстве; а точнее, оператора, являющегося стрелкой категории в(т,1,;агШ и имеющего квадратичное расщепление своего дефекта из в(ти1;а<1-*) (см, стр. 82), Основным результатом, работы является теорема 2 (стр. 86), Дальнейшие перспективы исследований в таком направлении - это попытки хотя бы наметить те же вехи в «банаховой области», которые были «пройдены гигантами» ([4, 9]) в «гильбертовой»: построение унитарной дилатации, построение и изучение характеристической функции, построение и изучение модели и пр.
список литературы
1. Гинзбург Ю. П., Иохвидов II. С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой // Успехи мат. наук. - 1962. - Т. 17, Вып. 4. - С. 3-56
2. Ароншайн Р. Квадратичные формы на векторных пространствах // Математика (сб. переводов). - 1964. - Т. 8, №5. - С. 105-168
3. Davis Ch. J-unitary dilation of a general operator / / Acta Sci. Math. (Szeged). - 1970. - Vol.31. -P. 75-86
4. Сёкефальви-Надь В., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Мир, 1970. - 431 с.
5. Davis Ch., Foia§ С. Operators with bounded characteristic function and their J unitary dilation // Acta Sci. Math. (Szeged). - 1971. - Vol.32. - P. 127-139
6. Штраус В. А. Некоторые вопросы геометрии и спектральной теории операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой: Дне... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. - Воронеж, 1972. -126 с.
7. Bognar J. Indefinite inner product spaces. - Berlin: Springer, 1974. - 225 p.
8. McEnnis B. W. Shifts on indefinite inner product spaces // Pacific J. Math. - 1979. - Vol.81. -P. 113-130
9. Сёкефальви-Надь В. Унитарные дилатации операторов в гильбертовом пространстве и смежные вопросы// Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Добавление 2. - М.: Мир, 1979. - С. 511-560
10. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. - М.: Наука, 1980. - 384 с.
11. McEnnis В. W. Shifts on indefinite inner product spaces. II. // Pacific J. Math. - 1982. - Vol. 100. -P. 177-183
12. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986. - 352 с.
13. Никольский Н. К., Хрущёв С. В. Функциональная модель и некоторые задачи спектральной теории функций // Труды Математического института АН СССР им. Стеклова. - 1987 -Т. 176. - С. 97-210
14. Constantinescu Т., Gheondea A. On unitary dilations and characteristic functions in indefinite inner product spaces // Oper. Theory: Adv. Appl. - Vol. 24. - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1987. -P. 87-102
15. Bruinsma P., Dijksma A., de Snoo H. S. V. Unitary dilations of contractions in Пк // Oper. Theory: Adv. Appl. - Vol. 28. - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1988. - P. 27-42
16. Штраус В. А. Модельное представление и функциональное исчисление операторов в пространствах с индефинитной метрикой: Вар-нт дисс. ..д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01. -Челябинск, 1993. - 363 с.
17. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. - 4-е изд., испр. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. - xii+354 с.
18. Rovnyak J. Methods of Krein space operator theory // Oper. Theory: Adv. Appl. - Vol. 134. - BaselBoston-Berlin: Birkhauser, 2002. - P. 31-66
19. Тышкевич Д. Л. Элементарные ротации операторов в категориях с квадратичным расщеплением // Таврический Вестник Математики и Информатики (ТВИМ). - 2004, Вып. 1. - С. 112-124
20. Tyshkevich D. L. Elementary rotation of a semiunutary operator in regular Banach spaces // Fundamental and Applied Mathematics. - 2006. - vol. 12, ,V"6. - P. 175-192
21. Тышкевич Д. Л. О разложении Вольда полуунитарного оператора в банаховых пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. - 2006. - Т.19(58), №1. - С. 98-124
22. Тышкевич Д. Л. Об ортогонализации систем векторов и разложении типа Вольда в линейных пространствах с внутренним произведением: Дне... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. - Харьков, 2008. - 187 с.
Статья поступила в редакцию 25.12.2008
