CC BY
8УДК: 517.98, 517.955, 532.5 MSC2010: 70E55, 35M33
О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ СИСТЕМЫ ДВУХ СОЧЛЕНЕННЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ ТЯЖЕЛОЙ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ
© В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики пр-т. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация Е-МА1Ь: [email protected], [email protected]
On small motions of a two joined bodies system with cavities partially FILLED with A HEAVY VISCOuS FLuiD.
Voytitsky V. I., Kopachevsky N. D.
Abstract. Let G1 and G2 be two joined bodies with masses m1 and m2. Each of them has a cavity partially filled with homogeneous incompressible viscous fluids situated in domains Q h Q2 with free boundaries r1(t), r2(t) and rigid parts S1 , S2. Let p1,p2 be densities of fluids. We suppose that the system oscillates (with friction) near the points O1, O2 which are spherical hinges.
We use the vectors of small angular displacement
3
4(t) = E j(M, k = 1,2, j=1
to determine motions of the removable coordinate systems Okxkx|x| (connected with bodies) with respect to stable coordinate system O1x1x2x3. Then angular velocities ujk(t) of bodies Gk is equal to dJk/dt.
Let Uk(x,t) and pk(x,t) be fields of fluids velocities and dynamical pressures in Qk (in removable coordinate systems), (k(x,t) are functions of normal deviation of rk(t) from equilibrium plane surfaces rk(0) = rk. Then we consider initial boundary value problem (25), (26), (28)-(30) with conditions (34)-(39).
We obtain the law of full energy balance (44). Using the method of orthogonal projections initial problem can be reduced to the Cauchy problem for the deferential equation
d2X dX ^ ^
C -w+A -w + BX = F
inHilbert space H := H1 ®H2 := (,To,Sl (Q1)®Jq,s2 (Q2 ))©(C3 ©C3). Here operator C is bounded and positive definite, operator A is positive definite, B is bounded below self-adjoint operator. General properties of such problem is known. It has a unique strong solution for t e [0; T] if the
natural conditions for initial data and function F are satisfied. As a corollary we obtain theorem on solvability of initial Cauchy problem.
Corresponding spectral problem reduces to the operator pencil of S. G. Krein. The spectrum consists of A = 0, two branches of positive eigenvalues with limit point +0 and and probably finite number of negative and complex eigenvalues. The systems of eigenelements corresponding to each of positive branches of eigenvalues form so called p-basis in Hilbert space H (probably with finite defect). We obtain sufficient conditions for absence of negative eigenvalues (stability of hydromechanics system) and for equality of negative eigenvalues of the problem and the operator of potential energy B.
Keywords: equation of angular momentum deviation, operator matrix, self-adjoint operator, discrete spectrum, p-basis.
Введение
Данная работа посвящена изучению (методами теории операторов) проблемы малых движений и нормальных колебаний двух сочленённых тел, частично заполненных тяжёлой вязкой жидкостью. Данная линейная постановка задачи является новой и осуществляется на основе работ Н. Д. Копачевского и Э. И. Батыра, см. [1]-[5], посвящённых проблемам малых движений сочленённых тел-гиростатов, целиком заполненных идеальной либо вязкой жидкостью. Важные результаты в теории колебаний тел, соединенных сферическими или цилиндрическими шарнирами в произвольном порядке, получил П. В. Харламов. Близкие задачи исследовал в докторской диссертации Ю. Н. Кононов. При частичном заполнении жидкостью тела не являются гиростатами, что вносит дополнительные трудности в исследуемую проблему.
Исследованию малых колебаний маятника с полостью, полностью либо частично заполненной идеальной или вязкой жидкостью либо системой из несме-шивающихся жидкостей, посвящено большое количество работ. В качестве основных можно отметить работы С. Г. Крейна и Н. Н. Моисеева, Г. А. Моисеева, Н. Д. Копачевского, О. Б. Иевлевой, П. С. Краснощекова, Ф. Л. Черноусько, И. А. Луковского, М. Я. Барняка и др. Операторный подход к изучению линейных проблем гидродинамики вязкой жидкости изложен в монографиях Н. Д. Копачевского с соавторами [4], [5].
Данная работа выполнена при финансовой поддержке второго соавтора грантом Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037).
1. Постановка задачи. Вывод уравнений изменения кинетических моментов
Пусть имеется два сочленённых тела О\ и О2, имеющих массы ш\ и т2. Внутри каждого тела имеется по одной полости, частично заполненной однородной несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть жидкости занимают области и со свободными границами ^(¿), Г2(£) и твёрдыми стенками 51, 52, плотности жидкостей р\ > 0, р2 > 0. Массой воздуха над жидкостями пренебрегаем. Тела совершают малые свободные колебания относительно точек закрепления 0\, 02 (сферические шарниры), см. рисунок.
Будем считать, что на данную систему тел в состоянии покоя действует однородное гравитационное поле д, а в процессе малых движений — силовое поле
где /(¿,х) - малая динамическая добавка к гравитационному полю. Предполагаем также, что в шарнире 0к сила трения пропорциональна разности угловых скоростей соединяющихся тел О к и Ок-\, причем коэффициент пропорциональности а к > 0,
Для описания малых движений системы введем неподвижную систему координат 0\х1х2х3 с ортами е7, ] = 1, 2, 3 так, чтобы д = —де3. Кроме того, введем подвижные
Рис. 1
£ := д + /(¿,х),
к = 1, 2.
системы координат О кх\х3, жестко связанные с О к. Единичные векторы вдоль осей Окх3к обозначим через е3к, ] = 1, 3. Кроме того, будем считать, что в состоянии покоя центры масс Ск тел О к, а также точки О к находятся на одной оси О1Х3 = О2х2.
Положение подвижной системы координат Окх\хкх3к относительно неподвижной системы О1 х1х2хк в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым вектором углового перемещения
к
I (Ъ) = Е 3 №I, к =1, 2.
3 = 1
Тогда угловая скорость ьок (Ъ) тела О к будет равна С8к/СЪ, а угловое ускорение этого тела - величине С28к/СЪ2 = Сшк/СЪ.
Обозначим через Кк радиус-вектор, идущий из полюса О1 в любую точку тела О к, г к (к =1, 2) — радиус-вектор, идущий из полюса Ок в любую точку тела О к. Введем также вектор Н1 = О1О2. Тогда, очевидно, что К1 = г1, К2 = Н1 + Г2. Как известно из курса теоретической механики (см., например [4], с. 123), скорость изменения переменного вектора а(Ъ) в неподвижной системе координат С'а/СЪ и скорость его изменения в подвижной системе координат с(а/с(Ъ связаны соотношением
С а (а _., , _.,, , _ \
- = - + ^ X а(1), (1)
где ш(Ъ) — мгновенная угловая скорость подвижной системы координат. Отсюда следует, что векторы абсолютных скоростей Ик произвольной точки тела О к связаны с малыми векторами относительных скоростей Ик по формулам:
С К1 , ,
У1 = —— = Ш1 X Г1 + щ; (2)
аъ
сСС И,2 т* /оЛ
У2 = —7— = Ш1 X ¡11 + Ш2 X Г2 + «2. (3)
аъ
Аналогично получаем формулы для абсолютного ускорения: _^ С/ ,_^ _^ _^ , ^С ,_^ _^, _^ ,_^ _^, С/^и 1 _^ _^
IV1 = — (ш1 X г1 + и1) = — (ш1 X Г1) + ш1 X (ш1 X Г1) +--:--+ ш1 X щ =
Съ Съ Съ
ССш1 / ^ ч Си1 ,, \
= —:— X г1 + 2ш1 X и1 + ш1 X (ш1 X г1) +——, (4) Съ Съ
С -
^2 = — (Ш X ¡1 + Ш2 X Г2 + «2) = Съ
СШ2 ^ , ^ («2 СШ1 ^ ^ _ г» , ,
= X Г2 + 2Ш2 X «2 + Ш2 X (ш X Г2) + + X ¡1 + Ш X (ш X ¡1). (5) Съ Съ Съ
Введем обозначение
!(.. .)<1тк := J (.. .)рокаОк + У (.. .)РкаОк, (6)
Ск Пок Пк
где 00, С О к — область, занятая твердым телом плотности р0к, а О, к — область, занятая жидкостью, к = 1, 2.
Уравнение изменения кинетического момента системы сочлёненных тел относительно точки О1 в движущейся системе координат 01х\х\х\ имеет вид:
<</ к
—- = М1Г + МГ + Щ + М^, (7)
аЬ
где К1 — кинетический момент системы в ее движении относительно неподвижной системы координат; М— — момент сил трения; М™ — главный момент всех внешних сил (силы тяжести и других малых сил), действующих на систему тел; М^ — момент переносных сил инерции; М£ог — момент кориолисовых сил. Имеем
К1 = У г1 х щ ат1 + У (Я1 + г2) х ь2 <т2 =
С1 С2
= У П х (^1 х г1 + И1) <т1 + J(Ь,1 + Г2) х (^1 х Я1 + х г2 + «2) <т2. (8)
С1 С2
Мх^г = —а^ь (9)
С точностью до малых второго порядка имеет место формула (см. [4], с. 132)
9 = —де1 + д8ке1 — д&кгк, (10)
где г к := Е
3
8к := Е 8кек. к=1
Пусть (к(х,Ь) (х Е Гк) — функции, описывающие малые отклонения свободных поверхностей Г (Ь) вдоль нормалей, относительно плоских равновесных поверхностей Г к. Из условия сохранения объёмов жидкостей во время колебаний следует, что /г Ск <Гк = 0, тогда с точностью до малых более высоких порядков справедливы соотношения
¡п х датк = п,,^ х 9 + /й х ж^г, =
Ск Г к
= тк[—1к43] х [-д(е, — б^ек + 51е1)] — р,д у (г, х е,3)Ск <гк =
Гк
= дтк1ке1х(е1—5 ^е^+^е,2)—р,д J (т, хе/3)Ск<Гк = —дтк1кР2Гк(е^хт, )Ск<Г,,
Гк Гк
(11)
J к1 х д <т2 = т,Гк^ х д + р^(к х д)^ =
С2 Г2
= т2[—кГ] х [—д(е3 — 812е11 + 811е2)] + р2(^1 х д) J (2 = —дт2^1 р/ь (12)
Г2
В последнем соотношении предполагается, что к1 = —к1е'3 (с точностью до малых
более высокого порядка), где к1 := |0102| — расстояние между шарнирами. Также
введены обозначения с — радиус вектор центра тяжести тела О,, I, := |0,С,| —
2
расстояние от 0к до центра масс Ск тела Ок, Р28к := Е 44.
к=1
Отсюда следует, что
МТ = IГ1 х (д + Л) <т1 + У^ + г2) х (д + /2) <т2 =
С1 С2
= —дт111 р2Г1 — дт212Р2Г2 — дт2к1Р2Г1 + J п х /1 От + J(к 1 + /2) х /2 <т2+
С1 С2
+ р19 I(е3 х Г1)(1 <Г1 + р2д У(е23 х /2X2 <<Г2, (13)
Г1 Г2
где к(Ь,х) := /(ь,х)1Ск.
Очевидно, М1 = 0. При этом
М^ = ^ У /1 х (2^1 х М1)<т1 — У (к1 + /2) х (2^2 х «2)<т2 (14)
С1 С2 является величиной второго порядка малости, поэтому мы ею пренебрегаем. Вычислим теперь производную по времени от кинетического момента К/ 1:
^ = 1 £ х (-1 х П + и1) <т1+
С1
,(Сш1 ^ СГ1 («1. ^ _ _
+ —1 X (—— X г1 + ш1 X —-—|——) ат1 + ш1 X г1 X (ш 1 X г1 + и1) ат1 + ] аЪ аЪ аЪ ]
о1 о1
с С ^ -
+ (¡1 + —2) X (Ш1 X ¡1 + Ш2 X г2 + щ) ат2+
о2
+ У (¡¡1 +Г2) X сЪ (Ш1 X ¡1+Ш2 X Г2 +«2) ат2 + Ш2 ^ У (¡1 +Г2) X (Ш1 X ¡1 +Ш2 X Г2 + «2) -т2.
(15)
Поскольку мы предполагаем, что поля сС—к/СЪ = Пк и Шк являются бесконечно малыми, то с учётом формулы
Спк дпк , ,
-тк = д-к + (нк •У)Шк, к =1, 2, (16)
аЪ дЪ
можно пренебречь вторым слагаемым. Отсюда после линеаризации (15) получаем уравнение изменения кинетического момента относительно точки О1 системы тел в подвижной системе координат
О 1 х 11 х 21 х 1к :
с К1 Г _ дщ
- = ]-1 X X Г1) ат1+р1] -1 X таП1+
Сх Пх
, [— , (-Ш1 - , С-2 , дг?2.
+ (¡1 + —2) X (— X ¡1 + — X Г2 + -д^г) ст2 = -а1Ш1-
- д | т1/1Р2-1 + т2¡¡^261 + т^Р2-2 - Р^(е? X -1X1 -Г - р^(е| X -2X2 -Г | + V Гх Г2 /
+ У —1 X /1 Ст1 + J(¡1 + —2) X -2 Ст2. (17)
Сх С2
Аналогично выводится уравнение изменения кинетического момента относительно точки О2 тела О2 в подвижной системе координат О2х^х2х2. Имеем
К = /Г—2 ^ (Ш2 ^ * + й)сСт2 <18)
С2
М2 = -«2(Ш2 - Ш1). (19)
МГ = У -2 X (д + /2) (Ст2 = -дт2кР2-2 + др2 ^(ек X -2X2 -Г2 + У —2 X /1 Ст2. (20)
С2 Г2 С2
М2е = —у Г2 ха2; <т2, (21)
С2
где
а2 = —г1 хк1 + х (¿¿1 х к1) (22)
аЬ
есть ускорение точки 02. Моментом кориолисовых сил пренебрегаем. Вычислим производную по времени от величины К/ 2:
—^ Г —/2 —щ
= «2 х (¿2 х /2 + «2)—т2 + /2 х (-—£- х Г2 + ¿2 х — + —) —Ш2 +
С2 С2
+ х//2 х (й2 х /2 + й2)—т2. (и)
С2
После линеаризации (23) получаем искомое уравнение изменения кинетического момента относительно точки 02:
/ /2 х (—| х /2) —Ш2 + р2 / /2 х ^ —«2 =
С2 П2
= —а2(ш2—1^1)—дт212Р2/2+др^'(е23х/2)С2 — Г2^У /¿х/2 —т2^У /2х (—Ь1 хк1) —т2.
Г2 С2 С2
(24)
Вычитая теперь из левой и правой части уравнения (17) соответственно левую и правую часть уравнения (24), получаем соотношение
У * К°—1х гЛ)—т1+/к1 х (°—1х к1+х /2+ж) —т2+
С1 С2
/ди f
/1 х -ц- — «1 + а 1^1 — а2 (¿2 — ¿¿1) + д (т^ + т^) Р281 — др1 (е^ х /1X1 — Г1 =
П1 Г1
= У /1 х /1 —т1 + У к1 х /2 —т2 =: ММ1(Ь). (25)
С1 С2 Перепишем уравнение (24) в эквивалентной форме
/—¿2 [ _ —ш1 / [ _ ди2
/2 х ("—г х /2) 2 + /2 х ("—^ х к1) —т2 + р2 г2 х -^—«2 + а2^2 — ¿1) +
С2 С2 П2
+ gmzhPzh - gp2 J (e.23 x Г2Х2 dr2 = J r2 x /2 dm2 =: M2(t). (26)
Г2 G2
2. Уравнения движения вязкой жидкости. Граничные и
начальные условия
Для вязкой жидкости, имеющей постоянные плотности pk > 0 и кинематические вязкости Vk > 0, уравнениями движения являются линеаризованные уравнения Навье-Стокса (см. [4], с. 124):
dd/k = -p-1VPk + VkAVk + Fk, div Vk = 0, (в пк ), к = 1, 2, (27) dt
записанные в неподвижной системе координат O1x1x2x3.
Для записи этих уравнений в подвижной системе системе координат подставим в них формулы для вычисления поля абсолютной скорости Vk и абсолютного ускорения Wk (см. (2)- (5)).
Воспользовавшись инвариантностью операций div, V, А при линейных заменах переменных, после линеаризации получаем уравнения Навье-Стокса в подвижных системах координат Okxkx\xk:
dt- + djf x /1 = -p-1 Vpi + viAUi + /1 (в Qi), (28)
^ + dtt x h + dt x /2 = -P-1 VP2 + V2AU2 + // (в Q2), (29)
divUk = 0 (в Qk), к = 1, 2. (30)
Будем предполагать выполненными условия прилипания вязкой жидкости к твёрдым стенкам, т.е.
uk = 0 (на Sk), к =1,2. (31)
Предполагая, что капиллярными силами можно пренебречь, считаем, что в состоянии равновесия свободные поверхности Tk (t) являются плоскостями, ортогональными вектору e 3. Они могут быть заданы уравнениями x'3 = -bk < 0, где bk = const.
На поверхностях Tk (t) жидкости контактируют с газом постоянного давления pa, отсюда следует, что напряжения в жидкости и газе должны совпадать, т. е.
it Tj (Vk )n'i ■.= it (-Pk bj + Pk Vk ( dk + ^ )) nj = -Pan'k (i = 1, 2, 3), (32) j=1 j=1 V k k J
где Tj (vk) — компоненты тензора напряжений в к-той жидкости, построенного по абсолютным скоростям Vk, а nk = n'jkej — вектор внешней нормали к Г(t).
Давление Р, на границе жидкости раскладывается в сумму, Р, = Р0, + Рк, где
Рок (Ь, х) = р,д • + 'ра + ркдЬ,
есть равновесное давление с учётом отклонения тела О, на 88, (Ь), а р, — малая динамическая добавка. С учётом формулы (10) отсюда получаем, что
Рок (Ь, х) = —рк д(х, — 52кхк + 81кхк) + Ра + рк дЬ,. (33)
Предполагая, что Г,(Ь) отклоняются незначительно от равновесных Г,, будем считать, что п/, = п/, = 0. Так как для чистого вращения ш х / все напряжения равны нулю, то с учётом формул (2), (3) линеаризация касательных динамических напряжений (32) приводит к условиям
ди3
Ыйк) = ркV,(+ -¡щ) = 0 (на Г,), г = 1, 2. (34)
Так как х, = Ьк + (к(Ь,х,,х2к), то с учётом формулы (33) линеаризация (32) приводит к условию для нормального напряжения
ди3 ди3
— Рк + 2р, V, дх, = ркд(Ьк + Ск — 8,х1к + 8,х\) — Ра — ркдЬк — Рк + 2ркV,дх = —Ра. Отсюда следует, что
ди3
—Рк + 2р,Vкдх = —ркд(Ск — 8кхк + 8кх2,) (на Г,). (35)
Также на Гк должно быть выполнено линеаризованное кинематическое условие
дС,
дЬ
% = к (36)
с условием нормировки
У (к —Гк = 0. (37)
Гк
Для полной постановки задачи еще необходимо задать условия связи ——
-Р2,8к = Р2Шк, —83к = ¿3, к =1,2, (38)
и начальные данные
ик(0,х)= и°(х), х Е «к, шк(0) = ¿¿2°, (39)
Ск(0, х) = С0(х), х Е Гк, /к(0) = 8°, к =1, 2. (40)
Таким образом, полная постановка начально-краевой задачи состоит в решении уравнений (25), (26), (28)-(30) с краевыми и начальными условиями (34)-(39).
3. Закон баланса полной энергии
Будем считать, что поставленная задача имеет классическое решение, т. е. все функции в уравнениях, граничных и начальных условиях непрерывны относительно своих переменных. Выведем закон баланса полной энергии исследуемой гидромеханической системы.
Для этого обе части уравнений (24), (26) умножим скалярно на ¿¿1 и ¿¿2 соответственно, а обе части уравнений (28)-(29) умножим скалярно на и1 и и2, а затем проинтегрируем по областям П и П2. Левые и правые части полученных четырех соотношений сложим.
Заметим, что некоторые группы слагаемых можно переписать в виде производных по £ от квадратичных функционалов в виде интегралов по областям Пк и О к (с учетом введенного выше правила для интегралов / (.. .)<тк). Так, слагаемые, содержащие множитель р\, имеют вид
I / П х ^Цт■ ¿1 + г1 х ^х Г^ | ■ (Л 1 +
+/ (д~ж+х ■ =1 р1 И^ х Л1+и1№,
Пх ' П1
а соответствующий интеграл по О1 приобретает окончательно такой вид
2<< j х г! + щ^т1.
С1
Соответственно преобразуются группы слагаемых по областям Пк и Ок при к = 2. В сумме они образуют слагаемое
2<<£ У 1^1 х ^ + ¿2 х Л2 + «2|2^т2.
Будем использовать первую формулу Грина для векторного оператора Лапласа и соленоидальных векторных полей в области П с границей д П = Г и Б (см. [4], с. 115, а также [6], с. 62):
У &(—уАи + Ур) <П = ^Е(гг, и) — У ^ VI< Г, г,и € (П). (41) п г
Здесь билинейная форма Е(v,u) := 2 I
3
Е Tjk(V)Tjk(U) lj,k=1
dvj dvk
d Q, jw- dx + ш, (42>
Q
задаёт скалярное произведение и порождает норму, эквивалентную стандартной (согласно неравенству Корна) в пространстве JlS(Q) := {u E H 1(Q) : divu = 0, u = 0 (на S)}. Эта норма определяет скорость диссипации энергии в к-той жидкости.
С учётом формулы Грина (42) для решений задачи uk будем иметь соотношения
/f dZ
/ • (-уkAuk + Vpk) d Qk = уkEk(u/k,/) + pkg (Zk - Skxk + S\xl) d rk =
Qk rk
= ykEk(uk,uk) + ^r I dfj|Zk|2drk I + pkg J(-/kxk + ¿kxl)drk, (43)
V rk J rk
где yk := PkVk > 0 — коэффициенты динамических вязкостей жидкостей. Учитывая также формулы (38) и соотношение
/d/ (' dZ d ( f
(ek x rk)Zk drk • -t + -Z- (-/kxk + $kxk) d rk = dt I Zk(-/kxk + $kxk) drk
rk rk Vk
после преобразований получаем закон баланса полной энергии
1 ' - ■ - ,'2dm1 + J L_: w / 1 w " 1 ^ |2'
Gi G2
+ 2gjA (m1l1 +m2h1)lP2/1l2+m2hP^Y, Pk I (|Zk|2 + 2Zk(-kxk + 5kx2k)) dTk 1 k=1 rk
2
2
2dt^ I №1 x /1 + Щ1 dm1 + I 1ш1 xh1 + /2 x /2 + 112I dm2 f +
- E PkEk (щ ,uk) + а^ш^2 + a2luj2 - ¿¿1I2 f + E Mk • ¿k + E Pk /k • uk dQk.
k=1 k=1 k=1 Qk
(44)
Первое слагаемое в левой части, стоящее в фигурных скобках, есть кинетическая энергия системы, так как Ш1 х г х + и = щ, хН\ + ьо2 х г 2 + и2 = ь2. Второе слагаемое слева в фигурных скобках — потенциальная энергия системы сочленённых тел, отсчитываемая от состояния покоя. Справа в (44) стоит мощность сил трения, мощность внешних сил, обусловленная действием дополнительных к гравитационным
силам /1, /2, /3 соответственно, а также мощность моментов М1, М2 и М3, которые выражаются через эти силы.
4. Постановка задачи в терминах полей перемещений. Применение метода ортогонального проектирования
^ „ „ ^ д1/к Введем вместо неизвестных полей скоростей поля перемещении г/к : —^— = ик.
дЬ
Также всюду заменим угловые скорости ¿¿к на производные от угловых перемещений С/
. Тогда с учетом кинематического условия (36) от уравнений (25), (26) приходим к уравнениям в С3:
С2 Г и С2 Г
— (/1 х и1 х /1)Сш1 + р1 /1 х г/1 +
а1 пх
и (с2/1 и I С2/2 Я2/^, ^
+ //*1 х~—гх 111 + гг-х/2 + Ст2+
а2 4 7
+ а СсЬ/1 - аСе" - /1) + 9 (т^1 + Ш2^1) Р2/1 - др1 [(е3 х П)/3 —Г = М1(Ь).
Гх
(45)
—2 Г -* [ сР/ -> сР [ С
с— /2 х (/2 х/2)Ст2 + /2 х (-—^ хЛ,1)Ст2 + р2 — /2 х /2—^2 + «2 — (/2 -/1) +
+ дт2/2Р2/2 - 9Р2 У (е23 х г^Ц —Г = М2(Ь). (46) Г2
Уравнения (28)-(30) можно переписать в следующей форме.
д2г/1 С2/1 ^ дг/1
р1
дЬ2 11 СЬ2 1 ^ 1 ^ дЬ
(в ), (47;
(в (48
к= : 1, 2. (49
д2 г/2 / С2/1 и С2/2 Л ^ . дг/2
+ х 111 + Ь- х Г2) = -УР2 + + Р2'
div г/к = 0 (в Пк )
Граничные условия (31), (34)-(36) можно переписать следующим образом:
г/к = 0 (на Бк ) , к = 1, 2. (50)
"кit (g + Ц) = 0 (на rk^ 2). (51)
д dw3
Pk- 2"kQtdjk = Pkg(Zk- 6kxk+tkxk) (на rk). (52)
Zk = wk |rk =: Ink WWk (на rk). (53)
Для полной постановки задачи еще необходимо задать условие нормировки (37) и начальные условия:
Wk(0,x) = Wk0(x), x E Qk, (54)
dWk (0) = u0(x), x E Qk, (55)
dt
dl (0) = , /k (0) = /0k. (56)
Отметим, что начальное условие для функции Z(t, x) задавать не нужно, поскольку Zk(0,x) = YnkWWk(x), x E Го.
Естественное физическое требование конечности кинетической энергии приводит к тому, что поля скоростей / (и перемещений WWк) должны принадлежать гильбертову пространству вектор-функций L2(Qk).
В связи с наличием свободных поверхностей Гк и твердых стенок Sk удобно использовать ортогональное разложение пространств L2(Qk) на следующие подпространства (см. [4], с. 106):
LL2(Qk) = Go,rk(Qk) Ф Jo,Sk(Qk), (57)
где
Go,rk(Qk) := {Wk E L2(Qk): Wk = Vvk, Vk = 0 (на Гк)} (58)
есть подпространство потенциальных полей с потенциалами, обращающимися в нуль на свободной поверхности Гк, а
Jo,sk (Qk) := {Wk E L2(Qk): div Wk = 0 (в Qk), Wk • no = 0 (на Sk)}, (59)
является подпространством соленоидальных полей с нулевой нормальной составляющей на твердой стенке Sk. Здесь операции div WWк и WWк •no понимаются в смысле обобщенных функций (см. [4], с. 100-102). Обозначим через P0,rk и P0,Sk ортопроек-торы, действующие из L2(Qk) на G0,rk(Qk) и J0,Sk(Qk) соответственно.
Пусть Vpk = Po,rkVpk + Po,SkVpk =: Vvk + Vpk, где Vvk E Go,rk (Qk), Vpk E Gh,Sk (Qk). Тогда, действуя на обе части уравнений (47), (48) проекторами P0,rk и P0,Sk, получим, что поля V'Vk однозначно определяются полями WWк и po в силу того, что составляющая Vk не входит в граничные условия (vk |гк = 0). При
этом поля г/к и рк удовлетворяют уравнениям
д2г/1 л . _ _ . дг/1 т*
Р1~0ЬЬГ + х /1 = + ^1^0,51 + Р1 /1 (в П1),
(60)
д2гг2 / С2/1 / —2б2^\ — п дг/2 „ / / ^ ч
Р2~QЬ-Г + Р2"СЬ^ х 1ц + "СЬ^ х /И = -У1?2 + ^2р 0,52+ Р2Р0,^2 /2 (в П2).
(61)
Так как давление определяется с точностью до константы, то для определенности положим, что Jрк СГк = 0. В силу условия нормировки (37) и кинема-
Гк
тического условия (53) отсюда получаем, что J (к СГк = J и>3|Гк СГк = 0. Мож-
Гк Г к
/дг3
тгг |гк СГк = 0. Все данные подын-дх3
тегральные функции принадлежат подпространству Ь2,Гк := Ь2(Гк) 0 {1Гк}, где ¿2(Гк) := {р : ||р||2 := /Г |р|2 СГк < то}. Обозначим
через дк ортопроекторы из
¿2(Гк) на Ь2,Гк, тогда краевые условия (52) после действия этих ортопроекторов можно записать в виде
д дг 3
рк - 2^кдЪдх| = Рк9(^к + дк((р2/к х /к) ■ 43)) (на Гк). (62)
Будем искать неизвестное поле Урк в виде суммы Урк1 + Vpk2, где первая компонента давления удовлетворяет уравнению (для удобства вновь на время вернемся
„ - дг/к Л к полям скоростей ик = ——)
дЬ
Акик := -^кРоаДик + Урк1 = "к, (63)
причем
_^ д 2/^ С2/^ _^
01 := -Р^--Р1Ро,5^"СЬ2_ х /1 - Ур12 + Р1Ро,5х /ъ (64)
/ д2гг2 / С2^ С2//1 / \ ^ т* . .
"02 := - Р2Ро,52 I "СЬ^ х /2 + "СЬ^ х - Ур22 + Р2Ро,52/Г2, (65)
а также краевым условиям
ик = 0 (на 5к ) , к = 1, 2, (66)
dul di
^(щ + di) = ° (наrk'i= 1'2)' (67)
du3
Pki - 2/ikдщ = 0 (на Гк). (68)
При этом вторая компонента ^Vpk2 является решением задачи
Apk2 = 0 (в Qk)' (69)
dpk2 = 0 (на Sk), (70)
dnk
Pk2\rk = фk ■= Pkg(Zk + 0k ((P28k x fk) •el)) (на rk). (71)
Операторы Ak, действующие по закону (63), являются самосопряжёнными положительно определёнными операторами (операторами первой вспомогательной задачи С. Г. Крейна), порождёнными гильбертовой парой пространств
Sk (Qk); Jo,Sk (Qk)) (см. [4], с. 115 119). При этом для функций из областей опре деления этих операторов выполнены краевые условия (66)-(68) и соотношение
D(Ak) С D(Ak/2) = J0A(Qk) = {uk e Н i(Qk) ■ E(щi) < ж, divilk = 0, ilk\sk = o}
(72)
Согласно лемме 2.4 из статьи [7], с. 9, задачи (69)-(71) имеют единственное решение pk2 = Vkфk e Н\А (Qk) ■= {Pk e H 1(Qk) ■ JPk drk = 0, Apk = 0, d^Pk = 0}
rfc
тогда, как только правые части фk e Н\!2 ■= Н 1/2(Tk)П L2,rk, при этом оператор Vk ■ H'i2 ^ Н1 s (Qk) является ограниченным. Отсюда следует, что оператор
k k 1/2 Gkфk ■= Wkфk действует ограниченным образом из Нг/ в Gh, Sk(Qk).
Таким образом, при условии фk = pkg((k + 9k((P2fk X rk) • ekl)) e Н\!2 уравнения (60), (61) можно записать как дифференциальные уравнения в пространствах
Jo,Sk (Qk):
d2wi I d2ói Л . dwi , ^ , ,,„f
Pi~d£r + PiPo,Si I x ri + Ai-^ + PigGi(Yniwi + 9i((P2fi X ri) • e^) =
= PiPo,Si fi (в Qi), (73)
d2w2 I d252 d25i t* \ . dw2
P2^ + P2P°sA ^ X f2 + ^ Xhi + A2^+
+ p2gG2{jn2W2 + e2((P252 x r2) • e2)) = p2Po,s2 f2 (в Q2). (74
5. Сведение задачи к операторно-матричному уравнению в гильбертовом пространстве. Свойства операторных
коэффициентов
Запишем сейчас уравнения (73), (74) и (45), (46) в виде одного операторно-матричного уравнения. Для этого введем новые неизвестные элементы г/ := (г/1; гг2)4 е Н := ^ 0 и 5 := $; ^ € Я2 := С3 0 С3.
Введем вспомогательные операторы
Сц/ := (Р1г/1; Р2гг2)*,
С / = ^ Р1рЬ,51 (/1 х /1)
12 : \Р2Ро,52 (/2 х /2 + /1 х Я1) (Рх$ (/1 х г/1) + Р2 / (Я1 х г/2) С^
С21 г/ :=
V
Р2 / (/2 х г/2) С^2
П2
/
С22/ :=
( / / х (/'1 х /1)) Ст1 + / 11 х (/'1 х 11 + /'2 х /2) Ст2^ ах а2
/ /2 х (/2 х /2) Ст2 + / /2 х /1 х 11 Ст2
а2 а2
Апг/ := (А1/1; Агг2)4,
А22/ :=
а + а - а
-а2
а2
/1 /2
Виг/ := (Р1дС17„1г/1; Р29С27га2гг2)<
В12/ :=
Р1дС,1д1((Р2/1 х /1) ■ е3)
чР2дС,2д2((Р2/2 х /2) ■ 9Р1 /(е3 х Г1)7„1г/1 СГД
В21г/ :=
Гх
-9Р2 / (е3 х Г2)7„2гЯ2 СГ2
Г2
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80) (81) (82)
(83)
(84)
В22/ := (д(т1/1 + т211)Р2/1; дт2/2Р2/2)*. С помощью введенных операторов задача сводится к исследованию дифференциально-операторного уравнения второго порядка в пространстве Н := Я1 0 Я2 :
сС+ А СХ + ВХ = &, (85)
СЬ2 СЬ
где неизвестным является вектор-столбец X = (г/; удовлетворяющий начальным условиям
X(0) = (г/0; гг?; /»; й?)4 =: X0, Х'(0) = (и?; Щ; /?; с/?)4 =: X^ (86)
Здесь введены элемент & := (р^о,,^ /ъ р2Р0,52 /2; Л^х (¿); М2(£))4 и операторные матрицы
С:= (С11 С1^ , А := (А" А') , В:= (В" ' ^
уС21 С22у у 0 А22у уВ21 В22у
Лемма 1. Оператор А на области определения &(А) ф &(А2) ф С3 ф С3 является самосопряжённым положительно определённым оператором с дискретным спектром.
Доказательство. Действительно, в разложении Н = /0,51 (П^ф/^(П2)ф(С3)2 оператор имеет диагональный вид. Так как операторы А являются самосопряжёнными положительно определёнными операторами с дискретным спектром, то для доказательства достаточно проверить, что таковым является оператор А22. Поскольку он действует в конечномерном пространстве, то достаточно доказать его положительность. Последнее следует из тождества (А22/ *) = а^^ |2 + а2|*2 — > 0. □
Лемма 2. Оператор С является положительным ограниченным и ограниченно обратимым оператором в Н.
Доказательство. Ограниченность оператора С в Н следует непосредственно из определений операторов С^. Свойство положительной определенности можно установить, преобразуя выражение для его квадратичной формы.
(С^^) = ро1 У |/1 х /1|2 + р^ |/1 х /1 + г/112
П01 П1
+ I* х й, +х + р2 /х й, +/2 х /2 + «у» ¿п. > о.
П02 П2
Можно заметить, что форма обращается в нуль лишь при X = 0, т. е. С - положительный оператор. В силу того, что С11 ^ 0, а остальные компоненты операторной матрицы С являются конечномерными, оператор С положительно определён. □
Лемма 3. Операторы 7^ : (П) ^ ЯГ/2 и : ЯГ/2 ^ (П) С Л?,^ (П) являются ограниченными. При этом 7„к можно рассматривать как неограниченный оператор, действующий из (Пк) в Ь2,гк, полагая его равным нулю на /)(Пк).
Тогда сопряжённый к нему оператор, переводящий Ь2,Гк в ,1о,як (&к), будет расширением оператора Ск.
Доказательство. Его можно найти, например, в [5], с. 151-152. □
Следствие 1. Оператор Ск7пк является неограниченным неотрицательным оператором, действующим в ■йо5к (^к), при этом его область определения совпадает с
,й0,5к ).
Лемма 4. Операторы Вх2 и В21 являются взаимносопряженными ограниченными операторами.
Доказательство. Для доказательства достаточно доказать взаимную сопряжённость операторов Qk и Як, действующих по закону Як^к '■= Ск дк ((Р2 х Гк) • ек3) и переводящих С3 в ,10А (^к), и
Якййк : = - / (ек3 х Гк)^пкййк dTk = -/ дк(ейк3 х Гк)^пкййк ^Гк = Р2Якййк, перево-гк гк дящих (&к) в С3. Согласно лемме 3 имеем
(Як$к ,ййк )ь2(пк) = {С к дк ((Р2$к х г к) • е^ • ййк с1Пк =
^к)
Пк
: J дк((Р2$к х Гк) • ек)^пкйй к <1Гк = - у дк((Р2$к) • (Гк х ек))^пкййк dГk Гк Гк
= -Р2$к •у дк (Гк х ек)^пк йй к dГ к = (Р2$к,Якййк )сз = (к,Якй5к )сз.
Гк
□
Лемма 5. Оператор В с областью определения
& (В) := 51 (Пх) ф (^2) Ф С3 Ф С3 является самосопряжённым неограниченным оператором, действующим в Н. Он имеет вещественный спектр, состоящий не более чем из конечного числа отрицательных собственных значений. Оператор является неотрицательным, если выполнены условия
д(ш111 + Ш2к2) > I\д1(й1 х г?)\2 с1Гк, дш^к > IМТ2 х е^)\2 dГ2. (88) Г1 Г2
Доказательство. Все компоненты оператора В, кроме Вц, являются ограниченными операторами. В силу следствия 1 и леммы 4 оператор В является самосопряжённым на & (В).
Рассмотрим квадратичную форму оператора В. После преобразований получаем
(BX,X) = gGfc 7„fc ,i4) + g(mi/i + т^ХРЛЛ) + ^^2/2(^2^2,^2)+ k=i
2 2 „
+ Pkg(Gfc((P/k X rfc) ■ efc3),i4) - pfcg( / (el3 x rfc)7„fci4 drfc,4) =
--fc,
k=i k=i
rfc
y^Pfcg iYnfcwwk + P2lfc ■ ^(lfc X e3)|2 drfc+
к=1 г,
+ |Р2/1|2(д(т1/1 + Ш2Й2) — У |^1(/1 х е3)|2 ¿Гк) + |Р2/2|2(дШ2 ¿2 — ^(/2 X б| )|2 ¿Г) .
г1 г2
Отсюда следует, что квадратичная форма не принимает отрицательных значений при выполнении условий (88), то есть оператор В является неотрицательным. В общем случае форма может принимать отрицательные значения на подпространстве конечной размерности. Следовательно, отрицательных собственных у В может быть не более конечного числа. □
Лемма 6. Оператор ВА-1/2 является ограниченным оператором в Н.
Доказательство. Действительно, в разложении Н = [/^ (П1) ф (П2)] ф [С3] имеем
32
BA-1/2
11pigGi7rai 0 \ ^ //A-1/2 0 ^ „ \
у 0 P2gG27n^ 12 V B21 B22J
О 0
V 0 А-1'2/
V 0 Р2дС27„2А2 ' ) \ В21А-11'2 В22А-21/2У
1/2
Операторы С^т^А- ' являются ограниченными в (П) в силу того, что А21/2 ограниченно переводит Лэ,,^ (Пк) в о/?1^ (Пк), а согласно лемме 3 операторы Ск;7гак; действуют ограниченно из /) ^ (П&) в (П^). Остальные компоненты операторной матрицы В А-1/2, очевидно, ограничены. □
6. Теорема существования и единственности сильного решения
Для дальнейшего исследования уравнения (85) перепишем его в форме
^ = А2 ^ + В2 X + С, (89)
ас2 ас
где Ак := —С 1А, Вк := —С 1В. Будем рассматривать уравнение (89) в пространстве Же с эквивалентным скалярным произведением
[Х1,Х2]нс :=(СХх,Х2)ж. (90)
Из леммы 6 следует, что в уравнении (89) главным является оператор Ак, который является генератором сжимающей полугруппы (выполнено свойство &(Ак) С &(В0)). Данное дифференциальное уравнение (следуя терминологии С. Г. Крейна) является абстрактным параболическим. Его разрешимость можно доказать, основываясь на абстрактных результатах монографии [8], гл. 3. Также оно попадает в класс сильно демпфированных линейных динамических систем, которые рассматривались в [9] и [10].
Определение 1. Будем назвать сильным решением на отрезке [0; Т] задачи Ко-ши (89) с заданными начальными данными X(0),Х'(0) такую функцию X(г), что X(г) е С2([0; Т]; Же), А,X'(г), ВоХ(г) е С([0; Т]; Же), выполнены начальные условия и уравнение (89) для любого г е [0; Т].
Теорема 1. Задача Коши (89) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т], если выполнены условия
X0 е & (Во), X1 е & (Ао), С-1^ е W¡([0;; Т]; Ж), (91)
где W1([0;; Т]; Ж) является банаховым пространством с нормой
^¿к=0 \ Jо
С 1([0; Т]; Ж).
Ек=0 (¡0 \\№(кКг)\\р dt) , заключенным между С([0; Т]; Ж) и
Доказательство. Доказательство можно найти в [10], п 3.1.3. Там установлен более общий результат о разрешимости задачи Коши с ограниченными снизу операторными коэффициентами и главным оператором при первой производной. □
Теорема 2. Исходная начально-краевая задача (45)-(56) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т] (все слагаемые в уравнениях являются непрерывными функциями времени в соответствующем гильбертовом пространстве), как только ййк,,гРк е &(Ак), ёк,,ш0 е С3. При этом достаточно, чтобы правые части удовлетворяли условиям: РоА1к е С 1([0; Т]; ЗкА(^к)), М(г) е С 1([0; Т]; С3).
7. Спектральные свойства задачи
Будем искать нетривиальные решения соответствующей однородной задачи (85) в виде X(г) = е-ХЬХ. Тогда собственные значения задачи являются таковыми для
пучка
¿2(А^ :=(А2С — АА + В^ = 0. (92)
Отметим сразу, что А = 0 может являться собственным значением задачи, если КегВ = {0}. В силу дискретности спектра оператора В нулевое собственное значение может иметь лишь конечную кратность.
Если А = 0, то от пучка ¿2(А) (с неограниченными операторами) после замены У := А^ можно перейти к задаче для пучка
& (А) := I — ААс — 1 ВА = 0, СА := А-1/2СА-1/2, ВА := А-1/2ВА-1/2. (93)
А
Так как оператор ВА-1/2 ограничен, а А-1/2 компактен в Н, то операторы Са и Ва являются компактными самосопряжёнными операторами в Н. Следовательно, пучок & (А) является хорошо известным пучком С. Г. Крейна.
Для операторов Ад. известна асимптотическая формула для собственных значе-
I -2/3
А„(Ад) = п2/3[1 + о(1)], п ^то, (94)
1/2
доказанная Ж. Метевье в [11]. Отсюда следует, что операторы А- 1 е вр при р > 3. Тогда при тех же р > 3 имеем
а-"2 = (А-01/2 А-,"=) е А-1/2 = (А-;/2 А--) е вр. (95)
Последнее верно в силу того, что оператор А-2 / является конечномерным, т. е. имеет конечное число собственных значений. Так как В А-1/2 е & (Н), то оператор ВА е вр при р > 3. При этом СА и А-1 е вр при р > 3/2.
Используя теорему о локализации и асимптотике собственных значений пучка С. Г. Крейна (см. [4], п. 7.2, [12], а также [13]), получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Спектр пучка (93) состоит из двух ветвей положительных собственных значений с предельными точками 0 и не более чем из конечного числа невещественных пар комплексно сопряженных собственных значений в правой полуплоскости, а также конечного числа нулевых и отрицательных собственных значений. При выполнении условий (88) задача не имеет отрицательных собственных значений, т. е. гидромеханическая система является устойчивой.
1. Если
4||CaII-IIBAII < 1, (96)
то задача не имеет невещественных собственных значений, для ветвей положительных собственных значений выполнены асимптотические формулы
A+ = Afc(C-1)[1 + o(1)] k ^то, A- = Afc(Ba)[1 + o(1)], k у то. (97)
При этом {A+}r=i С [г+ +<то), {A-}r=i С (0, r_], где
r± = (1 ± V1 - 4|Ca||-|Ba||)/(2|CaII). (98)
При этом число отрицательных собственных значений совпадает с учетом кратности соответственно с количеством отрицательных собственных значений операторов BA и B.
2. Если 1 < 4||CaII ■ ||BaII, то задача может иметь конечное число невещественных собственных значений, расположенных зеркально относительно вещественной оси в секторе {A G C : Re A > r+, |A| < r_}.
Доказательство. Доказательство основных результатов теоремы можно найти в [12] (теоремы 2.3.6. и 3.2.7). Количество нулевых собственных значений совпадает с конечной размерностью dimKer Ba = dimKer B. Утверждение о том, что все невещественные собственные значения лежат в правой комплексной полуплоскости, а число отрицательных собственных значений конечно, доказано в работах [16], [17]. Там же на основе теоремы Ю. Ш. Абрамова (см. [14] и [15]) доказано, что при выполнении условия (96) число отрицательных собственных значений задачи совпадает с учетом
кратности с количеством отрицательных собственных значений операторов BA и B.
□
Определение 2. Будем говорить, следуя В. А. Пригорскому (см. [18]), что базис Рисса {^га}~=1 С H является p-базисом (0 < p < то) гильбертова пространства H, если
^ = (I + T)рга, n G N, где T G Sp, а _ ортонормированный базис H.
Справедливо утверждение, доказанное Н. Д. Копачевским (см. [19], [20], [12]).
Теорема 4 (о p-базисности собственных элементов пучка С. Г. Крейна). Пусть для пучка С. Г. Крейна L(A) = I — AA — A-1B выполнены условия
A = A* G &PA(H), B = B* G &PB(H), Ker A = {0}, dimH := dimKer B > 0, dimH := dim{H Ö H0} = то, 4||A|| ■ ||B || < 1, r± = (1 ± V1 — 4||A||.||B||)/(2||A||).
Тогда система собственных элементов, отвечающая собственным значениям из отрезка [-r-,r-], после проектирования на H образует p-базис в H при
Р > P0, P— = Р~А + P~Bl.
При тех же p система собственных элементов, отвечающая вещественным собственным значениям вне интервала (-r+,r+), образует p-базис в H.
Следствие 2. Пусть числа r± заданы формулами (98). Если для пучка (93) выполнено свойство
4\\CaU-IBAII < 1, (99)
то система собственных элементов, отвечающая собственным значениям из отрезка [-rB,rB], после проектирования на H = H 0 Kerобразует p-базис в H при
p>po = (?>-1 + (3/2)-1)-1 = 1.
При тех же p система собственных элементов, отвечающая вещественным собственным значениям вне интервала (-r+,r+), образует p-базис в H (отметим, что при невыполнении свойства (99) соответствующие системы собственных элементов образуют p-базисы с конечным дефектом).
Описок литературы
1. Батыр, Э. И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость / Э. И. Батыр // Динамические системы. — 2001. — вып. 17. — C. 120-125.
BATYR, E. I. (2013) Small motions of a system of joined bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Dynamic systems. Vol. 17. p. 120-125.
2. Батыр, Э. И. Малые колебания тел с полостями, заполненными несжимаемой вязкой жидкостью / Э. И. Батыр, О. А. Дудик, Н. Д. Копачевский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Актуальные проблемы математической гидродинамики. — 2009. — Т. 49. — C. 15-29.
BATYR, E. I., DUDIK, O. A., KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Small oscillations of bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Izvestiya VUZ. North-Caucasus region. Actual problems of mathematical hydrodynamics. Vol. 49. p. 15-29.
3. Батыр, Э. И. Малые движения и нормальные колебания системы сочлененных гиростатов / Э. И. Батыр, Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фундам. направления. — 2013. — Т. 49. — C. 5-88.
BATYR, E. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Small motions and normal oscillations in systems of connected gyrostats. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 49. p. 5-88.
4. Копачевский, Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. — Москва: Наука, 1989. — 416 с.
KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (1989) Operator methods in linear hydrodynamics. Evolution and spectral problems. Moscow: Nauka. 416 p.
5. KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (2003) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146). Birkhauser Verlag. - Basel. - Boston. - Berlin. 444 p.
6. Азизов, Т. Я. Абстрактная формула Грина и её приложения / Т. Я. Азизов, Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ТНУ, 2011. — 136 с.
AZIZOV, T. Ya., KOPACHEVSKY, N. D. (2011) Abstract Green's formula and its applications. Simferopol: TNU. 136 p.
7. AZIZOV, T. Ya., HARDT V., KOPACHEVSKY, N. D., MENNICKEN R. (2003) On the Problem of Small Motions and Normal Oscillations of a Viscous Fluid in a Partially Filled Container. Math. Nachr.. Vol. 248-249. p. 3-39.
8. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — Москва: Наука, 1967. — 464 с.
KREIN, S. G. (1967) Linear differential equations in Banach space. Moscow: Nauka. 464 p.
9. Азизов, Т. Я. Приложения индефинитной метрики / Т. Я. Азизов, Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ДИАЙПИ, 2014. — 276 c.
AZIZOV, T. Ya., KOPACHEVSKY, N. D. (2014) Applications of indefinite metrics. Simferopol: DIAIPI. 276 p.
10. Копачевский, Н. Д. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве: специальный курс лекций / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ФЛП «Бондарен-ко О. А.», 2012. — 152 c.
KOPACHEVSKY, N. D. (2012) Integrodifferential equations of Volterra in Hilbert space: special course of lections. Simferopol: FLP "Bondarenko O.A.". 152 p.
11. MOTIVIER, G. (1978) Valeurs propres d'operateurs definis par le restriction de systemes variationalles a des sousespaces. J. Math. Pures et Appl.. Vol. 57(2). p. 133-156.
12. Копачевский, Н. Д. Спектральная теория операторных пучков / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: Форма, 2009. — 127 c.
KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Spectral theory of operator pencils. Simferopol: Forma. 127 p.
13. Кожевников, А. Н. Раздельная асимптотика двух серий собственных значений одной эллиптической краевой задачи / А. Н. Кожевников // Матем. заметки. — 1977. — Т. 22, № 5. — C. 699-710.
KOZHEVNIKOV, A. N. (1977) Splitted asymptotics of two sets of eigenvalues of an elliptic boundary value problem. Mathematical Notes. Vol. 22, no. 5. p. 699-710.
14. Абрамов, Ю. Ш. Вариационные методы в теории операторных пучков. Спектральная оптимизация / Ю. Ш. Абрамов. — Л.: Издательство ЛГУ, 1983. — 180 с.
ABRAMOV, Yu. Sh. (1983) Variational methods in theory of operator pencils. Spectral optimizations. Leningrad: LSU. 180 p.
15. Абрамов, Ю. Ш. Вариационные принципы для нелинейных задач на собственные значения / Ю. Ш. Абрамов // Функц. анализ и его прил. — 1973. — Т. 7, вып. 4. — C. 76—77. ABRAMOV, Yu. Sh. (1973) Variational principes for nonlinear eigenvalue problems. Functional analysis and its applications. Vol. 7, no. 4. p. 76-77.
16. Войтицкий, В. И. О полном линейном дифференциальном уравнении второго порядка в гильбертовом пространстве с главным оператором диссипации энергии и ограниченным снизу оператором потенциальной энергии / В. И. Войтицкий // Математика, информатика, компьютерные науки, моделирование, образование: сборник научных трудов конференции МИКМО - 2017. -2017. (в печати)
VOYTITSKY, V. I. (2017) On full linear differential equation of second order in Hilbert space with main operator of dissipation and bounded below operator of potential energy Proceedings of the conference MICMO-2017: mathematics, informatics, computer science, modelling. (in print)
17. Войтицкий, В. И. Спектральные задачи, порожденные проблемой малых движений линейных сильно демпфированных динамических систем / В. И. Войтицкий // Сборник материалов международной конференции «XXVIII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КР0МШ-2017)». Секции 1-4. — 2017. — C. 32-34. VOYTITSKY, V. I. (2017) Spectral problems generated by the problem od small motions of strong demphed dynamical systems. Materials of the conference XXVIII Crimean Autumn Mathematical School-symposium on spectral and evolution problems (KROMSH-2017). Sections 1-4. p. 32-34.
18. Пригорский, В. А. О некоторых классах базисов гильбертова пространства / В. А. Пригорский // Успехи мат. наук.. — 1965. — Т. 20, № 5, вып. 125. — C. 231—236. PRIGORSKY, V. A. (1965) On some classes of basis in Hilbert space. Russian Mathematical Surveys. Vol. 20, no. 5, issue 125. p. 231-236.
19. Копачевский, Н. Д. О свойствах базисности системы собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка I — XA — Х-1 Б / Н. Д. Копачевский // Функциональный анализ и его приложения. — 1981. — Т. 15, вып. 2. — C. 77-78.
KOPACHEVSKY, N. D. (1981) On basis property of a system of root vectors of selfadjoint operator pencil I — XA — X-1B. Functional analysis and its applications. Vol. 15, issue 2. p. 5-88.
20. Копачевский, Н. Д. О p-базисности системы корневых векторов самосопряженного операторного пучка I — XA — Х-1Б / Н. Д. Копачевский // Сборник научных трудов «Функциональный анализ и прикл. математика». — К.: Наукова думка, 1982. — C. 43-55.
KOPACHEVSKY, N. D. (1982) On p-basis property of a system of root vectors of selfadjoint operator pencil I — XA — X-1B. Proceedings "Functional analysis and applied mathematics". Kiev: Naukova dumka. p. 43-55.
