Задача покрытия прямоугольной области кругами заданного радиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.753

ЗАДАЧА ПОКРЫТИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ КРУГАМИ ЗАДАННОГО РАДИУСА

АНТОШКИН А.А., ПАНКРАТОВ А.В.,

ПАЦУК В.Н, РОМАНОВА Т.Е, ТПЕХОВЦОВ С.Б.

Рассматривается математическая модель оптимизационной задачи покрытия прямоугольной области минимальным числом кругов заданного радиуса с учетом минимально и максимально допустимых расстояний между центрами кругов и границей области покрытия. Приводится алгоритм решения задачи, основанный на методе оптимизации по группам переменных.

Рассмотрим оптимизационную задачу геометрического проектирования [1] в следующей постановке. Необходимо прямоугольную область Tq покрыть кругами заданного радиуса из набора Ті, Т2,..., Т„} таким образом, чтобы количество кругов было минимальным и выполнялись условия на минимально и максимально допустимые расстояния между центрами кругов и границей области покрытия. Предполагается, что n заведомо превышает число кругов, которыми можно покрыть область Т0 .

Пусть множества Т0, Т, і є In = {1,2,...,n} индуцируются кортежами геометрической информации [ 1 ]:

g0 = (S0, M0, Po ) = ((50, d), (a, b), (Xq , y0,0)), gi = (Si, Mi, Pi) = ((Si, d ),(R),(Xi, y,)),

где S0 = S2 , S, = S1, S1 - окружность; S 2 - прямоугольник; d — признак порядка связности множества, d = 1, если множество имеет гомотопический тип точки, и d = 2 , если множество имеет гомотопический тип окружности. Очевидно, что в данном случае d = 1, поскольку Tq , Т — односвязные множества. В дальнейшем будем полагать, что x о = У о = 0 .

Представим математическую модель поставленной задачи в виде:

D2 — множество, описывающее условия на минимально и максимально допустимые расстояния между центрами кругов и границей области покрытия и заданное структурой в общем случае нелинейных неравенств [1, 2]:

((G ’ (F1 (Z), Дь *1) U G ’ ’(F2 (Z), Д 2, k 2)) П

П (G_ (F3(Z), А3, k3) U G (F4(Z), д 4,к4))) U (2)

U G V5(Z), Д5, к5) , где

m

G ’ (F1(Z), Д1, к1) = П Gi (F1i (Zi), д1і, к1і); (3)

і=1

m"

G’'(F2(Z), Д2,k2) = П Gi (F2i (ZiX A2i, k2i); (4)

i=1

G± (F3 (Z), Д3,k3 ) = П Gij (F3ij (Zi ),A3ij ,k3ij ) ;(5)

3 (OA

G **(F4(Z), Д 4, k 4) =

= П G**(F4ij (Zi), Д 4ij, k4ij) ; (6)

(i,j>Bn

m* *

G*(F5(Z), Д5, k5) = П Gi (F5i(Zi), A5i,k5i); (7)

i=1

m'+m"+m* = n , m'+m"> 2 .Здесь Fl (Z),Ai, kl,l = {1Д...Д} — элементы соответствующей структуры неравенств; Fi (Z) — упорядоченный набор неравенств; Д i — матрица связи неравенств из набора Fi (Z); ki — число неравенств, входящих в набор Ft (Z); An U Bn = Kn — множество пар индексов (і* , jk), ik є In , jk є In , ik *jk, k = 1,2,..., CI, при этом полагаем, что An П Bn =0 .

Структуры (3)—(7) описывают некоторые множества d’, D'D±,D**, D* соответственно.

min

ZeDc Eln

Ё Ї (®ij (Zi, Zj) + ю0 (Z0, Zi)),

i=1 j=i +1

(1)

здесь ю j (Zi, Z j) — функция, определяющая площадь взаимного перекрытия кругов Т, , Тj , i ф j , i є In, j є In ; q0 (Z0, Z, ) — функция, определяющая площадь взаимного перекрытия круга Тi i є In

и области cl(R2 /Tq) ; D = D1 UD2 — область допустимых решений; D1 — множество, описывающее условие покрытия области Tq кругами Tt :

n

То П (и Ті )= Tq следующим образом:

i=1

max min ((х, - С )2 + (Уі -ty )2 -R 2) < 0 .

t=(tx ,ty )єТ0 i=1,2,...n ;

Множество D ’ c E 2n определяет условие принадлежности центров кругов Ті, і є In области т ', индуцируемой геометрической информацией:

g' = (S',M',P), S' = (s’1 ,s'2), s'1 = (s2,d1),

s'2 = (s2,d2) , d1 = 1, d2 = 2 ,

M ' = ((m ’ 1, p 1 ),(m ’ 2, p ’ 2)) =

= ((a - 2r ~, b - 2r ~, r ~, r ~ ,0), (a - 2rQ, b - 2rQ, rQ, rQ ,0)),

P’ = (X0,y ’0 ,0) = (r~,r“ ,0).

Множество D' c E2n задается структурой неравенств (3). Набор Fn (Z і ) неравенств имеет вид:

38

РИ, 2001, № 3

F1,(Z,) = F1, (x,, y,) =

= {-/1(x,, У,) ^ 0, /2 (x, y,) < 0,

/3 (x,, У,) ^ 0,-f4 (x, y,) < 0, f5 (x, y,) < 0, (8)

- /6(x,, y,) ^ 0,~/7(x,, y,) ^ 0 /8(x,, y,) ^ 0} ,

где

/l(x,, y,) = y, - r “, /2 (x,, y,) = x, - a + r “,

f3(x,, y,) = y, - b+r “, /4(x,, y,) = x, -r “ ,

/5(x,, y,) = y, - r0+, /6(x, , y,) =

= x, - (a - Г0+), /7 (x,, y,) = y, - (b + Г0 ), /8 (x,, y,) =

= x, + r0+.

При этом ориентация равенств такова, что справедливы следующие неравенства:

-/1 (0,0) < 0 , /2(0,0) < 0 , /з (0,0) < 0 , -/4(0,0) < 0 , /5(0,0) < 0 , - /б (0,0) < 0, - /7(0,0) < 0 , /8(0,0) < 0 .

Определим матрицу Ді,- = ||о^ ||, j = 1,2,..,8 ,/=1,2,...,8 следующим образом:

Множество D± с E2n задается структурой неравенств (5). Набор неравенств F3, (Z,) имеет вид

F3,(Zi, Zj) = F3, ((x,, y,X (xj, yj ^ =

= {fi(x,, y,, xj, yj) ^ 0, - /2(x,, y,, xj, yj ) ^ 0} (10)

где

2 2 +2

Zi(x,,Уі , xj,yj) =(x, - xj) + (y, - yj) -r ,

2 2 —2

/2(xi, У,, xj , yj) = (xi - xj) + (y, - yj) - r ,

причем ориентация равенств такова, что /і (0,0,0,0) < 0 , -/2 (0,0,0,0) < 0 .

Матрица Д3i = ||сту|| — единичная, т.е. Оу =1,

Vj-, Vi, i = j = 1,2 .

Заметим, что к3 = 2card(^и).

Множество D ** с E2n задается структурой неравенств (6). Набор неравенств F4i(Zij) имеет вид:

о j =1, Vj', Vi, i < 5, j < 5 ; i > 4, j < 5 ; i < 5, j > 4; i = j, i > 4, j > 4 ; ст j =0 в противном случае. Заметим, что ki = 8m'.

Множество D" с E2n описывает условие принадлежности центров кругов T,, і є In области T" с E 2 , индуцируемой геометрической информацией:

g'' = (S",M",Р"), S'' = (s2, d) = (52,1),

M" = (a - 2R, b - 2R), Р" = (R, R,0).

Множество D” с E2n задается структурой неравенств (4). Набор F2, (Z,) неравенств имеет вид:

F2i (Z, ) = F2i (xi, Уі ) = {-f1 (xi, У, ) ^ ^

/2 (xi, У, ) ^ 0, /3 (xi, У, ) ^ 0,“/4 (xi, У, ) ^ 0} , (9) где

/1(x,, У,) = У, - R, /2 (x,, у,) = x, - a + R, f3(x,, У,) = У, - b + R /4(xi, У,) = x, - R. причем ориентация равенств такова, что

-/1(0,0) < 0 , /2(0,0) < 0 , /3(0,0) < 0 , -/4(0,0) < 0 .

Матрица Д % — единичная, т.е. Д % = ||CTij ||, где Gy

= 1, Vj, Vi, i = j = 1,2,..,4 .

Заметим, что к2 = 4m''.

Множество D± с E2n описывает ограничение на минимально 2r ~ и максимально r+ допустимые расстояния между центрами кругов Tt, Tj i ф j, і є In, j є , для которых выполняется следующее условие: int T П int tj .

F4, (Z,j ) = F4, (x,, у,, xj , yj ) =

= {-/1(xi, y,, xj, y7) ^ 0}, (11)

2 2 +2

здесь /1(xi, y,, xj, yj) =(xi - xj)2 +(у, - у j)2 - r ,

причем ориентация равенств такова, что -/1 (0,0,0,0) < 0 .

Очевидно, Д 4, = ЦстцЦ = 1. Тогда к4 = card(Bn) .

Множество D* с E2n описывает условие принадлежности центров кругов т, с E2 , і є In области T * с E 2 , индуцируемой геометрической информацией

g = (S , M , Р ),

где S = (s2,d2), M = (a,b), Р = (x0,У0,0).

Множество D* с E2n задается структурой неравенств (7). Набор неравенств F5i (Zt) имеет вид:

F5, (Z, ) = F5, (xi, У, ) = {/1 (xi, У, ) ^ 0,

- /2 (xi, У, ) ^ 0,“/3 (xi, У, ) ^ 0, /4 (xi, У, ) ^ 0} , (12) где

/1(xi, у,) = у,, /2(xi, у,) = xi - a,

/3(xi, у,) = у, - ^ /4(xi, у,) = xi.

Заметим, что ориентация неравенств имеет вид /1(0,0) < 0 , -/3(0,0) < 0 ,

-/2(0,0) < 0 , /4(0,0) < 0 .

Определим матрицу

Д1, =11СТУІ1, j = 1,2,">4 , i=1, 2, ..., 4

следующим образом: о j =1, Vj, Vi, i = j ; Oj =0 в противном случае.

РИ, 2001, № 3

39

*

Заметим, что к5 = 4т .

Введем некоторые обозначения и представим в аналитическом виде некоторые дополнительные функции, участвующие в формировании функции цели поставленной задачи.

Рассмотрим случай определения площади пересечения кругов Ti и Tj (рис. 2):

hj\xi, Уі , xj,

\R2 (2ф - sin 2ф), если |о, если pj > 2R.

0 < pj < 2R;

Пусть Ik = {1,2,..., к} — индексное множество; i, j — номера кругов, i, j є In ; W — значение функции цели; pi — l -я точка пересечения границы i -го круга с границей непокрытой области, т.е.

( i-і Л

Pll є frTi П fr

То \ и Тк

к=1

K,

pil пересечения границы i -го круга с границей непокрытой области, L* = cardK*; Ki — множество точекpti из множества K*, удовлетворяющих ограничениям задачи (1), в дальнейшем — “опорных”

точек; Li = cardK і

Li < L*

ю

10

значение ю ■

J ю к

Тj ; xj- — значение функции цели для i -й точки

круга T j

х j = !<■ 4°

к=1

Zj -

множество, эле-

менты х j которого ранжированы по возрастанию.

Рассмотрим случай определения площади взаимного пересечения круга Tt с областью cl(R2 /То) по оси OX или OY (рис. 1,а):

jxp, yp, Xj , y) =

R2

(а - sina), если 0 < pj < R;

0, если Pj > R. ;

(13)

а = arccos-

pj

R

Р pj -

i = 1,...,m , Ppj — расстояние между центром круга Tj и границей области T0 .

В случае, если круг Ti пересекается с областью cl(R2 / T0) по оси OX и OY одновременно, например, как показано на рис. 1,б, следует использовать формулу вида

0 0а. 0а.

Ю 0 =аj + юj

2 “ (“0Ф “2(xb ~ xa I 'Iyc “ ya |) .

Здесь pj [xj - xt )2 + (y j - Уі )

Ф = arccos

2R

множество точек

функции T) и Tj для l -й точки круга T значение ю -функции Tk и Tj для l -й точки круга енш

j-1

Jij

Р ij — расстояние между центрами кругов Tt и Tj .

Пусть pH є frTi П frT0 .

Для нахождения точки постановки центра Oj следующего круга Tj , такой что функция цели достигает в этой точке своего минимума, необходимо провести прямую, проходящую через точку pn и образующую угол ф с прямой, параллельной оси OX (рис. 3).

Tj

Рис. 2

Рис. 3

На данной прямой на расстоянии R от точки pn будет находиться искомая точка Oj .

Функция цели в этом случае имеет вид sin 2ф

xj- = R2(Т + а0 -

-- cosfa-a 0)), (14)

X .j

Рис. 1

40

22 = -R2(cos2ф + sin(a0 -ф)) = 0, n

a=2-ф + а0 , 0^Ф^-,

Л п

00 ^2,

п а 0

очевидно, что Ф = — н-0 .

6 3

Пусть pii є frTi П frTj . Для нахождения точки постановки центра Oj следующего круга Tj такой, что функция цели достигает в этой точке своего минимума, необходимо провести биссектрису угла ф , образованного касательными к окружностям frTi и frT j в точке pii.

РИ, 2001, № 3

2

у

2

б

На данной биссектрисе на расстоянии R от точки Рл будет находиться искомая точка Oj.

Рассмотрим случай пересечения трех кругов Ts, Tk , Tr, s, k, r є Im , m = m'+m'', такой, что выполняются условия int Тк П int Tr ^0 , int Tk П int Ts ф 0 и найдется хотя бы по одной точке p'it и p"it пересечения кругов Tk , Ts и Tk , Tr соответственно, которые

R

находятся в некоторой окрестности радиуса є = —.

Следующий круг Tj размещается таким образом (рис. 4), что его центр Oj имеет координаты

(xj, j = |(x'+x", y'+у) +

2^4R2 - (xx'')2 - (y '-y ')2 . (y'-y '',x 1x')

V( x - x ')2 + (y - y ')2 ’

где x ', y' и x'', y '' - координаты точек p'п и p"u соответственно.

Рассмотрим пошаговый алгоритм решения задачи (1) непосредственно.

Шаг 1. Полагаем i = 0,

L0 = 1; W0 = 0; Uo = {(xo + R

K0 = {(0,0)}; K0 = {(0,0)};

V2

y0 + R~^)} , N0 ~ 1.

Шаг 2. Полагаем j := j +1. Для каждой точки vtl eUi , l = 1,2,...,L0 вычисляем функцию цели %j по формуле (14). В случае j = 1 функция цели вычисляется по формуле (13).

Ранжируем множество значений % j по возрастанию. В результате получаем множество

Zj = х jVj}.

2

Шаг 3. Полагаем l :=

:= h

Шаг 4.Проверяем на связность множество вида

( г Л

Tj = T>\

и, T и T

V q=1

где Tj = Tj (Vj і).

Шаг 5.Если множество T0jl — связно, то переходим

к шагу 6. Если і = Д, переходим к шагу 6. Иначе полагаем l := l +1 и переходим к шагу 4.

РИ, 2001, № 3

Шаг 6.Размещаем T, таким образом, что центр Oj

l

находится в точке vit. Полагаем W = W + %j. Формируем множества K* :

Kj ; K * = K* \{ Рй } и {{pjq }q },

где pjq — точка пересечения Tj с областью

( i Л

frTj n fW U Tk

vk=1

f

K * = (Ki U (frTj n fr(T)\

и Tk

)\ ph ,

Lj = cardKj.

vk=1 V

Формируем множество Kj, исключая точки, не удовлетворяющие ограничениям задачи,

cardKj = Lj.

Формируем множество Uj центров Oj допустимой постановки кругов Tj, cardU j = N j . Если N j = 0 , переходим к шагу 8.

Шаг 7. Полагаем i = j . Переходим к шагу 2.

Шаг 8. Заканчиваем работу алгоритма.

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Киев: Наук. думка, 1986. 268 с. 2. Антошкин А.А., Комяк В.М., Романова ТЕ., Шеховцов С.Б. Особенности построения математической модели задачи покрытия в системах автоматической противопожарной защиты // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 1. С. 75-79.

Поступила в редколлегию 11.03.2001

Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.

Антошкин Алексей Анатольевич, адъюнкт кафедры пожарной автоматики и связи Академии пожарной безопасности Украины. Адрес: Украина, 61023, Харьков, ул. Чернышевского, 94, тел. (0572) 40-20-35.

Панкратов Александр Владимирович, канд. техн. наук, научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.

Пацук Владимир Николаевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.

Романова Татьяна Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.

Шеховцов Сергей Борисович, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики Университета внутренних дел. Адрес: Украина, 61180, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-30-67.

41