СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРАХ СЕКТОРНОГО СЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (86) / 2024.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2024-1-37-50 EDN:LJJYHP

©2024. А.И. Дзундза1, Н.Ю. Мельничук2, И.А. Моисеенко3, В.А. Моисеенко4

СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРАХ СЕКТОРНОГО СЕЧЕНИЯ

Построены базисные решения для задачи исследования свойств распространяющихся нормальных волн в радиально-неоднородных изотропных цилиндрах секторного поперечного сечения с идеально гибким нерастяжимым мембранным покрытием граничной поверхности секторного выреза. Элементы базисных решений выражены через аналитические функции. Модули упругости и плотность материала волновода задаются на основе трехфакторной модели радиальной функциональной неоднородности физико-механических характеристик изотропного материала сплошного цилиндрического волновода. Получены дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник симметричных и антисимметричных нормальных волн в радиально-неоднородном цилиндрическом волноводе со свободным либо жестко закрепленным цилиндрическим участком боковой поверхности. Представлен сопоставительный анализ результатов численного эксперимента, проведенного для случаев однородного и функциональ-

1 Дзундза Алла Ивановна - доктор пед. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Dzundza Alla Ivanovna - Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2 Мельничук Наталия Юрьевна - ассистент каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Melnichuk Natalia Iurievna - Assistant, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

3Моисеенко Игорь Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Moiseyenko Igor Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

4Моисеенко Виктор Алексеевич - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. специализированных информационных технологий и систем ФГБОУВО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры», Макеевка, e-mail: [email protected].

Moiseyenko Viktor Alekseevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donbass National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeyevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.

но неоднородных свободных на цилиндрическом участке боковой поверхности волноводов, даны количественные и качественные оценки полученных численных результатов.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропия, цилиндрический волновод, секторное сечение, модель радиальной неоднородности, базисное решение.

Введение. Функционально-градиентные материалы в настоящее время активно исследуются в том числе и в плане разработки новых теоретических подходов к анализу математических моделей, описывающих волновые процессы в объектах из таких материалов, например, в задачах исследования дисперсионных спектров нормальных упругих волн в цилиндрических телах из таких материалов с варьируемыми геометрией и физико-механическими свойствами. Одним из направлений анализа указанного класса задач, приобретающем все большую актуальность в связи с появлением новых приложений в ультраакустической дефектоскопии и акустоэлектронике, является поиск возможностей целенаправленного изменения структуры спектра. Проведение теоретических исследований в этой области предполагает, как правило, построение новых аналитических решений для соответствующих математических моделей. В этом направлении продуктивным оказался подход, основанный на привлечении специальных моделей функциональной радиальной неоднородности физико-механических характеристик таких материалов. Так в работах [1,2] с применением единого подхода построены аналитические решения задачи о распространении неосесиммет-ричных волн в протяженных цилиндрах кругового секторного и кругового сечений, изготовленных из трансверсально изотропного материала с единым для всех характеристик материала функциональным законом экспоненциально степенной радиальной неоднородности. В работах [3-5] указанный подход распространен на случай радиально-неоднородного цилиндрически ортотропного материала волновода. В работе [6] на основе предложенной трехфакторной модели функциональной радиальной неоднородности физико-механических характеристик изотропного материала сплошного цилиндрического волновода построены новые базисные аналитические решения уравнений трехмерной линейной математической модели для случая распространяющихся неосесимметричных волн.

В данной работе представленная в [6] методика построения базисных аналитических решений распространена на задачу исследования свойств нормальных упругих волн, распространяющихся в радиально-неоднородных изотропных цилиндрах секторного поперечного сечения с идеально гибким нерастяжимым мембранным покрытием граничной поверхности секторного выреза.

1. Постановка задачи. Рассматривается изотропный радиально-неодно-родный

А (г) = С*А(г), р (г) = Сф (г), р (г) = р*р (г) (1)

цилиндрический волновод секторного поперечного сечения, занимающий в нормированной линейным размером Я* [м] безразмерной цилиндрической системе координат Огвг область

V = {г е [0,1], в е [-а, а] , г е (-ж, те)} (0 < а < п), (2)

имеющий граничную поверхность Г = rsec + rcyi, где

Tsec = {r £ [0,1] , в = ±a, z £ (-ж, те)} ,

Гсу1 = {r = 1, в £ [-a,a] , z £ (-ж, те)} .

Полагается, что произвольные, в пределах допустимости варьирования значений физико-механических характеристик, нормированные параметрами соответственно C* = const [н/м2 ] и р* = const [кг/м3] функциональные законы изменения упругих модулей Ламе и плотности

\ = \(r) > 0, ¡1 = ¡1 (r) > 0, р = р (r) > 0 (r £ [0,1])

(3)

относятся к классу С2 [0, 5). Границы допустимых значений параметра 5 (5 > 1) определяются достаточными условиями несильной радиальной неоднородности материала волновода [6].

Для пространственной линейной математической модели волновой динамики в случае распространяющихся вдоль оси Ог волновода с геометрией (2) нормальных упругих волн с круговой частотой ш, нормированным параметром Я* продольным волновым числом к (к е С) и окружным волновым числом т (т е К) после применения метода разделения переменных получаются представления, которые в матричном виде могут быть записаны так:

u (r, в, z, t) = exp (-iwt + ikz) Pu tU) (в) u(т) (r), £ (r, в, z, t) = exp (-iwt + ikz) ps tg) (в) £(т) (r);

(4)

s(т) (r) = g (r) m(т) (r) u(т) (r); (5)

d(т) (r) u(t) (r) = o (r £ [0,6)). (6)

Математическая модель (4)—(6) дополняется граничными условиями:

- на участках граничной поверхности секторного выреза рассматриваются граничные условия, моделирующие нанесение абсолютно гибкого микропанцирного покрытия

ur (r, в, z, t)

Uz (r^,z,t) = O, (7)

OQQ (r, в, z, t) r

^ r sec

- на цилиндрическом участке граничной поверхности рассматриваются классические граничные условия свободной

[£ (r^^^^б)

o,

(8

cyl

либо жестко закрепленной

u (rIrcyi = o

(9)

поверхности. В соотношениях (4)—(9)

И(т) (г) = й(гт) (г), 4Т) (г), и£) (г)

т

Ё(т) (г) = стТ (г), $ (г), (г), (г), ) (г), аЩ (г)

т

(10)

вектор-столбцы с вещественными радиальными составляющими нормированных величинами соответственно Я* и О* компонент и3 (г, в, г, Ь) (в = г, в, г)

И (г, в, г, Ь) = К (г, в, г, Ь), ив (г, в, г, Ь), и2 (г, в, г, Ь)]т (11)

вектора упругих перемещений и компонент а3 (г, в, г, Ь) (в = гг, вв, гг, вг, гг, гв)

Ё (г, в, г, Ь) = [агг (г, в, г, Ь), авв (г, в, г, Ь), а хх (г, в, г, Ь),

авг (г, в, г, Ь), Огг (г, в, г, Ь), агв (г, в, г, Ь)]

т

(12)

тензора напряжений; Ри и Р^ - диагональные матрицы комплексной нормировки с отличными от нуля элементами

рКд = р]2,2 = 1, р]з,з = г, [Ре],,, = 1 (3 = 1,2,3,6) , [ре],,, = г (3 = 4, 5);

(13)

т[т) (в) и т^Т) (в) - вещественные диагональные матрицы функциональной зависимости от угловой координаты с отличными от нуля элементами

,(т)

Тит) (в)

1,1

Ти] (в^ з = СОЙ (тв + в) , [Тт 5 (в^ 2 = 81п (тв + в) Тт (в)! =С08(тв + в) (3 = 1, 2, 3, 5) , Тт5 (в)! =81п(тв + в) (3 =4, 6);

(14)

13(т) (г) - матричный дифференциальный оператор с элементами

Б<г> (г) = тЧ1 + $гйт + 42) {з = 1,3),

Б(т) (г)! = Шгйг + (п, т = 1, 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2) ,

(15)

где йг = й/йг; о - нулевой вектор-столбец размерности 3.

Представления для матрицы (г), матричных дифференциальных операторов М(т) (г) и £)(т) (г), а также функций ]пт = (г) {з = 1, 2; п,т = 1, 3) приведены в [6].

В соотношениях (14) в - параметр, задающий тип волновых движений, а именно:

- при в = 0 рассматриваются условно симметричные волны со свойствами

иг (т, —в, г, г) = иг (т, в, г, г), ив (т, —в, г, г) = —ив (т, в, г, г),

пх (т, —в, г, г) = их (г, в, г, г),

- при в = п/2 рассматриваются условно антисимметричные волны со свойствами

иг (т, —в, г, г) = —иг (т, в, г, г), ив (т, —в, г, г) = ив (т, в, г, г),

их (т, —в, г, г) = —их (т, в, г, г);

т - окружное волновое число, значения которого определяются из спектральной подзадачи (4), (7) так:

т = т = ((п — 1/2) п/а если в = 0 Ые Ш (16)

Т =тп = \ пп/а если в = п/2 (П е Ш' (16)

Ставится спектральная задача:

во-первых, для заданных соотношением (16) значений т построить образующий базис набор частных решений системы из трех однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (6);

во-вторых, на основе построенного базисного решения и преобразованных с учетом представлений (4) граничных условий (8), (9) соответственно к виду

ё(т) (1)] = О, (17)

^ 4(1 ,5 , 6)

и(т) (1) = о (18)

провести численный эксперимент, предусматривающий построение и исследование спектра бегущих волн.

2. Базисное решение. Следуя работе [6] вводится в рассмотрение декартова система координат ОХ1Х2 и плоскость комплексной переменной £ = Х1 + 1x2. Формально полагается, что неотрицательная часть полуоси ОХ1 совпадает с осью От. Функциональные законы (3) рассматриваются с использованием двух альтернативных вариантов модели радиальной неоднородности материала волновода в виде

Х(т) = (1 — 2 ф1 (т)) в^, р,(т) = Ф1 (т) в^(г),

р(т)= ф2 (т) в*(г) (т е [0, 1]) , - )

либо

Х(т) = ф1 (т) вр(г), ¡л(т) = вр(г), р (т) = ф2 (т) вр(г) (т е [0,1]), (19-Б)

где ф (£), ф1 (£) и ф2 (£) - произвольные, аналитические в области |£\ < 5 функции. На основании представленных моделей неоднородности рассматриваются

альтернативные варианты аналитического продолжения на плоскость комплексной переменной £ дифференциального оператора б(т) (т) в оператор 6(т) (£) с элементами

d(t) cojjtj=ещ+/j +42) o=щ,

D(т) (£)] = nid + &Í (n, m = 1, 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2) ,

(20)

где = (/(£. Соответственно выбранной модели неоднородности (19-А) либо (19-Б) определяются входящие в соотношения (20) функции ¡пт{£){з = 1)2; п, т = 1,3) [6].

Ставится целевая задача - для заданных соотношением (16) значений т построить для уравнения

6(т) (£) и(т) (£)= о (|£| <5) (21)

набор из трех линейно независимых частных решений вида

UJ(т,particular,q) (q) = qn

(q)

U,

(т,particular,q) (q) u(T,particular,q) (q) £^(т,particular,q) (q)

T

())(?)еМ; q = 1, з)

(22)

с аналитическими в области |£| < ó элементами uST,particular'q) (q) (s = r,0,z;

g = M).

Известно, что система дифференциальных уравнений (21) имеет аналитические в области |£| < 6 решения, если функции fnm(0 (j = 1,2; n,m = 1, 3) будут аналитическими в области |£| < ó [7-8]. В работе [6] представлены два подхода к определению по заданным функциональным законам (3) аналитических в области |£| < 6 функций <£>(£) и ips(0 = 1)2), для каждого подхода получено достаточное условие несильной радиальной неоднородности материала волновода, обеспечивающее аналитичность в области |£| < ó функций /Щ (& {j = 1)2; n,m = 1,3).

Аналитические в области |£| < S заданные функции <£>(£), ips (£) (s = 1,2) и

^ (т,particular) // п \

подлежащие определению элементы us (q) (s = r,9,z) искомых частных

решений (22) представляются абсолютно и равномерно сходящимися в любом круге ^ < s (0 < s < ó) разложениями вида

¥>(£) = £ Г, ips (£) = £ (s = 2) '

n=0

n=0

(23)

U(T,particular) (q) = d(n)qn (s = r, 9, Z) ,

n=0

где Kr = кв = 0, kz = 1; \ ün f

n=0

коэффициентов; jd^l ^s = r,9,z;

{a«} (s = 0,2) - заданные наборы вещественных

= 0 j - подлежащие

определению соответственно параметр и наборы вещественных коэффициентов. На основании представлений (22), (23) с учетом физического требования отсутствия в области волновода V сингулярности в поле перемещений, получаются ограничения на значения параметра п и коэффициентов (s = r,0, z) вида

П + Ks > -l, если d0s) =0 и п + Ks > 0, если d0s) = 0 (s = r,d,z) . (24) После подстановки вектора

г 1T

uj(г,particular) (£) = .(-^particular) (£) u(r'particular) (£) .(-^particular) (£) (25)

в уравнение (21) с учетом разложений (23) для каждой модели радиальной неоднородности (19-А) и (19-Б), во-первых, определяется однородная система линейных уравнений третьего порядка

qo b0 = o, (26)

которая имеет три, удовлетворяющие ограничениям (24), линейно независимые

г 1T

векторные решения В^ = d^'^ (q = 1, 3) с элементами соответ-

ственно выбранной модели неоднородности (19-А) и (19-Б):

(29-А)

^ = (г - 2) а01)- г, d0',1) =г(а01) - l)+2, d{0z,1) = k (l - аО1^ (п(1) = l - т) если 1/2 <т < l, (27-А

d0r,1) = 1, d0*,1) = -1, d0z,1) = 0 (п(1) = т - l) если т > 1;

d0r,2) = 0, d00,2) = 0, d0z,2) = l (п(2) = т - l) ; (28-А

d0r,3) = (т + 2) а01) - т, d00,3) = т (l - а01)) +2, d0z,3) = k (а01) - l) (п(3) = т + l) ;

d0r,1) = -г (а01) + l) - 2, d0*,1) = (2 - т) а01) - т + 4,

d0z,1) = k (l + а01^ (п(1) = l - т) если l/2 <т < l, (27-Б

d0r,1) = l, d^1) = -l, d0z,1) = 0 (п(1) = т - l) если т > l;

d0r,2) = 0, d00,2) = 0, d0z,2) = l (п(2) = т - l) ; (28-Б

(29-Б)

d0',3) = т [а01) + lj - 2, d0",3) = - (т + 2) а0 - т - 4,

d0z,3) = k (а01) + l) (п(3) = т + l) .

Во-вторых, определяется также последовательность систем неоднородных линейных уравнений третьего порядка вида

^ ^ = ^ п = ТГ53). (30)

Входящие в уравнения (26), (30) матрицы р0 и рП^ размерности 3 х 3, а также вектор-столбцы Е^ длиной 3 представлены в [6]. Уравнения (30) определяют матричные рекуррентные соотношения для нахождения векторов В^ =

п Т

(<? = 1, 3; п = 1, оо) с коэффициентами в разложениях аналитических в области <5 элементов

(т,particular,q) ^ = çks ^ fj(s,q) çp (s = г Д 5 = 1,3) (31)

p=0

искомых трех частных решений (22).

Анализ матриц Qffl и вектор-столбцов F^ (q = 1, 3; п = 1, оо), проведенный для моделей неоднородности (19-А) и (19-Б), показал, что уравнение (30) для каждой модели неоднородности позволяет определить второе и третье частные решения U<-"7~'partlcular'cl-) ({) (q = 2,3) при любых, задаваемых соотношением (16) значениях параметра т. Первое частное решение u(r,particular,1) (£) на основании уравнения (30) для каждой модели неоднородности при 1/2 < т < 1 также строится всегда, а при т > 1 только при выполнении ограничений, накладываемых на задаваемые соотношениями (23) разложения функций у (£), ips (£) {s = 1,2) соответственно выбранной модели неоднородности (19-А) и (19-Б)

а01) а(0) + а(11) = 0; (32-А)

a (0) = 0. (32-Б)

Таким образом, при т > 1 для построения базисного набора частных решений (22) необходимо привлекать исключительно численный подход к определению аналитических в области < ô функций ip (£) и ф3 (£) (s = 1,2), позволяющий учесть ограничения (32-А) и (32-Б) [6].

Окончательно базисное решение уравнения (21) в матричном виде может быть представлено так:

u(r,basic) _ u(r,particular,1) -ц-(r,partlcular,2) (^) -ц-(r,partlcular,3) (^) (33)

На его основе общее решение уравнения (6) допустимо записать в виде

u(r,general) (r) _ u(r,basic) (r) A, (34)

где a - произвольный вектор-столбец размерности 3. Тогда с использованием соотношений (5) определяется векторная функция s(r,general) (r) в виде

s(r,general) (r)_ (g (£) m(r) ({) U(r,basic) (o) A. (35)

V / Ç=r

Соответствующие выбранной модели неоднородности (19-А) либо (19-Б) матрица функция 6 (£) и матричный дифференциальный оператор М(т) (£) определены в [6]. Там же представлены соответствующие граничным условиям (17), (18) дисперсионные соотношения.

3. Численный эксперимент. Анализ дисперсионных спектров, фазовых и групповых скоростей бегущих (к > 0) условно симметричных (в = 0) волн проводился при значениях угловой меры секторного выреза а = 3 п/4 и полученного из соотношений (16) в случае п = 1 окружного волнового числа т = 2/3 для свободных на цилиндрическом участке граничной поверхности однородного цилиндра из алюминия (А1)

Л = Л(Л1), Д = Д(Л1),р = р(Л1), (36)

а также неоднородных цилиндров, функциональные законы радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала которых были заданы так:

Л (т) = Л(Л1) (1 + 0,25т3) , Д = Д(Л1), р = р(Л1); (37-А)

Л = Л(Л1), Д (т)= Д(Л1) (1 + 0, 25т3) , р = р(Л1); (37-Б)

Л = Л(Л1), Д = Д(Л1), р (т) = р(Л1) (1 + 0, 25т3) . (37-В)

Здесь

Л(Л1) = 5, 91, Д(Л1) = 2, 61, р(Л1) = 2, 7, С* = 1010Н/м2, р* = 103кг/м3. (38)

Выбор функциональных законов (37-А) - (37-В) обусловлен задачей исследования влияния на топологическую картину спектра, а также графики фазовых и групповых скоростей бегущих волн фактора неоднородности по каждой физико-механической характеристике изотропного материала отдельно. Далее волновод с характеристиками (36) будет называться однородным волноводом, а с характеристиками (37-А) - (37-В) - соответственно неоднородным волноводом А, Б или В типа.

При проведении вычислительного эксперимента был выбран вариант модели неоднородности )19-А) и численный подход [6] для определения функций ф (£) и ф3{£) (•§ = 1)2) с использованием полиномиальной аппроксимации (N = 5). Это обеспечило максимальную погрешность аппроксимации заданных соотношениями (37-А) - (37-В) функциональных законов радиальной неоднородности не превышающую е = 10_4.

В области изменения параметров к е [0, 255] и О, е [0, 20], где VI2 = р* Я^ш2/С* безразмерная приведенная частота, для однородного волновода и неоднородных волноводов А-В типов были построены фрагменты спектров бегущих волн. Указанные фрагменты спектров представлены соответственно на рисунках 1-4. Анализ этих рисунков показывает, что неоднородность исключительно по модулю Л (т) визуально не сказывается на топологической картине соответствующего спектра (рис. 2) по сравнению со спектром однородного волновода (рис.

1), при этом фрагменты спектров при наличии неоднородности исключительно по модулю ¡Л (г) (рис. 3) либо плотности р (г) (рис. 4) существенно отличаются от фрагмента спектра однородного волновода (рис. 1). В качестве характерной особенности отмечается также локализация асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области низшей моды по отношению к старшим модам спектра для однородного волновода (рис. 1) и для волновода с неоднородность исключительно по упругому модулю Л (г) (рис. 2), а также первых двух низших мод волновода с неоднородностью исключительно по плотности Л (г) (рис. 4), в то время как при неоднородности исключительно по упругому модулю ¡Л (г) (рис. 3) указанная тенденция не проявляется.

<Н---о*.--

о ю ко ю к

Рис. 1. Спектр однородного волновода Рис. 2. Спектр неоднородного водновода А

о ю к о ю к

Рис. 3. Спектр неоднородного волновода Б Рис. 4. Спектр неоднородного водновода В

Количественные различия построенных фрагментов спектров исследованы с помощью функции сравнения парных по номеру в сопоставляемых спектрах мод

АП (к) = (Ъ(неоднородный) (к) - о(°Д«°р°Д«ый) (к)^ . (39)

На рисунках 5-7 представлены результаты сопоставительного анализа поведения низших пятнадцати мод построенных фрагментов спектров однородного и

неоднородных волноводов А - В. Номера мод сопоставляемых спектров и тип соответствующей линии указаны в нижней части рисунков.

I- 1 ..... 2--3---4--Д| |-В..... 7--Я— <1 —- Л1| |- ]] -■- 12--¡Л — 14 — - 15 |

а б в

Рис. 5. Сопоставление мод спектров однородного и неоднородного волновода А

При анализе представленных рисунков отмечаются закономерности, проявляющиеся для сплошных цилиндрических радиально-неоднородных волноводов [6]. Количественные значения функции АО (к) при сопоставлении спектров однородного и неоднородного исключительно по модулю Л (г) волноводов (рис. 5) в абсолютных значениях оказались на порядок меньшими, чем значения указанной функции при сопоставлении спектров однородного и неоднородных исключительно по модулю /Л (г) (рис. 6) и плотности Л (г) (рис. 7) волноводов. При этом все моды представленных фрагментов спектров неоднородных исключительно по модулю Л (г) либо /Л (г) волноводов смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более высоких частот (рис. 5,6), в то время как для неоднородного исключительно по плотности р(г) волновода тенденция противоположная - все моды исследованного фрагмента спектра смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более низких частот (рис. 7). Характерными также являются локальные всплески функции АО (к) в окрестностях значений волнового параметра к, соответствующих зонам сближения смежных старших мод неоднород-

ных исключительно по модулю Л (г) (рис. 5-б, 5-в) и исключительно по модулю ¡Л (г) (рис. 6-б, 6-в) волноводов.

Для представленных на рисунках 1-4 фрагментов спектров построены графики фазовых (рис. 8-11) и для пяти низших мод групповых (рис. 12-15) скоростей.

Рис. 8. Фазовые скорости волн в Рис. 9. Фазовые скорости волн в однородном волноводе неоднородном волноводе А

■ I 1 У : 1 У и' ■| 1 ' -V. У г

1 1 1 [ 1 ! 1 1 I 1 1 1 м 1 1 1 1

—I—Ч—I---

0 5 10 15 П

|-1 ..... 2--3---4--5]

Рис. 12. Групповые скорости волн в однородном волноводе

1 ; I.-" ■ 1. • ) [ хРс ! Г 1 1

1 1 1 1 1 I 1 | ' Iх' 1 1 1

—I—Ч—I---

О 5 10 15 П

Е— 1.....2 '—3 — 4—Щ

Рис. 13. Групповые скорости волн в неоднородном волноводе А

|-1 ..... 2--3 — 4--5 | I- 1 ..... 2--3 — 4--5|

Рис. 14. Групповые скорости волн в Рис. 15. Групповые скорости волн в неоднородном волноводе Б неоднородном волноводе В

В нижней части рисунков 12-15 указаны номера мод и тип соответствующей линии. На указанных графиках ср и сд - пронормированные величиной с* = у/С*/р* приведенные соответственно фазовая и групповая скорости. Приведенные графики фазовых и групповых скоростей наглядно иллюстрируют выше отмеченные тенденции локализации асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области низших мод исследованных фрагментов спектров.

Выводы. Представленные результаты актуальны в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов аку-стоэлектронных устройств, анализом моделей ультраакустической диагностики, верификацией результатов, полученных прямыми численными методами.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400354-0).

1. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко. // Труды ИПММ. - 2015. - Т. 29. - С. 100-113.

2. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн вдоль трансверсально-изотропных функционально-градиентных цилиндров / И.А. Моисеенко // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 37-54.

3. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеен-ко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

4. Моисеенко И.А. Нормальные волны в функционально градиентных ортотропных цилиндрах / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2016. - № 1 (56). - С. 16-34.

5. Моисеенко И.А. Нормальные волны вдоль ортотропных функционально-градиентных цилиндров секторного поперечного сечения / И.А. Моисеенко. // Вестн. Донецкого нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2017. - № 4. - С. 41-53.

6. Моисеенко И.А. Исследование свойств изгибных волн в сплошных цилиндрах на основе трехфакторной модели радиальной неоднородности изотропного материала / И.А. Мои-сеенко, А.И. Дзундза, Н.Ю. Мельничук, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - № 2(83). - C. 5-25. - doi:10.24412/0136-4545-2023-2-5-25. -EDN:CWKADU.

7. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. - Харьков: НТИУ. - 1939. - 719 с.

8. Petrowsky I.G. Sur l'analyticite des solutions des systems d'equations differentielles / I.G. Petrowsky // Матем. сб. - 1939. - № 5(47). - P. 3-70.

A.I. Dzundza, N.I. Melnichuk, I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko

Properties of normal waves in radially inhomogeneous isotropic cylinders of sector cross-section.

Basic solutions are constructed for the problem of studying the properties of propagating normal waves in radially inhomogeneous isotropic cylinders of sector cross-section with an ideally flexible inextensible membrane coating of the boundary surface of the sector cutout. Elements of the basic solutions are expressed in terms of analytical functions. Moduli of elasticity and density of the waveguide material are determined based on a three-factor model of radial functional inhomogeneity of the physical and mechanical characteristics of the isotropic material of a solid cylindrical waveguide Dispersion relations are obtained that describe the harmonic spectra of symmetric and antisymmetric normal waves in a radially inhomogeneous cylindrical waveguide with a free or rigidly fixed cylindrical section of the lateral surface. A comparative analysis of the results of a numerical experiment carried out for the cases of homogeneous and functionally inhomogeneous free on the cylindrical section of the lateral surface waveguides is presented; quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are given.

Keywords: FGMs, isotropy, cylindrical waveguide, sector cross-section, radial heterogeneity model, basic solution, dispersion relations.

Статья поступила в редакцию 15.08.2024; доработана 09.09.2024; рекомендована к печати 13.09.2024.