Свойства суперпозиций точечно-множественных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

1з зб1льшенням часу осадження р1зниця Miœ поверхневим опором останньо!' та першо'1' пластини зменшуеться (рис.8). Це можна пояснити тим, що зпдно з закладеним в модель рiвнянням, поверхневий опiр зменшуеться iз збтьшенням часу проведення процесу.

висновок

Таким чином, отримаш результати дозволяють прослщкувати вплив технологiчних параметрiв на вих^ш характеристики напiвпровiдникових пластин по пластин та по довжинi "касети" тд час операци "перша стадiя дифузп з рiдкого джерела" в горизонтальному проточному реакторь

ПЕРЕЛ1 К ПОСИЛАНЬ

1. Корбецький O.P. Модель для анал1зу двовим1рного розпод^у швидкост, тиску та температури в дифузшнш ne4i //Комп'ютерш системи проектування: Теор1я i практика. Biсник Державного унiвeрситeту "Львiвська полiтexнiка". - 1998. - №327. - С. 149 - 157.

2. Корбецький O., Теслюк В. Моделювання руху газу в дифузшнш пeчi з врахуванням теплово!' конвекцй' //Тexнiчнi вiстi. -1998. - 1(6), 2(7). - С. 60- 62.

3. Патанкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. -М.: Энергоатомиздат, 1984. - 150 с.

4. Белов И.А., Кудрявцев H.A. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1987. - 223 с.

5. Писаревский К.Е. Газодинамика диффузионной печи с объемной загрузкой пластин // Электронная техника, Сер. 3, Микроэлектроника. - 1981. - Вып. 6(96). - С. 60 - 66.

6. Korbetsky O., Kotchubey V. Simulation of the diffusant distribution in the diffuse furnace with wafers //Proc. International Workshop on SCCE-II. Vol.1. - Hamburg (Germany). - 1999. -P.160-166.

УДК 681.51.007.5

СВОЙСТВА СУПЕРПОЗИЦИЙ ТОЧЕЧНО-МНОЖЕСТВЕННЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ

В. П. Машталир

Рассматриваются суперпозиции точечно-множественных отображений, переводящих каждую точку анализируемой информации в признаковых или сигнальных пространствах в множества с предварительно определенными свойствами. Вводится система суперпозиций, позволяющая продуцировать многозначные отображения с заданными характеристиками.

Superpositions of point-to-sets maps transferring each point of the analyzable information in features or signal spaces into sets with predefined properties are considered. A system of superpositions permitting to produce multivalued maps with present performances is introduced.

Сокращение в том или ином смысле неоднозначности интерпретации данных (в частности, редуцирование комбинаторной сложности) является одним из эффективных путей совершенствования информационных технологий, используемых при выработке управленческих решений, в том числе, в интерактивном режиме.

Методы компаративного анализа [1, 2], базирующиеся на метрической иерархической кластеризации признаковых или сигнальных пространств произвольной физической природы, направлены на повышение быстродействия и надежности анализа больших объемов данных. Их суть заключается в прелиминарной обработке эталонной - регистрируемой или гипотетической -количественной и качественной информации о состоянии объекта управления [3, 4]. Эта обработка при анализе текущей обстановки позволяет с существенным сокращением временных затрат находить стратифицированные агрегаты данных, эквивалентные в смысле заданной

меры и величины сходства, которые последовательно уточняют условия принятия решения [1, 5, 6].

Достигаемое снижение комбинаторной емкости наряду с сохранением достоинств (в смысле потенциально высокой надежности) подхода к анализу информации на базе сравнения текущего состояния с эталонным позволяет при заданной вычислительной мощности повышать адекватность условий принятия решений за счет более полного учета различных аспектов функционирования управляемого объекта.

Точечно-множественные (многозначные) отображения, переводящие отдельные элементы в некоторые множества, в концептуальном плане с большой степенью адекватности отражают многие задачи преобразований данных или их признаков и трактовки результатов этой обработки. Проанализируем основные свойства суперпозиций таких отображений. Эти суперпозиции создают предпосылки для формализованного синтеза алгоритмов обработки информации на базе учета свойств отдельных отображений.

Пусть 0 - некоторое множество. Совокупность всех непустых подмножеств множества 0 обозначим через п(0) . Рассмотрим два множества: пусть 01 , 02 - некоторые подмножества конечномерных пространств. Отображение S , которое переводит каждую точку 9' е 01 в

некоторое подмножество Q множества 02 = {9"} ,

является точечно-множественным отображением в = {(9', 9"'):39"^(9', 9")е 0^,(9", 9"')е0=2},(4)

©2 или отображением 0^ в п(02) :

где 9'е Вот.—!, 9" е Вот—2 п 1т—^, 9"'е 1т—2 •

— :01 —> п(02), —(Л) = и —(9'), Предположим, что множества 0^ и 02 конечны, а их

9'еЛ (1)

9'е Л е п(01). мощности равны оатй01 = п , еатй02 = т • Тогда

отображение (1) можно естественным образом трактоВ общем случае под прообразом и образом отобра-

вать как матрицу (п X т )

жения — будем понимать соответственно множества

/ Л

„■= - га'а'

Bom5 = (9':9'е 0^5(9') = п(02)},

Im5 = и 5(9'). =

9' е BomE

Ясно, что любому точечно-множественному отображе-

10 1 ... 0 1 0 0 1 ... 10

1 10 ... 10

шю 5 соответствует некоторое подмножество 05 пря- состоящую из 0 и 1, элементы а„ которой определяются

V

мого произведения 01 X 02 , которое назовем опорным соотношениями

05 = ((9', 9"):9'е BomE, 9" = 5(9')}, Г 1,5(9,-') = О:9,"еОел(02);

5 (2) a,, = -

05 е п(01 х02). () 4 10,5(9,.') = 0:9, 'iQen(02).

Пусть 51:0.' —> п(02') и 5 2:0, " —п(02") - два Поскольку любой конечный набор (0,} п_ 1 множеств 1 1 , ,=1

многозначных отображения, вообще говоря, с различ- конечной мощности можно с точностью до взаимно

ными прообразами и образами. Определим произведение однозначного соответствия вложить в некоторое под-

51 °52:01' —п(02") точечно-множественных отображе- множество IN = ( 1, 2,., N} (например, считать, что

п

ний 51 и 52 следующим равенством

N = ^ card0,) натурального ряда, то имеется воз-

(51 °52)(9') = и 52(9"), (3) , =1 б б

можность без ограничения общности анализировать

9 е 51(9 )

произвольное точечно-множественное отображение 5

Где 9'е 01', 9'е 01" . конечных множеств как многозначное отображение

т^ ^ , ^ и , 5:Iw — п(I»Л . Этому отображению будет отвечать квад-

Если множества 02 и 01 имеют различную физи- N N

ческую природу или не пересекаются, наконец, если ратная матрица A5 размерности Nх N и некоторое под-

Bom52 n Im51 = 0 , то ясно, что соотношение (3) те- множество 05 е IN х IN. Множество этих отображений

ряет смысл. Будем устранять данную неопределенность будем обозначать Ф(IN) . Другими словами, если задан суперпозиции отображений сопоставлением результату

произвольный конечный набор многозначных отобра-

пустого множества, которое включим во все системы

подмножеств. Таким образом, нетривиальное (не перево- жений 5,:0, —п(02) , , = 1, п и card0' < + ^ ,

, 1 2 ,

дящее все значения в пустое множество) многозначное

, , = 1, 2 , то найдется натуральное число N, для которо-

отображение существует тогда и только тогда, когда

го (5,}п= 1 с Ф(^) , причем максимальное значение N

Bom5 1 ф 0 , Im51 n Bom52 ф 0 .

1 1 2 определяется выражением

Остановимся на некоторых свойствах введенной

N = card и 0,

операции суперпозиции. *max _^ j '

Из равенств (2) и (3) очевидным образом следует, что , = 1 п'j = 1 2

опорное множество 0S1 „- е п(01' х 02") произведения а минимальное - соотношением

точечно-множественных отображений 51 и 52 либо ,

1 2 Nmin = max card0j •

пустое множество, либо имеет вид , = 1, n,j = 1, 2

Покажем, что если 5^52 е Ф(^) , то ПРИ условии °52)°5з = °(52°5з) .

выполнения операций сложения и умножения элементов

матриц многозначных отображений по правилам П°дчеркнем, что для случая 51; 52, 5з е ф(/^)

справедливость последнего равенства непосредственно Г1 + 1 = 1 + 0 = 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0, следует из ассоциативности матричного умножения с

(5) учетом определения операций (5). Прямым следствием данного свойства является возможность исключения из

1 • 1 = 1 • 0 = 0 • 1 = 1, 1 • 1 = 1

, рассмотрения порядка (при наличии соответствующих матрица суперпозиции точечно-множественных отобра- 1 1 1 1

интерпретаций) выполнения произвольного набора

жений задается произведением

а5 °5 = А5 А5 . (6)

51 52 51 52

точечно-множественных отображений 51, 52, ..., 5п .

Введем теоретико-множественные операции над точечно-множественными отобр ажениями. Для доказательства введем следующие обозначения: Пересечение многозначных отображений имеет вид: пусть, с одной стороны, А5 °5 = В = (Ь. = . , с

^ "2 . ^ = 51 п 52(01, ®2) = 51 (©1) П 52(02) =

другой, А5 °5 = (9,/")№ = , . Кроме того, пусть = (Ф:(Йе5, (8'))л(^е 52(9")),е'е 0150"е 02},(7)

V г,. = 1 1 2 1 2

А=2 = (9,.")^. = 1 , А = 1 = (9,,') N. = 1 . Рассмотрим эле- объединение:

мент 9."' матрицы А5 ^ , стоящий на пересечении г-ой - и 5 (0 ©) = 5 (0 ) и 5 (0 ) =

строки и .-го столбца. Очевидно, он равен 0 если и = (Ф:(Ф е 51(е )) у е 52(9 )), 9 е ©1, 9 е ©2}(8) только если принадлежит соответствующему опорному множеству, т.е. (г,.) е 05 °5 , но с учетом (4) имеем,

разность:

12

что для некоторого номера к е ( 1, 2,., Щ справед- 51 ^52(01, ©2) 51 (01 )^52(©2)

= :йе51 (9'),(^е 52(9"))л(^й 51 (9')), ливы включения (г, к) е 0^ и (к,.) е . Тогда 9' е 0 9" е 0 } (9)

9,;/ = 1 и 9«.." = 1 , но, принимая во внимание прави-гк к симметрическая разность:

п

ла (5), окончательно получаем Ь,. = ^ 9^9." = 1 , 51 /°52(01, 02) = 51 (01 )/°52(02) =

к = 1 = (Ф: (^е51 (9'))л(Фй5 2(9")),

иначе говоря, 9,.,"' = Ь. , что и требовалось. , (Ф е 52(9")) л « 51 ^ОХ 9' е 01,9"е 02}> (10)

и

Учитывая равенство (6), легко заметить, что опера- ^ __ т ,т

В случаях, когда 5(9) с Ь (Ь - некоторое линейное

ция суперпозиции (з) некоммутативна. Нетрудно убе-

пространство), определим следующие операции

диться, что в то же время эта операция ассоциативна. Действительно, из (з) вытекает, что, с одной стороны,

51 [+]52(01,02) = 51 (01)[+]52(02) = [(51 °52)°5з](9') = и 5з(9"'), = и (51(9) +а) - (11)

9"'е и 52(9") а е 52(9)

9" е 51 (9')

51 [ - ]52(01,02) = 51 (01)[ - ]52(02) =

а с другоЙ, = п (51 (9) - а), (12)

ае 52(9)

[51 °(52°5з)](9') = и [ и 5з(9"')].

9"е=1 (9') 9"'е52(9") (^5)(9) = А,[5(9)] , (1з)

Правые части двух последних равенств совпадают, по- (-5)(9) = -[5(9)] . (14)

скольку для некоторого элемента Ф им принадлежа-

Обратимся далее к более высокому уровню опреде-щего, имеем одну и ту же кванторную интерпретацию: „ , ^

ления операций с многозначными отображениями. Пред-

3^9 "', для которого Фе 5з(в""') и 3^9", для которого положим, имеется, вообще говоря, произвольный набор

(базисная система) многозначных отображений N , 9 е 52(9 ) и 9 е 51(9 ) . Тем самым, доказана включающая, в частности, преобразования (7) - (14) и справедливость равенства ряд других точечно-множественных отображений, ассо-

циированных с прикладной ориентацией решаемой зада-

чи. Безусловно, на практике последние играют превалирующую роль, но их конкретизация здесь не только не имеет смысла, но с учетом многообразия потенциально решаемых задач, по всей видимости, и невозможна. Поэтому на множестве всех многозначных отображений введем абстрактную систему Н( К) суперпозиций некоторой базисной системы:

а) — е К^ — е Н( К);

б) если — 1, — 2 е Н(К) и задана операция суперпозиции — 1 °—2 , т.е. — 1 °—2(9) = — 2( — 1 (9)) , тогда

— 1 °—2 е Н(К) (рис. 1, а));

в) если — 2 е Н( К ) ^ — 1 X — 2 е Н(К ), где " X " -декартово произведение отображений, т.е.

— 1 X— 2(91? 92) = — 1 (91 )х— 2(92) (рис. 1, б));

г) если — 2 е Н(К)^ — 1А—2 е Н(К ) , где "А" -диагональное произведение отображений, т.е.

— 1 А— 2(9) = — 1 (9) X —2(9) (рис. 1, в));

г;

Рисунок 1 - К введению системы суперпозиций точечно-множественных отображений

д) если — е Н( К) и определен проектор Рг1 — на г-й компонент отображения, т.е. если —(9) = — 1 (9) X —2(9) X ^—п(9), Рт{—(9) = — г(9), тогда Рг1—(9) е Н( К) (рис. 1, г));

е) Е е Н( К), где Е - единичное отображение: Е(9) = 9 , 0е Н(К), где 0 - пустое отображение: 0(9) = 0 , А е Н( К ), где А - постоянное отображение: А(9) = а , а е 0 , ие Н(К), где и - универсальное отображение: и(9) = п(0).

Следует отметить, что приведенное определение композиции точечно-множественных отображений является конструктивным в плане возможности достаточно простого перехода от графической модели последовательности отображений к формульному представлению и наоборот. Так, суперпозиция

{[(—1 ^ 2 ^ 3 °—4 5

"разворачиваемая" слева-направо, с учетом трактовок (см. рис. 1), отображается схемой, показанной на рис.2. С другой стороны, представленная на рис. 3 схема интерпретируется в обратном порядке и соответствует выражению

{[(Рг2) XЕ)°—з4 XРг 1 ([( — ^) XЕ]°—з)} .

Рисунок 2 - Пример перехода от формульного представления многозначных отображений к графическому

Рисунок 3 - Пример перехода от графического представления многозначных отображений к формульному

В заключение подчеркнем, что и приведенные выше операции (7) - (14) есть ни что иное, как суперпозиция исходных базисных многозначных отображений. Доста-

точно указать в качестве примера представление объединения и пересечения отображений

— 1 и—2 = (—1 х52) X ( « и » ),

— 1 п—2 = (—1 х52) X ( « п » ).

Таким образом, учитывая отображения (3) и их свойства, соотношения (7) - (14), систему суперпозиций Н( К) и вводя точечно-множественные отображения, ассоциированные с решаемой задачей, можно генерировать последовательности точечно-множественных отображений, направленных на обработку и интерпретацию данных в задачах управления.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Машталир В.П. Компаративное распознавание объектов на основе £ -кластеризации множеств эталонов // Радиоэлектроника и информатика. - 1999. - №1 (06). - С. 63-68.

2. Киношенко Е.И., Машталир В.П., Хромушин В.А. Методы синтеза экспертных систем диагностики заболеваний внутренних органов на основе точечно-множественных отображений // Вестник новых медицинских технологий. - 1996. -T.III, №4. - С. 101-107.

3. Mashtalir V.P. Template sets preprocessing for correlation procedures // Proc. The third all-ukranian intern. conf. "Signal/Image Processing and Pattern Recognition". - Kyjiv: UA on IP and SP. - 1996. - P. 63-65.

4. Машталир В.П., Ходарев В.Т. Многозначные отображения в корреляционных системах технического зрения // АСУ и приборы автоматики. - Вып. 96. - Харьков: "Вища школа". -1990. - С. 107-111.

5. Mashtalir V.P., Putyatin E.P. Hierarchical decomposition of reference features for correlation classification // Прац VHAiPT. - 1997. - №2. - С. 36-42.

6. Mashtalir V.P. Template sets preprocessing for correlation procedures // Proc. The third all-ukranian intern. conf. "Signal/Image Processing and Pattern Recognition". - Kyjiv: UA on IP and SP. - 1996. - P. 63-65.

УДК 519.81.6

0ПЕРАЦ11 НЕЧ1ТК01 МАТЕМАТИКИ НА П1ДСТАВ1 ГЕНЕТИЧНИХ ТА

ЕВ0ЛЮЦ1ЙНИХ АЛГ0РИТМ1В

Ю. М. Мшаев, О. Ю. Фшмонова, В. В. Давиденко, G. Е. Криксунов, Бенамур Aieo

Рассматривается разработка алгоритмов операций нечеткой математики, реализованных в среде генетических и эволюционных алгоритмов и дальнейшая реализация алгоритмов в среде Matlab - С++. Сфера применения предложенных алгоритмов - идентификация в условиях неопределенности в

виде {Y} = {X}*[F] , где {Y} , {X} - множества входов и выходов соответственно, представленных в виде нечетких чисел или нечетких переменных, [F] - некоторый оператор.

Розглядаеться розробка алгоритм1в операций неч(ткоЧ математики, реалгзованих в середовищг генетичних та еволю-цшних алгоритмгв та подальша реалгзацгя алгоритмгв в сере-довищ1 Matlab - С++. Сфера застосування запропонованих алгоритмгв - гдентифгкацгя в умовах невизначеностг у виглядг

{Y} = {X}*[F] , де {Y}, {X} - множини вход1в та виход1в в1дпов1дно, представлених у вигляд1 неч1тких чисел або нечШких змтних, [F] - деякий оператор.

The development of algorithms of operations fuzzy mathematicians, realized in the environment of genetic and evolution algorithms and most further realization of algorithms in the environment Matlab - C++ is considered. The area of using the offered algorithms - an identification in conditions of uncertainty in the manner of {Y} = {X}*[F] , where {Y} , {X} -ensembles of input and output accordingly, present in the manner of the fuzzy numbers or fuzzy variables, [F] - certain operator.

ВСТУП

Широке використання неч1тко! математики i неч1тко! лопки, зумовлене вимогами численних додатюв, проде-монструвало виключно високу ефектившсть цих галузей наукових знань та створило практично нову шформа-цшну технолопю. Нечика лопка (НЛ) та нечика математика (НМа), одержавши початковий iмпульс як складовi частини штучного штелекту, явилися в свою чергу фундаторами нового напрямку в шдустрп знань -soft computing [1], оргашчно включивши в себе НЛ та НМа, нейронш мережi та генетичш алгоритми.

Наявшсть достатньо добре розробленого апарата ней-ронних мереж, генетичних алгоритмiв та еволюцшного програмування дозволяе з нових позицш тдшти до розробки апарату нечико! математики, зробити його менш залежним вщ суб'ективно! оцшки особи, що приймае ршення (ОПР) i дати можлившть тдвищити яюсть ршень, що приймаються, зокрема створити такий алгоритмiчний апарат НМа, який би дозволив викону-вати ршення задач, що зводяться до складних иерацш-них процеив, наприклад, розв'язання систем псевдоль ншних алгебра'1'чних рiвнянь, в яких коефщенти та / або правi частини - нечию числа або неч^ю змшш.

Треба зауважити, що не дивлячись на достатньо вели-ку бiблiографiю, нечика математика (бтьш конкретно -неч^ка арифметика) в сво'й б^ьшоси використовуе