Операції нечіткої математики на підставі генетичних та еволюційних алгоритмів Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

точно указать в качестве примера представление объединения и пересечения отображений

и52 = (~1 х~2)Х( « и » ),

Пй2 = (В 1 ХВ2) X ( « П » ) .

Таким образом, учитывая отображения (3) и их свойства, соотношения (7) - (14), систему суперпозиций Н( N) и вводя точечно-множественные отображения, ассоциированные с решаемой задачей, можно генерировать последовательности точечно-множественных отображений, направленных на обработку и интерпретацию данных в задачах управления.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Машталир В.П. Компаративное распознавание объектов на основе £ -кластеризации множеств эталонов // Радиоэлектроника и информатика. - 1999. - №1 (06). - С. 63-68.

2. Киношенко Е.И., Машталир В.П., Хромушин В.А. Методы синтеза экспертных систем диагностики заболеваний внутренних органов на основе точечно-множественных отображений // Вестник новых медицинских технологий. - 1996. -T.III, №4. - С. 101-107.

3. Mashtalir V.P. Template sets preprocessing for correlation procedures // Proc. The third all-ukranian intern. conf. "Signal/Image Processing and Pattern Recognition". - Kyjiv: UA on IP and SP. - 1996. - P. 63-65.

4. Машталир В.П., Ходарев В.Т. Многозначные отображения в корреляционных системах технического зрения // АСУ и приборы автоматики. - Вып. 96. - Харьков: "Вища школа". -1990. - С. 107-111.

5. Mashtalir V.P., Putyatin E.P. Hierarchical decomposition of reference features for correlation classification // Прац VHAiPT. - 1997. - №2. - С. 36-42.

6. Mashtalir V.P. Template sets preprocessing for correlation procedures // Proc. The third all-ukranian intern. conf. "Signal/Image Processing and Pattern Recognition". - Kyjiv: UA on IP and SP. - 1996. - P. 63-65.

УДК 519.81.6

0ПЕРАЦ11 НЕЧ1ТК01 МАТЕМАТИКИ НА П1ДСТАВ1 ГЕНЕТИЧНИХ ТА

ЕВ0ЛЮЦ1ЙНИХ АЛГ0РИТМ1В

Ю. М. Мшаев, О. Ю. Фшмонова, В. В. Давиденко, G. Е. Криксунов, Бенамур Aieo

Рассматривается разработка алгоритмов операций нечеткой математики, реализованных в среде генетических и эволюционных алгоритмов и дальнейшая реализация алгоритмов в среде Matlab - С++. Сфера применения предложенных алгоритмов - идентификация в условиях неопределенности в

виде {Y} = {X}*[F] , где {Y} , {X} - множества входов и выходов соответственно, представленных в виде нечетких чисел или нечетких переменных, [F] - некоторый оператор.

Розглядаеться розробка алгоритм1в операций нечШког математики, реалгзованих в середовищг генетичних та еволю-цшних алгоритмгв та подальша реалгзацгя алгоритмгв в сере-довищ1 Matlab - С++. Сфера застосування запропонованих алгоритмгв - гдентифгкацгя в умовах невизначеностг у виглядг

{Y} = {X}*[F] , де {Y}, {X} - множини вход1в та виход1в в1дпов1дно, представлених у вигляд1 неч1тких чисел або нечШких змтних, [F] - деякий оператор.

The development of algorithms of operations fuzzy mathematicians, realized in the environment of genetic and evolution algorithms and most further realization of algorithms in the environment Matlab - C++ is considered. The area of using the offered algorithms - an identification in conditions of uncertainty in the manner of {Y} = {X}*[F] , where {Y} , {X} -ensembles of input and output accordingly, present in the manner of the fuzzy numbers or fuzzy variables, [F] - certain operator.

ВСТУП

Широке використання неч1тко! математики i неч1тко! лопки, зумовлене вимогами численних додатюв, проде-монструвало виключно високу ефектившсть цих галузей наукових знань та створило практично нову шформа-цшну технолопю. Нечика лопка (НЛ) та нечика математика (НМа), одержавши початковий iмпульс як складовi частини штучного штелекту, явилися в свою чергу фундаторами нового напрямку в шдустрп знань -soft computing [1], оргашчно включивши в себе НЛ та НМа, нейронш мережi та генетичш алгоритми.

Наявшсть достатньо добре розробленого апарата ней-ронних мереж, генетичних алгоритмiв та еволюцшного програмування дозволяе з нових позицш тдшти до розробки апарату нечико! математики, зробити його менш залежним вщ суб'ективно! оцшки особи, що приймае ршення (ОПР) i дати можлившть тдвищити яюсть ршень, що приймаються, зокрема створити такий алгоритмiчний апарат НМа, який би дозволив викону-вати ршення задач, що зводяться до складних иерацш-них процеив, наприклад, розв'язання систем псевдоль ншних алгебра'1'чних рiвнянь, в яких коефщенти та / або правi частини - нечию числа або неч^ю змшш.

Треба зауважити, що не дивлячись на достатньо вели-ку бiблiографiю, нечика математика (бтьш конкретно -неч^ка арифметика) в сво'й б^ьшоси використовуе

Ю. М. Мтаев, О. Ю. Фшмонова, В. В. Давиденко, £. Е. Криксунов, Бенамур Лгес: ОПЕРАЦ11 НЕЧГГК01 МАТЕМАТИКИ НА ПГДСГАВГ ГЕНЕГИЧНИХ ГА ЕВОЛКЦГЙНИХ АЛГОРИГМГВ

алгоритми, засноваш на принцип! узагальнення Л.Заде [2,3] i подальш1 розробки цього апарату в основному торкалися штерпретацп результату, в окремому випадку дефадзифжацп (апроксимацп). Генуе щла система правил, що дозволяють виконувати апроксимащю результату операцп i дал! роботу з ч!ткими (апроксимованими) значеннями. Не вдаючись в правочиншсть такого тдходу, в!дм!тимо, що в ряд! випадюв це призводить до формування практично суб'ективного результату, що, природньо, не сприяе тдвищенню якост ршення, що приймаеться. Особливим випадком е ситуаци, коли фа-дзифжащя виконуеться за абсолютно суб'ективними правилами, отримана нечика множина (НМ) мае, з одного боку, функци належност! закон змши яких не е визначеним, а з другого боку, юльюсть елеменив в ще! НМ недостатня для прийняття ршення про можливий клас ФН. Дефадзифжащя результату в цьому випадку е абсолютно невиправданою. В спещальному випуску журналу "Fuzzy Sets and Systems", vol. 91, no.2,1999 "Fuzzy Arythmetics" (R.Mesiar and R.Fuller) наведено огляд сучасних роб!т по цьому науковому напрямку та велика б!бл!ограф!я.

Запропонован! алгоритми виконання операц!й НМа в нейромережевому лопчному базис! [4]. Нейронна мережа складалася з двох шар!в, ваговими коефщен-тами були функци належноси, кожний шар нейронно! мереж! був призначений для реал!зацп системи правил. В загальному випадку нейронна мережа реал!зовувала матрицю спец!ального типу, яка репрезентувала резуль-тати операцп НМа. Такий тдх!д дае можлив!сть отри-мання "уичено!" нечико! множини результату, найбтьш адекватно! вхщним даним ! тако!, що несе шформащю про результат, достатню для того, щоб прийняти об'ек-тивне ршення. Кр!м того, НМа в нейронномережовому лопчному базис! практично дозволяе "конструювати" ршення, тобто знаходити ршення в певному клас! нечиких чисел. Ця можлив!сть досягаеться за рахунок введення додаткових шар!в (3-й, 4-й ! так дал!, з! сво!ми ваговими коефщентами (на перших двох шарах ваговими коефщентами е незмшна ФН ! головна !хня роль е в реал!зацп системи правил)) або в додаванш вузл!в на перших двох шарах з ваговими коефщентами, що регулюються та визначаються тд час навчання. Вщмиимо дв! крайност, що !снують при оцшюванш (визначенн!) результату для його наступного викори-стання - дефадзиф!кац!я (апроксимац!я) НМ результату ч!тким числом (а) та використання "повно!" множини (б). В випадку (а) значною м!рою знижуеться р!вень до-в!ри до результату, в другому - збтьшення розм!рност тсля 3 - 4 иерацп практично "зачиняе" обчислювальний процес.

Подальший розвиток запропонована методолопя одержала в застосуванн! еволюц!йних принцип!в та генетичного програмування [5] для створення нових алгоритм!в НМа, в!льних в!д недолШв, зокрема,

втьних вщ необхщносп дефадзифжацп результату на кожному крощ операцп НМа, що притаманш рашше розробленим, ! дозволяють оптимально реал!зовувати иерацшш процедури, зокрема, ршення неч!тких СЛАР.

ЕВОЛЮЦ1ЙН1 НЕЧ1ТК1 СИСТЕМИ

В загальному випадку конструювання неч!тких систем може бути сформульоване як пошук поверхш велико! розм!рност (гшерповерхш - ГП), в якш кожна точка репрезентуе множину правил, функци належност ! вщповщну системну поведшку. Критерп формулюються як визначення деяко! поверхш в заданш гшерповерхш. Ця гшерповерхня мае так! характеристики:

- ГП е невизначено великою, юльюсть можливих НМ для кожно! змшно! е необмеженою;

- ГП е нерозр!знюваною з змшами в юлькосп НМ, як! е дискретними, ! може мати переривчастий ефект при реал!зац!! НС;

- ГП е комплексною ! з завадами, реал!защя множини неч!тких правил е непрямою ! залежить вщ обраного користувачем методу обчислень;

- ГП е мультимодальною, р!зш множини неч!тких правил та / або ФН можуть мати под!бний характер.

- ГП е оманливою (може вводити в оману) в!дносно простих множин неч!тких правил ц! ФН можуть мати абсолютно р!зне виконання.

Ц! характеристики дозволяють вважати, що еволю-ц!йн! алгоритми, зокрема генетичн! алгоритми, можуть найкращим чином виконати такий пошук пор!вняно, наприклад, з методом найшвидшого спуску.

В представленш доповЩ досл!джуеться новий принцип, метод та алгоритми виконання операц!! НМа, що базуеться на щеологп та технолог!! генетичних алго-ритм!в (ГА-технолопя). Операщя НМа розглядаеться як побудова нечико! системи, здатно! не ильки виконувати конкретну прикладну математичну операщю (або деяку множину цих операцш, наприклад, иерацш-на процедура), але й виконати певну к!льк!сть досл!джень ! отримати знання для подальшого розвитку проблеми.

Генетичн! алгоритми (ГА) використовують еволюц!йн! алгоритми (еволюц!йний п!дх!д до розвитку "живих" (бюлопчних) систем) ! дають шлях пошуку для погано визначених, нерегулярних поверхонь. Один з ключ!в застосування еволюц!йного дизайну неч!тких систем з використанням ГА полягае в !хньому генетичному уявленш, зокрема, споиб кодування хромосом. Загальш трудношд в нашому випадку полягають в тому, що неч!тка математика не е традицшною областю для застосування ГА (цю шшу зайняли стандартш опти-м!зац!йн! задач!) ! природньо застосувати !снуюч!й науковий доробок вкрай утруднено.

Один з способ!в полягае в тому, щоб закодувати ви правила в хромосом!, ф!ксуючи ФН, використовують дек!лька критичних точок для уявлення кожно! ФН,

використовуючи в той же час вс! можлив! правила. Використання ГА дае можлив!сть "розгорнути" щ кри-тичн! точки, таким чином регулюються ФН. Стосовно неч!тких систем сл!д зазначити, що ФН та множина правил взаемопов'язаш, вони повинш враховуватись одночасно. Гснують алгоритми, в яких для трикутних ФН базова довжина кожно! ФН та множина вс!х можливих правил закодован! в одн!й хромосом!.

Зазначимо, що в задачах НМа треба враховувати в загальному випадку таку ФН, для яко! вщсутне (або не може бути отримане) аналиичне уявлення.

В бтьшоси додатюв не ви можлив! правила потр!бно використовувати, можливо обмежитись лише !хньою частиною, цю частину потр!бно кодувати i поим розвивати. Таким чином можна суттево зменшити дов-жину хромосоми, що е ключовим для б^ьшоси проблем. Однак сл!д враховувати, що дуже важко, майже неможливо, apriori точно визначити юльюсть необхщ-них правил, з яких можна визначити лише максимальну к!льк!сть правил.

Технолог!! обчислень, заснован! на застосуванн! гене-тичних алгоритм!в (ГА-технологп) - це пошук алгорит-м!в, що в!дтворюють примиивний шлях таких процеив природно! еволюц!!, як схрещення, мутац!! та вижи-вання кращих. ГА-технологп на даний час це - потужний пошуковий мехашзм, що устшно застосовуеться при розв'язках задач оптим!зац!! або класиф!кац!!.

ГА-технолог!! працюють з популяц!ями точок, а не з окремою точкою. Кожна "точка" - це вектор на гшерпо-верхш, що репрезентуе потенщальний розв'язок (опти-м!зацшно! проблеми). Популящя таким чином являе собою ансамбль або множину поверхонь вектор!в. Кожний вектор зветься хромосомою, його елементи - генами, м!сце !х розмщення - аллель Юльюсть елеменпв в кож-н!й хромосом! залежить в!д к!лькост! параметр!в (опти-м!зацшно!) проблеми i е шляхом для представлення проблеми. Як уявити проблему у вигляд! рядка елемен-пв - це один з критичних фактор!в в устшному застосу-ванш ГА-технологп (або шших еволюцшних алгоритм!в) до розв'язку проблеми. Типова послщовшсть кроив по реал!зацп головно! парадигми ГА-технологп включае:

1. Гн!ц!ал!зац!я популяц!!

2. Обчислення критер!ально! функц!! для кожно! хро-мосоми в популяцп.

3. Репродукц!я вид!лених хромосом з метою форму-вання ново! популяцп.

4. Виконання операц!! схрещення (crossover) та му-тацп (mutation) на популяцГ!.

5. Перех!д до кроку 2,якщо не досягнуто бажаного результату та юльюсть кроюв не перевищуе наперед визначено!, в шшому випадку - припинення процедури

Гшщал!защя популяцп (п.1) виконуеться таким чином, що !! елементи е випадковими. Процедура обчис-лення критер!ально! функц!! в загальному випадку проста, однак !! виб!р е надзвичайно складною задачею, бо

вщ цього вибору практично залежить пошук розв'язку. Можна вважати, що ця функц!я повинна бути комплексною, визначеною на простор! проблеми. Причому потр!бно мати повну впевнен!сть в тому, що висока оцшка критер!ально! функцп мае суттево високу !мов!рн!сть репродукц!!.

Репродукщя формуе нову популящю, в загальному випадку з иею ж юльюстю хромосом, вид!лення члешв в поточнш популяцп виконуеться реал!защею стохастич-ного процесу, кожна хромосома "зважена" величиною критер!ально! функцп. Збтьшення величини критерь ально! функцп е тдставою для того, щоб вказана хромосома була обраною до ново! популяц!!.

Схрещення (crossover) - процес зам!ни частини рядк!в двох батьювських хромосом. Загальна !мов!ршсть реаль зацп crossover- операцп ствпадае з iмовiрнiстю кожного з батьюв. Ця !мов!ршсть часто приймаеться р!вною 0,650,80. В доповЩ розглядаеться випадок, коли crossover -операц!я реал!зована як двохточечне схрещення з !мов!р-шстю 0,75.

Операщя мутацп полягае в замш! кожного елемента хромосоми випадковою величиною, дуже часто з пост!й-ною !мов!ршстю для кожного елемента популяцп. Гмо-в!ршсть мутацп може широко варжватись в залежност в!д застосування та особливостей ГА-технолог!!. Величина 0,001 - 0,01 вважаеться нормальною. Для операцп НМа цю величину сл!д приймати суттево б!льшою, практично в досить широких межах - 0,01 - 0,15.

НЕЧ1 ТКА МАТЕМАТИКА В ПОНЯТТЯХ ГА-

ТЕХНОЛОГ11

Основою алгоритм!в НМа е в загальному випадку принцип нечикого розширення [ ], який авторами моди-ф!ковано у так званий "матричний принцип". Обчислимо функцп f:U^ V, V = /(u)Vu е U або в бтьш загальному випадку - вщношення F: ({(U, V) |uFv}, F с UxV) . Принцип неч!ткого розширення F у F трактуеться таким чином:

F:Pu ^ Pv, B = F(A),VA е Pv, |B(v) = max |А(и) = maxmin {|А(и)|F(u, v)}, u: (u, v) е F.

Конкретно цей принцип авторами реал!зовано у так!й

споиб. Хай a~ = {a,/u,f } , j = 1, 2,..., n ; b~ = {b/uf} ,

j j it

i = 1, 2,., m ; на тдстав! принципу нечикого розширення Cjl = aj ®fbt, j = maxmin {|ja| b} , ®/ -операщя. Таким чином утворюються дв! матриц!: [C] = {сЛ , [M] = {J , i = 1, 2,., m ; j = 1, 2, n .

Ю. М. Мтаев, О. Ю. Фы1монова, В. В. Давиденко, £. Е. Криксунов, Бенамур Лгес: ОПЕРАЦ11 НЕЧГГК01 МАТЕМАТИКИ НА ПГДСГАВГ ГЕНЕГИЧНИХ ГА ЕВОЛКЦГЙНИХ АЛГОРИГМГВ

а27Д2 ап/да

[С]=

«1* Ь1 а2* Ь1 ап* Ь1

а1* Ь2 а2* Ь2 ап* Ь2

а1*Ьм а2* Ьм ап* Ьм

Ь1/Д\

Ьм/Дп

[М]=

Д11 Д21 Дп1

Д12 д22 Дп2

Д1 м Д2 м Дпм

Хромосомою в даному випадку е пара вектор1в С/ що пов'язан1

Ск, р Ск + 1, р Ск + 2, р

Дк, р Дк +1, р Дк + 2, р

0, 1000 0, 2000 0, 2000 0, 2000 0, 2000 0, 1000 0, 4000 0, 4000 0, 4000 0, 4000 Д = 0, 1000 0, 5000 0, 8000 0, 8000 0, 3000 • 0, 1000 0, 5000 0, 7000 0, 7000 0, 3000 0, 1000 0, 2000 0, 2000 0, 2000 0, 2000

Обчислення критер1альних значень та селекщя хромосом для подальших генетичних операц1й

X СгкдСк X С1кдС1к 2

(1 =

¿2 = ^

критер1альн1 значення

X Сгк X Сгк

для компонент сго88-множини

¿1 < ¿р < ¿2 ¿р с [t1, ¿2] , ¿р - для робочо! хромосоми, ¿1 , ¿2 - для хромосом сго88-множин

= 1 2 3 4 5 Со1оп = 1 2 3 4 5 ¿1 = 0, 1880 0, 3360 0, 5280 0, 4840 0, 1880 г2 = 0, 1000 0, 3650 0, 4750 0, 4750 0, 2600.

Експерименти п1дтверджують високу ефективн1сть запропонованих алгоритм1в.

Первинною популяц1ею е матриця [ С] и [М] . На рис.1 представлено загальний вигляд алгоритму ГА-технолог1'1' стосовно реал1заци операцп НМа.

Результати застосування генетичних алгоритм1в до виконання операц1й Нма. Рис.2а - граф1чне уявлення компонент та результату, отриманого за матричним принципом.

Матриця вих1дних популяц1й ([с] и [д] ), отриманих випадково

С=

6, 00 8, 00 10, 00 12, 00 14, 00 9, 00 12, 00 15, 00 18, 00 21, 00 12, 00 16, 00 20, 00 24, 00 28, 00 15, 00 20, 00 25, 00 30, 00 35, 00 18, 00 24, 00 30, 00 36, 00 42, 00

Рисунок 1 - Загальна схема ГА-технологИ виконання операцп НМа

а) Результат математичног операцИ c = приблизно 4*^ приблизно 5, отриманий за принципом нечШкого розширення (матрична форма)

б) Cross_over - розв'язки

ВИСНОВКИ

1. Неч1тка математика, реал1зована на тдстав1 принципу узагальнення в середовищд генетичних та еволюцшних алгоритм1в, дозволяе суттево розширити множину можливих ршень i таким чином отримати розв'язки, що об'ективно вiдтворюють умови визначення задачь

2. Можливiсть ранжування розв'язкiв неч^кими ймовiрностями, пов'язаними з iмовiрностями мутацш та схрещувань (cross-over), в свою чергу, надае можливiсть об'ективного прийняття ршень, зокрема при розв'язку задач ^ентифжацп, якi приводяться до розв'язку нечиких систем лiнiйних алгебра'1'чних рiвнянь

ПЕРЕЛ1 К ПОСИЛАНЬ

1. L.A.Zadeh, "Fuzzy logic, neutral networks and soft computing", Commun. ACM, vol.37, pp.77 - 84, Mar. 1997.

2. A.Kaufmann, MM.Gupta. Introduction to fuzzy arythmetic: Theory and Application. Avn Nostrand Reinhold, New York, 1991.

3. Dubois and Prade, "Operations on fuzzy numbers." International journal of System Science, 9:612-626, 1978).

4. Минаев Ю.Н. Филимонова 0,Ю, Нечеткая математика в нейросетевом логическом базисе. - Вюник Кшвського м1ж-народного ушверситету цив1льноТ ав1ацп, №1, 1998.-c.164-171.

5. M.Russo. FuGeNeSys - a Fuzzy Genetic Neureal System for Fuzzy Modelling, IEEE Trans.Fuzzy Syst., vol.6, No.3, pp.373388, aug.1998.

6. Y.Shi, R.Eberhart, Y.Chen, "Implementation of Evolutionary Fuzzy Systems", IEEE Trans.Fuzzy Syst., vol.7, No.2, pp.109119, apr.1999.

в) Наближення результат1в операцй НМа, реалiзованог за ГА-технолог1ею, до гдеал1зованих Sugeno-розв' язк1в

Рисунок 2