CC BY
9УДК: 517.98, 517.955, 532.5 MSC2010: 70E55, 35M33
О КОЛЕБАНИЯХ ДВУХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ, СОДЕРЖАЩИХ ПОЛОСТИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ © Н. Д. Копачевский
Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского факультет математики и информатики кафедра математического анализа e-mail: kopachevsky@list.ru
© В. И. Войтицкий
Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского факультет математики и информатики кафедра математического анализа e-mail: victor.voytitsky@gmail.com
© З. З. Ситшаева
Крымский инженерно-педагогический университет Кафедра математики e-mail: szz2008@mail.ru
On oscillations of two joined pendulums with cavities partially filled with an incompressible ideal fluid.
Kopachevsky N. D., Voytitsky V. I., Sitshaeva Z. Z.
Abstract. Let G1 and G2 be two joined bodies with masses m1 and m2. Each of them has a cavity partially filled with homogeneous incompressible ideal fluids situated in domains Q1 и Q2 with free boundaries r1(t), Г2(t) and rigid parts S1,S2. Let p1,p2 be densities of fluids. We suppose that the system oscillates (with friction) near the points O1, O2 which are spherical hinges.
We use the vectors of small angular displacement
3
4(t) = E jШ, k = 12, j=1
to determine motions of the removable coordinate systems Okx\xkxk (connected with bodies) relative to stable coordinate system O1x1x2x3. Then angular velocities ujk(t) of bodies Gk is equal to dJk/dt.
Let ufc(x,t) = wk(x, t) + VФк(x,t), wk e Jo(Qk), V$fc e Gh,sk(Qk) and pk(x,t) e H 1(Qfc) be fields of fluids velocities and dynamical pressures in Qk (in removable coordinate systems), zk(x,t) e L2,rk := L2(rk) 0 splrk are functions of normal deviation of rk(t) from equilibrium
plane surfaces rk(0) = rk. Then we consider initial boundary value problem (2.1), (2.4)-(2.6) with conditions (2.7)-(2.11).
We obtain the law of full energy balance (2.12). Using the method of orthogonal projections with some additional requirements initial problem can be reduced to the Cauchy problem for the system of differential equations
Ci dt- + Aizi + gBi2Z2 = fi(t), zi(0) = Z0,
gC2dzt2 + 9B21Z1 = 0, Z2(0) = Z0, zi = (wW1; v$i; (1; W2; W2;(2)T e Hi, Z2 = ((i; P^i; C2; Pafc)T e H2,
in Hilbert spaces
Hi = (Jo(ni)®<Gfc>Sl (^i)©C3)©(Jo(Q2)©Gh;s2 (^)©C3), H2 = (L2,ri ©C2)©(L2,r2 ©C2).
Here operators of potential energy Ck is bounded, C1 is positive definite, A1 is bounded and nonnegative, Bj is skew self-adjoint operators. Using this properties we prove theorem on existence of unique strong solution for t e [0; T] if some natural conditions for initial data and given functions f1(t) are satisfied. As a corollary we obtain theorem on solvability of initial Cauchy problem.
If friction is absent then operator A1 =0 and for Z(x,t) = eiAtZ(x) we obtain spectral operator problem. For the eigenvalues ^ = X2/g we find new variational principle and prove that spectrum is discrete. It consists of positive eigenvalues with limit point in stable case, or the positive branch and not more then finite number of negative eigenvalues in unstable case.
Keywords: equation of angular momentum deviation, operator matrix, self-adjoint operator, strong solution, discrete spectrum.
1. Введение
Первой работой, посвящённой задаче о малых колебаниях твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной жидкостью, была работа Н. Е. Жуковского [1]. В ней впервые были введены вспомогательные функции, зависящие только от формы полости, которые сейчас называют потенциалами Жуковского. С их помощью удаётся задачу динамики тела с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, заменить на задачу о движении эквивалентного твердого тела с видоизмененным тензором инерции.
Если жидкость заполняет полость лишь частично, то гидромеханическая система имеет уже бесконечное число степеней свободы. Эта проблема исследовалась в 50-70-е годы прошлого века весьма интенсивно многими авторами, среди первых отметим работы Н. Н. Моисеева (1952), затем Г. С. Нариманова, Д. Е. Охоцимского,
Б. И. Рабиновича и Л. Н. Сретенского (1956), С. Г. Крейна и Н. Н. Моисеева [2] (1957). Данной задачей позже занимались также И. М. Рапопорт, Г. Н. Микишев, Ф. Л. Черноусько, С. Ф. Фещенко, И. А. Луковский, Л. В. Докучаев и другие.
В работах П. В. Харламова (1972) изучался вопрос о совместных движениях сочленённых твёрдых тел (маятников), соединенных сферическими шарнирами. Затем Ю. Н. Кононов (1997-2006) исследовал движения тела и системы связанных твёрдых тел с полостями, содержащими жидкость. Наконец, в последнее время Э. И. Батыр и Н. Д. Копачевский (см. [3]-[7]) изучали проблему малых движений системы сочленённых твёрдых тел (гиростатов), соединённых сферическими шарнирами и имеющих полости, целиком заполненные идеальной либо вязкой жидкостью. Проблема малых колебаний системы двух маятников, частично заполненных вязкой жидкостью, с выводом уравнений изменения кинетических моментов рассмотрена в [8].
В данной работе используются как методы функционального анализа, развитые С. Г. Крейном и позже Н. Д. Копачевским (см. монографии [9]-[11]), так и новые рассмотрения (см. [12], [8]).
Данная работа выполнена при финансовой поддержке первого из соавторов грантом Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037).
2. Постановка задачи
2.1. Основные уравнения, краевые и начальные условия. Будем считать, что имеется гидромеханическая система, состоящая из двух твёрдых тел П01 и Q02 с плотностями р01 и р02. Эти тела (маятники) последовательно соединены сферическими шарнирами: первое тело закреплено в неподвижной точке O1, а второе аналогичным образом соединено с первым телом в точке O2. Предполагаем, что оба тела имеют полости, частично заполненные идеальными однородными несжимаемыми жидкостями с плотностями р1 и р2 соответственно.
Будем считать, что на данную систему действует однородное гравитационное поле постоянной интенсивности. Тогда в состоянии покоя гидромеханической системы точки подвеса O1 и O2 этих тел, а также центры масс C1 и C2 находятся на одной вертикальной оси. При этом в состоянии равновесия жидкости в полостях занимают области Qk, причем границы этих областей состоят из твёрдых стенок Sk, а также свободных поверхностей Tk (k = 1, 2), которые являются горизонтальными.
Для описания движений, близких к состоянию покоя, введем неподвижную систему координат O1x1x2x3 c ортами ej, j = 1, 3, так, чтобы д = -ge3, д > 0. Кроме того, введем подвижные системы координат Okx1 xkx\ (k = 1, 2), жестко связанные с
телами О0к, с единичными векторами е3к, ] = 1, 3. Наконец, в состоянии покоя считаем, что подвижная система координат 0\х\х\х\ совпадаёт с неподвижной системой 0\ххх2х3, а подвижная система 02х^х2х2 получается переносом по вертикальной оси системы 0\х \ х \ х \ из точки 0\ в точку 02.
Положение подвижной системы координат 0кхкхкхк (к = 1,2) относительно неподвижной системы 0\х\х2х3 в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым вектором углового перемещения 3
5к(£) = 5к(1)^1, к = 1, 2. Тогда угловая скорость йк(¿) тела О0к будет, очевид-к=\ ^
но, равна ¡2 к = ¿5к/йЬ, а угловое ускорение этого тела равно й25к/ё£2 = йй к/йИ.
Приведем для каждого из тел (маятников) линеаризованные уравнения изменения кинетического момента относительно точки 0 к, к = 1, 2. Вывод этих уравнений произведён в статье [8] (см. также [4] и [9], с. 129-132, 145, 136). Первое уравнение:
1гЛх{ жх ¿т\+р\ / г"\х ^ ¿п\+/ я\х( ж х%\+жх 82+ж) ¿т2
Сх Пх С2
+ а'1й1 - а, (й2 - ЗД + д (тА + т,Л.,) М - др /й3 х г,К, ¿Г\ =
Гх
= J 8\ х 8 йт\ + ^ х 82 йт2 =: М\(г). (2.1)
Сх С2
Здесь О к = П0 к и П к — область, занятая твёрдым телом и жидкостью для данного маятника, к = 1, 2, 8к — радиус-вектор точки в О к, причем использовано обозначение
У (...) йтк := ро к J (...) ¿Пк + Рк У (...) ¿Пк. (2.2)
Ск Пок Пк
Далее, через Пк (¿, х) обозначено поле относительной скорости жидкости в области Пк, Н\ = 0\02, ак > 0, к = 1,2 — коэффициенты трения в шарнирах, к\ = |0\021, хк = (к(¿,х\,х|), (хк,хк) € Гк, — отклонения свободных поверхностей
жидкостей в процессе малых движений маятников, тк — масса маятника с жид-» 8 2
костью, Iк = |0кСк|, Р25к = ^ 53к ек является проекцией на плоскость Г к вектора
к=1
углового перемещения е5 . Наконец, предполагается, что в процессе малых движений системы на нее действует поле, мало отклоняющееся от гравитационного, т. е. поле
-де3 + /, /\ := /|сх, /2 := /|с2. (2.3)
Уравнение изменения кинетического момента для второго маятника таково:
/duj2 [ _ divi f [ _ ди2 „
r2 x (-^ х r2) dm2 + r2 x (-^ x hi) dm2 + p2 r2 x dil2 + a2(if 2 - fi) +
G2 G2 П2
+ gm2l2P2^2 - gp2 j(e| X r2)C2 dr2 = J T2 x ¡2 dm2 =: M2(t). (2.4)
Г2 G2
Здесь использованы обозначения, введённые выше.
Приведем теперь линеаризованные уравнения движения жидкостей в полостях, а также граничные условия на твёрдых стенках Sk и свободных поверхностях Гк, k = 1, 2.
Уравнения движения для идеальных жидкостей (уравнения Эйлера) имеют вид
(ди1 dwi Л _ ^ .. ^ , ,, .
Pi I -д^ + xri\ + Vpi = pifi, div ui = 0 (в Hi), (2.5)
(ди2 duji т* duj2 Л _ ? т ^ ^
P2 I -д^- + xhi + — x fj + Vp2 = p2f2, divU2 = 0 (в ^2 ), (2.6)
где через pk = pk(t,x), x G Qk, обозначено отклонение давления в области Qk от равновесного давления в этой области в состоянии покоя.
Далее, в процессе движения идеальных жидкостей на твёрдых стенках Sk полостей Qk должны выполняться условия непротекания:
uk • nk = 0 (на Sk ), k = 1, 2, (2.7)
где nk — (внешняя) нормаль к дQk.
В исследуемой задаче должны выполняться также кинематические условия следующего вида
d (P2fk) = P2¿k, = f3, дн = uk = Uk • nk (на Tk ), k = 1, 2. (2.8)
Здесь для удобства последующих построений связь d8k/dt = ujk расщеплена на две, так как в уравнения движения, а также в граничные условия на Tk входит лишь P26k (см. ниже).
Эти динамические условия имеют следующий вид
Pk = Pkg(Zk + (P2fk x fk) • ek) (на rk). (2.9)
Отметим ещё, что из свойства несжимаемости жидкостей следуют условия сохранения объемов жидкостей:
J Zk dTk = 0, k =1, 2. (2.10)
Гк
Наконец, для полной постановки начально-краевой задачи следует добавить начальные условия
йк(0,x) = üfc(x), x e Q, (k(0,x) = Z°(x), x e Г, uk(0) = 5k(0) = 5°.
(2.11)
Будем считать, что задача (2.1), (2.4)-(2.11) имеет классическое решение при t ^ 0. Тогда, умножая (скалярно) обе части уравнений (2.5) и (2.6) на й и й2 соответственно, после интегрирования по Qk с учетом краевых условий получаем закон баланса полной энергии.
2dtjpo1/ l^1 ХГ1|2 + Pi J l^i x ri + Üi|2 dQi + p°2 J x hi + x r2|2 dQ°2+
П01 Пх П02
+ p2 j l^i Х hi + Ш 2 Х Г2 + Ü2I2 dÜ2 I + 1 ddt| (mili + m2hi)|P2Íi|2 + m2l2|P2¿2|^ +
П2
+ 2 9ddt) ^ Pk í (|Zk + °k ((p2¿k x ?k) ■ et)|2 -|^k ((P24 Х rk) ■ efc3)|2) dr
U=1 rfc
2a dt ]'
k=J
2
= -(ai|cJ 112 + «2^2 - ¿i|2) + ^ M(t) ■ cJfc + ^ Pk I fk ■ Uk dQk. (2.12)
k=J k=J
Здесь введены ортопроекторы
^ : L2(rk) ^ L2,rfc := ¿2^) 0 |1rfc}, k = 1, 2. (2.13)
Слева в первых фигурных скобках стоит удвоенная кинетическая энергия гидромеханической системы. Вторая фигурная скобка после умножения на g соответствует изменению потенциальной энергии системы, отвечающему перемещению энергии системы из состояния покоя на углы поворота и ¿2 для тел. Наконец, последняя фигурная скобка после умножения на g равна потенциальной энергии системы, отвечающей возмущениям Zk свободной поверхности rk в процессе малых движений. Справа в (2.12) стоит мощность сил трения в шарнирах (первое слагаемое), а также мощность внешних сил, отвечающих действию внешнего дополнительного поля f (см. (2.3)) в жидкостях и твёрдых телах.
3. Операторный подход к исследованию начально-краевой
задачи
3.1. Выбор функциональных пространств. Так как кинетическая энергия жид-
костей в полостях ^k в любой момент времени должна быть конечной, то из (2.12)
следует, что поля относительных скоростей ик (Ь,х) должны быть функциями переменной Ь со значениями в комплексных гильбертовых пространствах Ь2(Пк)• Опираясь на свойство соленоидальности ик и граничные условия исследуемой проблемы, воспользуемся ортогональным разложением пространства Ь2(Пк) на подпространства, естественно возникающие в этой задаче (см. [9], с. 106):
Ь2(Пк) = багк(Пк) 0 1о(Пк) © 0НА(Пк), к = 1, 2, (3.1)
где
бо,гк(Пк):= [ЧЩк е Ь2(Пк): Щк = 0 (на Гк)}, (3.2)
■о(Пк) := {Ык е Ь2(^к): Ик = 0 (в Пк), ыТк • Пк = 0 (на дП)| , (3.3) СКяк(Пк) := {УФк е Ь2(Пк) : ДФк = 0 (в Пк), дф = 0 (на Бк), ^ Фк(ИГ к = 0}.
гк
(3.4)
Здесь Пк — внешняя нормаль к дПк, а операции вычисления дивергенции и производной по нормали понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [9], параграф 2.1, а также [13]. Отметим еще, что границы дПк предполагаются липшицевыми, причем Бк и Гк — липшицевы куски этих границ (см. [13], [14]).
Так как потенциальная энергия жидкостей также должна быть конечной в любой момент времени Ь ^ 0, то снова в силу (2.12) следует считать, что (к(Ь,х),х е Гк, являются функциями переменной Ь со значениями в гильбертовом пространстве Ь2(Гк) со стандартным скалярным произведением. Тогда из условий сохранения объемов жидкостей при колебаниях, т.е. из условий (2.10), следует, что в рассматриваемой задаче (к е Ь2,гк.
3.2. Применение метода ортогонального проектирования. Так как ик = 0
в Пк и ик • Пк = 0 на Бк, то в силу разложения (3.1) имеем
ик = ыТк + УФк, *Тк е То(Пк), УФк е Ск}зк(Пк), к = 1, 2. (3.5)
Далее, заметим, что давления рк(Ь,х), х е Пк, определены с точностью до произвольной функции ¿. Поэтому, используя условия (2.10) и вводя ортопроекто-ры вк (см. (2.13)),
0кСк = Ск - |Гк|-1 У Ск(1Гк, У(к е Ь2(Гк), (3.6)
Гк
перепишем условия (2.9) в виде
Pk = Pkg(Zk + 6k(p/fc x rk) ■ efc3) ( на rfc) , Jpk dTk = 0, (3.7)
rfc
где теперь pk — нормированные давления, k = 1, 2. Поэтому в силу (3.2)-(3.4)
Vpk = Vpk + V^k, Vpk G Gh,sk(H), Vyk e Go,rk(H). (3.8)
Пусть Р0,Гк, P0,k и Ph,Sk — ортопроекторы на соответствующие подпространства (3.2)-(3.4). Тогда, подставляя представления (3.5) и (3.8) при k =1 в уравнение (2.5) и действуя этими ортопроекторами на обе части (2.5), приходим к соотношениям
РхРодч (dt1 x rl) + = PiPo,nfi, (3.9)
PidW1 + PiPo,^dt x ri) = PiPofi, (3.10)
d ( dûj \ -> Pi dtV$i + PiPhsA d^ x ri) + VPi = PiPhSifi. (3.11)
Здесь производные d/dt у векторных полей скоростей заменены на d/dt, так как эти поля и поля градиентов давлений считаем функциями переменной t со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах.
Аналогичная процедура проектирования для уравнения движения (2.6) приводит к соотношениям
P2Po,r2 ^ x hi + dJt2 x rlj + V^2 = P2Po,r2 ff2, (3.12)
P2dW + P2Po,2^x hi + x rlj = P2Po,2f2, (3.13)
P2 dt V$2 + P2Ph,S2^x hi + x f^ + Vp2 = P2Ph,S2 f2. (3.14)
Отметим теперь, что в силу нормировки (3.7) для pk и определения Go, rk (H) (см. (3.1)) граничные условия (3.7) можно переписать в виде
Pk = Pkg(Zk + 6k(P2fk x rk) -e3) ( на rk), k = 1, 2. (3.15)
Далее, кинематические условия (2.8) для (k с учетом (3.5) теперь переписываются следующим образом:
^ = 1п,кVФk = ^ ( на rk) , (3.16)
dt onk
где Yn,k — операция взятия нормальной компоненты поля на Гк:
Yn,kÜk = (Uk • nk)гк, k = 1, 2. (3.17)
Отметим теперь важное обстоятельство: поле V^ не входит в систему уравнений (3.10), (3.11), а — в систему уравнений (3.13), (3.14). Поэтому эти поля могут быть найдены по известным решениям ük(t) и заданным fk из формул (3.9), (3.12). Далее, векторы ¿>^(t) = ^(t)^, k = 1, 2, также не входят в эти уравнения и находятся по ük(t) = ük(t)e'k, k = 1, 2, и начальным условиям. Поэтому в дальнейшем достаточно исследовать начально-краевую задачу (3.10), (3.11), (3.13), (3.14), (2.1), (2.4), (2.10), (3.15), (3.16) при соответствующих начальных условиях.
3.3. Переход к дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве. Рассмотрим сначала две вспомогательные краевые задачи За-рембы, помогающие в дальнейшем исключить давления pk в областях Qk, выразив их через Zk и P2$k. Эти задачи таковы:
dpk _ f
Apk = 0 (в Qk) , дПГ = 0 (на Sk), Pk = Фk (на ^), фk dTk = 0. (3.18)
Гк
Для области Qk с липшицевой границей дQk, разбитой на липшицевы куски Sk и rk, задача (3.18) имеет единственное слабое решение pk G HjlSk (Qk), где
г____dpk __^
Hh,sk (Qk) := |Pk G H 1(Qk) : Apk = 0 (в Qk) , dU~ = 0 (на Sk) , Pk = Фk (на rk) j
Uk (3.19)
тогда и только тогда, когда выполнено условие
'k G НГ/2 := H1/2(rk) П Ь2,гк, (3.20)
(см., например, [9], с. 45-46, а также [13], [14]). Поэтому можно считать, что
Vpk = Vk'k, Vk G L(Hk2; Gh,Sk(Qk)). (3.21)
С помощью введенных операторов Vk вместо граничных условий (3.15) будем иметь соотношения
V'Pk = PkgVk(Zk + 0k(P2fk x rk) • ek) (на rk), k = 1, 2. (3.22)
Опираясь на эти факты, получим дифференциально-операторную связь между искомыми функциями в исследуемой проблеме. С этой целью введем в качестве искомых объектов наборы элементов
z := (zi; Z2)T, zi := (zM; Ziß)T, zi,i = (w 1; УФь üi)T, zi,2 = (w2; УФ2; ü2)T,
¿2 := (¿2,1; ¿2,2)Т, ¿2,1 = «1; Р2^1)Т, ^2 = «2; (3.23)
и будем считать, что они являются функциями переменной Ь со значениями в гильбертовом пространстве
н = н © Ж2, н = (Т0(П1) © (П1) © с3) © (Т0(П2) © а^(П2) © с3),
Н = (Ь2,Г1 © с2) © (Ь2,г2 © с2). (3.24)
Тогда уравнения (3.10), (3.11), (2.1), (3.13), (3.14), (2.4) с учетом (3.5) и (3.22) можно в векторно-матричной форме переписать в терминах (3.23) в следующем виде
С1 ^ + А^ + дВ12Х2 = ¡1 (Ь). (3.25)
аъ
Здесь С1, А1 и В12 — операторные матрицы вида 6 х 6, 6 х 6 и 6 х 4, отвечающие ортогональным разложениям (3.24). При этом
С^1 = (р1Ь) 1 + Р1Р01 (¿1 X Т1); Р1^Ф1 + Р1Рн,Я1 (¿1 х Т1);
р1 ^(Т1 х т 1) аП1 + р^ у(т1 х УФ1) аП1 + Т1ш1 + J н1 х (¿1 х //1) 0т2+
+ у Н1 х ьТ2 0т2 + у Н1 х УФ2 0т2 + J Н1 х (¿2 х г2) 0т2; С2 С2 С2
р21Т2 + р2Ро^1 х /11) + р2Ро,2(й2 х Т2); р2ЧФ2 + Р2Р/1,£2 (¿1 х /¿1) + Р2Рл,52 (¿2 х Т2);
Р^(Т2 х 1Т2) аП2 + р^(Т2 х УФ2) аП2 + Т2^02 + J Г2 х (¿1 х /1) От^ , (3.26)
П2 П2 С2
где ■Т1 и ■Т2 — тензоры инерции маятников вместе с жидкостью:
Тк¿к := рок! Тк х (¿. х Тк)аПок + рк IП х (¿к х *). к = 1,2. (3/27)
Операторная
матрица В12 действует по закону
33 1
В12Х2 = (0; р^О + 01(Р2Т1 х Т1) • еЦ); -р1! (еЦ х + (т1^1 + т2/1)Р2Т1;
Г1
0; Р2У2((2 + 02(Р2$2 х Т2) • е23); -Р2 !(е23 х Г2)С,2 ¿Г + т212Р2А)Т. (3.28)
Г2
Операторная матрица А1 из (3.25) имеет ненулевые элементы лишь следующего вида А1,33 = а1 + а2, А136 = -а2 = А^, А^е = «2. (3.29)
Лемма 1. Операторная матрица C1 из (3.26) является ограниченным самосопряжённым и положительно определенным оператором, действующим в Ж1. Квадратичная форма (CiZi,zi)Hl равна удвоенной кинетической энергии гидромеханической системы (см. (2.12)), т. е. C1 является оператором кинетической энергии.
Лемма 2. Операторная матрица A1 с элементами (3.29) является ограниченным самосопряжённым неотрицательным оператором. Квадратичная форма оператора Ai равна
(AiZI,ZI)h1 = ai|d3i|2 + «2^2 - ^i|2 ^ 0, (3.30)
и потому Ai можно назвать оператором диссипации энергии гидромеханической системы.
Лемма 3. Оператор Bi2 : H ^ Hi, определенный формулой (3.28), является блочно-диагональным неограниченным оператором, заданным на области определения
D(Bi2) = (<2 ф C2) 0 (НГ22 0 C2), (3.31)
плотной в Ж2.
Дальнейшее применение операторного подхода в исследуемой задаче основано на том, что кинематические условия на г (см. (2.8), (3.16), (3.17)), т.е. условия
^ = = ln,kУФк, ^RSk = P2шк, к = 1, 2, (3.32)
dt опк dt
можно переписать в эквивалентной форме, позволяющей ввести в рассмотрение оператор потенциальной энергии системы.
Очевидно, если выполнены условия (3.32), то справедливы также условия
dZ d -> Piga^ + Pig— (0i((P2<*i X ri) ■ ei3)) - Pigjn,1УФ1 - Pig0i((P2Wi x ri) ■ ei3) = 0, dt dt
-Pig J (ei3 X ri)f dri + g(mi1i + m^hi)dP,2¿i+
Г1
+Pig у (ej1 x Г1)7п,1УФ1 dri - g(mili + m^h^^i = 0,
Г1
dZ d — P2gdj2 + P2gd (02((P2$2 X r2) ■ б|)) - P2g7n)2VФ2 - p2g02((P2^2 X Г2) ■ б|) = 0, dt dt
-P2g (e23 X r2)-T~ dr2 + gm^h-nP2S2 + P2g (e23 x r^Tn,2УФ2 dr2 - gm2l2P2^2 = 0.
f dr2 + gm2l2dt-
dt dt
Г2 Г2
(3.33)
Коротко эти условия можно переписать в виде
gC12 dZ2 + gB2izi = 0, (3.34)
dt
C2Z2 = (pi(1 + pi0i((P25i x ri) ■ e'i3); -pi j(e3 x fi)(i dr + (mili + m2hi)P2Ói;
Г1
p2Z2 + P2^((P2¿2 X Г2) ■ e|); -P2 (e2 x r2)C2 dr2 + m2¡2P2Ó2)T, (3.35)
Г2
= Р1Тп,1^Ф1—р^ ((Р2^1ХГ1)-ё'13); Рг I (е13хг1)7„;1УФ1 ^1-(т1/1+т2й^Ш 1;
Г1
Р20'га,2^Ф2 - Р202((Р2^2 X Г2) ■ б|); р^(б| X Г=2)УФ2 ^2 - т2^Р2. (3.36)
Г2
Здесь оператор С2 : (Ь2,Г1 фС2)ф(Ь2,Г2фС2) = Ж2 ^ Ж2 — блочно диагональный, а оператор В21 : Н1 ^ — аналогичного вида с размерами матрицы 4 х 6.
Лемма 4. Оператор С2 : Н ^ Н2 — ограничен и самосопряжён. Квадратичная форма д(С2г2,г2)м2 равна удвоенной потенциальной энергии гидромеханической системы.
Выясним теперь, когда соотношения (3.32) и (3.33) эквивалентны. Введем обозначения, имеющие смысл осевых моментов инерции:
j := у xi) dTk = j, j,l = 1, 2, k = 1, 2. (3.37)
rfc
Введем также определители:
д(1) := deVmili + m2hi - pie22) p i в2 i
2 pifín mili + m2hi - p^n
A (2 :=det( m2¡2 - ОНp2e2i (2) ,.
p2e((2) m212 - p2в(( '
(3.38)
Лемма 5. Если выполнены условия общего положения
22
то соотношения (3.32) и (3.33) эквивалентны.
A2i) = 0, a22) = 0, (3.39)
k = wl, к = 1 2, (3.40)
Далее будем предполагать, что в исследуемой проблеме выполнены условия общего положения (3.39). Тогда исходная начально-краевая задача о малых колебаниях двух сочленённых маятников с полостями, частично заполненными идеальными жидкостями, будет равносильна совокупности соотношений (3.8), (3.12), тривиальным связям (см. (2.8))
(к аг
а также задаче Коши для системы уравнений (см. (3.25), (3.34))
С1 ¿¡1 + ¿1*1 + дВ12г2 = Л(г), ¿1(0) = ¡0, аг
дС2 (¡2 + дВ21*1 = 0, *2(0) = ¡0, (3.41)
аг
¡1 = (й) 1; УФь й; й; УФ2; е ¡2 = (<1; ЛЛ; С2; ВД) е
Дальнейшее изучение свойств решений исходной задачи основано на изучении свойств решений задачи Коши (3.41).
3.4. Свойства матричных операторных коэффициентов задачи Коши. Рассмотрим дополнительные свойства оператора потенциальной энергии C2, а также операторов Bi2 и B2i. Для оператора C2 выяснение этих свойств проводится по схеме из [9], с. 151-152.
Воспользуемся ортогональным разложением
H = (¿2Л 0 с2) 0 (L2,r2 0 с2) = H2i 0 H22, (3.42)
H21 = H2i,i 0 H2i,2, H2i>fc :={«fc; 0)T : J Zkxi dTk = 0, j = 1, 2},k = 1, 2,
rfc (3.43)
H22 = H22,i 0 H22,2, H22,k := Lin{(0; ei)T; (0; e2)T; %x\; 0)T; %x2k; 0)T}, где Lin — обозначение линейной оболочки элементов.
Лемма 6. Если выполнено первое условие (3.39), т. е. условие
A2i) = (mih + m2hi - pie22))(mih + m2h - p^ff) - P 21в ( 2)12 = 0, (3.44) то оператор C2i из блочно-диагонального представления (3.35)
C2 = diag(C2 i ; C22) ограниченно обратим и обладает следующими свойствами.
1°. На подпространстве Н21,1 из (3.43) оператор С21 положительно определен: (С21*2 ,¡2)^21 = Р^ Ы2 ¿Г1 = Р11|*2 Иж21, ^¡2 = (П1;0)Т е ^21,1. (3.45)
Г1
2°. Оператор С21 неотрицателен на подпространстве Н21,2 тогда и только тогда, когда выполнены условия
А(11) := ш111 + ш2Н1 - р1в11) ^ 0, Д21) ^ 0, (3.46)
и положительно определен, если и только если
А11) > 0, а21) > 0. (3.47)
Аналогичные свойства имеют место для оператора С22 из (3.44).
1°. На подпространстве Н22,1 оператор С22 положительно определен:
(С22*2,*2)н2 = Р2 ! |П212 ¿Г = Р2 ||¡2 ||522 , ^¡2 = (^2; 0)Т е 522,1. (3.48)
Г2
2°. Оператор С22 неотрицателен на подпространстве Н22,2 тогда и только тогда, когда выполнены условия
А52) := Ш212 - Р2ви ^ 0, А22) ^ 0, (3.49)
и положительно определен, если и только если
А52) > 0, А22) > 0. (3.50)
Можно доказать, что ранг индефинитности квадратичной формы (С2г1, ¡2)н2 не может превышать к = 4, т. е. в Ж2 может быть не более чем четырехмерное подпространство элементов, на котором квадратичная форма принимает отрицательные значения.
Определение 1. Будем говорить, что рассматриваемая гидромеханическая система статически устойчива по линейному приближению, если оператор С2 потенциальной
энергии системы положительно определен, и тогда выполнены условия (3.47), (3.50). □
Формулы (3.38) и (3.46), (3.49), определяющие А^ и А2к), к = 1, 2, показывают, что условия статической устойчивости системы выполнены для тел достаточно большой массы с расположенными достаточно далеко от точек подвеса центрами масс этих тел-маятников.
Лемма 7. Задача Неймана
дФь
ДФк = 0 (в Пк), дфк = 0 (на Sk),
дпк
дФк Г (3.51)
— = Yn,kУФк = фк (на Гк), Фк dFk = 0, дпк J
Гк
имеет единственное слабое решение УФк G Gh,Sk (Qk) тогда и только тогда, когда фк G (Н"Г/2)* = НГ1/2. Если фк — любой элемент из Ь2,гк, то УФк G D(yп,к), т. е.
D (1п,к) = (УФк G Gh,sk (Пк) : Yn,к УФк = |гк = Фк, Уфк G L2irk}. (3.52)
дпк
При этом оператор Yn,к, заданный на области определения (3.52), является замкнутым неограниченным оператором, действующим из D(Yn,k) на L2,rk. Его область определения D(Yn,k) плотна в Gh,Sk (Qk), а элементы УФк являются обобщенными решениями задачи (3.51).
Лемма 8. Операторы
Ук : D(Ук) = И12 С L2irk ^ Gh,Sk (^к)
и
Y'n,к : D(Yn,к) С Gh,sk (^к) ^ L2,rk, к = 1, 2, см. (3.21), (3.16), (3.17), взаимно сопряжены:
(Ук(к, УФк)^) = «кт,кУФк)L2,rk, VCk G D(Ук), УУФк G D(yп,к), к = 1, 2.
Опираясь на лемму 8, теперь легко установить следующее основное свойство операторных матриц Б12 и Б21. Напомним (лемма 3), что оператор Б12 задан на области определения (3.31), он неограничен, замкнут и действует из плотной в ,H2 области определения D(B12) на пространство Hf. Что касается матричного оператора Б21 из (3.36), то он также неограничен, поскольку неограниченными являются операторы Yn,k, к = 1, 2. Поэтому естественно Б21 задать на области определения
D(B21) = (Jo(Qi) 0 D(Yn,i) 0 C3) 0 (/0(^2) 0 D(Yn,2) 0 C3). (3.53)
Здесь под Yn,k понимается оператор нормального следа (см. (3.16), (3.17)), суженный на подпространство Gh,Sk (Qk).
Лемма 9. Операторы Б12 и Б21, заданные формулами (3.28), (3.36) на областях определения (3.31) и (3.53) соответственно, являются кососамосопряжёнными: Б\2 = -Б21, т. е.
(Б^гф, = -^2,Б21г1)м, Vzi G D(Б21), Vz2 G D(Б12). (3.54)
Итогом рассмотрения свойств операторных матриц изучаемой задачи является следующее утверждение.
Теорема 1. Исходная задача о малых колебаниях двух сочленённых маятников с полостями, частично заполненными идеальными жидкостями, равносильна, после отделения тривиальных соотношений! (3.9), (3.12), (2.8) (для 53), задаче Коши
П7
С- + Лх + дБг = /(I), ¡(0) = ¡0, / (I) = (Ш; 0)Т (3.55)
в гильбертовом пространстве Ж = Ж ф Ж2, где
С = ^(Сь дС2) = С* е &(Н) (3.56)
является оператором полной энергии гидромеханической системы, оператор обмена между кинетической и потенциальной энергиями
Б = (о Бп12 ) = -Б*, & (Б) = & (Б21) ф & (Б12), (3.57)
Б21 0
оператор диссипации энергии, учитывающий трение в шарнирах,
0 ^ Л = ^(Л^0) е & (Ж). (3.58)
Если выполнено условие (3.39), то оператор С ограниченно обратим, а если система статически устойчива по линейному приближению (С2 ^ 0), т.. е. выполнены условия (3.50), то оператор С положительно определен.
4. Теорема об однозначной разрешимости начально-краевой
задачи
4.1. О разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения. Перейдем к исследованию задачи Коши (3.55) как в случае статической устойчивости по линейному приближению, так и при её отсутствии.
Определение 2. Сильным решением задачи Коши (3.55) на отрезке [0; T] назовем такую функцию z(t) со значениями в H, для которой выполнены следующие условия.
1°. При любом t G [0; T] элемент z(t) G D(B) = D(B21) © D(B12) и функция Bz(t) непрерывна по t, т.е. Bz(t) G C([0; T]; Ж).
2°. Функция dz/dt непрерывна по t, т.е. z(t) G C 1([0; T]; Ж). 3°. При любом t G [0; T] выполнено уравнение (3.55), а также выполнено начальное условие. □
Заметим, что необходимыми условиями существования сильного решения задачи (3.55) на отрезке [0; Т] являются условия
¡0 е & (Б), / (г) е С ([0; Т]; Ж). (4.1)
С помощью использования теории сжимающих полугрупп операторов доказывается следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть для исследуемой гидромеханической системы выполнены условия (3.47), (3.50) статической устойчивости по линейному приближению, а также условия
¡0 е & (Б), / (г) е С 1([0; Т]; Ж). (4.2)
Тогда задача (3.55) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т].
Следствием теоремы 2 является такой факт: для сильного решения ¡(г) задачи (3.55) выполнен закон баланса полной энергии (в дифференциальной форме): 1 с1
2^(Cz(t),z(t))ж = -(Л^ ¡)ж + Бе(/(г), ¡(г))ж. (4.3)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению и для нее выполнены лишь условия (3.39). Тогда можно использовать теорию /-самосопряженных операторов в пространстве Понтрягина. Исходная проблема сводится к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения первого порядка с главным оператором, являющимся генератором С0 полугруппы. Отсюда следует такое утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (3.39) и условия (4.2). Тогда задача (3.55) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т].
Замечание 1. Если трение в шарнирах отсутствует, то оператор Л является нулевым, и задача (3.55) распадаётся на две независимые задачи Коши, каждая из которых при выполнении условий (4.2) имеет сильное решение. □
4.2. О разрешимости начально-краевой задачи о малых движениях гидромеханической системы. Установленные выше общие теоремы позволяют доказать теорему о существовании и единственности решений исходной начально-краевой задачи (2.1), (2.4)-(2.11).
Определение 3. Будем говорить, что задача (2.1), (2.4)-(2.11) имеет сильное по переменной г решение на отрезке [0; Т], если выполнены следующие условия.
1°. Функции щ (г,х) е С 1([0; Т]; (Пк)), функции урк (г,х) е С1([0; Т]; С(Пк)), а ш(г) е С 1([0; Т]; С3).
2°. Функции (к(г,хъХ2) е С 1([0; Т]; 12,гк), (хъх2) е Г, а 4(Ь) е С2([0; Т]; С3).
3°. При любом Ь е [0; Т] выполнены первые уравнения Эйлера (2.5) и (2.6), где слагаемые непрерывны по Ь со значениями в Ь2 (О,к) соответственно; выполнены соотношения (2.9), где слагаемые из С 1([0; Т]; нГ/2); выполнены кинематические условия для (к из (2.8), где слагаемые из С 1([0; Т]; Ь2,гк), а также кинематические условия для 8к, где слагаемые из С 1([0; Т]; С3).
4°. При любом Ь е [0; Т] выполнены уравнения (2.1), (2.4), где слагаемые — элементы из С([0; Т]; С3).
5°. Выполнены начальные условия (2.11). □
Теорема 4. Пусть выполнены условия
■к € 1а,8к (Ок), Рн,8кик =: УФк € С^к (Ок) :
дФ0
дп,
е Ь2,гк, Гк ' к (4.4)
(0 е нГк2, Шк е С3, 51 е С3, /1 (Ь,х) е С 1([0; Т]; Ь2(Ок)), к = 1,2.
Тогда начально-краевая задача (2.1), (2.4)-(2.11) о малых движениях двух сочленённых маятников с полостями, частично заполненными тяжелой однородной идеальной жидкостью, имеет единственное сильное по Ь решение на отрезке [0; Т]. Для этого решения выполнен закон баланса полной энергии в форме (2.12), где все слагаемые являются непрерывными функциями переменной Ь.
5. Проблема собственных колебаний
5.1. Случай нулевого собственного значения. Рассмотрим решения однородной задачи (3.55) при А = 0, зависящие от Ь по закону
г(Ь) = ешг, г е Н, (5.1)
где А — частота колебаний гидромеханической системы, а г = (г1; г2)Т — амплитудный элемент. Для элементов г1, г2 с учетом формул (3.56), (3.57) приходим к системе уравнений
дВ^2 + %АС1Х1 = 0, дВ21г1 + %АдС2г2 = 0, (5.2)
г1 = (51; УФь Ш1; УФ2; ш2)Т, г2 = «1; РА; С2; Р2$2)Т. Отметим предварительно, что операторные блоки В12, В22 и С2 обладают следующими свойствами:
В12 = diag(Bl2>l; В^), В21 = diag(B2l>l; В212), В12,к = ^ , В21,к = ^0 В21,^ , к = 1, 2,
Bi2i = ( PiVi(...) piVi(0i((...) X ri) ■ e3)
12,1 ,-pi /Г1 (ef x fi)(...) dr i (mili + m2hi)P2(...)
P2 V2 (...) P2^2(02 ((...) X f2) ■ ef)
-p2 /Гз (e| x fj)(...) dr m^Ps
(5.4)
Bi2,2- \ r ,-,3
(5.5)
(5.6)
B = , -PiYn,i{...) -pA(((...) x ri) ■ e2)
21Д vPi /Г1 (e2 x rÍ)Yn,i(...) dr 1 -(mili + m^fri)^.. •)) '
£ = / -P2Yn,2(. ..) -P2^2(((...) x r2) ■ e23)N
2i'2 \P2 /Гз (e3 x r2)7n,2(...) dr2 -m2¿2^2
C2 = diag(C2i; C22),
C2i = 1 -Pi /г1 (e^x !)(...) dFi (mili + m2hi)P2 J , B2M = -C2i7n'b Г - ( P212 P202(((...) x r2) ■ éfA S -
C22 = v-P2 /г2 (ё| x Г2)(. . .) dr2 m2l2P2 j , B?2 i" = -C227n'2,
i := diag(Yn,i; P2), %n,2 := diag(Yn,2; P2),
Bi2,i = siC2i, Bi2,2 = V2C22, si = diag(Vi; h), % = diag(V2; h). (5.7)
Эти формулы непосредственно следуют из определений (3.28), (3.35), (3.36) операторных матриц Bi2, B2i и Ci.
Лемма 10. Спектральная задача (5.2) имеет бесконечнократное нулевое собственное значение, которому отвечают решения вида
zi = (wi; 0; 0; W2; 0; 0)т, Z2 = (Zi; P/i; C2; P2J2)T = 0, Vwk G J0(ük), V¿2, $ G C.
(5.8)
Замечание 2. Решениям вида (5.8) отвечают стационарные по времени движения идеальной жидкости в каждой полости маятников без отклонения свободных поверхностей Гк. При этом тела остаются неподвижными, т. е. маятники с полостями не покачиваются.
5.2. Собственные колебания при условиях статической устойчивости. Рассмотрим теперь в задаче (5.2) случай А = 0 в предположении, что выполнены условия (3.47), (3.50) статической устойчивости по линейному приближению.
Первое уравнение (5.2) с учетом (5.7) и формулы (3.26) приводит к соотношению
йГк = -Ро,к(¿4 х гк), к = 1, 2, (5.9)
а также связи
дУкС2к^2,к + гХСы 1г,к = 0, к = 1, 2, (5.10)
С1кск = ( РкУФк + РкРкА Х ГкI (511)
1к 1,к \Рк /Пк (гк х УФк) dttk + (4,к + <?рг,к, где уже учтены соотношения (5.9) и определения присоединенных элементов инерции (см., например, [9], с. 141-143):
Лй - Рк!« х Р°,к№ х п)) ^ = (Л,к + !„г,к)*к - Рк!ъ х ^х П)) ^ =
Пк о.к
= & й+Рк1 йх Й х п)) ^ - Рк! &х ^ к х *)) ^ =
Пк ик
= ХфШк + Р^(гк х (1к - Ро,к)(Шк х Гк)) dQk = (Х,к + &рт,к)£к. (5.12)
Пк
Здесь З^к — момент инерции для к-того тела, а ЗрГ)к — присоединенный момент инерции для к—той жидкости.
Второе уравнение (5.2) с учетом (5.5), (5.6) приводит к уравнению
!и,кС1,к = г\г2к, к =1, 2, (5.13)
так как С2 = diag(C21; С22) обратим. Таким образом, при Л = 0 следует рассматривать систему уравнений (5.10), (5.13).
Лемма 11. Операторная матрица С1 = diag(C1,1; С1,2) (см. (5.11)) является ограниченным положительно определенным оператором, действующим в пространстве
Н := (дня 0 С3) 0 ш 0 с3) =: Нд 0 'Н1,2. (5.14)
Возвращаясь к системе уравнений (5.10), (5.13), исключим в них переменную г2 = (г2,\; г2,2)Т (при Л = 0). Это даёт уравнение
УС2СпС = 1С 1С, ¡1 := Л2/д, (5.15)
С := diag(Сl; С2), СП := diag(7ra,l; С42). (5.16)
Здесь С и СП, в силу леммы 8, — это неограниченные взаимно сопряжённые операторы, а С2 и С1, согласно леммам 7 и 11, — ограниченные положительно определенные операторы, так как выполнены условия (3.47), (3.50).
Из (5.15) следует, что по решению 51 число ^ можно найти по формуле
(¿2 7п?Ъ7п?1)н2
Р
(CiZi,Zi)
(5.17)
Hi
где
,д Ф1
(C2Zn Zi, Zi)H2 = Р i[J I + 0 i((p2 й X ri) ■ e3)|2 dr 1 -J i((P2 й x ri) ■ e3)|2 dr i
+
Г1
Г1
+Р2
|дф2 + 02((P2^2 X f2) ■ e|)|2 dr2 - I \02((Р2Ш2 x r2) ■ e-f)|2 dr2
+
(5.18)
1Г Г2
+ 1 + Ш2к 1 )|Р2^112 + Ш2/2|Р2^2|2. Введем еще в рассмотрение потенциальные поля и соответствующие потенциалы Н. Е. Жуковского фк,з, 3 = 1, 2, 3, к =1, 2 (см. [1]). Так как х гк) = 0, то поле
Vфk = (1к — Ро,к )(3к х г к) находится с помощью решения задачи
Афк = 0 (в Q),
дфк дпк
= (йк X г к) ■ Пк (на д Q).
Тогда
= 0 (в Пк)
Ро,к (йк X г к) = йк X г к - V^, v^ = V^j,
j=i
д'фк^
(5.19)
(5.20)
дпк
(4 x Гк) -Пк (на д Пк), j = 1, 2, 3, k = 1, 2. (5.21)
Решение каждой из задач (5.21) зависит лишь от формы области Пк, заполненной жидкостью.
С помощью потенциалов Жуковского квадратичная форма оператора ¿1 представляется в виде
(¿71^1,51)^1 = р1 + ^ |2 + ро1 х г112 dПol+
j=i
П01
+Р2 j |Й1 х/¡1 + VФ2 + ^Ш2,зVф2,j|2 dП2 + Р02 у х/ + ¿Ъ х г2|2 dПo2, (5.22) П2 j=1 П02
поэтому соотношение (5.17) принимает форму
Р = i Pi
LTi
| дф + 0i((p2 й x ri) ■ e?)|2 dri -j |0i((pa x ri) ■ e?)|2 dt
г1
+
+Р2
|дф2 + е2((Р2й2 х г2) • е23)|2 ¿Г2 - I \е2((Р2й2 х Т2) • е23)|2 ¿Г2 1Г2 Г2
2 I ™ 1 I тэ г> |2
+
+ (ш^г + Ш2^1)|Р2Ш1| + 1 Р2^212
|УФ1 + Е ^ ^ + Р01 №1 X Г\|2 Що1 +
7=1
3
+Р2 j ХЙ1 + УФ2 + Е №2,7 ^'2,7 ^ ^2 + Р02 J X 1%1 + Ш2 X г2|2 ¿^о^. (5.23)
П2 ^ П02
Теорема 5. Задача (5.15), (5.16) имеет дискретный спектр }^=1, состоящий из конечнократных положительных собственных значений ^з с предельной точкой ^ = Соответствующая им система собственных элементов (11,7}^=1, = (УФ1,7; ; УФ2,7; )т, образует базис в пространстве Н = НЦд ф Н1,2 = (Сн,я1 (^1) Ф С3) ф (Оь,я2(^2) Ф С3), ортогональный по формам (5.18), (5.22).
Собственные значения и собственные элементы задачи (5.15), (5.16) можно найти, рассматривая последовательные минимумы вариационного отношения (5.23) или последовательные минимумы функционала (5.18) при дополнительном условии, что функционал (5.22) равен единице. При этом для функций сравнения Фк должны иметь место соотношения
ДФк = 0(в ^), дФк = 0 (на Бк), [фк ¿Гк = 0, к = 1, 2. (5.24) оик ]
Для нахождения приближенных решений задачи (5.15), (5.16) можно применить метод Ритца к функционалу
^(21) := (^27^1,7,^1)^2 - ^(С^ь^Он, (5.25)
и этот метод сходится.
Наконец, асимптотическое поведение собственных значений ^з при 3 ^ то та-
ково:
1
' ' ' 1
N = (4П(|Г1| + |Г2|)-1/2) 31/2[1 + 0(1)]. (5.26)
Доказательство. Заметим сначала, что совокупность элементов 71, для которых при условиях (5.24) конечна квадратичная форма (5.22), компактна в Н1, а так как норма, задаваемая формой (5.22), эквивалентна стандартной норме пространства Н1,
то указанная совокупность элементов компактна и по форме (5.22). Поэтому по теореме С. Г. Михлина (см., например, [15]) задача (5.15), (5.16) имеет дискретный положительный спектр }^=1, ^ +гс (] ^ го), а система собственных элементов }^=1, отвечающая собственным значениям }^=1, образует ортогональный базис как по форме (5.22), так и по форме (5.18). В частности, при соответствующей нормировке выполнены свойства
(С^и, ¿у)^ = А (C'27nZl,j ,~и21,1),т, = А . (5.27)
Остальные утверждения теоремы также следуют из [15]. Наконец, последнее утверждение (асимптотика спектра) следует из такого рассуждения. Квадратичная форма (5.18) отличается от «невозмущенной» квадратичной формы
Рк / Iд—^|2 ^Гк тем, что (5.18) является расширением этой формы на дополни] ОПк к=1 Гк
тельное конечномерное (шестимерное) пространство. Далее, квадратичная форма
2 [
(5.22) является расширением формы ^ ^ рк |VФk|2 dQk на это же дополнительное
k 1 nfc
пространство. Отсюда и из общих результатов М. Ш. Бирмана и М. З. Соломяка (см., например, [16]) следует, что асимптотическое поведение чисел ^ такое же, как и для вариационного отношения
33 Рк{ I^I2 dГk / 33 рк{ ^Фк|2 dПk (5.28)
к 1 к 1
Г к "к
при дополнительных условиях (5.24). Однако этому отношению отвечают две независимые спектральные задачи для отношений
/ IдфI2 dГk / ] ^I2 dnk Гк "к или, что равносильно, для отношений
I |VФkI2 dQk / I !ФкI2 dГk
"к Гк
при условиях (5.24).
Отсюда, а также из результатов И. Л. Вулис и М. З. Соломяка (см. [17]) получаем, что для задачи (5.15), (5.16) имеет место асимптотическая формула (5.26). □
Замечание 3. Вариационная задача (5.23), (5.24) обобщает задачу (5.28), (5.24), которая соответствует проблеме собственных колебаний идеальных жидкостей в двух
неподвижных сосудах, т.е. в полостях без маятников. При ш1 = 0, Ш2 = 0 первая проблема переходит во вторую. □
5.3. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. Будем теперь считать, что условия (3.47), (3.50) статической устойчивости по линейному приближению не выполнены, и снова рассмотрим спектральную задачу (5.15), (5.16):
7С27-п71 = N := 21 е Н 7 = diag(VÍ; ^ 7П = diag(7ra,l; 7„,2).
(5.29)
Здесь все операторы, кроме С2, имеют прежние свойства, а оператор С2, согласно лемме 6, при выполнении условий (3.39), а также из замечаний после её доказательства ограниченно обратим, причем ранг индефинитности квадратичной формы (С2г2,г2)ж2 равен к, 1 ^ к ^ 4. Отсюда следует, что
С2 = Зк|С21 = ^^Зк|С21!'1/, Зя = З-1 = Гя, 0 << |С21 е ^(Н2), (5.30)
где Зк - каноническая симметрия.
Отметим еще, что в (5.29) операторы 7, и V7 взаимно сопряжены и имеют ограниченные (и даже компактные) обратные. Учитывая эти свойства, выполним в (5.29) замену по формуле
|С2|1/27п71 =: V е Н2. (5.31)
Тогда вместо (5.29) придем к задаче
V = ¡1ЗкС := СФ1^-1С17-1|С2|-1/2, (5.32)
где С — компактный положительный оператор, действующий в пространстве Н = (32,Г1 ф С2) ф (Ь2,Г2 ф С2). Свойство положительности оператора С проверяется непосредственно с учетом того, что С1 ^ 0 (лемма 11) и (V7)* = 7,. Отсюда на основании теоремы Л. С. Понтрягина из [18] (см. также [19]) получаем такой результат.
Теорема 6. Задача (5.29) имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократ-ных собственных значений е К с предельной точкой N = +то. При этом первые к собственных значений отрицательны, а остальные - положительны. Собственные элементы {71,з}°=1 задачи (5.29) образуют базис, ортогональный по форме (С^^-С)^.. При этом выполнены формулы ортогональности (5.27), где теперь < 0 при 3 ^ к; ^з > 0, 3 ^ к +1.
Асимптотическое поведение собственных значений при 3 ^ то по-прежнему имеет вид (5.26).
Следствием установленных фактов является утверждение, которое называют обращением теоремы Лагранжа об устойчивости.
Теорема 7. Пусть выполнены условия (3.39) и не выполнены условия (3.47), (3.50), т,. е. изучаемая гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению. Тогда она является и динамически неустойчивой, т. е. имеются решения однородной начально-краевой задачи (2.1), (2.4) —(2.11), экспоненциально возрастающие по t при t ^
Описок литературы
1. Жуковский, Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью / Н. Е. Жуковский // Избранные сочинения. — 1948. — Т. 1. — C. 31-52.
ZHUKOVSKIY, N. E. (1948) On motions of rigid body with cavities filled with homogeneous capel dlfuid. Selected works. Vol. 1. p. 31-52.
2. Крейн, С. Г. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной границей / С. Г. Крейн, Н. Н. Моисеев // Прикладная математика и механика. — 1957. — Т. 21, вып. 2. — C.169-174.
KREIN, S. G., MOISEEV, N. N. (1957) On oscillations of rigid body containing fluid with free boundary. App. math and mechanics. Vol. 1 (2). p. 169-174.
3. Батыр, Э. И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость / Э. И. Батыр // Динамические системы. — 2001. — вып. 17. — C. 120-125.
BATYR, E. I. (2001) Small motions of a system of joined bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Dynamic systems. Vol. 17. p. 120-125.
4. Батыр, Э. И. Малые движения системы последовательно сочленённых тел с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость / Э. И. Батыр // Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. — 2002. — Т. 15(54), № 2. — C. 5-10.
BATYR, E. I. (2002) Small motions of a system of joined bodies with cavities filled with a ideal incompressible fluid. Uch. zap. TNU. Vol. 15(54) (2). p. 5-10.
5. Батыр, Э. И. Малые колебания тел с полостями, заполненными несжимаемой вязкой жидкостью / Э. И. Батыр, О. А. Дудик, Н. Д. Копачевский // Известия вузов. Северо - Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Актуальные проблемы математической гидродинамики. — 2009. — Т. 49. — C. 15-29.
BATYR, E. I., DUDIK, O. A., KOPACHEVSKY, N. D. (2009) Small oscillations of bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid. Izv. vuzov. North-Caucasus region. Actual problems of mathematical hydrodynamics. Vol. 49. p. 15-29.
6. Батыр, Э. И. Малые движения и нормальные колебания системы трех сочленённых тел с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью / Э. И. Батыр // Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. — 2010. — Т. 23(62), № 2. — C. 19-38.
BATYR, E. I. (2010) Small motions of a system of three joined bodies with cavities filled with a ideal incompressible fluid. Uch. zap. TNU. Vol. 23(62) (2). p. 19-38.
7. Батыр, Э. И. Малые движения и нормальные колебания системы сочлененных гиростатов / Э. И. Батыр, Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фундам. направления. — 2013. — Т. 49. — C. 5-88.
BATYR, E. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2013) Small motions and normal oscillations in systems of connected gyrostats. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 49. p. 5-88.
8. Войтицкий, В. И. О малых движениях системы двух сочленённых тел с полостями, частично заполненными тяжёлой вязкой жидкостью / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский // Таврический вестник математики и информатики (ТВИМ). — 2017. — № 2 (35). — C. 7-32. VOYTITSKY, V. I., KOPACHEVSKY, N. D. (2017) On small motions of systems of two joined bodies with cavities partially filled with a heavy viscous fluid. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. No. 2 (35). p. 7-32.
9. Копачевский, Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. — Москва: Наука, 1989. — 416 c.
KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (1989) Operator methods in linear hydrodynamics. Evolution and spectral problems. Moscow: Nauka. 416 p.
10. KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (2001) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 128). Birkhauser Verlag. - Basel. - Boston. - Berlin. 384 p.
11. KOPACHEVSKY, N. D., KREIN, S. G. (2003) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146). Birkhauser Verlag. - Basel. - Boston. - Berlin. 444 p.
12. Копачевский, Н. Д. О колебаниях тела с полостью, частично заполненной тяжелой идеальной жидкостью: теоремы существования, единственности и устойчивости сильных решений / Н. Д. Копачевский // Проблеми динамжи та стшкост багатовимiрних систем. - Зб. праць I& ституту математики НАН Украши. — 2005. — Т. 1, № 1. — C. 158-194.
KOPACHEVSKY, N. D. (2005) On oscillations of body with cavity partially filled with a heavy ideal fluid: theorems on existance, uniqueness, stability of strong solutions . Problems of dynamics and stability of multidimentional systems. - Proceedings of Math Institute NASU. Vol. 1, No. 1. p. 158-194.
13. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм / Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2015. — Т. 57. — C. 71—105.
KOPACHEVSKY, N. D. (2015) On abstract Green's formula for triple of Hilbert spaces and sesqulinear forms. Contemporary mathematics. Fundamental directions. Vol. 57. p. 71—105.
14. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые её приложения / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ФОРМА, 2016. — 280 с.
KOPACHEVSKY, N. D. (2016) Abstract Green's formula and its some applications. Simferopol: FORMA. 280 p.
15. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — Москва: Наука, 1970. — 512 с.
MIHLIN, S. G. (1970) Variational methods in mathematical physics. Moscow: Nauka. 512 p.
16. Бирман, М. Ш. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк // Итоги науки и техники. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ. — 1977. — Т. 14, № 6. — C. 5-52.
BIRMAN, M. Sh., SOLOMYAK, M. Z. (1977) Spectral asymptotics for differential equations. Itogi nauki i tehniki. Math analysis. Vol. 14, No. 6. p. 5-52.
17. Вулис, И. Л. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов второго порядка / И. Л. Вулис, М. З. Соломяк // Известия АН СССР. Серия математика. — 1974. — Т. 38, № 6.. — C. 1362-1392.
VULIS, I. L., SOLOMYAK, M. Z. (1974) Spectral asymptotics for degenerated elliptic operators of second order. Izvestiya Academy of science USSR. Math series. Vol. 38, No. 6. p. 1362-1392.
18. Понтрягин, Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой / Л. С. Понтрягин // Известия АН СССР. Серия «математика». — 1944. — Т. 8, № 6. — C. 243-280. PONTRYAGIN, L. S. (1944) Hermitian operators in space with indefinite metrics. Izv. Academy of sciencs USSR. Math series. Vol. 8, No. 6. p. 243-280.
19. Азизов, Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. — Москва: Наука, 1986. — 352 c.
AZIZOV, T. Ya., IOHVIDOV, I. S. (1986) Foundation of theory of linear operators in spaces with indefinite metrics. Moscow: Nauka. 352 p.
