СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СДВИГА ДЛЯ (𝑘, 1)-ОБОБЩЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 4.

УДК 517.5 Б01 10.22405/2226-8383-2021-22-4-134-150

Свойства и применение положительного оператора сдвига для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье1

В. И. Иванов

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: ivaleryi@mail.ru

Аннотация

В 2012 году Салем Бен Сайд, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое (к, а)-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом |ж|а-2^ (х), а > 0, где (х) — вес Данкля. Наиболее интересны случаи а = 2 и а = 1. При а = 2 обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае а =1 гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При а = 1 имеется оператор сдвига ту. Его ^-ограниченность установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при 1 ^ р ^ 2. Ранее при а = 1 мы предложили новый положительный оператор обобщенного сдвига Т*/(х), Ь € М+, х € М^, и доказали его ^-ограниченность по х. В настоящей работе доказана его ^-ограниченность по Ь. Для оператора сдвига ту, ^-ограниченность та радиальных функциях установлена и для 2 < р < то. С помощью оператора Т4 определена свертка и для нее доказано неравенство Юнга. Для (к, 1)-обобщенных средних, определяемых с помощью свертки, установлены достаточные условия ¿^-сходимости и сходимости почти всюду. Выполнение этих условий проверено для аналогов классических методов суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера -Рисса.

Ключевые слова: (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье, положительный оператор сдвига.

Библиография: 14 названий.

Для цитирования:

В. И. Иванов. Свойства и применение положительного оператора сдвига для (к, ^-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 4, с. 134-150.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/ 18-11-00199/

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-134-150

Properties and application of a positive translation operator for (k, 1)-Generalized Fourier transform2

V. I. Ivanov

Ivanov Valerii Ivanovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: ivaleryi@mail.ru

Abstract

In 2012, Salem Ben Said, Kobayashi, and Orsted defined the two-parametric (k, a)-generalized Fourier transform, acting in the space with weight \x\a-2Vk(x), a > 0, where Vk(x) is the Dunkl weight. The most interesting cases are a = a = 1. For a = 2 the generalized

Fourier transform coincides with the Dunkl transform and it is well studied. In case a =1 harmonic analysis, which is important, in particular, in problems of quantum mechanics, has not yet been sufficiently studied. One of the essential elements of harmonic analysis is the bounded translation operator, which allows one to determine the convolution and structural characteristics of functions. For a = 1, there is a translation оperator тIts Lp-boundedness was recently established by Salem Ben Said and Deleaval, but only on radial functions and for 1 < p < 2. Earlier, we proposed for а = 1 a new positive generalized translation operator and proved that it is Lp -bounded in ж. In this paper, it is proved that it is Lp -bounded in t. For the translation operator тy, Lp-boundedness от radial functions is established for 2 < p < то. The operator T1 is used to define a convolution and to prove Young's inequality. For (к, 1)-generalized means defined by convolution, sufficient conditions for Lp-convergence and convergence almost everywhere are established. The fulfillment of these conditions is verified for analogues of the classical summation methods of Gauss-Weierstrass, Poisson, Bochner-Riesz.

Keywords: (к, 1)-generalized Fourier transform, Riesz potential.

Bibliography: 14 titles.

For citation:

V. I. Ivanov, 2021, "Properties and application of a positive translation operator for (к, 1)-Generalized Fourier transform" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 134-150.

1. Введение

Пусть Rd — действительное d-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\ = \JJx~x), А — оператор Лапласа,

F{y) = (2к)-(1/2 [ f (x)e-i{x'y) dx

JRd

— преобразование Фурье

2The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation number 18-11-00199, https://rscf. ru/project/18-11-00199/.

Одним из обобщений преобразования Фурье стало преобразование Данкля ^к [1], определяемое с помощью системы корней К С М^, группы отражений С С О(д) и функции кратности к: К ^ М, инвариантной относительно С. Здесь С — конечная группа, порожденная отражениями [аа: а € Д}, где аа — отражение относительно гиперплоскости (а,х) = 0. Роль оператора Лапласа в гармоническом анализе Данкля играет дифференциально-разностный оператор Дк, называемый лапласианом Данкля [2]. Для к = 0 Дк = Д- Лапласиан Данкля позволяет записать гармонический осциллятор Данкля Д к — \х\2 и преобразование Данкля в спектральной форме

= ехр(-^ (й + ^ к(а)^ ехр(^ (Д к — \х|2)).

аеп

Дальнейшее обобщение преобразований Фурье и Данкля получено в [3]. Салем Бен Сайд, Кобаяши и Орстед [3] определили а-деформированный гармонический осциллятор Данкля

Д к,а = м2-аДк — \ж|а, а> 0,

и двупараметрическое семейство унитарных операторов в гильбертовом пространстве Ь2(Ма, ¿/¿к,а) с нормой

\\РА»к,а = (I \№\р й!лк>а(х)^/Р, р = 2, названное (к, а)-обобщенным преобразованием Фурье:

?к,а = ехр(2^ (2^к Дк,а) . (1)

Здесь

л 1

Ак = ? — 1 + (к), (к) = ^^к(а),

2 w 2

aER

d¡lk,a(X) = Ck,aVk,a(x)dx, Vk,a(x) = \x\a 2Vk (x)

Vk(X) = П \(a,x)\k(a), c~ka = í e~lxla/aVk,a(x)dx.

{«, x)\ " ' , С 1

aER

Число dk,a = 2Xk + a = d + 2{k) + a — 2 называют обобщенной размерностью пространства Rd с весом \x|a~2Vk,a(x).

Если a = 2, то (1) — преобразование Данкля. Если a = 2 и k = 0, то (1) — преобразование Фурье. Если a = 2, то (1) — деформированное преобразование Данкля и деформированное преобразование Фурье. Они могут найти применение в разных задачах. Например, при a = 1 и k = 0 деформированное преобразование Данкля является оператором унитарного обращения модели Шредингера минимального представления группы 0(N + 1, 2) [4].

В гармоническом анализе и теории приближений большую роль играет оператор сдвига, так как он позволяет определить свертку и структурные характеристики функций. В гармоническом анализе Фурье оператор сдвига имеет вид туf (x) = f(x + у). В гармоническом анализе Данкля оператор сдвига ту был определен Реслер для функций из L2(M.d,d/ik,2) [5]. В этих пространствах он является ограниченным линейным оператором. Но его ограниченность в пространствах Lp(Rd, d/ik,2) Р = 2, доказана только для группы отражений G =

у

у

Тt f(x) = í rty' f(x)dak (y'), te R+,

JSd-1

где Sd-1 = [х £ Rd : |ж| = 1}— евклидова сфера, a dak (у') = vk (у') dy' — вероятностная мера на сфере, является положительным оператором. Опираясь на этот факт, в [7] доказана Lp-ограниченность оператора Т1 для всех 1 ^ р < ж. Таким образом, его можно использовать как ограниченный оператор сдвига. Если к = 0 то оператор Тг совпадает с оператором среднего значения по сфере и имеет широкое применение.

Следующий важный случай обобщенного преобразования Фурье Тк,а ПРИ а = 1- Оператор сдвига ту для преобразования ограниченный в пространстве L2(Rd, d^k,i) определен

Салемом Бен Саидом и Делеавалом [8], (см. также [9]). Они доказали, что на радиальных функциях оператор ту положительный и ограниченный в пространствах LP(Rd,dy,k,i)> 1 ^ Р < 2.

Нами в [10] при Хк > 0 определен ограниченный в пространстве L2(Rd, d^k,i) оператор среднего значения ту по сфере

Tff (х) = / тЬу' f (х) dak,i(y'), t £ R+, (2)

JSd-1

где dakti(y') = ^k,i^k,i(y') dy' — вероятностная мера на сфере. В [10] доказан о, что оператор Тг (2) положительный и на функциях из пространства Шварца S(Rd) допускает представление

ТЧ(х) = / f (£) da^i), t £ R+,x £ Rd, (3)

JRd

с вероятностной мерой da^x и, что он может быть распространен на пространства Lp(Rd, d^k,i) 1 ^ р ^ ж, с выполнением неравенства

II^V\\p,d^ktl ^ ||/llp,d^fc,i, (4)

где под L^ (Rd, d^k,i) понимается пространство Cb(Rd) непрерывных ограниченных функций с нормой ||/= sup |/(ж)|.

Пусть г £ R+, а> 0 2А + а - 1 ^ 0,

f <х

dux,a(r) = Ъх,аГ2^ dr, Ъ-\ = е-гV^2^^ dr = а2Х/аГ(2\/а + 1),

' J 0

Lp(R+,dv\a), 1 ^ р < ж, — банахово пространство измеримых по Лебегу функций с нормой

||/tdux,a = Г I/Гdvx,a> L™(R+,dvXA) = Cb(R+).

Наша цель — при а = 1 провести дальнейшее исследование свойств положительного оператора сдвига и указать его применение. Мы докажем неравенство

WT'f (ж)||р^лд < ||/Нм^д, 1 < Р < ж, ж £ Rd. (5)

Аналогичное неравенство в анализе Данкля (а = 2) было установлено в [7]. Для оператора сдвига ту на радиальных функциях ^-ограниченность установим и для 2 < р < ж. С помощью оператора Т1 определим свертку и для нее докажем неравенство Юнга. Что позволит вместе с ^-ограниченностью максимальной функции Харди-Литтлвуда [8] исследовать условия сходимости (к, 1)-обобщенных средних Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера-Рисса в пространствах Lp(Rd, d^k,i) и почти всюду.

Мы будем писать А < Л, если А < С В с константой С > 0, зависящей только от несущественных параметров, и А х В, если А < В и В < А Как обычно, для р > 1, р' = у — сопряженный гельдеров показатель, \Е(х) — характеристическая функция множества Е.

2. Элементы обобщенного гармонического анализа и операторы сдвига

Гармонический анализ Данкля, в частности, строится с помощью дифференциально-разностных операторов

т т = ^ + ч)т аХ), 1 =

ОХу авК+ (a, Х)

где К+ — положительная подсистема системы корней Д, а {еу} — стандартный ортонормиро-ванный базис в также лапласиана Данкля

л

д к / = (х).

2

3=1

При к = 0 Дк — оператор Лапласа Д. Для радиальных функций

Д к /(х) = Д/(х) + 2 £ к(о) ,

(а, х)

где V /(х) — градиент функции /(х).

В гармоническом анализе Данкля построен положительный оператор сплетения Ук, для которого

ТШ (х) = Ук О®, 3 = 1,..., й.

Для него получено представление

Ук!(х)=[ /(о

с вероятностной мерой йцХ носитель которой лежит в выпуклой оболочке орбиты Ок = {дх: д € С}.

Большинство основных фактов гармонического анализа Данкля можно найти в [2]. Пусть ^(г) — функция Бесселя первого рода и порядка а ^ —1/2,

1 Ы = 2аТ(а + 1) = V Г(а + 1)(—1)3** (6)

]а(г) =2 1(а + 1) ^ = = 223^ + а + 1) ^

— нормированная функция Бесселя. Для нее \]а(%)\ ^ 1В дальнейшем будем считать, что выполнено условие Ак > 0. В пространстве Ь2(Мл, с1/Лк,1) (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье (1) определяется как интегральный оператор

(х)= Вк(х, у)}(у)й11к,\(у) (7)

с непрерывным ядром

Вк(х, у) = Ук(зхк-1/2Ы\х\\у\(1 + (х', •))))(у'), X = \х\х', у = \у\у', (8)

для которого в силу представления (8)

\Вк(х, у)\ < 1, Вк(0, у) = 1, \х\Д%Вк(х, у) = —\у\Вк(х, у), (9)

Вк(х,1у>) йоК1(у')= ¿2Хк (2^Й). (10)

Обобщенное преобразование Фурье — изометрия пространства Ь2{МЛ, ^к;1) и = Ы. Если / € А = {/: ^*кд(/) € Ь1 (Ма, йрк^)], то равенство (6) справедливо поточечно. Справедливо вложение £(Ма) С А.

Основные факты об обобщенном преобразовании Фурье можно найти в [3]. Оператор сдвига в пространстве Ь2(Ма,д,рк, 1) для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье определяется как интегральный оператор

тУ / (х)= Вк (х,0Вк (у,ОЪМШ) л^Л)- (11)

Jмd

В силу (9) норма оператора тУ в Ь2(Ма, й^к,1) равна 1. Еели / е А равенство (11) справедливо поточечно.

Для оператора тУ на радиальных функциях /(ж) = /о(|ж|) € А в [8] получено представление тУ}(х) = Г^г+(1Л/к2)^(| 1 /о(|ж| + Ы-^2ИМ(1 + (х>, •))и)(1-и2)Хк-1 йи)(у'), (12)

где х = |ж|ж', у = 1у1у'■ В [8] для радиальных функций из Ьр(Ма,д,рк, 1) 1 ^ Р ^ 2, доказано неравенство

1|тУ / ||р (13)

В Сь(Ма) (р = ж) оно вытекает из (12).

Для функций из класса А оператор сдв ига Т1 определен равенством (2). В силу (10) он может быть записан как интегральный оператор

ТV(ж)=/ Вк(х,Оз2Хк(2^т,1(Л(0 (14)

Он также действует в Ь2(Ма, йрк, 1) и его норма равна 1. Для функций из класса А равенство (14) выполняется поточечно. Из (14) также вытекает

)(0 = 32Хк (20Ш)^м(/)(С). 3. Свойства положительного оператора сдвига

Определим а-деформированное преобразование Ганкеля

/ 2 \

Пхк ,а (§о)(р)= 90 (г)]2Хк/а[ ~(рг)а/2) ^ХкА(г), Р € М+-

\а У

Преобразование Ганкеля является унитарным оператором в пространстве Ь2(М+,йи\к,а) и для радиальных функций позволяет записать (к, а)-обобщенное преобразование Фурье [3]. Если д(х) = д0(г), г = |ж|, р = то

?к,а(д)(У) = (^к,а(9))0(p), (^к,а(д))0(Р) = ПХк,а(9о)(p), ЬЛрА^^ = -

С помощью операторов Тг и тх определим две свертки

(/ до)(х) = тV(х)до(1) ёиХк^), (15)

о

( / *к 9)(х)= ¡(у)тхд(у)йЦккл(у). (16)

Свертка (16) была определена в [8], где для нее было доказано неравенство

\\(/ *к 9)\\р,л^к,1 < \\1\\Р,л^к,1 Ы\\А^к,1 (17)

в предположении, что / € Ьр(Мл,йцк,1) 1 <Р < ж, и радиальная функция д € Ь1 (Мл, с1/Лк,1) и ограничена.

Лемма 1. Если / € А, до € Ь1(М+,д,и\кд), д(у) = до(\у\), то для х,у € Мл,

(/ *хк 9о)(х) = (/ *к д)(х) = I ту/(х)д(у) d^к,l(У), (18)

Jмd

Ъ(/ *хк 9о)(у) = Тк(/ *к д)(у) = Тк( Л(у)^к(д)(у). (19)

Доказательство. Применяя (7) и (14), получим

/•те

( / *хк 9о)(х) = Т¡(х)до(Ъ) ^ХкЛ(1) ■)о

= 32Хк(2\Щ)Вк(Х, у)Тк,1( Л(у) йцкл(у)до(г) йих^)

= Вк (х, у)Тк,1(Л(у)Тк,1(д)(у)Л1А,к,1(у),

Js,d

поэтому

Тк,1(! *\к 9о)(У) = Тк,1(Л(У)Тк,1(9)(У).

Второе равенство в (19) для свертки (15) доказано. Докажем равенство сверток (15) и (16) сначала для д € А. Действительно, в силу (11) и (7)

(I *к д)(х) = ¡(У)ткд(у)йцк,1(У)

= /(у) Вк(у, х)Вк(х, г)Тк,1(д)(г) (1/Лк,1 (г) й/^у)

= Вк(х, г)Тк,1(Л(г)Тк,1(д)(г) й/1кл(г).

Случай д € Ь1{Мг,йцк,1) получается предельным переходом. Наконец, применяя (11), получим

/ (х)д(у) ¿/А,к,1(у) = д(у) Вк (у, г)Вк (х, г)ТкА(/)(г) ¿^(г) ¿^(у)

= / Вк(х, г)Тк,1(Л(г)Тк,1 (д)(г) й/л^Л*).

Второе равенство в (18) и лемма 1 в целом доказаны.

Теорема 1. Если 1 < р < ж, то для всех х € Мл и / € Ьр(Мл, ¿/к,1)

\\ТЧ (х)\\р

Доказательство. Для заданного х € Мл на 5(Мл) определим оператор (Вк№)=Т*/(х)= [ 32Хк (2л/Ш)Вк(X, у)Тк,1(/)(у)йлк,1(у).

Если р = 2, то

(х)= 32Хк(2\/^Р) Вк(х,руГ)^к,1 (1')(ру') daк,l(y') &Хк,1(р) ./о Л^1

и

Пхк,1(Т»/(х))(р)= I Вк(х,ру')ТМ(/)(РУ') Лок,1(у')-Учитывая унитарность операторов Н\кд, Тк,1, и применяя неравенство Гельдера, получим

ЦтЧ 1 = циХк ,1(т(^ (х))(р)ц22Аич1

Г го г 2

= / Вк(х,ру')ТкМ)(ру') йок,1(у') (1иХк,1(р)

Jо Jsd-1

гго г

< / |Тм(/)(РУ')|2 ^ак,1(у') ^ХкЛ(р) ./о У^-1

= 1 1 Тк,1(Л 112,<1^.к1 = У/1 Ь^Д .

Неравенство (5) при р = 2 и / € 5(М4) доказано. В силу плотности 5(М4) в Ь2(М4, ^кд) оно справедливо на всем пространстве Ь2(М4, d^к,l)■

Пусть р = 1. Применяя щенку (13) при р = ж, получим

| | Ть! (х) 11 14иХкЛ = 8ир{ £ Ть! (х)до(г) йщхк (1): до € 5 (М+), |Ы < 1} = яир\ [ /(у)тхд(у) й^к,1(у): 9 € Б^М), |Ы|те < 1) < | | / 11 Ммм «ир{|| ^дШ: 9 е^а(М4), ||5||те < 1} < ||/||Мим.

Неравенство (5) при р = 1 и / € £(М4) доказано. Оно также может быть распространено на все пространство Ь1{Мл,й^к>1).

По интерполяционной теореме Рисса-Торина выведем (5) для 1 < р < 2. Если 2 < р < ж, т0 в силу (18) и (13) при 1 < р' < 2

11 Ть! (х) 11 р4иХкА = 8ир{ Ть! (х)до(г) ^Хк,1(г): до € 5 (М+), Ы ^^ < 1} = вир{ [ }(у)тхд(у) йркл(у): д € Б^М4), ||5|^ 1 < 1} < | | / ||Р,^к,1 «ир{||тхд(у)|: 9 € 5гаа(М4), ||#|

< I I J 11 p,d^ki.

Неравенство (5) при 2 < р < ж и f £ S (Rd) доказано. Оно также может быть распространено на все пространство Lp(Md,d^k,1).

Для р = ж неравенство (5) вытекает из представления (3). Теорема 1 доказана.

Теперь мы можем доказать неравенство Юнга для сверток (15) and (16).

^ p,q ^ ж 1 1 1 ^ 1 т^ - 1 1 1

L1(Rd,d^k>1) П Cb(Rd), то

Теорема 2. Пусть 1 ^ p,q ^ ж 1 + 1 > 1 и 1 = 1 + 1 - 1. Если f £ Л и д(х) = д0(№) £

11 if *хк 9о) 11 r,du2\k ^ И/!!P,d^k,l1 ^ОНq,dv2\k , (20)

1 1 (f *k 9) 1 1 r,d^kA < !|/! !p,d^kil! Ы q,d»kil. (21)

1 = 1 — 1 и 1 = 1 — Тогда - > 0 1 > 0 и 1 + - + 1 = 1. Применяя неравенство Гельдера и

Доказательство. Согласно равенству (18) достаточно доказать неравенство (20). Пусть

, _ р Г ^ V

(19), получим

(Г ж . ч1/ц, Г ж ^1/г,

х( I \Т^(х)\р(1щХк (1)) Ц \до{Ъ)\^1щХк (1)) < ([ \ТЯх)\р\до(1)\^щХк(1))1/Г Шрр%к11|д0.

Отсюда и из (4)

Ю *хк 9о)\\г4и2Хк < ([ Г\Т}(х)\р\д0(г)\ии2хк(¿)^м(х)У

х\\.ПрА... 1Ы1 <

i ^ 1

»P,d.1k, 1IIq,d.V2Xk - iIJ Wp>d1k,l IIУ0\\q,dv2Xk .

Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 2 вытекает, что неравенство (20) справедливо, если f £ LP(Rd, dßk,i), 1 ^ Р ^ ж, а g(x) = д0(|x|) £ L1 (Rd,dßk,1) и ограничена, причем для всех таких функций свертки ( f *xk до)(х) и ( f *kд)(х) совпадают. В частности, при г = р, q = 1 справедлив аналог неравенства (17)

\\( f *Xk go)"p,du2Xk < \\f\\p,dik,i\\ 9oh,dv2xk. (22)

Теорема 3. Если 1 — р — ж, то для любого у £ Rd и любой радиальной функции д(х)= до(Ixl) £LP(Rd,dßkA)

Ьу9I\p,dik,i < M\p,diki. (23)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай 2 < р < ж и д £ S(Rd). Применяя неравенство Юнга (21) при г = ж, Р = р', Q = Vi получим (23)

\\туд\\pdik i = supii туд (x)f(x) d(ikA(x): f £ S (Rd), "fllld-k -

< sup{\\( f *k 9)(y)IUd-k-i: f £ $(Rd), IIfI\p<,dik-i — 1} < MIp,dik-i.

Теорема 3 доказана.

В этом параграфе использованы методы работы [7].

4. Сходимость (к, 1)-обобщенных средних

Пусть е > 0 Co(Rd) — подпространство функций f £ Cb(Rd), для которых lim f(x) = 0,

радиальные функции p,p = Fk>1(p) £ L1(Rd,dßk,1) П Cb(Rd), p(0) = 1, ip(x) = ip0(r), г = 1x1, РР(У) = <Ро(Р), Р = Ы рРе(У) = ЫрШШ. Тогда

ps(y)= e-dk-ip(е-1у), ре £ L1(Rd, dßk,i) nCo(Rd), f &(у) dßk,1 = 1.

V У J Rd

В соответствии с замечанием 1 для f £ Lp(Rd, dßk,1) 1 ^ P ^ ж, мы можем определить (к, 1)-обобщенные средние

Феf(x) = (f *Xk (ie)o)(x) = ( f *k ie)(x)

¡"ТО Г

= ТV(х)Шо(1) ёиХкЛ)= /(у)тх$е(у) (1^к,1(у). .)о Jмd

В силу (17), (22)

е)о111,4^^ |f| ^,4^,1 - (24)

Исследуем Ьр-сходимость и сходимость почти всюду (к, 1)-обобщенных средних. Пусть

ш(5,/)р = вир | | ТV - / 11 р4,к, 1

- модуль непрерывности функции £ € Ьр(М4, с1/Лк,1), 1 ^ Р ^ ж. В этом параграфе под (М4, с1/Лк,1) мы понимаем С0(М4).

Лемма 2. Если / € 17 (М4 ,(1^,1), 1 < р < ж, то ш(6,/)р < 2 11 / 11 рд^,

Иш ш(5,/ )р = 0- (25)

о

Доказательство. Применяя (4), получим | | Т— / 11 р,4^к 1 ^ 2||/|^^^ ^ откуда ш(5, /)р ^ 2 11 / | |р,4цк 1- В силу (4) равенство (25) можно доказывать для функций из плотного множества £(М4). Так как для нормированной функции Бесселя (6)

/аИ = — 2(а+ ^ 3»+1 (г) (26)

[11, глава V], то Ца(г) — 1| ^ -щ+л) и 113 (14)

^¡(х) — ¡(х)| < / \]2\к(2-Ш) — ЩТкМКОЫ^ЛО

< ^ I у/Итмты^к,1 = ^и

ак,1 .У Мd

Равенство (25) при р = ж доказано.

Пусть К ^ 1, Вд = {х € М4: |ж| ^ К], С Вд = М4 \ Бд. Напомним, что йк,1 = 2\к + 1 = й + 2 (к) — 1. Для / € Я (М4), 0 1 и ж € СВд в [10] доказана оценка |Т* ¡(х) ^ c2(f)|x|-(4к,1+1\ Равенство (25) при р < ж вытекает из неравенства

/ !(х) — < (С 1(ЛVI)р / йцкл

+ (2С2(Л)р [ И-^,^ +2р [ |¡(х)^ (1^,1-

■¡СВп ' СВи

Лемма 2 доказана.

Теорема 4. Пусть радиальные функции ¡р,(р = Тк,1(Ф) € Ь1(М4, й^к,!) П СЬ(М4), р(0) = 1. Если / € Ьр(М4, б,Цк,1) щ>и 1 ^ р < ^ши / € Со(М4) при р = ж, то

||¡(х) — Ф£ /(аОНр^д ^ 0(е ^ 0)-

Доказательство. Учитывая (24) и теорему Банаха-Штейнгауза, теорему 4 достаточно доказывать на плотном множестве £ (М4). Если / € £ (М4), то

Ф£ ¡(х)= Т1 №(<ре)о(1)(1ихк А*)= Т* !(хШ1)^хк ,1 (I), оо

поэтому

\\f (x) - ФеЦх)\\рА^к;_

(Т*f(x) - f(x))<po(t)dvхк,i(t)

'0

"ОО

/•те

< / \\T£tf(x) -f(x)\\p>dflkil\Mt)\duXk 1 (t) 0

/•те

W u(et, f)p\(P0(t)\dvxk,i(t). 0

Утверждение теоремы 4 вытекает из леммы 2 и оценки

тете

/ w(ei, f)p(po(t) dv\k,i(t) R, f)p \Cpo(t)\dvxk,i(t)

+ 2\\f\\Pidllk I \<Po(t) \ d v\k ti(t).

'R

Теорема 4 доказана.

Для исследования сходимости почти всюду нам понадобится максимальная функция Харди-Литтлвуда. Для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье максимальная функция ■М.к,1/ была определена в [8]. Если / е Ьр(М.а, «цк>\), 1 ^ р ^ ж, то

Mk,i f(x) = sup

r>0

fRd f(y)TxXBr(y)dlik,i(y)

JBrd^k,i(y)

По замечанию 1

Mk,i f(x) = sup

£Tf (x)duXk ti(t) £Tf (x) t2Xkdt

r>o J0dvXk,i(t) r>o J0t2Xkdt

Лемма 3. Если \(p)o(t)\ < (1 + t)-(dk>1+i/2\ f e LP(Rd,dik,i), l ^ P < ж, то

suP\( f *xk (<p£)o)(x)\ = suP\( f *k (pe)(x)\ < Mk,i\f\(x). £>o £>o

Доказательство. Так как Т — положительный оператор, то

\( f *Хк mo)(x)\ a \(\f\ *хк m)o)(x)\, Mk,if (x) a Mk,i\f\(x)

и мы можем считать, что f(x), (<pe)o(t) ^ 0. Используя разложение

те

((pe)o(t) = Y^ (ifs)o(t)Xe2ia^e2i+l № 3=-те

и равенство (¡p£)o(t) = e-dkд(p^o^-t), получим

те те те

/ T f(x)(<pe)o(t)dvXk,i(t) a Y, / Tf (x)(ps )o(t)Xe2> atae2+ (t)duXk ,i(t)

Jo ]=-те o

< t (i + »r>/Hf JT T'J(x)Xo»«^f'"^ < M,if(x).

з=-те U + VJ Jo Xo<,t<,s2i+!(t)dVXk

те

o

те

Лемма 3 доказана.

Для максимальной функции Харди-Литтлвуда справедливо слабое ^-неравенство

и сильное ^-неравенство при 1 < р < ж [8], поэтому в условиях леммы 3 для оператора 8ире>0 |( £ *к Фе)(х) | также справедливо слабое ^-неравенство и сильное Ьр-неравенство при 1 < р < ж. Кроме этого для средних ( / *к (ре)(х) есть равномерная сходимость на Со(К), плотном в Ьр(М^^кд) 1 ^ Р < ж. Следовательно по теореме 2.1.14 из [12] справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть радиальные функции ¡р,(р = Рк,1(Ф) € Ь1(Е,а, йр.к,1) П Съ(^а), <р(0) = 1, №о(г)| < (1+г)-(Лк'1+1/21 если / € Ер(ЖЛ,й11кЛ) при 1 < Р < Ж, то Ф£}(х) ^ ¡(х) (£ ^ 0) почти всюду.

5. Сходимость средних Гауе с а^В ейер ттттр ас с а, Пуассона, Бохнера^Рисса

Применим результаты предыдущего параграфа для (к, 1)-аналогов классических средних Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера-Рисса.

Пусть К,а> 0. Определим (к, а)-обобщенные средние Гаусса-Вейерштрасса WR,af (х) при помощи положительного обобщенного радиального мультипликатора Гаусса и>а(х) = е—х\а/а

Ъ,а№п,а/)(у)=Па( ^к,а(/)(у). Так как 1ыа(х)1 ^ 1, то WRaf — ограниченный оператор в Ь2(М.а,д,/Лк,а)'-

Для мультипликатора ыа(х) = (ыа)о(г), г = |х|, р = |у|, вычислим (к, а)-обобщенное преобразование Фурье

Г^ / 2 \

$а(у) = Гк,аЫ(у)=НХк ,а(Ыо)(р)= ^/а.Ъ\к/а( ~(рг)а/2) &Хк,а(г).

0 а

= а

2 / 2 \ ®а(у) = а-^ е-*/а32Хк/Л -ра/НуХк/а+1 М = е~ра/а = Ыо,а(р) = Му).

ар к ,)о ка '

Отметим, что

ва € Ь1(ШЛ, й^к,а) П Съ(ШЛ), [ (у) й^к,а(у) = 1,

Ъ,а(и>а( (~^))(у) = ЯЛк-аЫ0а(Яу) = (у). (27)

Если а = 1, / € Ьр(М.а, 1к,\), 1 ^ Р ^ ж, т0 в силу замечания 1 (к, 1)-обобщенные средние Гаусса-Вейерштрасса имеют вид

wR,1 дх) = а *Хк (ы?)о)(х) = а *к )(х)

гж г

= ТV(х)(гп1*)о(1)^хкл)= ¡(у)тхй*(у) (1цк,1(у). Согласно (17), (22)

Нр^д < \\Пр^к,1, 1 ^р^ ж.

Для ( к, 1)-обобщенных средних Гаусса-Вейерштрасса в силу (27) выполнены условия теорем 4, 5, поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Если $ & Ьр(Ма, <^кд) ПРИ 1 ^р < го или / & Со(М') при р = го, то

II¡(х) - ¡(х)\\р^к1 ^ 0, (К ^ го).

Если / е Ьр(М', с<р,к,1), 1 ^Р < го, то ¡(х) ^ ¡(х) (К ^ го) почти всюду.

Определим (к, а)-обобщенные средние Пуассона Ря,а/(х) при помощи положительного обобщенного радиального мультипликатора Гаусса ра(х) = е—х\а12

Ъ,а(Ря,а/)(у) = Ра(ЪМ)(У). Так как |ра(х)| ^ 1, то Рп,а/ — ограниченный оператор в Ь2{МЛ ,<р.к,а)'-

\\рк,а1 Ъ,а»к!а ^ У\\24цк!а.

Для мультипликатора ра(х) = (ра)о(г), 1" = |х|, вычислим (к, а)-обобщенное преобразование Фурье

/2 / 2 \

Р>а(У) = к,а(Ра)(У)=Н\к,а((Ра)0 )(Р)= е-* ' Ъхк/а( ~(РГ)а/2) <»Хк , р =

./о \а /

= а/2

2 Г™ / 2 ^ (2^)-1т( Цт + з)

Ра(У) = А1 /а{ 2~ (Р)а/Н)^/а+1 М = ( , 2 \ ^ + з ^

арХк Л ; ^ +ра) ^ +1

Отметим, что

Ра & Ь1(МЛ,й^кА) ПСЬ(Ма), Гк>а(ра((^))(у) = Ра(Ку) = Р*(у),

¡мл Р*(у) <Цк,а(у) = 1, (Ра)о(р) * (1 + р)^а+а/2 ' (28)

Если а = 1, / & Ьр(Ма, йцк^), 1 ^ р ^ го, то в силу замечания 1 (к, 1)-обобщенные средние Пуассона имеют вид

Рв.,1 ¡(х) = а *хк (р*)о)(х) = а *к р*)(х)

роо г

= Т !(х)(5%ш^хк ,1&)= ¡(у)тхр? (у)й^кл(у). Jо Змл

Согласно (17), (22)

\\рп,11 \\Р^кА < У\\р^кА, 1 < Р < го.

( , 1)

этому справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Если $ & Ьр(Ма, й/Лк,!) ПРИ 1 ^ Р < го или $ & Со(М') при р = го, то

У(х) -Ря,1 ¡(х)\р^кл ^ 0, (К ^ го).

Если / е Ьр(М', «цк{), 1 ^р < го, то Рдд /(х) ^ ¡(х) (К ^ го) почти всюду.

Пусть 6 > 0

((1 -МУ 1,

0, | х > 1.

Определим (к, а)-обобщенные средние Бохнера-Рисса порядка 6 при помощи муль-

типликатора в а(х):

^а^а/)(у)= *а( § )^к,а (Л(у).

Так как |ва(х)1 ^ 1, то 5да/ — ограниченный оператор в Ь2(М4, с1/Лк,а)'

\\S1R

Для мультипликатора ва(х) = (ва)о(г), г = |х|, вычислим ( к, а)-обобщенное преобразование Фурье

8а(у)=?к,а(8а)(у)=Чхк ,а((ва)о )(-)=[ '(1-Га)^2Хк/а ( ~ (р^2) ^хк ,а (г), - = |у|.

о а

Применяя разложение (6), получим

? (у) = Ъ, V ^/а +1)(-1У(-а/а2У Г га3+2Хк +а-1 (1 _ ^ ^

8а(у) = ЬХк'а £ УГи + 2Хк/а + 1) ,1оГ (1 Г ) ^

Г(5+1) ^ (-1)(2-а/2/а)2

а2Хк/а+1 22уг(2\к/а+5+.]+2)

= г(5+1) . (2 /2\

а2Хк/а+1г(2\к/а+5+2)]2Хк/а+&+^а- ) •

Так как при а ^ -1/2, р ^ ж (см. [11, глава V]):

ра+1/2и(-) = Аа М- - аа) + О^-Г1)) ,

где

= 2а+1/2Г(а + 1) = ж(а + 1/2)

— ^ , аа — ~ ,

у/П 2

то 8*а(у) € Ь1(М(1, й/Лк,а) тогда и только тогда, когда 5 > Цк + 1 = - Число

с (1к,а 1

о к,а =--77

а 2

назовем критическим показателем. Отметим, что при 5 > 5к>а,

8а(у) € Ь1 (М4, С11!к,а) П Съ(М4), 8% (у) = В*к'аа)§), / *%(у) д,Цк,а(у) = 1. (29)

Если а = 1, 5 > 5к,ъ / € Ьр(Ма, йцк^) 1 ^ Р ^ ж, т0 в силу замечания 1 (к, 1)-обобщенные средние Бохнера-Рисса имеют вид

я!.!Кх) = и *Хк (*1)о)(х) = и *к )(х) Т ¡(х)(я?)о(1)^Хк Л)= [ Ку)тХ8!(у)й^1(у).

о

При 5 ^ dk,i + 1/2 = §ы + 1 выполнена оценка

l(Si)o(*)| < (1 + t)-^l+1/2 (30)

Из теорем 4, 5 и (29), (30) вытекает утверждение.

Теорема 8. Если 5 > 5к,и f G Lp(Rd, d/j,k,i) при 1 ^ p < ж ми f g C0(Rd) при p = ж, то

IIf(x) -SSR,if (ж)Уp,d,kA ^ 0, (R ^ж).

Если 5 ^ 1 + 1, f G Lp(Rd, dp,k,1), 1 ^ p < ж, то SR 1f (x) ^ f(x) (R ^ ж) почти всюду.

При а = 2 аналоги результатов этого и предыдущего параграфов установлены в [14]. Мы, в частности, используем методы этой статьи.

6. Заключение

а = 1

вии 5 ^ 5k,1 + 1, где 5k,1 = dk,1 — 1/2 — критический показатель. Есть предположение, что правильное условие 5 > 5k,,1- Критический показатель при а = 2 равен 5k,2 = (dk,2 — 1)/2 rn

а = 2

5 ^ 5к,2 + 1.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dunkl С. F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992. Vol. 138. P. 123-138.

2. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2002. Vol. 1817. P. 93-135.

3. Salem Ben Said, Kobavashi Т., 0rsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.

4. Kobavashi Т., Mano G. The Schrodinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group 0(p; q) // Memoirs of the American Mathematical Societies. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011. Vol. 212, no. 1000.

5. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators // Comm. Math. Phvs. 1998. Vol. 192. P. 519-542.

6. Rosier M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 2413-2438.

7. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555-605.

8. Salem Ben Said, Deleaval L. Translation operator and maximal function for the ( k, 1)-generalized Fourier transform // Journal of Functional Analysis. 2020. Vol. 279, no. 8. Article 108706.

9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform // International Mathematics Research Notices. 2016. Vol. 2016, no. 23. P. 7179-7200.

10. Иванов В. И. Ограниченный оператор сдвига для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, № 4. С. 85-96.

11. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

12. Grafacos L. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2008.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя. Интегралы. М.: Наука, 1970.

14. Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal function for Dunkl transform //J. d'Analyse. Math. 2005. Vol. 97. P. 25-55.

REFERENCES

1. Dunkl C. F., 1992, "Hankel transforms associated to finite reflections groups" , Contemp. Math., vol. 138, pp. 123-138.

2. Rosier M., 2002, "Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.

3. Salem Ben Said, Kobavashi Т., 0rsted В., 2012, "Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265-1336.

4. Kobavashi Т., Mano G., 2011, "The Schrodinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group 0(p;q)n , Memoirs of the American Mathematical Societies. Providence, RL Amer. Math. Soc., vol. 212, no. 1000.

5. Rosier M., 1998, "Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators" , Comm. Math. Phys., vol. 192, pp. 519-542.

6. Rosier M., 2003, "A positive radial product formula for the Dunkl kernel" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, pp. 2413-2438.

7. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2019, "Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications", C'onstr. Approx., vol. 49, no. 3, pp. 555605.

8. Salem Ben Said, Deleaval L., 2020, "Translation operator and maximal function for the ( k, 1)-generalized Fourier transform" , Journal of Functional Analysis, vol. 279, no. 8, Article 108706.

9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2016, "Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform" , International Mathematics Research Notices, vol. 2016, no. 23, pp. 7179-7200.

10. Ivanov V. I., 2020, "Bounded translation operator for the (k,l)-generalized Fourier transform" ,Chebyshevskii Sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 85-96. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/ 2226-8383-2020-21-4-85-96

11. Levitan B.M. , Sargsjan I.S., 1975, "Introduction to spectral theory: selfadjoint ordinary differential operators" , Transl. Math. Monogr., 39, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 525 p.

12. Grafacos L., 2008, "Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249" , New York: Springer Science+Business Media, LLC, 492 p.

13. Bateman H., Erdélvi А., 1954, "Tables of Integral Transforms. Vol.2" , New York, Toronto, London: MC GRAV-HILL Book COMPANY, INC, 328 p.

14. Thangavelu S., Xu Y., 2005, "Convolution operator and maximal function for Dunkl transform" , J. dAnalyse. Math., vol. 97, pp. 25-55.

Получено 20.08.2021 г. Принято в печать 6.12.2021 г.