CC BY
30
p(6qs-1, 0rt -0 + C
?(0qs,0rs) ;
p(6qs, 0rt) = min <
p(0qs, 0rt-l)
+ C
P(6qs-1, Ort) 1 + C
ф(о0,0qs) ; V(0qs, 0^ .
Необходимо отметить, что в общем случае учет цены такого “локального” перехода достаточно сложен вследствие потенциальной поливариантности цепочек преобразований различной стоимости, обес -печивающих свойство эквифинальности. Тем самым, для вычисления расстояния, соответствующего полной цене трансформаций, следует применять процедуры типа динамического программирования, удовлетворяющие требованию: каждое решение, принимаемое на некотором шаге преобразований, должно обеспечивать суммарную оптимальность на всех последующих этапах.
В заключение следует подчеркнуть, что эффективность компаративного распознавания достигается за счет таких свойств є -кластеризации, как:
— минимизация количества операций сравнения на стадии распознавания при заданном значении “сходства/различия” є и фиксированных множествах эталонов путем оптимального формирования є -кластеров;
— обеспечение устойчивости прелиминарной обработки опорных данных, т.е. независимости кластеризации от стартовых условий и выбора эталонов;
— синтез на основе точечно-множественных отображений теоретико-экспериментального инструментария, позволяющего анализировать информационные свойства признаковых пространств в аспекте необходимости, достаточности и полноты характеристик эталонных множеств.
Литература: 1. Дуда Р, Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир. 1976. 512 с. 2. Фор А. Восприятие и распознавание образов. М.: Машиностроение, 1989. 272 с. 3. Dubes R.C. Cluster analysis and related issues // Handbook of Pattern Recognition and Computer Vision / Chen C.H., Pau L.F. and Wang P.S.P. (eds.). Singapore -New Jersey - London - Hong Kong: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1995. P. 3-32. 4. Майстренко А. А.,
Машталир В.П., Путятин Е.П., Ходарев В. Т. Предварительная обработка эталонной информации при классификации изображений // Тез. докл. Всесоюзн. конф. “Математические методы распознавания образов (ММРО-IV)”, 4.3. “Распознавание, анализ и понимание изображений: методология, теория, методы и средства”. Рига: МИПКРРиС при СМ ЛатвССР. 1989. С. 64-66. 5.Машталир В.П., Ходарев В.Т. Многозначные отображения в корреляционных системах технического зрения // АСУ и приборы автоматики. 1990. Вып. 96. С. 107111. 6. Mashtalir V.P., Maystrenko A.A. Preprocessing method for correlation identification // Proc. of 9th IFAC/IFOR Symp. “Identification and system parameter estimation”. Vol. 1. Oxford: Pergamon Press plc. 1991. P. 266-270. 7. Машталир В.П., Ходарев В.Т. Метод классификации эталонов в корреляционно-экстремальных системах технического зрения // АСУ и приборы автоматики. 1993. Вып. 99. С. 9-16. 8. Mashtalir V.P. Template sets preprocessing for correlation procedures // Proc. The third all-ukranian intern. conf. “ Signal/Image Processing and Pattern Recognition”. Kyjiv: uA on IP and SP. 1996. P. 63-65. 9. Киношенко Е.И., Машталир В.П., Хромушин В.А. Методы синтеза экспертных систем диагностики заболеваний внутренних органов на основе точечно-множественных отображений / / Вестн. новых мед. технологий. 1996. Т.III, №4. С. 101-107. 10. Mashtalir V.P, Putyatin E.P. Hierarchical decomposition of reference features for correlation classification // Праці УНДІРТ. 1997. №2. С. 36-42. 11. Браверман Э.М., Мучник И.Б. Структурные методы обработки экспериментальных данных. М.: Наука, 1983. 464 с. 12. Rezaee M.R., Lelieveldt B.P.F., Reiber J.H. C. A new cluster validity index for the fuzzy c-mean // Pattern Recognition Letters. 1998. Vol.19, № 3,4. P. 237-246. 13. Bunke H. Structural and Syntactic Pattern Recognition / / Handbook of Pattern Recognition and Computer Vision / Chen C.H., Pau L.F. and Wang P.S.P. (eds.). Singapore -New Jersey- London - Hong Kong: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 1995. P. 163-209. 14. Masek WJ, Paterson M.S. A faster algorithm for computing string-edit distances // Journal Computing System Science. 1980. Vol. 20, № 1. P. 18-31.
Поступила в редколлегию 12.04.99 Рецензент: д-р техн. наук Путятин Е.П.
Машталир Владимир Петрович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник кафедры применения ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: обработка изображений и распознавание образов. Адрес: Украина, 310141, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 4094-19, e-mail: [email protected].
УДК 519.3
ОСОБЕННОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ О ф -ОБЪЕКТЕ ПРОСТРАНСТВА R2
РОМАНОВА Т.Е., МАГДАЛИНА И.В.
Рассматривается способ представления исходной информации о ф - объекте, обладающем произвольной пространственной формой в пространстве R2 на основе алгебро-топологических свойств компонент линейной связности границы ф - объекта.
При создании интеллектуальных систем решения оптимизационных задач геометрического проектирования [ 1] возникает необходимость построить единую вычислительную основу представления информации
о математических моделях объектов реального мира. В этом случае формальная модель описания информации должна быть однозначной, конструктивной, полной, не избыточно-информативной, компактной и удобной для вычислительных процессов.
В рассматриваемом классе задач в качестве математических моделей материальных объектов выбираются ф - объекты [2] — непустые канонически замкнутые (канонически открытые) [3] точечные множества арифметического евклидова пространства R2, гомотопический тип [4] внутренности и замыкания которого совпадают.
На рис.1, а приведено двусвязное канонически открытое множество T=int*T=intclT, гомотопический тип внутренности и замыкания которого — топологическая окружность; на рис. 1 ,б изображено четырехсвязное канонически замкнутое множество T=cl* T=clintT, внутренность и замыкание которого гомотопически эквивалентны “букету” трех тополо-
68
РИ, 1999, № 1
гических окружностей [5], скрепленных в одной точке.
Данное определение позволяет исключить из рассмотрения нигде не плотные множества, множества с самопересечением границ, ограниченные множества с неограниченным числом компонент связности, множества с асимптотическим поведением границ, с изолированными точками и некоторые другие точечные множества, например, ковер Серпинского, которые не могут быть математическими моделями материальных объектов.
Необходимо отметить, что Ф -многоугольник [1] как ф - объект, граница которого состоит из конечного числа прямых, отрезков прямых и лучей, не всегда является многоугольником, и наоборот.
На рис.2, а, б приведены ф -многоугольники, которые не являются многоугольниками, на рис.2, в изображен многоугольник, не являющийся ф -многоугольником.
а
б
Рис.1
а б в
Рис.2
Рассмотрим некоторые свойства ф - объектов [1, 6].
1. Каждая ограниченная компонента связности границы ф -объекта имеет гомотопический тип топологической окружности, а неограниченная компонента связности границы ф -объекта обладает тривиальной фундаментальной группой [4].
На рис.3, а, б представлены множества, компоненты линейной связности которых удовлетворяют этому требованию.
2. Каждая компонента связности границы ф -объекта является компонентой линейной связности границы ф - объекта.
3. Дополнение ф -объекта до пространства R2 есть ф-объект.
4. Дополнение связного ограни-
ченного ф - объекта, имеющего тривиальную фундаментальную группу до пространства R2, гомотопически эквивалентно топологической окружности . Г омотопический тип множе - а
ства T=clT (рис. 4, а) — точка, а деформация множества intCT=CT=R2/T (рис.4,б) к топологической окружности очевидна. |
5. Число компонент связ- _________
ности множества, описываю- _
б
щего гомотопический тип ком- u
понент связности m - объекта, _
Рис.3
совпадает с числом элементов свободного базиса фундаментальных групп дополнения ф -объекта до пространства R2. Это утверждение справедливо для ф - объектов, у которых все ком- а поненты линейной связности границы ограничены.
Множество, описывающее гомотопический тип Ф - объекта T=clT (рис. 5, а), приведено на рис. 5, б; б
суммарное число элементов свобод- Рис .4
ного базиса фундаментальных групп компонент линейной связности CT= intCT равно трем (рис. 5, в).
а б в
Рис. 5
6. Всякий связный неограниченный ф -объект, у которого граница состоит только из неограниченных компонент линейной связности, имеет тривиальную фундаментальную группу (рис. 3, б).
7. Замкнутые (открытые) связные ограниченные Ф - объекты, имеющие одинаковый гомотопический тип, гомеоморфны в R2.
8. Если ограниченный связный ф - объект имеет гомотопический тип n-лепестковой розы [5], то компоненты связности дополнения ф - объекта до пространства R2 имеют гомотопические типы n точек и топологическую окружность.
Гомотопический тип ф - объектов Tи CT(рис. 6, а, б) проиллюстрирован на рис.6, в, г, соответственно.
7Р ©
а б в г
Рис.6
9. Поскольку линейно-связное точечное множество в пространстве R2 односвязно, если его фундаментальная группа [3] тривиальна, то: ограниченный ф - объект
односвязен, если его граница состоит из одной компоненты линейной связности; связный ф -объект односвязен, если его фундаментальная группа тривиальна; число элементов свободного базиса фундаментальных групп компонент линейной связности границы ограниченного связного ф -объекта, увеличенное на единицу, определяет порядок связности ф - объекта [4].
Представление информации о ф - объектах как о математических моделях материальных объектов в задачах геометрического проектирования связано с понятием геометрической информации, введенной как совокупность трех элементов: пространственной формы точечного множества арифметического евклидова пространства R2; метрических характеристик, определяющих “размеры” соответствующего точечного множества; параметров размещения, задающих местоположение точечного множества в пространстве R2 [1].
РИ, 1999, № 1
69
Для представления геометрической информации о произвольном ф - объекте Tбазисной является геометрическая информация о компонентах линейной связности его границы (в дальнейшем frT). Рассмотрим подробнее каждый из перечисленных выше элементов геометрической информации о произвольной компоненте линейной связности границы frT.
Основываясь на определении и свойствах (1—9) Ф -объектов, а также исходя из особенностей задач рассматриваемого класса [ 1], полагаем, что пространственная форма s компоненты линейной связности frT может принимать следующие значения: окружность — s1; граница прямоугольника — s2; граница правильного многоугольника — s3; граница выпуклого многоугольника (исключая s2, У) — s4; граница невыпуклого многоугольника — s5; все остальные виды пространственных форм, описываемые замкнутыми кривыми Жордана, — s6; граница полубесконечной полосы Q ={(x,y) є R2 |0<x < +го, 0< у < w} — s7, где w — ширина полосы q . Поставим в соответствие каждому элементу множества S некоторое натуральное число по следующему правилу: f=i, i=1,...,7. Таким образом, в общем случае, пространственная форма s компоненты линейной связности frT принимает значения s е S={sj }, j є J7.
Метрические характеристики m компоненты линейной связности frT включают в себя собственно числовые характеристики, определяющие размеры точечного множества, причем количество элементов и их качество (природа) зависят непосредственно от вида пространственной формы sj, j є J7.
Зададим соответствие между пространственными формами s є S и метрическими характеристиками mj, j є J7 следующим образом: m1=(r), где r - радиус окружности s1; m2=(a, b), где a — ширина, b — длина прямоугольника s2; m3 =(r, t), где r — радиус описанной около s3 окружности, t—число сторон s3; m4=m5=(xi, yi ), i=1,...,k, где x и yi — координаты вершин многоугольника s4 (s5) в собственной системе координат s4 (s5) с направлением обхода против часовой стрелки, k — количество вершин многоугольника s4 (s5); m6 задаются аналогично m5, где xt и yt — координаты узловых точек в собственной системе координат s5; m7=(w), где w — ширина полосы s7. Таким образом, в общем случае метрические характеристики m компоненты линейной связности frT задаются в виде m е M={mj }, j e J7. Обозначим через lj число элементов метрических характеристик mi, j є J7. Очевидно, что l1=l7=1, l2=l3=2, l4=l5=l6=2*k.
В качестве параметров размещения компонент линейной связности frTвыбираются координаты начала собственной системы координат XOYмножества se S. Параметры размещения компонент линейной связности frTзадаются следующим образом: 1) для s1 : p1=(x, y), где x, y—координаты центра окружности, совпадающие с началом собственной системы координат s1; 2) для s2: p2=(x, y, q), где x, y — координаты левой нижней вершины прямоугольника, совпадающие с координатами начала собственной системы координат s2, q—угол поворота; 3) для s3 : p3=(x, y, q), где q — угол поворота s3; x, y — координаты начала собственной системы координат s3, совпадающие с центром окружности, описанной около правильного многоугольника s3; 4) для s4 : p4=(x, y, q), где q — угол поворота s4, x, y — координаты начала собственной системы координат s4,
совпадающие с началом собственной системы координат, которые выбираются по следующему правилу: строится минимальная прямоугольная оболочка для s4, координаты точки пересечениядиагоналей полученного прямоугольника принимаются в качестве координат начала собственной системы координат s4; 5)для s5, s6: p5=p6=(x, y, q) определяются аналогично п. 3) ; 6) для полосы s7: p7=(x,y,q), где x, y — координаты “нижней вершины” полосы, совпадающей с началом собственной системы координат s7, q—угол поворота s7. В общем случае параметры размещения p компоненты линейной связности frT задаются в виде pe P={ pj }, je J7.
Таким образом, геометрическую информацию о произвольной компоненте линейной связности frT описывает кортеж g=(s,m,p), где se S, me M,pe P, j=J7.
Представим границу Ф - объекта в виде объединения n компонент линейной связности frT. Учитывая свойства (1-8) Ф -объекта, каждая ограниченная компонента линейной связностиfrTможет индуцировать в пространстве R2 либо стягиваемое множество, либо множество, имеющее гомотопический тип топологической окружности, т.е. исключаются множества, гомотопически эквивалентные n-лепестковым розам.
Пространственная форма c множества, индуцируемого компонентой линейной связностиfrT, характеризуется видом пространственной формы se Sкомпоненты линейной связностиfrTи некоторым признаком d, определяющим порядок связности этого множества. Значение признака d определим следующим образом: d= 1, если компонента линейной связностиfrTиндуцирует односвязное множество; d=2, если—двусвязное множество. Следует заметить, что компонента линейной связностиfrTпространственной формы s7, являясь неограниченным множеством, может индуцировать только односвязное множество. Поэтому для такого случая полагаем, что d=1, если s7 индуцирует полосу q ; d=2, если — замыкание дополнения полосы q до пространства R2. Таким образом, в общем случае, пространственную форму множества, индуцируемого компонентой линейной связностиfrT, можно определить как c=(s, d), где se S={s }, je J7, de {1, 2}. Тогда геометрическую информацию об этом множестве можно представить в виде:
g = (c, m, p), (1)
где m e M, p e P, j= J7.
На рис.7, а представлен трехсвязный ф -объект T, граница которого состоит из следующих компонент линейной связности: прямоугольник s2; окружность s1; правильный треугольник s3. Каждая компонента sj индуцирует множество, обладающее пространственной формой ci =(s3,2) (рис. 7, б), c2= =(s1,2) (рис.7, в), c3 = (s2,1) (рис.
7, г), соответственно.
Следовательно, пространственная форма произвольного ф - объекта T
может быть описана кортежем
(c1,..., ci,..., cn )=
=(sb d1,..., si, di,..., sn, dn ), (2)
где ci — пространственная форма мно -жества, индуцируемого i-й компонентой линейной связности frT.
О
б
О
Рис.7
г
70
РИ, 1999, № 1
Метрические характеристики произвольного Ф -объекта Tзадаются кортежем
(mi,pi mt, pi mn, pn ), (3)
где mt , pi — метрические характеристики и параметры размещения i'-й компоненты линейной связности frT, i=1,2,...,n.
В качестве параметров размещения произвольного Ф - объекта выбираются параметры, характеризующие положение собственной системы координат Ф - объекта относительно нуля пространства R2. Начало собственной системы координат называется полюсом [7] Ф - объекта.
Нужно различать следующие случаи при задании параметров размещения Ф -объекта. Если граница Ф -объекта T состоит из одной компоненты линейной связности, то параметры размещения ф - объекта T совпадают с параметрами размещения этой компонен -ты. Если ф - объект T — связное множество, число компонент связности границы которого не меньше двух, то параметры ф - объекта совпадают с параметрами размещения компоненты линейной связности frT, которая индуцирует множество, имеющее пространственную форму (S, 1), jє J7; в случае, когда пространственную форму связного Ф -объекта описывают только компоненты вида (S,2), в качестве параметров размещения выбираются таковые одной из компонент линейной связностиfrT. Если ф - объект T — несвязное множество, то параметры размещения Ф - объекта выбираются, исходя из удобств описания метрических характеристик Ф - объекта. При этом задаются кортежем (X, Y, Q) , где Xи Y — координаты полюса ф - объекта относительно нуля пространства R2; Q—угол поворота, характеризующий ориентацию Ф - объекта в пространстве R2.
Таким образом, геометрическую информацию о несвязном Ф -объекте можно представить кортежем: g=(ci,mi, ph,chmh ph,,cn,mn, pn,X,Y,Q). (4) Подставляя выражения (2), (3) в (4), получаем:
g=(si, db ..., Sn, dn, mi,
xi,yi,qi,...,mn,Xn,yn,qn,X,Y,Q). (5) Учитывая выражения (i), (4), кортеж (5) можно определить:
g=(gi, g2, ..., gn, X, Y, Q), (6)
где gi — геометрическая информация о множестве, индуцируемо i'-й компонентой линейной связности
frT, i=1,2,...,n. Длина кортежа g соответствует числам 4+/i=5; 5+l2=7; 5+ l3; 5+ l4; 5+ l2=6 в зависимости от пространственной формы si є S компоненты линейной связности frT, i=1,2,...,n. Следовательно, геометрическая информация (6) позволяет однозначно индуцировать несвязный Ф -объект в пространстве R2.
В случае, если граница ф - объекта Tсостоит из одной компоненты линейной связности, то кортеж, задающий геометрическую информацию, совпадает с (i).
Если Ф - объект T — связное множество, число компонент связности границы которого не меньше двух, то кортеж, задающий геометрическую информацию, примет вид
g=(gi, g2, ..., gn). (7)
Рассмотрим пример задания исходной информации о ф -объекте.
На рис.8 представлен несвязный ф -объект, граница которого состоит из четырех компонент линейной связности, поэтому в общем виде кортеж (6) будет иметь вид: g=(gi,g2,g3,gb0,0,0), где gi геометрическая информация о множестве, индуцируемом i-й компонентой линейной связности frT, i=i, ...,4: gi=(2, i, 35, 30, 8, 5, 0); й=(2, 2, 20, i0, i2, 2i, 0); g3=(i, 2, 4, 3i, i4);
g4=(3i, i, 50, 24, 62, i2, 75, 28, 70, 35, 59, 32, 63, 25, 0).
Литература. i. СтоянЮ. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, i986. 267 с. 2. Стоян Ю. Г. Об одном обобщении функции плотного размещения. Докл. АН УССР. Сер. A. i980. № 8. С. 70 - 74. 3. Александрян Г. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. М.: Высш. шк., i979. 336 с. 4. Фоменко А. Т, Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, i989. 528 с. 5. КроуэллР.X., Фокс Р. X. Введение в теорию узлов. М.: Мир, i967. 348 с. 6. Романова Т. Е. Представление знаний в системе автоматизации решения задач размещения геометрических объектов // Кибернетика. i99i. № 5. С. 36-42. 7. Стоян Ю. Г., Гиль Н. И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. К.: Наук. думка, i976. 247 с.
Поступила в редколлегию 2i.03.99
Рецензент: д-р техн. наук Комяк В.М
Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 3i0046, Харьков, ул. Пожарского, 2/ i0, отдел № 52, тел. 95-95-36.
Магдалина Игорь Валерьевич, аспирант Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 310046, Харьков, ул. Пожарского, 2/i0, отдел № 52, тел. 95-95-36.
35 --
25 --
15 --
5 —
Ч----1--1---1---1---1---1--1---1---1---1---1--h
—> X
O 5
15 25
35 45
Рис.8
55 65
РИ, i999, № i
Рис.7
7i
