СВОЙСТВО ДИСКРЕТНОСТИ СПЛОШНЫХ ИНЕРЦИОННО-УПРУГИХ СРЕД Текст научной статьи по специальности «Физика»

Свойство дискретности сплошных инерционно-упругих сред

Захаров Аркадий Васильевич

кандидат технических наук, профессор, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, zaharovav@mgsu.ru

Показана возможность вместо волнового процесса распространения звуковых колебаний,рассматривать процесс соударения материальных точек, представляющих части сплошных инерционно-упругих сред, охватываемых волновыми лучами, массы которых определяются плотностями сред и объемами, задаваемыми длинами волн на рассматриваемых частотах и площадью поперечного сечения звукового луча. Части плотно размещены во всем пространстве сред, без разрывов и наложений, что обеспечивает условия неразрывности. Передача движения в среде описывается уравнениями законов сохранения классической механики при соударении тел. Для рассматриваемых задач используются уравнение сохранения кинетической энергии и уравнение сохранения количества движения. Эти уравнения удобны тем, что не описывают сам процесс соударения, а при заданных параметрах движения до начала соударения дают его результат после завершения процесса и, тем самым, значительно облегчают решение задачи. Указанные уравнения были использованы для решения задачи о нормальном распространении волны через границу сред. Были получены коэффициенты прохождения и отражения волны по колебательной скорости. В существующей литературе по этим коэффициентам, полученным из условий неразрывности на границе сред звукового давления и колебательной скорости, в течение десятилетий, приводятся противоречивые мнения, по поводу принадлежности их к той или другой физической величине. При рассмотрении задачи распространения волны через пластину, разделяющую среду, показано, что при современном решении задачи на основе уравнений неразрывности, допускается нарушение неразрывности, приводящее к неправильному результату. Решение задачи на основе уравнений законов сохранения при соударении тел дает правильный результат, что указывает на существование свойства дискретности сред. Ключевые слова: неразрывность, дискретность, уравнения законов сохранения механики, приведенная масса, ширина волнового луча.

см см о см

Введение. Сплошные инерционно-упругие среды при волновом движении в них проявляют свойство дискретности, заключающееся в том, что часть среды, обладающая массой ц = рЛБ/2л, и эффективной колебательной скоростью V, эквивалентна дискретному телу той же массы, двигающемуся прямолинейно с тем же значением скорости. Эту массу предложено называть «приведенной». К ней применимы законы механики дискретных тел.

Приведенная масса может быть представлена следующими выражениями:

| = рБ/к = рБЛ/2я = рсБ/ю = рСБ/2^, (1)

где р - плотность среды, с - скорость распространения волны, Л - длина волны, б - площадь поперечного сечения волнового луча, f - частота колебаний, ю - круговая частота колебаний, к - волновое число, рс - волновое сопротивление.

Для получения возможности использования в акустике физических моделей механики твердого тела рассматриваемый объект описывается в стандартных процедурах: длина гармонической волны принимается из разложения реального (акустического, сейсмического и т.п.) сигнала в спектр Фурье, объект представляется в виде материальной точки - «сосредоточенной приведенной массы», далее, для простоты, - «приведенной массы». Количество движения приведенной массы есть IV, а кинетическая энергия - |^2/2.

Движение гармонической волны в однородной среде можно представить, как последовательные упругие соударения приведенных масс, в результате которых передается эффективное значение колебательной скорости.

Доказательство существования свойства дискретности сред производится решением задач распространения волны через границу сред и разделяющий среду, массивный слой, путем использования уравнений фундаментальных законов сохранения классической механики. В комментариях полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными данными и иллюстрируются решением некоторых важных прикладных задач.

О ш т х

<

т о х

X

Задача о прохождении и отражении волны на границе двух сред

Рассматривается плоская гармоническая волна, нормально падающая на плоскую границу двух однородных сред. Физическую модель можно представить, как упругий удар приведенной массы первой среды по покоящейся приведенной массе второй среды. Примем начальную скорость V приведенной массы первой среды за единицу и обозначим скорость после удара через р, а скорость приведенной массы второй среды - через а. Эти символы будут представлять коэффициенты отражения и прохождения колебательной скорости волны. Приняв площадь поперечного сечения волно-

вого луча за единицу, можно записать уравнения законов сохранения количества движения и сохранения кинетической энергии в следующем виде:

ц^ = ц1р + ц2а (2)

ц1 v2 /2 = ц1 Р2/2 + ц2 а2/2 (3)

Совместное решение уравнений (2) и (3) дает следующие выражения коэффициентов отражения и прохождения:

Р = (ц1 - ц2) / (ц1 + ц2) = (р1с1 - р2с2) / / (р1с1 + р2с2) (4)

а = 2ц1 / (ц1 + ц2) = 2р1с1 / (р1с1 + р2с2) (5) Последняя запись коэффициентов дана с учетом выражения (1) и соответствует общепринятой форме.

Полученные формулы были использованы для расчета прохождения волны через границу воздуха и морской воды. Результаты сравнивались с реальными значениями, приведенными в [4, с.134]. В таблице 1 приведены реальные значения коэффициентов прохождения по колебательной скорости (колонка 2) и по давлению (колонка 3) волны, падающей из воздуха в воду (верхняя строка) и волны, падающей из воды в воздух (нижняя строка). Как видно, расчетные значения совпадают с реальными значениями по колебательной скорости (колонки 2 и 7).

Таблица 1

Коэффициенты прохождения волны через границу воздуха и воды

№ п/п 1 Реальные коэффициенты прохождения звука через границу воздуха (рс =420 кГ/м2с) и морской воды (рс =1.5 х 106 кГ/м2с) Полученные из условий неразрывности расчетные коэффициенты Полученные из законов сохранения расчетные коэффициенты

по скорости ау по давлению ар отражения Р = ргс2~ прохождения а 2 р2с2 отражения р= р1С1" р1с1+р2с2 прохождения а = 2р1с1

р2с2+р1с1 р?С2+рлС1 рлсг+р2с2

1 2 3 4 5 6 7

2 Из воздуха в воду 0.00057 1.99943 0.99943 1.99943 -0.99943 0.00057

3 Из воды в воздух 1.99943 0.00057 -0.99943 0.00057 0.99943 1.99943

Комментарий 1. Закон сохранения количества движения применим к замкнутым системам тел [5, с.137]: «Система, которая включает в себя все взаимодействующие тела (так, что ни на одно из тел системы не действуют другие тела, кроме включенных в систему), называется замкнутой системой». Сплошная среда к таким системам не относится. Поэтому закон сохранения количества движения в современной акустике не применяется. Но, если принять во внимание существование свойства дискретности сплошных сред, благодаря которому имеется возможность виртуального представления частей сред дискретными телами, образующими замкнутую систему, указанное противоречие снимается.

Комментарий 2. Существующее положение. В настоящее время коэффициенты отражения и прохождения волны, полученные из решения уравнений неразрывности давления и неразрывности скорости на границе сред, выглядят следующим образом:

Р = (р2с2 - р1с1) / (р2с2 + р1с1) (6)

а = 2р2с2 / (р2с2 + р1с1) (7)

Как видно, при совпадении структур формул (4),(5) и (6),(7) различаются индексы, обозначающие порядок расположения сред. При этом в существующем способе получения указанных коэффициентов из уравнений неразрывности содержится внутреннее противоречие, которое заключается в том, что одном из исходных уравнений рассматривается давление, а в другом - колебательная скорость. Какие же параметры волны (давления или скорости) выражают полученные коэффициенты?

Из сравнения данных в таблице реальных (колонка 3) и расчетных (колонка 5) значений видно, что коэффициенты прохождения, полученные из уравнений (6) и (7), выражают отношение давлений. Отрицательное значение расчетного коэффициента отражения (колонка 4, нижняя строка) указывает на изменение фазы в отраженной волне, что должно произойти с давлением.

Таким образом, уравнения неразрывности дают значения коэффициентов по давлению, а уравнения сохранения - по колебательной скорости. Это обстоятельство имеет весьма важное практическое значение, поскольку численные значения коэффициентов прохождения по скорости и по давлению, как это видно из колонок 5 и 7 таблицы, могут отличаться на несколько порядков. Между тем, ни в фундаментальных трудах [1, с.27-30; 2, с.426-429], ни в вузовской учебной литературе [4, с.132-133] нет четкого указания на то, к каким параметрам волн относятся коэффициенты, полученные из уравнений неразрывности. В научно-техническом труде [3, с.69] утверждается, что коэффициент прохождения, определяемый по формуле (7), дает значения по скорости, если волновое сопротивление первой среды значительно превосходит волновое сопротивление второй среды и по давлению, если соотношение этих сопротивлений обратное. И, наконец, в широко известном справочнике по физике для инженеров и студентов [5, с. 566-568] утверждается, что эти коэффициенты относятся к скорости. Таким образом, приведенные факты говорят о том, что для получения однозначного ответа о принадлежности коэффициентов, полученных из условий неразрывности, необходимы дополнительные действия. При использовании дискретной модели прохождения звука дополнительных действий не требуется.

Задача о распространении волны через, разделяющий среду, массивный слой

Физическую модель можно представить как одновременный центральный удар приведенной массы ц по покоящейся сосредоточенной массе т и приведенной массе ц среды, покоящейся за сосредоточенной массой. Уравнения законов сохранения количества движения и кинетической энергии будут выглядеть следующим образом:

цv = цР + (ц + т) а, (8)

цv2/2 = ц Р2/2 + (ц + т) а2/2 (9)

Формула коэффициента прохождения скорости, полученная из решения уравнений законов сохранения, совпадает с формулой, полученной из условий неразрывности [4,С.149]:

а = 2ц / (2ц + т) = (10)

Эта формула используется в архитектурной акустике для вычисления звукоизоляции,

ЗИ, несжимаемых по толщине пластин и, поэтому, представляемых сосредоточенными массами [4, С.147]:

X X

о

го А с.

X

го т

о

ю О

м м

CN СЧ О

cs

О Ш

m

X

<

m о x

X

ЗИ = 10 lg 1/а2 = 20 lg (1 + m/2|) = 20 lg (1 + rtfm/pc), dB. (11)

Формула (11) при TCfm / pc >> 1 совпадает с известной формулой звукоизоляции, так называемым, законом массы, [3, с.78-79] при нормальном падении звука на основная доля п пластину поверхностной плотностью m.

При наклонном падении звука под углом 9 [3,С.128-132],[7,С.22] эта формула приобретает следующий вид:

ЗИ = 10 lg |1 + (f cos 9 / pc)2 I, dB. (12)

Как видно, звукоизоляция пропорциональна косинусу угла падения (угол между нормалью к пластине и направлением распространения волны): она уменьшается с увеличением угла вплоть до нулевого значения при скольжении волны вдоль пластины. Проблеме изоляции при наклонном падении звука в мировой литературе посвящено много сотен работ. Подборка основных литературных источников на эту тему содержится, например, в [7, с.180-184]. Однако, эта теоретическая зависимость звукоизоляции от угла падения звука, за почти вековой период исследований, не получила ни экспериментального, ни практического подтверждения. Так звукоизоляция пластин, ограждающих протяженные объемы, например, длинные коридоры в зданиях, вентиляционные каналы, где звуковые волны распространяются преимущественно вдоль этих пластин, такая же, как и у пластин, ограждающих кубические объемы.

Более того, с целью приближения к реальным значениям результатов расчета звукоизоляции пластин, ограждающих кубические объемы, из рассмотрения исключаются, как несуществующие волны, падающие под углами, близкими к 900. Но тут же, при расчете звукоизоляции пластины, примыкающей к рассматриваемой, эти «несуществующие» волны становятся главными!

Реально имеющееся снижение изоляции звука по сравнению с результатами расчета по закону масс объясняется совсем другими причинами [8,9], [10], в основном волновыми резонансами, которые и экспериментально и теоретически хорошо изучены.

Комментарий 3. Ошибка в формуле (12) произошла из-за несовершенства физической модели, используемой при рассмотрении условий неразрывности при косом падении звука на пластину. Несовершенство заключалось в том, что при рассмотрении лучевой картины прохождения звука, где лучи представлялись линиями, не принималось во внимание изменение ширины звукового луча при прохождении его через пластину. Поэтому при выводе формулы (12) не соблюден принцип неразрывности по площади следа луча на пластине.

луча и сохранении его ширины, площадь его косого сечения будет больше площади сечения луча в пластине, т.е. условие неразрывности не соблюдается. Для сохранения условия неразрывности ширина луча в среде должна уменьшаться пропорционально косинусу угла падения (Рис.1), т.е. уменьшаться приведенная масса части среды, приходящейся на единичную площадь пластины, а, следовательно, и её массы, сохраняющейся при любых углах падения звукового луча. Этот ключевой момент отразим в уравнениях сохранения.

Векторное уравнение закона сохранения при падении звукового луча на пластину под углом © принимает следующий вид:

I cos © v/ cos © = ц cos © ■ р / cos © + (ц cos © + m) ■ а/ cos ©. (13)

Сократив косинусы получим:

|v = |P + (| + m / cos ©)а (13*)

Скалярное уравнение закона сохранения количества движения:

I cos 9-v2 _ | cos 9-р2 _ cos 9+т) а2 /<м\

2 2 2 ^ ' Все косинусы в уравнениях (13*) и (14) означают пропорциональное им снижение значений приведенных масс относительно приведенной массы при нормальном к пластине распространении волны.

Решение системы уравнений (13*) и (14) дает следующее выражение коэффициента прохождения звука:

■ +1.

m/2[icos 9

Звукоизоляция

ЗИ = 10 lg 4 = 20 lg (1 +

2^cos 9

: 20 lg (1+-

дБ

(15)

(16)

pc cos 9

Как видно, cos © из числителя в формуле (12) переместился в знаменатель формулы (16). Это означает, что минимальная «базовая», т.е. не зависящая от резонансных частот, звукоизоляция имеет минимальные значения при нормальном падении звука и возрастает по мере увеличения угла падения к нормали к поверхности пластины. Формула (16) получена при соблюдении условий неразрывности, формула (12) получена с нарушением условий неразрывности и, поэтому, ошибочна.

Формула (16) применима на частотах, где рассматриваемая пластина имеет скорость изгибных волн меньше скорости звука в воздухе и, поэтому, невозможны условия неразрывности, т.е. условия волнового совпадения не возникают. Условия волнового совпадения возникают выше частоты, на которой становятся равными скорость звука в воздухе и скорость распространения изгибной волны в пластине. Начиная с этой, «граничной частоты волнового совпадения» пластина становится средой распространения волн, фазы колебаний которых могут совпадать с фазами колебаний в волнах воздушной среды. Формула звукоизоляции на частотах волнового совпадения будет иметь вид:

ЗИ = 20 lg (1+:

(17)

Рис.1. Площадь сечения луча в среде.

При нормальном падении звука площади поперечного сечения луча в среде и пластине одинаковы - условия неразрывности соблюдаются. При косом падении

2цсо5 9

где цп - приведенная масса пластины.

Таким образом, с возрастанием частоты звука модель передачи волнового движения через дискретное тело, формула (16), заменилась на модель чисто волновой передачи движения, формула (17). При этом, звукоизоляция снизилась на 2л, то есть примерно на 16 дБ, что подтверждается экспериментом.

)

Выводы

1. Результаты решения рассмотренных задач указывают на существование неизвестного ранее свойства дискретности сплошных сред, проявляющееся в них при распространении волн.

2. Открытие свойства дискретности сплошных инерционно-упругих сред позволяет в волновой механике и акустике применять законы классической механики.

3. Использование свойства дискретности позволило уточнить (задача 1, комментарий 2) и исправить (задача 2, комментарий 3) некоторые ошибочные положения, существующие в современной акустике.

4. Использование свойства дискретности сплошных сред позволило создать простые расчетные методы, в которых последовательно, в зависимости от частоты колебаний, применяются физические модели взаимодействия дискретных тел. Методы могут применяться в акустике, сейсмике, и в других научных и технических отраслях, где рассматривается распространение волн и вибраций.

Литература

1. Zakharov A. About some misunderstandings in the modern theory of the sound isolation and discrete models of sound transmission // International Conference on Materials Science and Mechanical Engineering, ICMSME 2013 (Malaysia, Kuala Lumpur: 27 October 2013); Scopus. Applied Mechanics and Materials. - 2014. - Vol. 467, 2014, P. 361- 366.

2. Бреховских Л. М., Бодин О. А. Акустика слоистых сред // М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989. - 416 с.

3. Заборов В. И. Теория звукоизоляции ограждающих конструкций // М.: Изд. лит. по строит, 1969. - 186 с.

4. Захаров А. В. Дискретные модели прохождения волн при расчетах звукоизоляции в зданиях // Промышленное и гражданское строительство. -2012. - № 11. -С. 50-54.

5. Захаров А. В. Расчет изоляции звука однородными ограждающими конструкциями // Трета нацио-нална конференция за борба с шума. Доклади. (Болгария, г. Варна: 27-29 октября 1973 г.). - София, 1973. -316 с.

6. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 496 с.

7. Клюкин И. Н. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах // Л.: Судостроение, 1971. - 416 с.

8. Скучик Е. Основы акустики / Евгений Скучик; пер. с англ. / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. Л. М. Лям-шева. -М.: Мир, 1976. - 520 с.

9. Хайкин С. Э. Механика // М.-Л.: ОГИЗ, Гос. изд. техн.-теор. лит., 1947. - 576 с.

10. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев. Справочник по физике //М.: изд. ОНИКС, 2006. - 1056 с.

Discrete property of continuous inertial-elastic media

Zakharov A.V.

National Research Moscow State University of Civil Engineering

JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

It is shown that instead of the wave process of propagation of sound vibrations, it is possible to consider the process of collision of material points representing parts of continuous inertial-elastic media covered by wave rays, the masses of which are determined by the densities of the media and the volumes specified by the wavelengths at the considered frequencies and areas due to the cross section of the sound beam. The parts are densely placed in the entire space of media, without gaps and overlaps, which ensures the conditions of continuity. The transfer of motion in a medium is described by the equations of the laws of conservation of classical mechanics in the collision of bodies. For the problems under consideration, the kinetic energy conservation equation and the momentum conservation equation are used. These equations are convenient in that they do not describe the collision process itself, but for given motion parameters before the collision begins, they give its result after the process is completed and, thereby, greatly facilitate the solution of the problem. These equations were used to solve the problem of normal wave propagation through the media boundary. The transmission and reflection coefficients of the wave were obtained from the vibrational velocity. In the existing literature on these coefficients, obtained from the conditions of continuity at the boundary of the media of sound pressure and vibrational velocity, for decades, conflicting opinions have been given about their belonging to one or another physical quantity. When considering the problem of wave propagation through a plate separating a medium, it is shown that with the modern solution of the problem based on the equations of continuity, continuity violation is allowed, leading to an incorrect result. The solution of the problem based on the equations of the laws of conservation in the case of collision of bodies gives the correct result, which indicates the existence of the property of media discreteness.

Keywords: continuity, discreteness, equations of conservation laws of mechanics, reduced mass, wave beam width.

References

1. Zakharov A. About some misunderstandings in the modern theory

of the sound isolation and discrete models of sound transmission // International Conference on Materials Science and Mechanical Engineering, ICMSME 2013 (Malaysia, Kuala Lumpur: 27 October 2013); Scopus. Applied Mechanics and Materials. -2014. - Vol. 467, 2014, P. 361- 366.

2. Brekhovskikh L. M., Bodin O. A. Acoustics of layered media // M.:

Nauka, Ch. ed. Phys.-Math. lit., 1989. - 416 p.

3. Fences V. I. The theory of sound insulation of building envelopes //

M.: Izd. lit. builds, 1969. - 186 p.

4. Zakharov A. V. Discrete models of wave behavior in calculations of

sound insulation in buildings. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitelstvo. - 2012. - No. 11. - S. 50-54.

5. Zakharov A. V. Calculation of emissions by homogeneous building

envelope // Treta national conference on noise control. Report. (Bulgaria, Varna: October 27-29, 1973). - Sofia, 1973. - 316 p.

6. Isakovich M. A. General acoustics. Moscow: Nauka, Ch. ed. Phys.-

Math. lit., 1973. - 496 p.

7. Klyukin I. N. Fighting noise and sound vibration on ships // L .:

Shipbuilding, 1971. - 416 p.

8. Skuchik E. The foundations of akoustics // Evgeniy Skuchik; per.

from English. / ed. Doctor of Physics and Mathematics sciences, prof. L. M. Lyamsheva. -M.: Mir, 1976. - 520 p.

9. Khaikin S. E. Mechanics // M.-L.: OGIZ, Gos. ed. tech.-theor. lit.,

1947. - 576 p.

10. Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev. Handbook of physics //M.:

ed. ONIX, 2006. - 1056 p.

X X

о го А с.

X

го m

о

м о м м