Полный класс поверхностей 0-уровня Ф-функции множеств с границей — окружность или прямоугольник Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.6:514.1

ПОЛНЫЙ КЛАСС ПОВЕРХНОСТЕЙ 0-УРОВНЯ Ф-ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ С ГРАНИЦЕЙ -ОКРУЖНОСТЬ ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИК

РОМАНОВА Т.Е., МАГДАЛИНА И.В._______________

Для аналитического описания взаимного расположения пары геометрических объектов (условия непересечения, касания, пересечения) вводится понятие Ф-функции [1]. Построение поверхности 0-уровня Ф-фун-кции является основой при задании Ф-функции для произвольных Ф -объектов [2].

Как известно [3], геометрическая информация о произвольной компоненте связности границы Ф -объекта задается кортежем g = (5, m, p), где s — пространственная форма; m — метрические характеристики; p — параметры размещения компоненты связности границы ф -объекта. На основе свойств ф -объектов [3,4] каждая компонента связности границы ф -объекта пространства R 2 может индуцировать либо двусвязное, либо односвязное множество, описываемое кортежем геометрической информации g = (с, m, р), где c = (s, d), d є {1,2} — признак порядка связности точечного множества.

2

Пусть имеется пара точечных множеств Д , 72 с R , индуцируемых компонентами связности границы ф -объекта. Граница множеств frTi, frT2 имеет пространственную форму — окружность s1 или прямоугольник s2 . В данной статье рассматриваются допустимые комбинации множеств 7 , T2, а именно:

Cl = (s1,1) , С2 = (s1,1); Cl = (s1,2) , С2 = (s1,1);

сі = (s1,1) , C2 = (s2,1); C1 = (s2,2), C2 = (s1,1);

C1 = (s1,2) , C2 = (s2,1) ; C1 = (s2,1) , C2 = (s2,1) .

C1 = (s2,2), C2 = (s2,1);

Между пространственной формой, метрическими характеристиками и параметрами размещения задано соответствие [4], позволяющее однозначно задавать метрические характеристики m и параметры размещения p соответствующих пространственных форм компонент связности границы ф -объекта:

s1: m1 = (r), р1 = (x, у); s2 : m2 = (a, b), p2 = (x, y, 0), где (r) — радиус окружности s1; a, b — длина и ширина

прямоугольника s2 ; (x,y) — координаты полюса р компоненты связности границы ф -объекта.

Замечание. Полагаем, что множества 7, T2 строго

ориентированы, например, полюс круга находится в центре окружности s1 и совпадает с началом собственной системы координат, а полюс прямоугольника находится в левой нижней вершине прямоугольника s2 и совпадает с началом собственной системы координат s2 , при этом 0 = о (рис. 1).

Следуя определению Рис.1

ф -функции [1] и учитывая замечание, имеем:

ф(Х1,у1, x2,у2) > 0, CIT1 nCIT2 = 0

ф( ХЬ У1,Х 2> У 2) = 0 Ф(Х1,У1, Х2, У2) < 0

j>7 n frT2 Ф0 [int T1 П int T2 = 0 int T1 П int T2 Ф 0.

Пусть точечные множества 7, T2 индуцируются соответствующими кортежами геометрической информации g1 = (C1,m1,pD, g2 = (C2,m2,P2).

Рассмотрим следующие случаи построения поверхности 0-уровня Ф -функции (в дальнейшем — поверхность Ф0), когда ф(х!,у1,х2,у2} = 0 в зависи-

мости от вида C1, C2 :

1 FrT1 = (s1), FrT2 = (s1),

m1 = (r1), m2 = (r2), P1 = (Х1,у1), P2 = (Х2,у2). а) g1 = {s1,1,m1,P1} , g2 = {s1,1,m2, P2}.

Поверхность Ф 0 (рис .2) описывается равенством

(x2 _ Х1)2 + (у2 _ у1)2 _ (r1 + r2)2 = 0 . (1) б) g1 = {s1,2,m1,P1}, g2 = {s1,1,m2,P2} .

РИ, 2000, № 1

43

Если условие r > Г2 выполняется, то поверхность Ф0 (рис.3) задается уравнением

(2)

№

1/2]:

Ы--

Ы:

ci: с2 с3 : с4

- (x2 - xi) - a - r = 0 (>”2 -Уі) + b > 0

(>2 - Уі) ^ 0

(>2 - >1) - r = 0 (X2 - xi) + a > 0

- (x2 - xi) > 0

(x2 - xi) - r = 0 (>2 - Уі) + b ^ 0 -(>2 - >1) ^ 0

- (>2 ->i) -b -r = 0 (x2 - xi) + a > 0

- (x2 - xi) > 0

- (x2 - xi) - a > 0 >2 - >i - 0

2 2 2

(x2 - (xi - a))2 + (>2 ->i)2 - r2 = 0

x2 - xi ^ 0 >2 - >i - 0 (x2 - xi)2 + (>2 ->i)2 -r2 = 0

x2 - xi ^ 0 _ (>2 - >i) _ b - 0

(x2 - xi)2 + (>2 - (>i - b))2 - r2 = 0 - (x2 - xi) - a > 0 _ (>2 ->i) _b - 0

(x2 - (xi - a))2 + (>2 - (>i - b))2 - r2 = 0 .

(3)

Рис. 3

2. FrTi = (5і) , FrT2 = (s2),

mi = (r), m2 = (a,b), pi = (xi,>i), P2 = (x2,>2). а) gi = {s1,i,mi,pi} , g2 = {s2,1,m2,P2} . Поверхность Ф 0 представляет собой объединение четырех отрезков [/іП/2І[/з\Ы и четырех дуг ci, c2, С3, С4 (рис.4) и описывается совокупностью систем:

Рис. 4

б) gi = {s1,2,mi,Pi}, g2 = {s2,1,m2,P2} .

Е ^ r42 , ^ rV2

Если условие a < , b < выполняется, то по-

верхность Ф0 (рис.5) определяется структурой систем, задающих объединение дуг cbс2,03,С4 :

ci :

c2 :

c3 :

c4 :

- (x2 - xi) - - > 0

b

(>2 - >1) + 2 - 0

(x2 - xi)2 + (>2 - (>i - b))2 - r2 = 0

(x2 - xi) + - ^ 0

(>2 - >1) + f - 0

(x2 - (xi - a))2 + (>2 - (>1 - b))2 - r2 = 0

(x2 - xi) + - > 0

_ (>2 - >1) _ 2 “ 0

(x2 -(x1 - a))2 + (>2 - >1)2 - r2 = 0

-(x2 - xi) - - > 0 “ (>2 - >1) _ b - 0 (x2 - xi)2 + (>2 - >1)2 - r2 = 0 •

(4)

44

Рис. 5

РИ, 2000, № 1

Далее полагаем m = (a,b), m2 = (r), p = (x^,y{), P2 =(x2,У2) •

\ 2 1 в) gi = ,1,m2,P2}, g2 = (5 ,1,mi,Pi} •

Поверхность Ф0 представляет собой объединение

четырех отрезков [ЛИ/2И/з/ прямых и четырех дуг c1,c2,c3,c4 (рис.6)

и описывается совокупностью систем: (Х2 -xi) + r = 0 [/i]:' _ (y2 _ y1) + b - 0

(У2 - Уі) ^ 0 (У2 - Уі) - b - Г = 0 [/2]: <-(Х2 -Хі) + a > 0

(Х2 - xi) > 0

(x2 - xi) - a - r = 0

Ш ' _ (y2 _yi) + b - 0

,(У2 -Уі) ^ 0 (У2 - Уі) + r = 0 [/4]: < - (x2 - xi) + a > 0

(x2 - xi) > 0

- (x2 - xi) > 0

- (У2 - Уі) + b > 0

ci

c2

c3

c4

(x2 _ xi)2 + (у2 _ (у1 + b))2 _ r 2 - 0 (x2 - xi) - a > 0

(У2 - Уі) - b > 0

(x2 - (xi + a))2 + (y2 - (yi + b))2 - r2 = 0

(x2 - xi) - a > 0 -(У2 -Уі) ^ 0

(x2 _ (xi + a))2 + (y2 _yi)2 _r2 = 0

- (x2 - xi) > 0

- (У2 - Уі) ^ 0

(x2 - xi)2 + (У2 - Уі)2 - r2 = 0 •

(5)

2i

г) gi = (5 ,2,mi,Pi}, g2 = (5 ,i,m2,P2} •

Если условие a > 2r, b > 2r выполнено, то поверхность Ф0 (рис .7)

определяется структурой систем, задающей объединение отрезков L/іПhW/з\[/4]:

Ш-

Ы:

[/з]-[/4]:

(x2 - xi) -r = 0

- (У2 - Уі) + b - r > 0 (У2 - Уі) - r ^ 0

(У2 - Уі) - b + r = 0

- (x2 - xi) + a - r > 0 (x2 - xi) + a - r > 0 (x2 - xi) - a + r = 0

- (У2 - Уі) + b - r > 0 ,(У2 -Уі) -r ^ 0

(У2 -Уі) -r = 0

- (x2 - xi) + a - r > 0 (x2 - xi) + a - r > 0 .

(6)

3. FrTi = (52), FrT2 = (52) •

Пусть mi = (ai,bi) , m2 = (a2,b2) , Pi = (xi,yi) ,

P2 =(x2,У2) •

22

а) gi = (5 ,i,mi,Pi}, g2 = (5 ,i,m2,P2} •

Поверхность Ф 0 (рис^ 8) задается совокупностью систем:

РИ, 2000, № 1

45

Ы:

Ш

Ы:

Ш

(х2 - х\) + а2 = 0

- (У2 -Уі)+b > о (У2 - Уі) ^ 0

(У2 - Уі) - b1 = 0

- (Х2 - Хі) + аі > 0 (Х2 - Хі) + a2 > 0 (Х2 - Хі) - аі = 0

_ (y2 _уі) + Ьі - 0 (У2 -Уі) ^ 0

(y2 _Уі) + b2 = 0

- (Х2 - Хі) + аі > 0

(Х2 - Хі) + а2 > 0 .

(7)

б) gl = {s2,2,ті, рі}, g2 = (52,і,m2,Р2> •

Если условие аі > а2, Ьі > b2 выполнено, то поверхность Ф0 (рис .9) определяется совокупностью систем:

(Х2 - Хі) = 0

[/і]: • _(У2 _Уі) + Ьі _Ь2 ^ 0 (У2 -Уі) ^ 0 (У2 _Уі) _Ьі + Ь2 = 0 [/2]: (Х2 - Хі) + аі - а2 > 0

(Х2 - Хі) > 0 (Х2 - Хі) - аі + а 2 = 0 Ы--' _(У2 _Уі) + Ьі _Ь2 ^ 0 .(У2 -Уі) ^ 0 [(У2 -Уі) = 0

[/4]: (Х2 - Хі) + аі - а2 > 0

(Х2 - Хі) > 0

Таким образом, совокупности (1),(2), (3)-(6), (7),(8) описывают поверхности 0 -уровня пары множеств Ті,

(8)

Т2, граница которых обладает пространственной формой, либо окружность, либо окружность и прямоугольник, либо прямоугольник, соответственно.

Литература: 1. Стоян Ю. Г. Об одном обобщении функции плотного размещения. Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 8. С. 70—74. 2. Стоян Ю.Г. Автоматизация объёмнопланировочного проектирования в машиностроении. Изв. АН УССР. 1979. № 3. С. 46-52. 3. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 267 с. 4. Романова Т.Е., Магдалина И.В. Особенности представления геометрической информации о ф -объекте пространства R // Радиоэлектроника и информатика, 1999. №1. С.68-71.

Поступила в редколлегию 21.02.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Руткас А.Г.

Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, отдел № 52, тел. 95-95-36.

Магдалина Игорь Валерьевич, инженер отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/ 10, отдел № 52, тел. 95-95-36.

УДК 681.513.7

СУБОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСТАДИЙНЫМИ СТОХАСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДОВЕНКО С.Г., КИРИЯКР.Д.___________

Предлагается подход к децентрализованному управлению многостадийными стохастическими объектами, предполагающий последовательное выполнение трех основных процедур. На первом этапе решается задача синтеза локальных управлений и текущей идентификации параметров подсистем. Второй этап состоит в коррекции локальных решений с учетом взаимодействия подсистем. На заключительном этапе формируется глобальная стратегия управления общей системой.

1. Введение

Для сложных технологических комплексов, основанных на последовательно-зависимой переработке сырья, характерны многостадийные технологические процессы. Отдельные стадии таких процессов характеризуются совокупностью переменных состояния, управления и выходных, причем переменные состояния входа последующих стадий определяются выходными переменными предыдущих стадий. При управлении многостадийными процессами применяется принцип децентрализации, предполагающий синтез взаимосвязанных многомерных локальных регуляторов. Очевидно, что при наличии дрейфа параметров отдельных стадий и высоком уровне помех общая схема управления должна содержать процедуры адаптации.

46

РИ, 2000, № 1