CC BY
75
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-311-324
Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями1
Л. А. Толоконников, Т. Ш. Нгуен
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Нгуен Тхи Шанг — аспирант кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматривается задача об отражении и прохождении плоской звуковой волны через однородную упругую пластину с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, граничащую с вязкими жидкостями. Полагается, что законы неоднородности покрытия пластины описываются дифференцируемыми функциями.
Распространение малых возмущений в вязкой жидкости в случае установившихся колебаний описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца. Распространение упругих волн в однородной изотропной упругой пластине описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн. Колебания неоднородного изотропного упругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды.
Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Получено аналитическое описание отраженного и прошедшего через пластину акустических полей.
Представлены результаты численных расчетов зависимостей коэффициентов отражения и прохождения продольных волн от угла падения плоской волны.
Ключевые слова: отражение и прохождение звуковых волн, однородная упругая пластина, непрерывно-неоднородное покрытие.
Библиография: 25 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, Т. Ш. Нгуен. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 311-324.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
1ГОС 539.3:534.26 1)01 10.22405/2226-8383-2019-20-2-311-324
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
The transmission of sound through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquid^
L. A. Tolokonnikov, T. S. Nguyen
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Nguyen Thi Sang — undergraduate department of of the Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Abstract
In paper the problem of the reflection and transmission of a plane sound wave through a homogeneous elastic plate with an continuously inhomogeneous plate elastic coating adjoining viscous liquids is considered. It is believed that heterogeneity laws of a coating are described by differentiable functions.
The propagation of small perturbations in a viscous fluid in the case of steady state oscillations is described by scalar and vector Helmholtz's equations. The propagation of elastic waves in a uniform isotropic elastic plate is described by two wave equations for longitudinal and transverse waves. Oscillations of an inhomogeneous isotropic elastic coating are described by general motion equations of the continuous medium.
The boundary-value problem for the system of ordinary second order differential equations is constructed for determination of the displacement field in inhomogeneous coating.
An analytical description of the reflected and transmitted through the plate acoustic fields is obtained.
The results of numerical calculations of dependences of coefficients of reflection and transmission of longitudinal waves from the angle of incidence of plane wave are presented.
Keywords: reflection and transmission of sound waves, homogeneous elastic plate, continuously inhomogeneous coating.
Bibliography: 25 titles. For citation:
L. A. Tolokonnikov, T. S. Nguyen, 2019, "The transmission of sound through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquids" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 311324.
1. Введение
Существует большое количество работ по изучению прохождения звуковых волн через плоский однородный изотропный упругий слой, граничащий с идеальными жидкостями, например, [1, 2]. Отражение звука анизотропными однородными упругими пластинами рассматривалось в [3, 4]. Прохождение звука через однородный изотропный термоупругий плоский слой исследовалось в [5, 6]. Прохождение звуковых волн через плоский неоднородный изотропный упругий слой изучалось в [7], а через трансверсально-изотропный неоднородный упругий слой — в [8, 9]. В [10] рассматривалась задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны неоднородным упругим плоским слоем, материал которого обладает анизотропией общего вида. В [11] решена обратная задача об определении линейных законов неоднородности плоского упругого слоя, имеющего наименьшее отражение при заданном угле падения плоской звуковой волны. Задача об определении законов неоднородности трансверсально-изотропного
2The study was carried out for by the grant of Russian scientific Foundation (project 18-11-00199).
плоского упругого слоя по коэффициенту прохождения плоской звуковой волны решена в [12]. В указанных выше работах полагалось, что упругий слой граничит с идеальными жидкостями.
При распространении звука в реальной жидкости часть звуковой энергии превращается в тепловую. Причиной диссипации энергии является наличие вязкости и теплопроводности. Однако, если для газов указанные причины поглощения вносят примерно одинаковый вклад, то для капельных жидкостей основную роль в поглощении звука играет вязкость и влиянием теплопроводности можно пренебречь. Вопрос о поглощении звука при распространении звуковых волн вблизи твердых границ представляет значительный интерес для различных областей физической и технической акустики.
Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный анизотропный плоский слой, граничащий с вязкими жидкостями, изучалось в [13]. Прохождение звука через непрерывно-неоднородный и дискретно-неоднородный термоупругие плоские слои, граничащие с невязкими теплопроводными жидкостями, рассматривалось в [14, 15].
Ряд работ посвящен исследованию отражения и прохождения звуковых волн на однородных изотропных упругих пластинах с неоднородными покрытиями, находящимися в невязкой жидкости. С помощью неоднородных покрытий можно изменять характер отражения и прохождения звука, добиваясь требуемых акустических характеристик путем выбора соответствующих законов неоднородности для механических параметров покрытия пластины. Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным по толщине покрытием решена в [16]. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами проведено в [17]. Задача определения толщины и вида зависимостей материальных параметров неоднородного покрытия конечной упругой пластины со сферической полостью, обеспечивающих требуемые характеристики отражения плоской звуковой волны, рассмотрена в [18]. Прямая и обратная задачи о прохождении плоской звуковой волны через однородную термоупругую пластину с непрерывно-неоднородным покрытием решены в [19]. В [20] исследуется влияние непрерывно-неоднородного покрытия однородной упругой пластины на отражение и прохождение плоской звуковой волны при расположении покрытия на разных поверхностях пластины и разных законах неоднородности механических параметров материала покрытия.
В настоящей работе рассматривается задача об отражении и прохождении плоской звуковой волны через однородную упругую пластину с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, граничащую с вязкими жидкостями.
2. Постановка задачи
Рассмотрим однородную изотропную упругую пластину толщиной Н, материал которой характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ро- Пластина имеет покрытие в виде неоднородного по толщине изотропного упругого слоя толщиной к. Полагаем, что модули упругости Л и р материала неоднородного покрытия описываются дифференцируемыми функциями координаты а плотность р — непрерывной функцией координаты г: р = р(г), А = Х(г), р = р(х). При этом система прямоугольных координат х, у, г выбрана так, что ось х лежит в плоскости, разделяющей однородную пластину и ее неоднородное покрытие, а ось г направлена вниз по нормали к поверхности пластины (рис.1). Пластина с покрытием граничит
С ВЯЗКИМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ, КОТОрые ИМеЮТ ПЛОТНОСТИ р\, р2, СКОРОСТИ Звука С\,С2,
кинематические коэффициенты вязкости (первый и второй) ^2 и £1, £2 соответственно.
Фц
Ри Си Vi, ^
a(z),^(z),p(z)
x
Ас М-0» Ро
Ф,
Р2, С2, V2,
Рис. 1: Геометрия задачи
Пусть из полупространства г < — к на пластину с покрытием падает под произвольным углом плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
(1)
проекции
Фо = Л + кЦ(г + h) — wí]},
где Ао — амплитуда волны; к[Ц = к[ 1 ) sinQ0, к[^ = \Jк[ 1 )2 — к[ i)2 = к[ 1 ) cos в0
i( 1 ) /(i)
волнового вектора k 1 на оси координат х и z соответственно; к\ — волновое число в полупространстве z < — h ш — круговая частота; во — угол падения плоской волны, составляемый вектором k 11 ) и осью z. Считаем, что волновой вектор k 11 ) лежит в плоскости xz. Временной множитель exp(—iwt) в дальнейшем опускаем.
Определим отраженную от пластины с покрытием и прошедшую через пластину волны.
3. Аналитическое решение задачи
Поскольку волновой вектор падающей волны к^ лежит в плоскости х, г и, следовательно, возбуждающее поле не зависит от координаты у, а неоднородность материала покрытия проявляется лишь по оси г, то от координаты у не будут зависеть ни отраженное от пластины, ни прошедшее через пластину, ни возбужденные в упругой однородной пластине и в ее неоднородном покрытии волновые поля.
Распространение малых возмущений в вязкой жидкости в случае установившихся колебаний в области описывается системой, состоящей из скалярного и векторного уравнений Гельмгольца [21]
ДФ^- + к^)2Ф у = 0, (2)
ДФ^ + к2?)2Ф у = 0, (3)
где Ф ^ и Ф^ — потенциалы скорости продольных и вязких волн соответственно в областях г < —к (] = 1) и г > Н {] = 2); и к^ — волновые числа продольных звуковых и вязких
2
к(з)2 = ш = . ш
к1 = 4 , к2 = г — . с2 - гш(& + з^) з
При этом
Ф1 = Фо + Фв, (4)
где Ф8 — потенциал скорости отраженной звуковой волны, удовлетворяющий уравнению Гельмгольца
ДФ, + к(1)2Ф, = 0, (5)
Так как рассматриваемая задача является двумерной, то Ф = Ф(х, х)еу, где еу — единичный вектор оси у. Тогда векторное уравнение (3) сведется к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(х, г)
ДФ^- + к{2)2§э = 0, (6)
по формулам
v(j) = gradФj + rotФi, (7)
Рз = гРзш
\ ЛЛ2 и 4 \
ф3 ■ (8)
(о) (о)
Компоненты тензора напряжений в вязкой жидкости и определяются по
формулам [22]
г(з)
( 2 \ • ду^
= -Рз + РЗ - з^И + 2 V,
(,) (диР , д#\ ^ = "аТ + ~дь),
(9)
где Ух^ я — компоненты вектора скорости v(•7);
^ = дФ - дФ „а = дФ + дФ (10)
дх дх , дх + дх. (10)
Решения уравнений (5), (2) (при ] = 2) и (6) будем искать в виде
Ф, = А1 ехр{г[к{(х -к{£(г + к)]}, Ф2 = А2ехр{г[к^х + к^(г -Н)]}, (11)
Ф1 =В1 ехр{г[к2(х - к(21\г + к)]}, Ф2 = В2 ехр{г[к^х + к^(г -Н)]}, (12)
(2) (2) (2) где к^х ,к[£ — проекции волнового вектора прошедшей продольной волны к1 та оси х и X]
, (2) /, (2)2 , (2)2 , (]) , (]) , (]) . „
к^ = у к\ - к1х ; к2х , к2г — проекции волнового вектора к2 та оси х ж х в ]-ои жидкости;
кЦ = \/к2р2~-~к(2- При этом согласно закону Снеллиуса [1] к((() = к2( = к2( = к((,). Если выполняются соотношения
ши и^
<< 1, -2 << 1, 2 2
3 3
то
к — , ру к гр^шФу = 1, 2). сз
Распространение малых возмущений в однородном изотропном упругом слое описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн, которые в случае установившихся колебаний переходят в уравнения Гельмгольца [2]
А р + к^р = 0, (13)
ДП + к^П = 0, (14)
где р и П — скалярный и векторный потенциалы смещения; к = — /С1 ш кт = —/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; с\ = л/( Ао + 2цо)/ро и ст = л/^о/ро — скорости продольных и поперечных волн соответственно. При этом вектор смещения частиц упругого однородного слоя
и(0) = grad р + гоШ. (15)
Так как П = П(х, г)еу,, то векторное уравнение (14) сведется к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции П(х, х)
П + к2тП = 0. (16)
Компоненты вектора и(0) записываются через функции р и П следующим образом:
^ = И - £ -¡о> = | + Ц. (17)
Связь между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора смещения в однородной упругой пластине имеет вид [23]
4°) = Аоdivu(0) + 2цо ^, = Аоdivu(0) + 2№ ,
Х * (18)
(0) (dui0)
aU = ^0[дйГ + du^)
Решения уравнений (13) и (16) будем искать в виде
р = Ci exp[f(ktex + kizz)} + C2 exp[f(ktex — kizz)}, (19)
П = D\ exp[f(krxx + krzz)} + D2 exp[i(kTxx — krzz)], (20)
где kiz = ^Jkff — kfx, kTZ = д/kf — kfx• Согласно закону Снеллиуса kix = kTX = k^.
Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [23], которые при отсутствии массовых сил для установившегося режима движения имеют вид
+=—w2p(z)ux, +d^=—P(z)uz. (21)
d x d d x d
Компоненты тензора напряжений a%j связаны с составляющими вектора смещения u в неоднородном упругом покрытии следующими соотношениями:
d ux d uz
axx = A(z)divu + 2^(z)"dXx, °zz = A(z)divu + 2^)-^,
X z (22)
d ux d uz
ffxz = + -dxxz) ■
Согласно закону Снеллиуса зависимость составляющих вектора смещения и от координаты ж будет иметь вид ехр(гк\хх). Поэтому компоненты вектора и будем искать в виде
их = и\(х) ехр(гк^х), их = и3(г)ехр(1 кгхх). (23)
Подставляя выражения (23) в уравнения (21) с учетом (22), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Щ(г) (г = 1, 3):
Аи'' + Ви' + С и = 0, (24)
где И = ( иьиз)т,
А = ( V 0 ^ В =( ^ 1к1х(Л +
^0 Л + 2р)' V ^1х(Л + р) Л + 2р' ¡,
-к2х( Л + 2^)+ш2р гк1Хр' \ гк1хЛ' -к2хр + и2р )
С = 1 " '-2 ,, , ,.,2
Чх
Коэффициенты Аг, Вг, Сг, Иг (г = 1, 2) в выражениях (11), (12), (19) и (20) подлежат определению из граничных условий.
На поверхностях, соприкасающихся с вязкими жидкостями, граничные условия заключаются в равенстве скоростей частиц упругой среды и жидкости, непрерывности нормальных и тангенциальных напряжений:
7 (1) (1) (1) (1)
при г = -к - гиих = ух , -гиих = уХ ', ахх = а\х, ахх = ахх ,
(25)
(о) (2) (о) (2) (о) (2) (2)
при х = Н - гших = ьх ', -гши\' = уух ', аухх = аУ, ахх = ахх.
На поверхности г = 0, разделяющей однородный слой и неоднородное покрытие, должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:
(о) (о) (о) (о)
при г = 0 их =их , их = иХ , а хх = а\х, ахх = ахх . (26)
Подставим выражения (1), (11), (12), (19) и (20) в граничные условия (25) и (26) с учетом (4), (8)-(10), (17), (18) и (22).
Из первых двух условий (25) получаем систему двух уравнений, из которой находим коэффициенты А1 и В1, выраженные через значения функций ^(г) и из(х) на поверхности неоднородного покрытия г = -к:
А1 = [Ао(к^к^] - к(х)2) - ик(х)и1(-к) +шк2^)из(-к)]Д-1,
В = - [2Аок(х)к(^) + и к (-к) +ик(х)из(-к)]Д-1.
Из четырех граничных условий при г = Н и первых двух условий (26) получаем систему уравнений, из которых определяем коэффициенты А2, В2, С^ (] = 1, 2), выраженные через значения функций и (х) ж из (г) на поверхности неоднородного покрытия г = 0:
А2 = -ги (С\а\еи + С2й2в21 + АЬе\т + 02Ъ2е2Т) Д-1, В2 = -ги (С1С1 еи - С2С2&21 + \т + 02(2е2Т) Д-1,
С1 = £12^(0) + ^22из(0), С2 = £11^(0) + ^21из(0),
А = 712и1(0) + 722из(0), А = 711и1(0) + 721из(0).
Здесь
еи = гкиИ, е21 = е_киН, е1т = е^н, е2т = е_к^н,
Д = к1:2к2:2 + к1х , а3 = к1х + ( —1):,+1к2.г)кгг, ^ = + ( — 1Уктх},
Ч = + (-1)^}, = к(1)2 + (-1)^+1к(2)кт,,
Я? = (-1)^]кы(Ы2 - Wl) + к12 (Т2^1 - Г1^2) + Щк(1(П - Г2)}Д-1, = -г[^]кт2(^2 + ) + кЦ^П-Ш2 - Г2^1) + (-1)-7Щкт2(г 1 + Г2)}Д-1,
11] = -г[^]к12(£ 1 + ¿2) + кЦ^ 1^2 - ¿2^1) - Г^к12(Щ + ^2)}Д3
1
72," = (-1Г+1г2 - и) + (-1)'кт2(* 1^2 - ¿2^1) + ^(Щ - Щ2)}Д-tj = е^г[ 81 - г—(гп2а^ + пс,)}Д-1, г^ = е.,у[(-1)'?+152 - г—(т2Ъ^ + П2^-)}Д-1,
(1)/
1
= е^т[84 - г—(д2+ )}Д- 1, Щ = е.,7[(-1)-7+% - г—(q2аj + р2^)}Д_
•?+1<
1
тз = (-1)
3 + 1
I—ру
• кр Л 4 ^ +
1 + i
)
+ ( к(52 + к(2)2)р,(б- - 3ч) + 2^
( )2
п = -2 ь,jкti])к22^,
Чз = -2р,-^-к15)к12), р = (-1)''+^(к11)2 - к22)2)
и = 1,2)
81 = Аок1^)2 + (Ао + 2/о)кг22, 82 = 2/10^^2, «з = 2/04^2, «4 =/о(кЦ?2 - к^), Дз = 4 [(* 1 - ¿2)(^1 -W2) + (Щ - Щ2)(г2 - п)} + к1гктг [(* 1 + ¿2)^1 + ^2) - (Щ + 1 + Г2)} +
+2к(^)[кг2(г^2 - ^1) + кт2(í 1^2 - ¿2^-1)}.
Таким образом, чтобы вычислить коэффициенты А^, В^, С^ (] = 1, 2) необходимо найти величины к), из(-К), ^1(0) и ^з(0). Эти величины подлежат определению из решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (24).
Краевые условия, получаемые из оставшихся неиспользованными граничных условий, имеют вид
(Аи' + £и)2=_^ = С,
(27)
(АИ' + ^ И) 2=о = 0,
где
Е =
ец г кЦ?/ + е12 г к^А + е21 е22
)■> ■ (
/11 г + /12
i к(ж А + /21
22
^ = ь 92)
т
ец = -г—( + рк(2))Д_1, е12 = -—(ргк^ - <?1к22))Д_1, е21 = -г—(т1к(^ + пк(2))Д_1, е22 = -г—(п\к(1] - тхк^^Д-1, /ц = в4(Рз2 - Рл) + 8з(7з2 + 7з 1), f2j = «1 Фз2 + & 1) + 82(7^2 - 7з 1),
91 = 91 + [<? 1к(1)2 + (2р 1 - 91)к(2)к(2))}Д_1, 52 = -т1 + [т^^2 + (2щ - т1)к(2)к22))}Д_1.
После решения линейной краевой задачи (24), (27), получаем аналитическое описание акустических полей в жидкостях, а также полей смещений в однородной части пластины и неоднородном покрытии.
(
Для оценки влияния вязкости жидкостей, граничащих с пластиной, покрытой неоднородным упругим слоем, на процесс отражения и прохождения звука, воспользуемся коэффициентом поглощения а, характеризующим потерю энергии падающей звуковой волны вследствие вязкости жидкостей. При этом будем учитывать, что вязкие волны являются быстрозатухаю-щими и существенны лишь в тонком пограничном слое вблизи твердой поверхности. Поэтому коэффициент поглощения будем определять следующим образом:
а = о - 1 - 2,
о 1 2
отраженной и продольной прошедшей плоских волн.
Интенсивность гармонической плоской волны в направлении, нормальном к пластине, определяется формулой [24, 25]
1 = 1 ИVz | COs(^p -tfiv),
(28)
где |p|, fpW. |vz— модули и фазы давления и нормальной скорости частиц в акустическом поле.
Согласно (28) получаем
1а = 1 ^ cos МО, h = 1 ^ cos ОоАЪ h = 1p2<z4
2 С\ 2 С\ 2
Тогда
а = /о 1 -
Л
P2Cl|fc(Z)|
Р\Ш cos в0
А
Ао
2
2
4. Численные исследования
На основе полученного аналитического решения задачи были проведены численные расчеты зависимостей коэффициентов отражения и прохождения продольных волн от угла падения
плоской волны. При этом исследовался случай, когда жидкости по обе стороны тела являют-к(1) = к(2) = Ао = 1
отношение толщины покрытия к к толщине однородной пластины Н , равно 0,2.
Рассматривалась алюминиевая пластина толщиной Н = 0,1м (ро = 2,7 ■ 10з кг/мз, Ло = 5, 3 ■ 101С1 Н/м2, ро = 2, 6 ■ 101С1 Н/м2) с покрытием на основе поливинилбутираля, находящаяся в воде (р1 = р2 = 10з кг/мз, с1 = с2 = 1485 м/с, и1 = и2 = 1, 006 ■ 10-^ м^^с, ¿д = £2 = 0 м2/с) и в глицерине (р1 = р2 = 1, 26 ■ 10з кг/мз, с1 = с2 = 1920 м/с, ь/1 = г/2 = 1111,11 ■ 10-6 м2/с, а = б = 0 м2/с).
Расчеты проводились как для однородного покрытия с плотностью р = 1, 07 ■ 10з кг/мз кг/м и модулями упругости А = 3, 9 ■ 109 Н/м2, р = 9, 8 ■ 108 Н/м2, так и для неоднородных покрытий, механические характеристики которых менялись по толщине слоя по линейным законам
Р = Р !з(г) = 1 2), Л = А, Р = р,
где
¡1(г) = а1 (-к + 0, 5^ , /2(2) = а2 (| + 1, ^ , а1 = а2 = 1.
Множитель а^ (] = 1,2) выбран так, чтобы среднее значение функции fj(г) по толщине покрытия было равно единице.
Рис. 2: Зависимость коэффициента отражения |А1| от угла иадения во для пластины, помещенной в воду
| А2| о
щенной в воду
Зависимости _Д(х) и /2(2) выбраны такими, что их графики являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой г = -к/2. При этом на внутренней поверхности покрытия (г = 0) функция /2(2) достигает максимума, равного 1, 5а2, а на внешней поверхности ( г = -к) — минимума, равного 0, 5 а^. Функции /1 ( ,г)достигает тех же максимальных и минимальных значений, но уже на внешней и внутренней поверхностях покрытия.
| А1 | | А2 о
дающей волны (к1Н = 10), когда тело помещено в воду и глицерин. Пунктирные линии соответствуют однородному покрытию, штриховые и сплошные неоднородным покрытиям с законами неоднородности /1(2:) и /2(г) соответственно.
Сравнение угловых зависимостей показывает существенное влияние неоднородности материала покрытия на отражение и прохождение звука через пластину с покрытием. Это проявляется в смещении максимумов и минимумов коэффициентов отражения и прохождения и изменении их уровней.
Рис. 4: Зависимость коэффициента отражения |А1| от угла падения во для пластины, помещенной в глицерин
| А2| о
щенной в глицерин
5. Заключение
В настоящей работе получено аналитическое решение задачи об отражении и прохождении плоской звуковой волны через однородную упругую пластину с непрерывно-неоднородным по толщине упругим покрытием, граничащую с вязкими жидкостями. Представлены результаты численных расчетов зависимостей коэффициентов отражения и прохождения продольных волн от угла падения плоской волны.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
2. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
3. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акустический журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85-92.
4. Шендеров Е. Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акустический журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122-129.
5. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145-153.
6. Ларин Н.В. Анализ резонансного рассеяния звука термоупругой пластиной // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 109-123.
7. Приходько В. Ю., Тютекин В. В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212-218.
8. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 4. С. 740-744.
9. Ринкевич A.B., Смирнов А. И. Распространение упругих волн в неоднородной трансвер-сально-изотропной пластине // Дефектоскопия. 2000. № 8. С. 78-83.
10. Толоконников Л. А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179-184.
11. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акустический журнал. 2015. Т. 61. № 5. С. 552-558.
12. Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 246-257.
13. Толоконников Л. А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1029-1035.
14. Ларин И. В., Толоконников Л. А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650659.
15. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 108-116.
16. Толоконников Л. А., Юдачев В. В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219-226.
17. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.
18. Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 7. С. 83-92.
19. Ларин И. В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216-234.
20. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. О влиянии неоднородного покрытия упругой пластины на отражение и прохождение звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 6. С. 362-372.
21. Толоконников Л. А., Скобельцын С. А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 200 с.
22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
23. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
24. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
25. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высш. школа, 1978. 448 с.
REFERENCES
1. Brekhovskikh, L.M. 1973, "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].
2. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p., fin Russian].
3. Lonkevitch, M. P. 1971, "Transmission of sound through a finite-thickness layer of a transversal-isotropic materia", Akust. Zhurnal, vol. 17, no 1, pp. 85-92, fin Russian].
4. Shenderov, E.L. 1984, "Sound propagation through transversallv-isotropic plate", Akust. Zhurnal, vol. 30, no 1, pp. 122-129, fin Russian].
5. Larin, N.V. 2015, "The transmission of sound through a uniform thermoelastic plane layer", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 3, pp. 145-153, fin Russian].
6. Larin, N.V. 2017, "Analysis of the resonance sound scattering by a thermoelastic plate", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 4, pp. 109-123, fin Russian].
7. Prikhod'ko, V. Yu. k, Tvutekin, V. V. 1986, "Calculation of reflection coefficient of sound waves from solid layered media", Akust. Zhurnal, vol. 32, no 2, pp. 212-218, fin Russian].
8. Skobel'tsyn, S.A. k, Tolokonnikov, L.A. 1990, "Transmission of sound waves through a transversely isotropic inhomogeneous plane layer", Akust. Zhurnal, vol. 36, no 4, pp. 740-744, fin Russian].
9. Rinkevich, A.B. k, Smirnov, A.N. 2000, "Propagation of elastic waves in a non-uniform transversely isotropic plate", Defektoskopiya, no 8, pp. 78-83, fin Russian].
10. Tolokonnikov, L. A. 1999, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an anisotropic inhomogeneous layer", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 40, no 5, pp. 936-941.
11. Larin, N.V., Skobel'tsyn, S.A. к Tolokonnikov, L.A. 2015, "Determination of the Inhomo-geneitv Laws for an Elastic Layer with Preset Sound-Reflecting Properties", Acoustical Physics, vol. 61, no 5, pp. 504-510.
12. Skobel'tsyn, S. A. 2016, "Determining the parameters of anisotropic elastic layer on the sound transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 7-2, pp. 246-257, fin Russian].
13. Tolokonnikov, L.A. 1998, "The transmission of sound through an inhomogeneous anisotropic layer adjoining viscous liquids", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 62, no 6, pp. 953-958.
14. Larin, N. V. к Tolokonnikov, L. A. 2006, "The transmission of a plane acoustic wave through a non-uniform thermoelastic layer", J. Appl. Math. Mech., vol. 70, no 4, pp. 590-598.
15. Tolokonnikov, L.A. к Larin, N.V. 2017, "Sound propagation through a discretely inhomogeneous thermoelastic plane layer adjacent to heat-conducting liquids", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 58, no 1, pp. 95-102.
16. Tolokonnikov, L.A. к Yudachev, V.V. 2015, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an elastic planar layer with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 3, pp. 219-226, fin Russian].
17. Larin, N. V., Skobel'tsyn, S.A. к Tolokonnikov, L. A. 2016, Modelling the inhomogeneous coating of an elastic plate with optimum sound-reflecting properties", J. Appl. Math. Mech., vol. 80, no 4, pp. 339-344.
18. Skobel'tsyn, S.A. 2017, "Tstimation of the coating properties of a finite plate with a cavity providing the given parameters of the sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 7, pp. 83-92, fin Russian].
19. Larin, N.V. 2016, "Determination of the inhomogeneitv laws for coating of the thermoelastic plate to obtain minimum sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 11-2, pp. 216-234, fin Russian].
20. Tolokonnikov, L.A. к Nguyen, T.S. 2018, "About the influence of an non-uniform covering of the elastic plate on sound reflection and transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6, pp. 362-372, fin Russian].
21. Tolokonnikov, L.A. к Skobel'tsyn, S.A. 2004, "Diffraction of sound waves on inhomogeneous and anisotropic bodies", Tul. Gos. Univ., Tula, 200 p., fin Russian].
22. Landau,L. D. к Lifshitz, E.M. 1988, " Hydrodynamics", Nauka, Moscow, 736 p., fin Russian].
23. Nowacki, W. 1975, "Teoria sprezystosci", Mir, Moscow, 872 p., fin Russian].
24. Isakovich, M. A. 1973, "General Acoustics", Nauka, Moscow, 496 p., fin Russian].
25. Lependin L.F. 1978, "Acoustics", Vishava shkola, Moscow, 448 p., fin Russian].
Получено 12.04.2019 г.
Принято в печать 12.07.2019 г.
