О малых движениях физического маятника с полостью, заполненной системой трех однородных несмешивающихся вязких жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 517.98, 517.955, 532.5 MSC2010: 70E55, 35M33

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ СИСТЕМОЙ ТРЕХ ОДНОРОДНЫХ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ1

© В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский

крымский федеральный университет им. в.и. вернадского таврическая академия факультет математики и информатики

просп. акад. Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: [email protected], [email protected]

On Small Motions of a Physical Pendulum with Cavity Filled with a System of Three Homogeneous Immiscible Viscous Fluids.

Voytitsky V. I., Kopachevsky N. D.

Abstract. Let G be a physical pendulum of mass m. Suppose that it has a cavity filled with a system of three homogeneous immiscible viscous fluids situated in domains Qi, Q and Q3 with free boundaries Гх(£), ^(t) and rigid parts S±, ^2,^3. Let pi, P2, рз be densities of fluids, and №i, №2, №3 be dynamical viscosities. We suppose that the system oscillates (with friction) near the fixed point O of spherical hinge.

3

We use the vector of small angular displacement S(t) = ^ Sj (t)ej to determine motion of the

j=i

removable coordinate system Oxix2xi (connected with pendulum) relative to stable coordinate system Ox 1x2x3. Then angular velocity C3(t) of body G is equal to d5/dt.

Let Uk(x,t) and pk(x,t) (k = 1, 2, 3) be fields of fluids velocities and dynamical pressures in Qk (in removable coordinate systems), Zj(x,t) (j = 1, 2) are functions of normal deviation of Г (t) from equilibrium plane surfaces Tj (0) = Tj. Then we consider linearized initial boundary value problem (2) (4).

We formulate the law of full energy balance. Using the method of orthogonal projections to the necessary Hilbert spaces and studying auxiliary boundary value problems initial problem can be reduced to the Cauchy problem for the deferential-operator equation (19) (20)

Ci di + Aizi + gBi2Z2 = fi(t), zi(0) = z0,

gC2 dz2 + gB2izi = 0, z2(0) = z0,

1Даппая работа выполнена при частичной поддержке первого соавтора грантом для молодых учё-

ных из средств программы развития Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского на 2015-2024 гг., и второго соавтора грантом Министерства образования и науки РФ (проект

14.Z50.31.0037).

in Hilbert space И : = Их ф H2 := (<Л),5,г(^)фС3)ф(£2,г ФС2). Here operator of kinetic energy Cx is bounded and positive definite, operator of potential energy C2 is bounded and selfadjoint, Ai is unbounded positive definite, B12 and B21 are unbounded skew self-adjoint operators. General properties of such problem are studied earlier in paper [4]. It has a unique strong solution for t £ [0; T] if the natural conditions for initial data and function fi(t) are satisfied. As a corollary we obtain theorem on solvability of initial boundary value problem.

Corresponding spectral problem reduces to the operator pencil of S. Krein. The spectrum consists of A = 0, two branches of positive eigenvalues with limit points +0 and and probably finite number of negative and complex eigenvalues. The systems of eigenelements corresponding to each of positive branches of eigenvalues form so called p-basis in Hilbert space Hi (probably with finite defect). The number of negative eigenvalues in problem is equal to number of negative eigenvalues of the operator of potential energy C2.

This work was partially supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (grant 14.Z50.31.0037), and by the V.I. Vernadsky Crimean Federal University development program for 2015 2024 within the framework of grant support for young scientists.

Key words: physical pendulum, viscous fluid, auxiliary boundary value problems, strong solution, self-adjoint operator, operator pencil of S. Krein.

Введение

Данная работа посвящена изучению проблемы малых движений и нормальных колебаний физического маятника с полостью, целиком заполненной системой трёх несмешивающихся однородных вязких жидкостей. Данная линеаризованная постановка задачи является новой и осуществляется на основе предыдущих работ соавторов [1]-[6], где изучались задачи для сочленённых физических маятников, частично заполненных однородной несжимаемой жидкостью, а также сопутствующие дифференциально-операторные уравнения. Данные исследования являются продолжением работ Н. Д. Копачевского и Э. И. Батыра, см. [7]-[9], посвящённых проблемам малых движений сочлененных тел-гиростатов, целиком заполненных идеальной либо вязкой жидкостью. Отметим, что важные результаты в теории колебаний тел, соединенных сферическими или цилиндрическими шарнирами в произвольном порядке, получил П. В. Харламов. Близкие задачи исследовал в докторской диссертации Ю. Н. Кононов.

Исследованию малых колебаний маятника с полостью, полностью либо частично заполненной идеальной или вязкой жидкостью либо системой из несмешивающихся жидкостей, посвящено большое количество работ. В качестве основных можно отметить работы С. Г. Крейна и Н. Н. Моисеева, Г. А. Моисеева, Н. Д. Копачевского,

О. Б. Иевлевой, П. С. Краснощекова, Ф. Л. Черноусько, И. А. Луковского, М. Я. Бар-няка и др. Операторный подход к изучению линейных проблем гидродинамики вязкой жидкости изложен в монографиях Н.Д. Копачевского с соавторами [10], [11].

1. Постановка начально-краевой задачи. Закон баланса полной

ЭНЕРГИИ

Пусть имеется тело С массы т. Внутри этого тела имеется одна полость, полностью заполненная системой трёх несмешивающихся однородных несжимаемых вязких жидкостей. Пусть в состоянии равновесия жидкости с плотностями Р\ > р2 > р3 > 0 занимают соответственно области и разделённые плоски-

ми горизонтальными поверхностями Г1 и Г2, перпендикулярными ускорению свободного падения д и ограниченными твёрдыми стенками ,Б2,Б3. А в процессе малых колебаний жидкости относительно неподвижной точки закрепления О (сферический шарнир) занимают области (£), ^3(£), см. рисунок.

Будем считать, что на данную гидромеханическую систему в состоянии покоя действует однородное гравитационное поле д, а в процессе малых движений — силовое поле Г := д + f(t, х), где $(1, х) - малая динамическая добавка к гравитационному полю.

Для описания малых движений системы введём неподвижную систему координат Ох1х2х3 с ортами е^ (] = 1, 2,3), так, чтобы д = —де3. Кроме того, введём подвижную систему координат Ох1 х^3, жёстко связанную с телом. Единичные векторы вдоль осей Ох1 обозначим через е(. Из условия равновесия следует, что в состоянии покоя центр масс маятника находится на оси Ох3 = Ох3.

Положение подвижной системы координат Ox\x\x\ относительно неподвижной системы Ox1x2x3 в процессе малых движений будем задавать малым вектором уг-

3

лового перемещения (см. [10], с. 130) 5(г) = ^ 53(г)в(. Тогда угловая скорость Ш(г)

3 = 1

тела будет равна ¿5/(И, а угловое ускорение этого тела — величине ¿25/в112 = ¿Ш/а. Введем обозначение

I(.. .)вт ■■= !(.. .)ро(^о + ](..-)Р1(^1 + .)р2вП2 + .)рзвПз, (1)

С Пп П1 П2 П3

где По С О — область, занятая твердым телом плотности р0. Обозначим через Лк (к = 0,1, 2, 3) — радиус-вектор, идущий из полюса О в любую точку области Пк. Тогда векторы абсолютных скоростей V произвольной точки тела связаны с малыми векторами относительных скоростей и по формуле V = ш х Л + и.

Будем считать, что момент силы трения в шарнире пропорционален угловой скорости ш с коэффициентом а > 0. Вычисляя кинетический момент гидромеханической системы и сумму моментов всех сил, приложенных к телу О, после линеаризации в подвижной системе координат получаем уравнение изменения кинетического момента относительно точки О:

+

Ро / 5о х (х 5о) ¿По + ^ рк I гк х (¿Ш х гк) ¿Пк

к=1

Пп Пк

3 С —и С

+ У^ Рк 5к х -ц- ¿Пк + аш + дт\Р25- д (р1 - р2) (в? х г^^ ¿Г1-

к 1 П

- д (р2 - Рз) [Л х г2)(2 ¿Г2 = ^ Рк I 5к х 5 ¿Пк =: М(г), (2)

3

3

Г2 к=о пк

где первое слагаемое в квадратных скобках (обозначаемое далее ЛШ) является тензором инерции тела с жидкостями относительно точки О.

Здесь и далее через ^ Е Гк) обозначены функции, описывающие малые

отклонения свободных поверхностей Г3- (г) (] = 1, 2) вдоль нормалей, относительно плоских равновесных поверхностей Г3-. Из условия сохранения объёмов жидкостей во время колебаний следует, что ^ ¿Г3- = 0. Также использованы обозначения:

I := 10(С| — расстояние от точки подвеса О до центра масс С тела О, Р255 := ^ 53в(,

3=1

!к := 51пк.

С учетом вращения около неподвижной точки, малые движения жидкостей описываются линеаризованными уравнениями Навье-Стокса в подвижной системе координат Ох^х3:

С

"сс ди \

РИ Х Гк + = + ^^к + Рк}к, Шк = 0 (в 0,к ), к = 1, 2, 3, (3)

где рк — малое поле динамических давлений, > 0 — заданные динамические вязкости жидкостей.

На твердых стенках считаем выполненными условия прилипания, т. е.

ик = 0 (на Б к).

На свободных границах раздела Г выполнены кинематические условия

д t

= Ui ■ ni = U2 ■ ni, ni = е3 j Zi = 0; Y11U1 = Y12U2 (на Г1),

Г1

ддt2 = и ■ П2 = и ■ П2, П2 = е3; У С2 "Г2 = 0; 722^2 = 723^3 (на Г2 ).

Г2

Здесь и далее через 7укик (к = 1, 2, 3, j = 1,2) обозначен след поля скорости ик на Гу. Кроме того выполнены условия связи

"Р25 = РА "б3 = Л 3.

оа ой

Также на свободных границах выполнены динамические условия

^1^3(^1) - ^т^^) =0, j = 1, 2 (на Г1), (и2) - №33(^3) =0, j = 1, 2 (на Г2),

ч дик, ди2, где ТукЫ := —у + ттх,

[-Р1 + ^1Т33(г?1)] - [-Р2 + ^33(^2)] = -д(р1 - Р2) С1 + ^((Р^ Х Г1) ■ е13) (на Г1),

[—Р2 + ^33(^2)] - [-Р3 + ^33(^3)] = -д(р2 - Р3) С2 + ^((Р^ Х Г2) ■ е13) (на Г2).

Отметим, что в данных граничных условиях все слагаемые являются элементами соответствующих подпространств

¿2,г- := ¿2 (Г) е вр (1^}.

Через 63 обозначены ортопроекторы из ) на • С учётом сохранения объемов жидкостей (з € Р2,г., отсюда возникает естественное нормировочное условие для давлений рз € Н) П L2,Гj : = Н^ (").

Для полной постановки задачи необходимо также задать начальные условия:

ик(0,х) = й°(х), х € "к, к = 1, 2, 3, Сз (0,х) = (°(х), х € Г, 3 = 1,2,

¿5(0) = Л0, 5(0) = 5°. (4)

Будем считать, что поставленная задача имеет классическое решение, т. е. все функции в уравнениях, граничных и начальных условиях непрерывны относительно своих переменных. Выведем закон баланса полной энергии исследуемой гидромеханической системы.

Для этого обе части уравнения (2) умножим скалярно на ¿¿, а обе части уравнений (3) умножим скалярно соответственно на ик (к = 1, 2,3), а затем проинтегрируем по областям "к • Левые и правые части полученных четырех соотношений сложим.

С учётом первой формулы Грина для векторного оператора Лапласа и соленои-дальных векторных полей в областях "к с липшицевыми границами д"к = Гк и Бк (см. [10], с. 115, а также [12], с. 62):

/ Щ • (-№Айк + Чрк) <"к = РкЕк(щ, ик) - |гк(тзз(^кик) - Рк5зз) <Гк,

о Г 3—1

Ок гк

где билинейная форма

Ек (щ, ик) : = 2

з

щ, йк € \як ("к), (5)

дик дь1к

<"к, т„(.к)-.= дХ + дх, (6)

_тз1(ик )тзк (йк )

1—1

ок

определяет скорость диссипации энергии в жидкости "к и задаёт скалярное произведение в пространстве

—*1 —* 1 —*

("к) := {йк € Н ("к) : ¿¡уйк = 0, йк = 0 (на Бк)},

после преобразований получаем закон баланса полной энергии в дифференциальной форме

1 < | Р° / |Л Х Г°12 + ^ Рк } |Л Х Г* + йк|2 <"к > +

v Оо к—1 ок )

1 (pi - P2)

I |Zi + 6i((P2* xfi) ■ e3)|2 dri -J |0i((P25 xfi) -e3)|2 d^

IT1 Г1

+

+ (P2 P3)

I |Z2 + ^((A* x r2) ■ e3)|2 d^ -J ^((P^ X 7=2) ■ ^3)|2 d^

U2 Г2

+Ш/|Р2^|2}

{а\ш\2 + ^Ех(иь и) + (г?2, И2) + ^эЕ («з,«3)} + ^рк у /к•«к ^к + М(£) • с.

к 1

Первое слагаемое в левой части, стоящее в фигурных скобках, есть удвоенная кинетическая энергия системы. Второе слагаемое слева в фигурных скобках — потенциальная энергия гидромеханической системы, отсчитываемая от состояния покоя. Справа в фигурных скобках имеем мощность сил трения, остальными слагаемыми являются мощность внешних сил, обусловленная действием дополнительных к гравитационным силам Д, /2, /3 соответственно, а также мощность момента М, который выражается через эти силы.

2. ВЫБОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Пусть U := {Uk}|=i — набор полей скоростей в жидкостях Qk. Будем считать, что

3 С

U е L2(П) : (U, v)L2(n) = ^ Pk Uk ■ vk dQk,.

k i

Введём обозначение

Yn,kUk := Uk ■ nk.

С учётом условий прилипания и соленоидальности полей скоростей жидкостей имеем Uk е J0,sk(Qk) := {Uk е L2(fik) : divUk = 0 (Qk.), Yn,kUk = 0 (Sk)} , k = 1, 2, 3. Имеет место разложение (см. [10], с. 106)

L2 (Qk) = J0,Sk (Qk) ф Go,r (Qk),

где Go,r(Qk) := {V^k е L2(Qk) : <£>k = 0 (на Г)} (при этом считаем, что Г = ri (k =1), Г = ri U Г2 (k = 2), Г = Г2 (k = 3)). Введём вспомогательные гильбертовы пространства

Jo,s(Q) := {{Uk}I=i : Uk. е Jo,sfc(Qk)} , G 0,Г (Q) := Go (Qi) Ф Go ,Г1иГ2 (Q2) ф GJo,r2 (Q3),

3 3

■,з(П) :=(& ), (и, (п) ^ РкЕк(щ, щ).

к=1 ' к=1 В силу неравенства Корна билинейная форма Ек (ик, ик) определяет в пространстве 30 зк (^к) квадрат нормы, эквивалентной стандартной норме пространства Д,1(^). Отсюда из теорем вложения С. Л. Соболева следует (см. [10], с. 113) компактное вложение 30 3 С^С^ 3$,з (^). Данное вложение позволяет ввести шкалу гильбертовых пространств с порождающим оператором Ак : 30 8 (О, к) ^ (30Зк (О, к))*, для которого выполнены тождества

(ик, ^ (Пк) = (А1/2ик ,А\/2Щ . ^ (ад = (Щ ,АкУк . ^ (^).

Здесь последнее выражение являет собой значение функционала, определяемого элементом Акук € (30Зк(О, к))*, на элементе ик € 30Зк(&к).

Из вышесказанного несложно заключить, что гильбертовы пространства 30 3 и 30,зтакже образуют гильбертову пару с порождающим оператором А : = diag (ркАк)|=1, для которого выполнены тождества

(и ^^ (П) = (А1/ЧА1/2*)/0 (П) = ^2 рк Ек (ик, Лк) = ^ Рк (Ак/2ик ,Ак/2$к . ,5к (Пк) ' к=1 к=1

3

= (и,А^).Га,3 (П) =^2 (ик ,Рк АкЩ )Ха3к (пк), Ущ V € Л 3 (^).

3

1 ...........(Пк )' ' €

к=1

Введём теперь основные гильбертовы пространства:

■о ,з,г(^) := [и = {щ; и2\из} € 10,з(П) : Уп, 1^1 = 1п, 1^2 (Г1), 7Г1,2Щ = 1и,2Щ (Г2)} . ■о,з,г(^) и = {^1; из} € 3(П) : 711^1 = 712^2 (Г1), 722^2 = ЪзЩ (Г2)

Будем искать обобщенные решения начально-краевой задачи среди троек полей-скоростей и := {ик}к=1 € л/(1зГ(^) С 7о,з,г(^). Можно доказать, что пара пространств

(4

з,г(^); ■^о,з,г(^)) ЯвлЯетсЯ гилЬбертовой, с пороЖдаЮщим оператором который

является сужением оператора А = diag(рAk)к=1 с пространства 30 з на подпространство 30 з г(^), при этом выполнены тождества

з

С^ У).5Г(П) = (а41/2щ,А41/2{Т)/„,5,Г(П) = ^ РкЕк(ик, Ук) = (И,AÍV)/0)S)Г(П),

к=1

У и, У € 4,з,г(П). (7)

В работе [13] применительно к проблеме малых движений трёх вязкоупругих жидкостей в замкнутом сосуде использованы аналогичные гильбертовы пространства и выведены явные формулы, описывающие действия ортопроекторов

Po : Jo,s(fi) ^ Jc,s,r(fi), Pi : JC,s (fi ^ ЛадгФ)-Будем считать их далее заданными.

3. Вспомогательные краевые задачи и свойства операторных

КОЭФФИЦИЕНТОВ

Перепишем уравнения движения жидкостей (3) в виде дик ^сс _-,

~дГ + И Х Гк + Р- * Рк - ^кР- А«к = /к (в ^к). Подействуем на обе части данных уравнений соответствующими ортопроекторами Ро, : ¿2(^к) ^ (^к) (к = 1 2, 3). Получаем соотношение длЯ троек

{^д^} 3,^ + { ^ Х Гк) } + {р0,5к Р- Урк }3=1 - {РкР-Т1р0,5к Д«к }3к=1 =

3 k=1

= | Р0,5к /к

Обозначим Р0,5кр-1Урк =: Р-"1УрЗ. Действуя на обе части полученного соотношения ортопроектором Р0, получаем уравнение

d u f / d ^ \ 1 з

-U + P0 I PqÄ (x fkj J + P^p-1Vpk}k=i - Po {PkP-1Po,sfc Дг*}k=i =

=po I po,5fc /k| =: po I /k

Будем считать, что Po {p-1Vpk}k=1 = {p-1Vp1k}k=1 + {P-1 Vp2k}k=1, где наборы

{Uk}3=1, {p- Vp1k}k=1 являются решениями первой вспомогательной задачи

>k=1 + {Pfc1vp1k }k=1

po {PkP- 1po,Sk k + (Pk1vPik}k=i =

-f - 4^ (f x }k=1 - {Pk1VP2k}3=. + po {Л}k=1, (8)

Uk = 0 (на Sk),

P1Tj3(U1) - Р2Т'зС"2) =0, j = 1, 2 (на Г1), P2Tj3(U2) - РзТ^з(из) =0, j = 1, 2 (на Г2),

[-Р11 + Р1 Тзз(их)] - [ Р12 + ^2^33(^2)] = 0 (на Г1),

[ Р12 + Р2Тзз(и2)] - [-Р13 + РзТзз(из)] = 0 (на Г2) ,

а второй набор {p-1Vp2k }|,=1 является решением второй вспомогательной задачи для потенциалов (задачи Стеклова):

-Ap2fc = 0 (в ), =0 (на Sk), k = 1,2,3, (9)

о n

-1 dP21 _1 dP22 , -p v _1 dP22 _1 dP23 , r ч ,1Пч

Р-= Р- mr =: 6 (на Г1), Р- "dnr = Р- "dnr =: 6 (на Г2), (10)

P21 - P22 = (P1 - P2)c1 := g(P1 - Р2) C1 + ^((P/ x Г1) ■ e-j3) (на Г1) , (11)

P22 - P23 = (P2 - Рз)c~2 := g(P2 - Рз) C2 + ^((P/ x r2) ■ e3) (на Г2) . (12)

3.1. Преобразование кинематических граничных условий. Рассмотрим сначала вторую вспомогательную задачу. Пусть элементы £k известны, тогда согласно постановке они должны принадлежать классам (см., например [14], с. 95)

Яг"1/2 := (Н/2)* := (Я 1/2(Г) П L2,rj)*, j = 1, 2.

Тогда, рассматривая три задачи Неймана относительно неизвестных pj, с учетом обобщённой формулы Грина для оператора Лапласа (см., например, [15], с. 78) получаем, что каждая из этих задач имеет слабое решение, которое имеет вид

Р21= P1V11& + С1, Р2з|йа = -Рз^Э2^2 + С2, Р22 | = P2V226 - P2V21 £1. (13)

Здесь операторы Vj : Я_ 1/2 ^ Я 1(üi) являются ограниченными, сопряжёнными к операторам следа Yj, а c1,c2 — произвольные постоянные.

Отсюда граничные условия (11)-(12) можно переписать в виде операторного соотношения

/ P1Y11V11 + P2Y12V21 Р2^1 Y12V22 | | ^М = | (Р1 - Р2К1 |

У -Р2^2Y22V21 P2Y22V22 + РзY23V32J 1^2/ \у(Р2 - Рз)6)

Операторная матрица слева является положительным оператором (оператором Стеклова), действующим из Я—1/2 x Я—21/2 на сопряжённое пространство Я^/2 x Я^/2. Отсюда получаем, что существует ограниченная обратная к ней операторная матрица, зная которую, неизвестные поля давлений p2k можно найти по формулам (13).

Опираясь на вышесказанное, существует корректно заданный линейный ограниченный оператор G, который ставит в соответствие паре функций £ := {<j}2=1

решение второй вспомогательной задачи {р-1Ур2к}к=1 :

^С := {р-к^Р2к}к=1 : <2 х <2 ^ Уо,з,г(П). Это решение имеет вид

{р-1Ур2к}к=1 = дО{[С3 + дэ((Р25 х Т3) • ез)]}2=1. (14)

Введём еще оператор

ТпИ := {7п,1П1; Чп^}, 1п : ■о,з,г(^ Н-^2 х Н-"21/2. Лемма 1. Имеет место соотношение О* = {(рэ- — рэ+1)}2=17п.

Доказательство. Пусть ( = {(^}2=1 € Н-^2 х Н12, := {р-1Уфк}к=1 € Ло,з,г г) = {щ }к=1 € Ло,з,г (^). Тогда с учётом обобщённой формулы Гаусса-Остроградского для негладких полей (см, например, [12], с. 13)

(Уфк, Щ)/2(пк) + (Фк, ^Щ)ь2(Пк) = (1Фк, Щ • п)Ь2(дПк), € Ы^к), фк € Н 1(^к),

где 7 — это след элемента фк на всю границу д^к области , получаем, что для элементов щ € Ло,зк (&к) выполнено равенство

(ОС, П)/2(П) = р1 У р-1'Уф1 • П1 + р2 ! р-1 Vф2 • П2 ^2 + р^ р-1^Фз • Пз ^3 =

П1 П2 П3

= [(7l1ф1, 7п,1^1)Ь2(Г 1) — (712ф2, 7п,1П2)Ь2(Г 1)] + [(l22ф2, 1п,2П]2) ¿2(Г 2) — (Y23ф3, 7п,2^3)Ь2(Г 2)] = = (711ф1 — Т12ф2, 7п,1П1)ь2(Г 1) + (Т22ф2 — 72зфз, 1п,2П3^(Г2) =

= (р1 — р2)(Съ 1п,1Г]1)Ь2(Г 1) + (р2 — рз) (С2, 1п,2Г]2)Ь2(Г 2) = = (Сь (р1 — р2)7п,1п/1)Ь2(Г 1) + (С2, (р2 — р3)1п,2Г]2)Ь2(Г2) =: (С ^^(Г).

□

Введём оператор потенциальной энергии

( (р1 — р2)[С1 + д1((Р2<Гх п) •е3)] \

С¿2 = (р2 — рз)[С2 + д2((Р25 х Т2) • )] ^ (15)

\—(р1 — р2) /Г1 (е3 х п)С1 ^ — (р2 — рз) /Г2 (ё? х Г2К2 ^2 + т1Р25)

действующий в гильбертовом пространстве Н2 := Ь2,г 1 ф Ь2,г2 ф С2 на элементы

■¿2 = (С1; С2; Р2$У.

Лемма 2. При выполнении условия

(т1 — [(р1 — р2)в22) + (р2 — рз)в22)] (р1 — р2)в11 + (р2 — рз)в21) (р1 — р2)М2) + (р2 — рз)в(2) т1 — [(р1 — р2 )в11) + (р2 — рз)в(1)]

)

где в}к) := /г 0кжгк -Гк (7, I = 1, 2; к = 1, 2), система граничных условий

-О -С2 -

-ГТ - 7п,1ы1 = о, — - 7п,2И2 = 0, —. аг аг аг

эквивалентна системе условий

0С2

-г

7п,1И1 = 0, - 7п,2И2 = 0, -77^2^ - = 0

(Р1 - Р2) (Р2 - Р3)

-(Р1 - Р2) ^ (е13 X Г1) Г1

"-а +

_ -г - 7п,1И1

1 +

_ -г - 7п,2И2

--[(Р^ X 71) ■ е3] - 01 [(Р2^ X 71) ■ е3]

ОСх -г

а

7п,1ы1

02 [(Р^ X 72) ■ е3] - 02^ X 72) ■ е3]

-Г - (р2 - рз) J (ет X 72)

Г 2

аг

7п,2«2

= 0, = 0, аг2+

+т/(- ВД = 0.

Доказательство. В правую сторону импликация является очевидной, проверим её в левую сторону. Для этого обозначим

аС1 аС2 ^ 7 а 7

:= -г- - 7п,1ы1, ^2 := -гт - 7^2, 0 := -77Р^ - Р2 аг аг аг

тогда получаем

+ 01 [(0 X 71) ■ е3] =0, ^ + 02[(0 X 72) ■ е3] = 0, -(Р1 - Р2) / (е3 X 71)^1 -г - (р2 - Рз) / (е3 X 7=2)^2 -Г + т/0 = 0.

Отсюда

-1 X ' 1^1 и--1- 1 VГ2 У3) 1^1

1 2

т/77 + (Р1 - Р2) У(е3 X 71) 01 [(0 X 71) ■ е3]

1

-Г1 +

+ (Р2 - Р3) I (е3 X 72 ) 02[(0 X 72) ■ еЗ]

2

аг2 = 0.

Если 0 = X]2=1 , то с учетом равенств 7} X е]3 = ж2^ - ж1е2, получаем

01 [(0 X 71) ■ е3] = 01(01Ж?) - 02(01x1), 02 [(0 X 72) ■ е3] = 01(02x2) - 02(02x1).

Следовательно

т/01-(р1-Р2^У X2 [01(01x1) - 02(01x1)] -Г1-(Р2-Р3)У х2 [01 (02x2) - 02(02Х1)] -Г

1 2

= т/01 - (Р1 - Р2) 01в(2) - 02^2!) - (Р2 - Р3) 01^22) - 02в21)

= ф1 ]т1 — (р1 — р2)в22) — (р2 — р3)в22^ + ф2 [(р1 — р2)в21) — (р2 — р3)в Аналогично из соотношения

т1ф2 + (р1 — р2) X1 [ф^д^) — ^2(д1Ж1)] ^Г1 +

(2)

= 0.

Г1

+ (Р2 - Р3) x1 [^1(02X2) - ^2(^2X2)] = 0

г 2

получаем второе уравнение для ф1, ф2 :

Ф1

(Р1 - Р2)в!2) + (Р2 - рз)в12) + Ф2 ml - (pi - Р2)в(1) - (Р2 - Рз)в(1

(2)

(1)

(2)

= 0.

Система будет иметь лишь нулевые решения, если ее определитель Д2 = 0. В этом случае, очевидно, ф = 0, (р1 = <^>2 = 0. □

Лемма 3. Оператор потенциальной энергии (15) обладает свойством: С2 = С2* € &(Н2).

Доказательство.

(C2z2, z2)H2 —

= (pi - Р2) J [Zi + 0i((P2S x fi) ■ e3)]Zi dTi + (P2 - Рз) J [C2 + 02((P/x r2) ■ e3)]Z2 dr2-

1 2

-(Pi - Р2) / (e3 x fi)Zi dFi ■ P25 - (Р2 - Рз) / (e3 x f2)C2 dr2 ■ + ml|P2f I2 —

"1 ^ ' ijSi i ± 2" Vr2 "3J J V^i

1 2

— (Pi - Р2) / [IZi12 + 2Re (Zi6i((P2f X fi) ■ e3))

dr+

1 2

+ (P2 - Рз) J [IZ2I2 + 2Re (Z202((P2^ X f2) ■ e?))] dr + ml|P2f|2 —

2

— (Р1 - Р2)

IZi + 01 ((P2f xf) ■ e3)|2 dTi - |0i((P2f xf) ■ e3)|2 dFi

1

1

+

(Р2 - Р3)

IZ2 + 02((P2^ x f2) ■ e3)|2 dT2 - |02((P2^ x f,) ■ ^3) 12 ¿T

2

+ ml|P2^|2

□

Таким образом эквивалентные кинематические условия приводят к операторному соотношению

„

дС2— + = 0,

-й

где оператор обмена энергиями

( -(Р1 - Р2)[7п,1И1 + 01((Р2сП х г!) ■ е3)] ^ -(Р2 - Рэ)[7п,2^2 + 02((Р2^ X 72) ■ е3)] X

(16)

(17)

является линейным оператором, действующим на элементы = (и1; и2; и3; сл)г из пространства Н1 := То,5,г Ф Сэ в Н2.

3.2. Постановка задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения. Перейдём теперь к рассмотрению первой вспомогательной задачи. Считая, что правая часть (8) является элементом пространства С([0; Т]; То,5,г (^)), найдём оператор, соответствующий действию левой части уравнения (8) на неизвестные элементы и = {ик}|=1 € 70 £Г(^) с соответствующими краевыми условиями. Обозначим его А. С помощью абстрактной формулы Грина для оператора Стокса (см., например, [16], с. 81) для любого элемента V = {¿к}|=1 € 70 ^ г(^), используя граничные условия для и , можно установить, что

э

Аи)/о)5г(^) = ^(4ро,як Аик- + Ур1к^(П) = X] Екик) = U)J01lSlГ(^),

к=1 к=1

^ ¿Г € 5 ,г(^)-

С другой стороны, согласно формуле (7) аналогичное тождество справедливо для оператора А гильбертовой пары (70 5 г(^); То,5 ,Г(^)). Отсюда А = А. Отметим, что действие оператора аналогичной гильбертовой пары в случае двух примыкающих областей установлено в статье [17], с. 37.

Заменяя левую часть (8) на Аи, и используя формулу для решений второй вспомогательной задачи (14), первую вспомогательную задачу можно переписать в виде

§ + Аи+Ро {Ро,5к (§ X гк) }3 + дС{& + ^((р/ X г-.) ■ е3)]}2=1 = Ро {/1}^ . Вместе с уравнением движения маятника (см. (2))

—Оси 3 [' —и 2 Р

7-^ + Рк / Пь х -П*. + ас + дт/Р2^- ^ (рд- - р^) д (е3 х ^)£,■ -Г = М(¿),

к=1 I ^ г,

оба соотношения можно кратко записать в виде операторного уравнения

¿х

С + Л1г1 + дВ^ъ = Л (*), где Ш : = {Ро{£} 3=1, М(¿)}т € Нь

:= (к}к=1+ро (и х гк)}к=л, Л : = {Л 0\ ,

11 : у Уи + I] к=1 Рк /пк Гк х Ц- ¿Пк у ' 1 : «у '

/ £{[(, + 6э((Р25 х ^) ■ е3)]}2=1 \

В12Х2 := I - Е2=1 (Рз - Р + 1) / (е3 х Ъ)£ ¿Г + ш1Р2б\ ■ (18)

Лемма 4. Оператор кинетической энергии обладает свойствами: 0 < С1 = С € &(Н).

Доказательство. Очевидно, С1 является ограниченным оператором в Н1. В силу равенства (Ли) ■ и = ^к=0 Рк |и х гк|2 ¿Пк получаем

(С1Х1' Х1) = рк ! |Цк|2 ¿П + ^ Р^(Ро,вк (и х гк-)) ■ Ц. ¿Пк, ¿Пк+

к 1 ^к к 1 ^к

- 3 С —

+ (7 и) ■ и + ^ рк (гк х Цк.) ¿Пк ■ и к =

k 1

= Ро |и х fc|2 d^Q + рк [\щ|2 + (и х гк) ■ Uk + (fk х Uk) ■ шк + |и х rk|2] dQk

k 1

= Ро |и х rQ|2 dQo + Pk |и х fk + Uk|2 dQk > 0.

^0 k 1 ^k

Так как (С1 х1; х1) = 0 только лишь при и = 0, ик = 0 (к = 1, 2,3), то С1 > 0. В силу разложения С1 = С10 + С11, где С12 = diag ({1к}|=1; ) ^ 0 получаем, что С1 ^ 0. □

В силу того, что оператор а1 действует в конечномерном пространстве С3, а оператор Л гильбертовой пары (/¿5Г(П); (П)) является положительно определённым в (П), справедливо следующее утверждение.

Лемма 5. Оператор диссипации энергии Л1 является неограниченным положительно определённым оператором в Н1, при этом Л-1 € ©^(Н1).

Лемма 6. Операторы обмена энергиями (17) и (18) являются неограниченными кососамосопряжёнными, т. е. В221 = — В12.

Доказательство. Проведём доказательство поэлементно.

1. Для элементов ^ = ({Ц-}3=1;0)т € 3(В21) Х2 = ({(,}?=1;0)т € 3(В12) в силу определения оператора С, определяющего решения {р-1 Уфк}|=1 второй вспомогательной задачи (9)-(12) на элементах }2=1, получаем

(х1 ,В12х2)Я1 = ({Цк}|=1'С{0 }?=1)ь2(^) =

= Р1 у Ц ■ Р- 1У01 ¿П1 + р^ Ц ■ р2 1У02 ¿П2 + Рз J Щ ■ Рз 1 ^03 ¿Пз =

^2

= [Yn,1u1' 711 ф1)ь2(Г1)-(7п,1и2' 71202' )Ь2(Г 1)] + [(7п,2Ц2' 722^^(Г2)-(Тп,2и3' 723ф3^(Г2)] = = (Р1 — Р2)(7п,1Ц1' С1)Ь2(Г 1) + (Р2 — Р3)(7п,2Ц2' С2)Ь2(Г 2) = (-В21х1'х2 ^. 2. Для элементов ^ = ({Ик}к=1; 0)т € 3(В21)' Х2 = (0; Р2^)г € 3(В12) решения {р-1^фк}к=1 второй вспомогательной задачи (9)-(12) на элементах {03-((Р26 х Г) ■ е13)}2=1 аналогично предыдущему пункту приводят к тождеству

(Х1'В12Х2)Н1 = ({Ик}к=1'С{6з(^ х Т3 ) ■ ё?)}^)^«) =

= (Р1 — Р2)(7п,1Ц1' 01 ((Рг^ х г1) ■ в13))ь2(Г 1) + (Р2 — Р3ХТп^Ц' 02^2^ х г2) ■ е3))ь2(Г2) =

= -(Р1-Р2)у (е1хГ1 )7п,1Ц1 ¿Г1-Р25—(Р2—Р3^ (¿1 хГ2)Чп,2и2 ¿^^2^ = ( — В21^1, Х2)я2 .

1 2

/-(Р1 - Р2)01((Р2и х 7=1) ■ ё?)\

-(Р2 - Р3)02((Р2и х Г2) ■ ё?) у - т1Р2и у

3. Для элементов х1 = (0; и)т € 3(В21), х2 = ({(,}2=1;0)т € 3(В12) имеем

В 21^1 =

^ =( }2=1 12 2 \-(Р1 - Р2^Г1 (е3 х ^1)С1 ¿Г1 - (Р2 - Р3Цг2 (е3 х ^)С2 ¿Г2/

Отсюда имеем

(Х1, В12Х2)н1 = и ■ [-(Р1 - Р2) I (¿1 х 74)С1 ¿Г1 - (Р2 - Р3 М (¿1 х 7=2)С2 ¿Г2] =

-1 х ' 1А1 1 - V^2 -

1 2

= (Р1 - Р2^((Р2и х 71) ■ е3)С1 ¿Г1 + (Р2 - р,)/((Р2и х Г2) ■ е3)<2¿Г2.

1 2

С другой стороны

(-В21Х1 'Х2)н2 = ({(Рз - Рз + 1)0з ((Р2и х Г2) ■ е3)}2^ {£ }2=0 ^^ =

= (Р1 - Р2) У 01((Р2С ХГ1) •ё3)С1 -Г1 + (р2 - Р3)/ 02 ((Р2С X Г2) -ё3)^ -Г = (¿1^12 ¿2^1. Г1 Г 2

4. Для элементов ^ = ( 0; си)т € ^(В21), ¿2 = (0; Р2<)г € ^(В12) имеем /~(Р1 - Р2)01((Р2С X Г1) ■ ё3)\

^21^1 = -(р2 - Р3)02((Р2^ X 72) ■ е^)

у -т/Р2сЛ у

Отсюда

Bl2Z2 ( )

(¿1, В12^2)Я1 = и ■ т/Р2(< = т^С ■ Р2(< = (-^21^1, ¿2)я2 .

Итогом проделанных выше рассмотрений является следующее утверждение. Теорема 1. Исходная начально-краевая задача (2)-(4) равносильна задаче Коши

□

С1 --1- + А1 ¿1 + дВ12 ¿2 = /1(4), ¿1(0) = (19)

дС2 + дВ21 ¿1 = 0, ¿2(0) = ¿2°, (20)

в гильбертовом пространстве Н = Н1 Ф Н2, где

¿1 = ({4}к=1; , ¿2 = ({0}2=1; Р^, {4}к=1 € 4,5,г(П), си € С3,

{О }2=1 € ¿2,Г := р2,г 1 Ф р2,г 2, Р2^ € С2, Н1 = То,5,Г (П) Ф С3, Н2 = ¿2,г Ф С2.

При этом оператор кинетической энергии 0 ^ С1 € ^(Н1), оператор потенциальной энергии С2 = С2 € ^(Н2), оператор диссипации энергии

(0 В

] = -В *

В21 0

4. Теорема существования и единственности сильного решения

Перепишем задачу Коши (19)-(20) в виде одного уравнения -г

С- + А^ + дВ^ = / (*), ¿(0) = ¿о, / (4):=(/1(4);0)т, (21)

в гильбертовом пространстве Н = Н1 Ф Н2, где

C = diag(C1; gC2), A = diag(Ai; 0), B = | D° ^ ) , D(B) = D(B^)®D(B12).

B21 0

(22)

,

Определение 1. Будем говорить, что задача (21) имеет сильное решение ¿(4) = {¿1(4), ¿2(4)}т на отрезке [0, Т], если выполнены следующие условия.

1°. Функция

¿(4) € С([0, Т]); 9(А) П 9(В)) П С 1([0,Т]; Н),

9(А) = 9(А1) Ф Н2, 9(В) = 9(В21) Ф 9(В12).

2°. При любом 4 € [0, Т] выполнено уравнение (21), где все слагаемые являются элементами из С ([0, Т]; Н).

3°. Выполнено начальное условие (21).

Отметим, что задача Коши (19)-(20) с аналогичными свойствами операторных коэффициентов изучалась ранее в работе [4], где рассматривалась задача о малых движениях системы двух сочленённых тел с полостями, частично заполненными вязкими жидкостями. В частности, на с. 763 доказано следующее утверждение

Теорема 2. Пусть в задаче (19)-(20) выполнены следующие условия /(4) = (/1(4); 0)т € Св([0, Т]; Н) (0 < в < 1),

¿о = (*?; ¿о), ¿о € 9(А1), ¿о € 9(В12). (23)

Тогда эта задача имеет единственное сильное (в смысле определения 1) решение на отрезке [0, Т].

Опираясь на теорему 2 можно доказать утверждение о корректной разрешимости исходной начально-краевой задачи (2)-(4).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, т. е.

/1(4) := {Ро{Д}3=1; М(4)}т € Св([0, Т]; Н), 0 < в < 1,

¿о = К; цо; Ц; со)т € 9(А1) = 9(А) Ф С3, (24)

¿о = (С1°; Со; Р2^о)г € 9(В12) = (<2 X Н122) ф С2. (25)

Тогда исходная начально-краевая задача (2)-(4) имеет единственное решение на отрезке [0, Т], которое обладает следующими свойствами. 1°. Функции

¿1(4) = (г?1(4,ж); г?2(4,ж); ^(^ж); с(4))т €

С 1([0, Т]; /0,5,г(П) Ф С3) П С([0, Т]; 9(А) Ф С3), (26)

^(г) = (&(*,*); С2(4,Х); Рг^Г €

С 1([0, Т]; ¿2,Г 1 Ф Ь2,Г2 Ф С2) П С([0,Т]; (Н^2 X Н^2) Ф С2). (27)

2°. При любом Ь € [0'Т] выполнены уравнения (3) движения вязких жидкостей в полостях, где все слагаемые являются элементами С([0,Т]; (Пк)), к = 1, 2,3.

3°. При любом Ь € [0'Т] выполнено уравнение (2) движения маятника, где все слагаемые являются элементами из С([0,Т]; С3).

4°. При любом Ь € [0'Т] выполнены кинематические и динамические граничные условия, где слагаемые — элементы из С([0,Т]; Н^2), а также кинематические условия для угловых скоростей и угловых перемещений.

5°. Выполнены начальные условия (4).

5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ

Сформулируем еще без доказательства спектральные свойства задачи (19)-(20), полученные ранее в работе [4], см. также [1] и [5].

Рассмотрим решения однородной задачи (19)-(20), зависящие от t по закону

zk(t) = exp(-At)zfc, А G C, k = 1, 2, (28)

где А — комплексный декремент затухания, а zk G Hk — амплитудный элемент. Приходим к спектральной проблеме

Aizi + gßi2Z2 = AC1Z1, B21zx = AC2z2. (29)

Можно доказать (см. [4], с. 672), что число А = 0 является собственным значением задачи, которому отвечает новое состояние покоя гидромеханической системы, получаемое из исходного состояния покоя поворотом маятника на произвольный угол 53e3.

Для ненулевых чисел А в силу обратимости оператора C2 получаем, что z2 = A-1C-1B21z1. Подставляя z2 в первое уравнение (29), приходим к задаче

A1z1 = AC1z1 + gA-1B2*1C2-1B21z1, (30)

где уже учтено, что B12 = — B|1. Осуществляя еще в (30) замену

A/2z1 = <£>1

и действуя слева оператором A-1/2, получаем спектральную задачу

L1(A)<1 = (h — AA-1/2C1A-1/2 — gA-1A-1/2B2\C2-1B21A-1/2)<1 = 0. (31) В этой задаче оператор

Ä1 := A-1/2C1A-1/2 : H1 ^ H1 (32)

является компактным положительным оператором, а оператор

В1 := А^В^С^^А-172 : Н1 ^ Н1 (33)

при условии С2 ^ 0 (система статически устойчива по линейному приближению) является компактным неотрицательным оператором. Таким образом при этом условии пучок Ь1(Л) является хорошо изученным пучком С. Крейна (см., например, [10], главу 7, параграфы 1-3).

Напомним, что спектр пучка С. Крейна состоит из двух ветвей положительных собственных значений с предельными точками +0 и а также, возможно, из конечного числа комплексно сопряжённых пар невещественных собственных значений в правой полуплоскости. Каждой ветви можно поставить в соответствие систему корневых элементов, которая образует базис Рисса (а также так называемый р-базис) в пространстве Н1 либо в его подпространстве (возможно с конечным дефектом).

В случае статической неустойчивости оператор С2 является лишь ограниченным снизу. В этом случае на основании вариационного принципа Пуанкаре-Ритца (см. [18]) в [4] доказаны следующие утверждения.

Лемма 7. Если квадратичная форма оператора потенциальной энергии С2 индефинитна и имеет к отрицательных квадратов, тогда оператор В1 имеет бесконечномерное ядро, а квадратичная форма оператора В1 также индефинитна и имеет ровно к отрицательных квадратов.

Теорема 4. В случае статической неустойчивости по линейному приближению спектральная задача кроме собственных значений в правой комплексной полуплоскости имеет конечное число отрицательных собственных значений, равное числу отрицательных собственных значений оператора потенциальной энергии С2. При этом выполнено обращение теоремы Лагранжа об устойчивости, а именно гидромеханическая система является также динамически неустойчивой, причем неустойчивость системы теряется на экспоненциально возрастающих по времени нормальных движениях (см. (28) при Л < 0), т. е. неколебательным образом (1т Л = 0).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Войтицкий, В. И. О малых движениях системы двух сочлененных тел с полостями, частично заполненными тяжелой вязкой жидкостью / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). - 2017. - №2 (35). - С. 7-32.

VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2017) On small motions of a system of two joined bodies with cavities filled with a heavy viscous fluid. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. No. 2 (35). p. 7-32.

2. Войтицкий, В. И. О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащих полости, частично заполненные идеальной несжимаемой жидкостью / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский, 3. 3. Ситшаева // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2017. — № 3 (36). — C. 28-54.

VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D., SITSHAEVA, Z. Z. (2017) On oscillations of two joined pendulums with cavities partially filled with an ideal incompressible fluid. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. No. 3 (36). p. 28-54.

3. Войтицкий, В. И. О двух гидромеханических проблемах, порожденных исследованиями С.Г. Крейна / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский, 3. 3. Ситшаева // Сборник научных трудов по материалам II Международной открытой конференции "Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях" (18-20 сентября 2017 г., Воронеж). — 2017. — №8, ч.1 (34-1). — C. 95-100.

VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D., SITSHAEVA, Z. Z. (2017) On two hydromechanics problems generated studies of S. Krein. Proceedings of the internetional conference "Modern problems of dynamical systems analysis. Applications in technics and tehnology.". No. 3, part 1 (34-1). p. 95-100.

4. Войтицкий, В. И. О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащих полости, частично заполненные несжимаемой жидкостью / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский, 3. 3. Ситшаева // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2017. — Том 63, №4. — C. 627-677.

VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D., SITSHAEVA, Z. Z. (2017) On oscillations of two joined pendulums with cavities partially filled with an incompressible fluid. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 63, No. 4. p. 627-677.

5. Войтицкий, В. И. О полном линейном дифференциальном уравнении второго порядка в гильбертовом пространстве с главным оператором диссипации энергии и ограниченном снизу оператором потенциальной энергии / В. И. Войтицкий // Динамические системы. — 2017. — Т. 7 (35), №3. — C. 285-294.

VOYTITSKY, V. I. (2017) On full linear differential equations of second order in Hilbert space with main operator of the energy dissipation and bounded below operator of potential energy. Dynamical systems. Vol. 7 (35), No. 3. p. 285-294.

6. Войтицкий, В. И. О малых колебаниях системы из трех сочленённых маятников с полостями, заполненными несмешивающимися несжимаемыми жидкостями / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский // Материалы международной научной конференции "Современные методы и проблемы математической гидродинамики — 2018" (3-8 мая 2018 г., Воронеж). — 2018. — C. 84-91.

VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2017) On small oscillations of three joined pendulums with cavities filled with an immiscible incompressible fluids. Proceedengs of the international conference "Modern methods and problems of mathematical hydrodynamics — 2018". p. 84-91.

7. Батыр, Э. И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость / Э. И. Батыр // Динамические системы. — 2001. — вып. 17. — C. 120-125.

BATYR, E. I. (2013) Small motions of a system of joined bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Dynamic systems. Vol. 17. p. 120-125.

8. Батыр, Э. И. Малые колебания тел с полостями, заполненными несжимаемой вязкой жидкостью / Э. И. Батыр, О. А. Дудик, Н. Д. Копачевский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Актуальные проблемы математической гидродинамики. — 2009. — Т. 49. — C. 15-29.

BATYR, E. I., DUDIK, O. A., KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Small oscillations of bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Izv. vuzov. North-Caucasus region. Actual problems of mathematical hydrodynamics. Vol. 49. p. 15-29.

9. Батыр, Э. И. Малые движения и нормальные колебания системы сочлененных гиростатов / Э. И. Батыр, Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фун-дам. направления. — 2013. — Т. 49. — C. 5-88.

BATYR, E. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Small motions and normal oscillations in systems of connected gyrostats. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 49. p. 5-88.

10. Копачевский, Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. — Москва: Наука, 1989. — 416 c.

KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G., NGO Zyi Kan (1989) Operator methods in linear hydrodynamics. Evolution and spectral problems. Moscow: Nauka. 416 p.

11. KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (2003) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid (Operator Theory: Advances and Applications, Vol.146). Birkhauser Verlag. — Basel. — Boston. — Berlin. 444 p.

12. Азизов, Т. Я. Абстрактная формула Грина и её приложения / Т. Я. Азизов, Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ТНУ, 2011. — 136 с.

AZIZOV, T. Ya., KOPACHEVSKY, N. D. (2011) Abstract Green's formula and its applications. Simferopol: TNU. 136 p.

13. Копачевский, Н. Д. Формулы для ортопроекторов, связанных с проблемой малых движений трёх вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижнный сосуд / Н. Д. Копачевский, Е. В. Сёмкина // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2017. — № 2 (35). — C. 48-61.

KOPACHEVSKY, N. D., SEMKINA, E. V. (2017) Formulas for the orthoprojections connected with problem of small motions of three visco-elastic fluids filling fixed vessel. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. No. 2 (35). p. 48-61.

14. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм / Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фундам. направления. — 2015. — Том 57. — C. 71-107.

KOPACHEVSKY, N. D. (2015) On abstract Green's formula for the triple of Hilbert spaces and sesquilinear forms. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 57. p. 71-107.

15. Копачевский, Н. Д. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения и их приложения / Н. Д. Копачевский, К. А. Радомирская // Современная математика. Фундам. направления. — 2016. — Том 61. — C. 67-102.

KOPACHEVSKY, N. D., RADOMIRSKAYA, K. A. (2016) Abstract mixed boundary value and spoectral problems of transmission and its applications. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol.61. p. 67-102.

16. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и её приложениях к задаче Стокса / Н. Д. Копачевский / / Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2004. — №2. — C. 52-82..

KOPACHEVSKY, N. D. (2004) On abstract Green's formula for the triple of Hilbert spaces and its applications to the Stokes problem. Taurida Journal of Computer-Science Theory and Mathematics. No. 2. p. 52-82.

17. Копачевский, Н. Д. О малых движениях системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд / Н. Д. Копачевский // Динамические системы. - 2017. - том 7 (35), № 1. - C. 17-51.

KOPACHEVSKY, N. D. (2017) On small motions of the system of two visco-elastic fluids filling a fixed vessel. Dynamical systems. Vol. 7 (35), No. 1. p. 17-51.

18. Абрамов, Ю. Ш. Вариационные методы в теории операторных пучков. Спектральная оптимизация / Ю. Ш. Абрамов. — Л.: Издательство ЛГУ, 1983. — 180 c. ABRAMOV, Yu. Sh. (1983) Variational methods in theory of operator pencils. Spectral optimizations. Leningrad: LSU. 180 p.