ПОТЕНЦИАЛ РИССА ДЛЯ (𝑘, 1)-ОБОБЩЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 4.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-112-133

Потенциал Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье1

В. И. Иванов

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: ivaleryi@mail.ru

Аннотация

В пространствах с весом \x\-1v^(х), где v^(х) — вес Данкля, действует (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье. Гармонический анализ в этих пространствах важен, в частности, в задачах квантовой механики. В работе для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье определен потенциал Рисса. Для потенциала Рисса доказано (Lq, £р)-неравенство с радиальными степенными весами, являющееся аналогом известного неравенства Стейна^Вейса для классического потенциала Рисса. Для потенциала Рисса получено точное значение Ьр-нормы с радиальными степенными весами. Точное значение Lp-нормы с радиальными степенными весами для классического потенциала Рисса было получено независимо У. Бекнером и С. Самко.

Ключевые слова: (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье, потенциал Рисса.

Библиография: 23 названий.

Для цитирования:

В. И. Иванов. Потенциал Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 4, с. 112-133.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/ 18-11-00199/

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-112-133

Riesz potential for (k, 1)-generalized Fourier transform2

V. I. Ivanov

Ivanov Valerii Ivanovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: ivaleryi@mail.ru

Abstract

In spaces with weight \x\-1vu(x), where Vk(x) is the Dunkl weight, there is the (к, 1)-generalized Fourier transform. Harmonic analysis in these spaces is important, in particular, in problems of quantum mechanics. We define the Riesz potential for the (к, 1)-generalized Fourier transform and prove for it, a (Lq, Lp)-inequality with radial power weights, which is an analogue of the well-known Stein-Weiss inequality for the classical Riesz potential. For the Riesz potential we calculate the sharp value of the Lp-norm with radial power weights. The sharp value of the Lp-norm with radial power weights for the classical Riesz potential was obtained independently by W. Beckner and S. Samko.

Keywords: (к, 1)-generalized Fourier transform, Riesz potential.

Bibliography: 23 titles.

For citation:

V. I. Ivanov, 2021, "Riesz potential for (к, 1)-generalized Fourier transform" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 112-133.

1. Введение

Пусть Rd — действительное d-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\ = (х, х), Sd-1 — единичная евклидова сфера в Rd, А — оператор Лапласа, dy(x) = (2^)-d/2 dx — нормализованная мера Лебега, Lp(Rd), 1 < р < ж, — пространство Лебега с нормой \\f \\р = (JRd \ f \р d^)l/p, S(Rd) — пространство Шварца,

F(y) = (2n)-d/2 I f (x)e-i^x'y> dx

JRd

— преобразование Фурье.

Введем обозначение А < Л, если А < С В с константой С > 0, зависящей только от несущественных параметров, и А х Л, если А < В и В < А Как обычно, для р > 1, р' =

— сопряженный гельдеров показатель, \Е(%) — характеристическая функция множества Е.

Потенциал Рисса или дробный интеграл 1а определяется как интегральный оператор

Iaf (х) = Ы)-1! f (у)\х - y\a-d dv(y) = (layli T-yf (x)\y\a-d d»(y), (1)

2The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation number 18-11-00199, https://rscf. ru/project/18-11-00199/.

где 0 < а < ^ = 2* л/2Г(а/2)/Г(((1 — а)/2), и ту/(х) = /(х + у) — оператор сдвига. Формулы для преобразований Фурье

^(1*1) = !• ), Л(—А)а/2/) = !• ),

указывают, что потенциал Рисса (1) является обратным оператором для дробной степени оператора Лапласа.

(Ьр, Ьд^ограниченность потенциала Рисса с радиальными степенными весами записывается в виде неравенства Стейна-Вейса

||\ж|-7/*/(х)\\д < с(а,^,^,р,ц,й)\\\х\^/(х)\\р

с точной константой с(а, ,р,ц,й) и 1 < р ^ д < ж.

Необходимые и достаточные условия конечности константы с(а, известны.

Теорема А. Пусть й е N 1 < Р ^ 1 < ж, 0 < а < й. Константа с(а, конечна тогда и только тогда, когда ^ < @ < ф, а ^ (1($ — 1) и а — 7 — @ = (1($ — 1).

Достаточность условий в теореме А была доказана Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвудом [1] для с! = 1, С.Л. Соболевым [2] для с! > 1 ж 7 = @ = 0, Е.М. Стейном и Г. Вейсом [3] в общем случае. Необходимость условий в теореме А установлена в [4].

При р = ц получено точное значение константы с(а, @,^,р,р,й) шт £р-нормы потенциала Рисса.

Теорема В. Если d е N 1 <Р < ж 1 < Р < ®> 0 "7 = а — Р> то

с(а,Р,^,р,р, й) =2

,Г( 1 (ф — 7 ))Г( 2 ($ — Р)) Г( 1 ($ + 7))Г(2($ + Р))'

Теорема В была доказана И.У. Хербстом [5] для $ = 0 и У. Бекнером [6] и независимо С. Самко [7] в общем случае.

Одним из важных обобщений преобразования Фурье является преобразование Данкля ^ (см. [8, 9]). Аналог потенциала Рисса для преобразования Данкля определили С. Тангавелу и Ю. Шу [10].

Пусть Я С \ {0} — система корней, Я+ — положительная подсистема Я, С(Я) С О(д) — группа отражений, образованная отражениями {аа: а е Я}, где иа — отражение относительно гиперплоскости (а,х) = 0 к: Я ^ М+ — функция кратности, инвариантная относительно группы С. Пусть

(ж) = П !(а,х}\2к{а), Л^к(х) = скук(х)йх

— вес и мера Данкля, где с-1 = е~\х\2/2Ук(х) йх — интеграл Макдональда-Мета-Сельберга,

(к} = £

а£П+ к(а), Хк = (1/2 — 1 + (к}, йк = 2\к + 2 _ обобщенная размерность пространства с весом ук(х), Ьр(Мл,йц,к), 1 < р < ж, — пространство Лебега с нормой ( \ 1/$ II/= (/м*\/\р < ж,

тз / (х) = Б, / (Х)+ £ к(а)(а,е3} 1 (х) — ^аХ), 3 = 1,...,й,

аеп+ (^ 1

—дифференциально-разностные операторы Данкля и А к = — лапласиан Данкля.

Обобщенная экспонента или ядро Данкля е^(х,у) является единственным решением системы

Т) / (х) = гу, / (х), э = 1,...,й, / (0) = 1.

Ее свойства подобны свойствам классической экспоненты ег^х'у\

Для / е ) преобразование Данкля определяется равенством

Fk(f)(y) = f (х)ек(х,у) (x).

J Rd

Если к = 0, то Fo совпадает с преобразованием Фурье F. Преобразование Данкля является изометрией в S(Rd) и L2(Rd,d^k)■

M. Реслер (см. [9]) определила оператор обобщенного сдвига ту, у G Rd, для преобразования Данкля равенством

Fk(туf)(z) = ek(y,z)Fk(f)(z), f G L2(Rd,d^k),

или

тУf (x) = / ek(y,z)ek(x,z)Fk(f )(z) d^k(z).

JRd

Если к = 0, то ту f (x) = f (x + y) совпадает с обычным сдвигом.

С. Тангавелу и Ю. Шу [10] определили потенциал Данкля - Рисса на S(Rd) как интегральный оператор

la f (X) = (1ка )~Ч Г-У f (X)\y\a-d* d^k (У), (2)

где 0 < а < dk и ^ = 2a-dk/2T(a/2)/T((dk — ot)/2). Как и для потенциала Рисса для него справедливо равенство Fk(Ikf) = \ ■ \ -aFk(f)■

Неравенство Стейна-Вейса для потенциала Данкля - Рисса примет вид

Il N-7 Ika f (Х) Il ç,d,k ^ <а, & Ъ Р, V, d, k)\WXf f (X)\\P,d„k , f G S (Rd),

с точной константой c(a, fi,j,p,q,d,k) и 1 < p ^ q < o.

Аналоги теорем A и В для потенциала (2) установлены в [11, 4]. Там же можно найти предшествующие результаты.

Теорема С. Пусть d G N 1 < P ^ Q < ос, 0 < а < dk. Константа c(a, fi,^,p,q,d,k) конечна, при p = q или при p < q и а ^ d^l — ^ тогда и только тогда, когда j < d*S fi < ^ и а — 7 — fi = dk(l — 1 )•

Вопрос о необходимости условия а ^ dk{^Щ — ^ при р < д и функции кратности к ф 0 ается открытым.

Теорема Б. Если d е N 1 <Р < ж, ^ < ^ < Щ-, а> 0 «7 = & — Р, то

c(a, fi, 7,р,р, d, к) = c(a, fi, j,p,p, dk) = 2

,r( 2 ( f — 7 ))Г( 2 ( f — fi)) Г( 2 (f + 7))Г(2(f + fi)) '

Как видим, в теоремах С и Б размерность ^ заменяется на обобщенную размерность dk■ Потенциал Рисса — положительный оператор. Из определения (2) положительность потенциала Данкля - Рисса не вытекает. В [11] потенциал Данкля - Рисса записан с помощью положительного оператора сдвига, являющегося усреднением оператора сдвига ту, и тем самым доказана положительность потенциала Данкля - Рисса.

Дальнейшее обобщение преобразований Фурье и Данкля получено в [12]. Салем Бен Сайд, Кобаяши и Орстед [12] определили а-деформированный гармонический осциллятор Данкля

А к,а = \х\2-аАк — \ж\а, а> 0,

и двупараметрическое семейство унитарных операторов Тк,а в гильбертовом пространстве Ь2(Ма,йц,ка) с нормой

\\р,Чцк,а = (I И\Р ¿»к,аУ/Р, Р = 2,

названное (к, а)-обобщенным преобразованием Фурье. В спектральной форме

?к,а =ехр(2^ (2Хк + а))еЩ){2^ Ак,а) , (3)

где

(1^к,а(х) = Ск,аУк,а(х) йх, Ук,а(х) = \х\а-2Ук(х), С—а = е-^/аУк,а(х) йх.

JRd

Число йк,а = 2Хк + а = (I + 2{к) + а — 2 называют обобщенной размерностью пространства М* с весом Ук,а(х).

Если а = 2, то (3) — преобразование Данкля. Если а = 2 и к = 0, то (3) — преобразование Фурье. Если а = 2, то (3) — деформированное преобразование Данкля и деформированное преобразование Фурье.

Важный случай обобщенного преобразования Фурье получается при а = 1. Оно может быть записано как интегральный оператор

(х)= Вк(х,у)/(у) йркл(у) (4)

■)м<1

с непрерывным ядром Вк(х,у).

Оператор сдвига ту для преобразования определен Салемом Бен Саидом и Делеавалом [13] (см. также [14]) равенством:

^к,г(ту/ )(г) = Вк (у, г)^кМ )(г), / е Ь2(Ма, й^кЛ).

Но он также как и оператор сдвига для преобразования Данкля не является положительным оператором и его .^-ограниченность известна только при р = 2.

Нами [15] в качестве оператора сдвига предложен оператор среднего значения ту по сфере

т7(х) = ! т1у'/(х) йакЛ(уг), I е М+, (5)

где йак,\(у') = (1к,1^к,1(у') Лу' — вероятностная мера на сфере. В [15] доказано, что оператор (5) положительный и ограниченный в пространствах ЬР{МЛ 1 ^ р ^ ж. Здесь под

Ь^(Ма, й^к 1) понимается пространство Сь(М*) непрерывных ограниченных функций с нормой

\\f \и = «пр Ц(Ж)\.

Определим потенциал Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье как интегральный оператор

(х) = (1ка1)-Ч ту}(х)\у\а-Л^,1 й^кЛ(у), } еБ(М*), (6)

где 0 <а < 4,1 и ^ = Г(а)/Г^к,1 — а).

Как для потенциалов Рисса и Данкля - Рисса для него справедливо соотношение

ъ,1(1ка 7) = | ■ ГЪМ).

Потенциал (6) может быть записан с помощью оператора сдвига (5)

/■те

1а'1 № = (^а1)-1 ТV (Х)Г-^1

!■ ТО

(1у\кд(0 = Ъ\клг2Хк йг, = У0 е-гг2Х* йг = Г(2Хк + 1).

Из (7) следует положительность потенциала (6).

Нас интересует аналог неравенства Стейна-Вейса

И^Г1»'1 №\\я^к11 < ъМъъяЛЩ^/(х)\\р^к1, / е

(7)

где

),

(8)

с точной константой ех (а, Р,^у,р,д^1,к) и 1 < р ^ д < ж.

Мы доказываем следующие результаты. В них и далее мы предполагаем, что Хк > 0 или (1к,1 > 1.

Теорема 1. Пусть й е N 1 < Р ^ 1 < ж, 0 < а < ^кд. Константа ех(а, @,^,р,д,д,,к) конечна, при р = д ил и при р < д и а ^ ^кд^ Щ — ^ тогда и только тогда, когда 7 <

Р< --^,иа — 7 — Р = 4д(Щ — 1 )•

Теорема 2. Если йе N 1 <Р < ж 1 < ^Щт, Р < -т, &> 0 "7 = а — Р, то

Г( ^ — 7)Г( ^ —Р)

ci(a,p,j,p,p,d,k) = —¿¿1

¿k1 + 3)

(9)

Как видим, в теоремах 1 и 2 появляется обобщенная размерность йк,1- При доказательстве теорем 1, 2 используются работы [10, 11, 12, 13, 15, 16, 17].

2. Элементы обобщенного гармонического анализа и операторы сдвига

Пусть Ja(z) — функция Бесселя первого рода и порядка а ^ -1/2,

i ( z) = 2«Г(а + 1) Ш = Т Т(а + 1)(—1)Jz* 3a(z) =2 L(a + 1) za = = 223 jlT(j + а + 1)

— нормированная функция Бесселя, г Е R+ Хк = d/2 — 1 + (к) > 0 dk,i = 2Хк + 1, dv\ki\(r) = b\k,1r2Xk dr, 6-fc11 = r(dky1), Lp(R+,dv\kд), 1 ^ p < то, — пространство Лебега с нормой II= Г \f]pdvXk,1, LT(R+,duXk,1) = Cb(R+).

Гармонический анализ Данкля, в частности, строится с помощью дифференциально-разностных операторов

Г, f(*) = ^ + ЕкШ>-е,) i(x) , i = 1...-Л

j aeR+ ( , )

где К+ — положительная подсистема системы корней Д, а {е3 } — стандартный ортонормиро-ванный базис в Ма. А также лапласиана Данкля

а

2

3 = 1

А к I (х) = ^ Т2/(х).

При к = 0 А к — оператор Лапласа А. В гармоническом анализе Данкля построен положительный оператор сплетения Ук, для которого

ТзУк / (х) = Ук ^, 3 = 1,...,й.

Для него получено представление

^к / (х)=[ / (О й^ (£)

с вероятностной мерой й^Х носитель которой лежит в выпуклой оболочке орбиты Ок = {дх: д е С}.

Большинство основных фактов гармонического анализа Данкля можно найти в [9]. Для ядра (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье (4) справедливо представление

Вк(х,у) = УкЦхк-1/2Ы\х\\у\(1 + {х\ ■})))(у'), X = \х\Xу = \у\у'. (10)

Пусть Хк > 0. В силу (10) и неравенства иа^)\ ^ 1 будет \Вк(х,у)\ ^ 1, Вк(0,у) = 1. Известно также [12], что

Вк(х,у) = Вк(у,х), Вк(Хх,у) = Вк(х,Ху), Х> 0, (11)

NАХВк(х,у) = —\у\Вк(х,у), [ Вк(х,1у') йакл(у')= 32хк(2^Щ). (12)

Обобщенное преобразование Фурье — изометрия пространства Ь2{МЛ,й^к>1) ш = М.

Если / е Л = {/: Тк,1(/) е Ь1(Ма, т0 равенство (4) выполнено поточечно. Спра-

ведливо вложение £ (Ма) с Л.

Основные факты об обобщенном преобразовании Фурье можно найти в [12]. Оператор сдвига ту в пространстве Ь2(Ма,д.^к,1) для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье может быть записан в интегральной форме

ту/(х)=[ Вк(х,0Вк(у,ОТк,ЛП(0(13)

Если / е Л равенство (11) справедливо поточечно.

В [13] установлена самосопряженность ту. Если / е £ (Ма) и д е Л, то

/ ту/(х)д(х) й^к,1(х) = /(х)туд(х) й^кл(х). (14)

Jмd Jмd

Для оператора ту на радиальных функциях /(х) = /о(\ж|) е Л в [13] получено представление

ту} (х) = Ук (|1 /о(| + \y\-V2\x\\у\(1 + {х>, ■})и)(1—и2)х*-1 ёи)(у'), (15)

где х = \x\x\ у = \у\у'. В [13, 17] для радиальных функций из Ьр(Ма1 ^ Р ^ ж, доказано неравенство

\\т%1/\\р,й^к, 1 ^ \\f1.

Согласно (13) оператор сдвига Т1 (5) для функций из класса Л может быть записан поточечно

Г!(х)=[ Вк(х,0э2хк(2^№)?к,1(№)

то есть для него

ткл(ть! т=Э2хк (2^Щ)?к,1(! т.

Оператор Ть также самосопряженный. Если £ е 5(Ма) и д е Л, то

/ Т'/(х)д(х) (ЫАХ)= /(х)Т*д(х) йркл(х).

Jжd JRd

В [15, 17] установлено, что на функциях из пространства Шварца

тЧ(X) = [ /(() ), г е М+,Х е Ма, Jмd

с вероятностной мерой йакх и, что опера тор Т*/ (х) может быть распространен на пространства Ьр(Ма, йц,к,1), 1 ^ р ^ ж, с выполнением неравенств

\\Т11 (х)\\р,^кА < \\!\\р,а^к, 1, ^ е М+, . .

\\1Л!(х)\\р^Хк1 < И\\рА^кл, х е Ма.

Операторы сдвига Т1 позволяют 0Пределить сверТКИ [17])

ГЖ г

(I *хк до)(х)= т^(х)до(1) й»Хкл(1), а *к д)(х)= /(у)ткд(у) й^у), (17)

где д(у) = до(\у\) — радиальная функция. Если / е А, до е Ь1 (М+, ¿ихк,1), то для х е Ма,

(1 *хк до)(х) = (/ *к д)(х) = I ту/(х)д(у) d^к,l(У), (18)

Jмd

Если / е Ьр(Ма) 1 ^ Р ^ Ж а 9(х) е Ь1(Ма) и ограничена, то (/ *Хк до)(х) = (I *к д)(х) и

К/ *к д)\\р,а^к1 < \\/\\р,а^к,1 \Ь\\ммм.

3. О потенциале Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье

Если / е Ь1{Ма,й^к,1) П Сь(Ма), то интеграл (7), определяющий потенциал Рисса, в силу (16) для всех х сходится абсолютно

\1ка11 (х)\< \Т7 (х)^,1 ¿ихк,1(г)

■)о

< \\Т7\и о 1а-1 й + \\тЧ\\1А^кЛг-ам (¿)\и

< У\\~ + УНмм < ж. (19)

Лемма 1. Если 0 < а < dk}1, то в обобщенном смысле

FkAha'1)-1! • \a-dk'1 )(x) = \x\-*,

то есть для любой p £ S (Rd)

(I*'1)-1 [ \x\a-dk1 Fkti(p)(x) dßk,i(x) = j \x\-*p(x) dßk,i(x). (20)

JRd JRd

Доказательство. Так как Ткд^е ^^ (х) = е |ж| [13], то для § > 0

ТкА(е "4|) (х) = 8 ~-к,1е ~1х1/з. (21)

Следовательно, для любой р е Б (М-)

/ е-°1х1Тк,1Шх)Л^,1(х) = 8--*,1 I е~^/яр(х) й^к, 1(х). (22)

Jмd Jмd

Пусть Р = йк,1 — Умножая левую и правую части равенства (22) на в^-1 и интегрируя, получим

/ в?-1 е-:г<[Х:<[Тк'1(р)(х) йцк!(х)д,8 = ТкМ(х) 8Р-1 е-^ йвйцк,1(х)

Jо Jмd Jмd Jо

= Г(Р) I 1х-Тк,1Шх)Л/^к, 1(х)

и

/ ^-1--к1 е-1х1/*!р(х) (1(1,к,1 (х)(1в = р(х) /-1--м е-МА ¿8 ¿/Лк,1(х)

Уо ]м,<1 ' Jw,d Уо

= Щк,1 —Р)[ 1х1^--к1^(х) <1(1к,1(х).

Отсюда и из определения 1 в (6), получаем (20). Лемма 1 доказана. Замечание 1. Лемма 1 справедлива для любой p £ А, для которой

\p(x)\ < (1 + \x\)-dk1, \Fk,1(p)(x)\ < (1 + \x\)-dk1.

Лемма 2. Если 0 < а < dkt 1, то в обобщенном смысле

Ъ,1( I*'1 f )(x) = \x\-* Fk+( f)(x), то есть для любых f,g £ S(Rd)

f (Ik'1 f(x))g(x) dßk,1(x)= i \x|-a^k,1(f)(x)^k'1(g)(x)dßk,1(x). (23)

Доказательство. Так как

1 i' ^

ta-dki = —-- e-st sdk'1-a-1ds, (24)

Г(dk,1 - а) Jo

то учитывая (19)

(1а'1 !(х))д(х) йцк,1(х) = (7а'1 )-1 / Т*¡(х)Г-^1 ^хкАШх) й^кЛ(х)

гоо г гоо

1 ' 8 *м-а-1 I I т1 /(х) е-8Ыихк л(1)д(х)<111к,1(х)<18

г( а) Jо Jжd Jо

1 Г /м-а-1 [ [ Вк(х, г)Тк,1(Л(г)Тк,1(е-8^)(г)д(х) Шз

Г(ОС) ]о

1 I Тк,1(¡)(г)Тк,1(д)(г) I™ в-а-1 е-^8й8йцк<1(г)

Jмd Jо

г(о0 Jо

= [ \г\-аТк,1(Л(г)Тк,1(д)(г)й^кл(г).

Js,d

Равенство (23) и лемма 2 доказаны.

Для оценки Др-нормы потенциада Рисса (6) функции $ е 5(М*) будем использовать максимальную функцию Харди-Литтлвуда [13]:

мы (х)=8пр ,

г>о ,\Вг аЦк'1

где Вг — евклидов шар радиуса г с центром в нуле. В силу (17), (18)

м ) \¡рт^(Х)йихкА(г)\

Мк,1 }(х) = вир ---. (25)

1~>о ^ аихк'1

В [13] доказано, что максимальная функция — ограниченный оператор в ЬР{М* ,йц,к,1), 1 < р ^ ж,

\ мк \ р (26)

Лемма 3. Если 1 <р < д < ж, 0 <а < йк>1, а = (4д (р — то для f е 5 (М*)

\\ 1а1/\\<7'Фм < УЛкфм. (27)

Доказательство. Для К > 0 разобьем (7) на сумму двух слагаемых

¡■к

Я1 № = Ьк*1)-11 № ¿ь—^Ьхъ ,1(1)

I'Ж 1

+ (^а1)-1 ]К Т*Пх)-^--а ^хкА-Ь) = Л + 32. (28)

Интегрируя 31 по частям, получим

1ка131 = Г^1-а) {У*¡(Х)ёихк,1(8))

¡■К

= Ка ■К-**,1 I Т8] (XI аихк,1

I

■ К-4*,1 т8/(х)йихк,1(в) Jо

¡■К Г1

+ (с1к,1 — а) Г*-,1 Т8/(х)^хк,1(8) Г-1 си, (29)

оо

оо

так как

се I Г£ Tt

£а ■ £-dk'1

Tsf (x)duXktl(8) < ^ sup \-f0Tt{£(x]duXk 1 ^ = e*M f {x)

e>0 J0 dV\k,l

£^0+0

Из (29), получаем

rR

limoea ■ e-dk'1 0 Tsf(x) duXkP(s) = 0.

гН

Ш < ЯаМк'1 № + (х)Г-1 М < КаМк'1 ¡(х). (30)

Jо

Для оценки .2 применяем неравенство Гельдера и (16)

/ ^ \ 1/р' 1.21 < Ьк'1)-1^Г(-к>1-а)р ¿иХк,1®) \\Т<¡(х)\\Р'-иХк1 < К--к^\и\\р,-»кл.

Отсюда и из (28), (30)

11кк'1 №1 < памкл № + п--^\\Л\Р'-,кА.

Полагая П = (Мкд/(х)/\/\Р,-^к 1) д/-к,\ получим для любых 1 < р < д

14м/(х)1 < (Мк,1 ¡(х))^(\\ПР,-,кл)1-р/1. (31)

Остается проинтегрировать (31) и воспользоваться неравенством (26)

\<k' f\\q,d^k,l < \\Mk,lf \\f \\p,dJkA < Wf WpAVk,! .

Лемма 3 доказана.

4. Представление потенциала Рисса

для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье

Потенциал Рисса (7) для f G S (Rd) можно записать в виде

IkaP f(x) = I f(y)4x, у) dfxk'i(y), (32)

JRd

где

1

Q(x, у) = f— J sdk,l-a-PTx(e-s4y)ds. (33)

Действительно, применяя (24), (18), (14), получим

г <х

IkaP f(x) = ( №)-1 T f(x) ta-dk1 dvXk'i(t) Jo

= r(â) l sdk'1-a-P l Tsix)e-stduXkp(t)ds

= Г-) Г *dk'i-a-4 тХf(y)e-slyld^k,iiy)ds Г(-) J0 JRd

o

1

T(-)

o

' f

sdkl-a-P f(y)rx(e-sM)(y) dfik'i(y) ds

JRd

o

и

= [ ¡МгТл Г 8*к,1-а-1тх(е-8^\)(у)й8й1лк,1(у). г(а) .)о

В лемме 4 описываются свойства ядра Ф(х,у). Пусть

х = гх', у = Ьу', г,Ь е М+, х', у' е Е*-1. Нам понадобятся следующие факты

Г<Х

f(x)dßk>i(x) = I / f(rx' )dak,i(x' )duXkti(r), (34)

Jo JSd-1

Г ^ p-t/s

0 e-srj2Xk (2Vrt)dvXk 1 (r) = , (35)

jx(Va) jx(Vb) = j jx^a + b- 2Vabv^ d^x(v), (36)

где

dipx(и) = cx(l - и2)x-1/2 du, cx = ДУх + V/оч.

у^ЩА + 1/2)

Формулу (35) можно найти в [18, стр.33, формула 10]. Формула (36) — это теорема умножения Гегенбауэра для функций Бесселя [19, п. 11.41], записанная в удобной для нас форме.

Лемма 4. Для ядра Ф(х, у) выполняются следующие свойства:

1. Ф(х, у) = Ф(у,х);

2. Ф(гх', ty') = ra-dk'1 Ф(х', (t/r)y');

3. J§d-i Ф(гх' ,ty') doki^) = Ф0( r, t), где

fK

Фо(г, t) := (la'1)-1 C2xk (r + t - 2Vrtcosip)a-dk>1 sin2dk'1 -2ipdifi]

J 0

4. Ф(х, у) = (^¡к) 1ту(| ■la dk'1 )(x) или, эквивалентно,

1ка1Ф(х, у) = Vk 1(lxl+lyl-V2lxM(1+(x>, ■))u)a-dk'1dtpXk-i/2(v))(yr).

Доказательство. В силу (13), (21) ядро можно записать в виде

Ф(х, у) = ^Г s-a-4 Вк(rх', ОВк(ty1,0e-W* dßk,i(0 ds. (37)

r(a) Jo Js,d

Из (37) сразу вытекает равенство 1.

Делая в (37) замену переменных £ = z/r, s = p/r и применяя (11), получим

ra-dk>i г те г

Ф(х, У) = ^ГТ~ p-a-l Вк(X, z)Bk((t/r)y', z)e-lzl/Pdßki(z)dp rW Jo Js,d

= r»-dk,1 Ф(х, (t/г)y'). Равенство 2 доказано.

Проинтегрируем (37) по сфере 8- и воспользуемся (12), (34) - (36)

I Ф(гх',1у')<Ьгк,1(х') = Щ 0°° 8-(а+1) 132Хк(2^Ш)Вк(У, Ое-\Ы°йц,кла)й8

^-1 Мd

1 гте гте

I з-(а+1Ч 32хк (2^гр)з2хк (2^Гр)е-р/а^хк,1(р)йз оо

Г(а)Л " Л

1 гте гте

= Г(а) I ^ 0 -кХк(2^Р)32Хк(2уДр)е-"Р^ХкЛ(р)й8

1 гте г1 рте I-

Щ I *а-11 Д кХк (2Ур(Г + 1 — 2^у))е-8р^ Лр)(1^2\к (у)(1з

1 г1 гте

= ^^ 8-к,1-а-1 е-(и(Щ2\к(ь)

Г( а) ■> -1 ]о

= (7к'1)-1 у1 (г + t — 2^йу)а--к'1 йфьХк (V)

= (1а1)-1С2\к I (г + 1 — 2\/НС()8 р)а--к'1 $,т2(-к>1-1) рйр = Фо(г, ¿).

о

Равенство 3 доказано.

Согласно (15), (24), (33)

'(е)(х) = Ук (11 е-КИ+ЬЬ^ЙШ+Ш^ ^-1/2(и)^(у')

Ф(х, у) = ^ I™ *-к' 1-а-1Ук(! е-КМ+ЬЬ^ЙШ+ШН -1/2(и)) (у') (18 = тЩУк (/1 8-к'1-а-1 е-з(1х1+Ы-л/^НуКЖ^М йзйфХк-1/2(и))(У)

= Ька)М1 ^(М + М^хЦУК^Х', ■))и)а~ак,1й'фХк-1/2(и))(У)

= ька)-1 [ Г (1х1+1у1—^2Щ\у\(1м^:о)и)а-ак' 1йфХк-1/2(и) ^(о.

Js,d J-1 у '

Равенство 4 и лемма 4 доказаны.

5. Доказательство теоремы 1

Вначале изучим (ЬР,Ьд^ограниченность со степенными радиальными весами вспомогательных операторов Харди и Беллмана:

Н1 (х)=1 №йцк,1(у), В/(х)=1 Ку)йцк,1 (у).

•ЛуКМ ¿Ы^Ы

Нас интересуют неравенства

\\\х\-аН/(х)\1 < ен(а,Ь,р,Ч,й,к)\1х\ь!(х)\р^ 1,

и

IN aBf(х)||< сб(а,Ь,р,д^,к)\\1х1Ь¡(х)\\р^к,1

с конечными константами c н(a, b,p, q, d, к), сб(a, b,p,q,d,k) и 1 < р ^ q < ж.

Лемма 5. Пусть 1 < р ^ q < ж. Константа сн(a,b,p,q,d,k) конечна, тогда и только тогда, когда

a> dk± ь<^, а + b = dki( 1 + 1). (38)

q р' ' \р' q/

Доказательство. В [4] установлено, что при доказательстве неравенств для оператора Харди с радиальными весами достаточно ограничиться радиальными функциями. На радиальных функциях мы приходим к эквивалентному неравенству

//• <*> , 24 _а Г \q \i/q /Гb\Р \1/Р

[J [ v aJ fo(t)dt) drj < сн (a,b,p,q,d,k)[ J [r p fo(r)j drj .

Необходимое и достаточное условие конечности константы в последнем неравенстве известно (см., например, [20], [21, Section 1], [22, Introduction]):

s up ^J ^ r^ a) dr^j 1 (^j ^rb- pl j dr^j 1 < ж.

Простой анализ выполнения этого условия приводит к условиям (38). Лемма 5 доказана.

Лемма 6. Пусть 1 < р ^ q < ж. Константа сб(a,b,p,q,d,k) конечна, тогда и только тогда, когда

a<dk1, Ь>^, a + b = dki( А + ^У (39)

q р' ' \р' qz

Доказательство. Проводится аналогично. Только необходимое и достаточное условие конечности константы сб (a, b,p, q, d, k) выглядит так

s up ^J ^r^-^ dr^j 1 [j ^ rb- pl j dr^j 1 < ж.

Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы 1 при р = q в части достаточности будет проведено в следующей секции. Пусть f £ S(Rd), f(х) ^ 0 1 < р < q < ж, 0 < а < dk'1,

¡3<d-k±, у + Р > 0, а -у-¡3 = dkJ- - (40)

q р' \р q/

k' 1

Докажем достаточность этих условий. Все рассуждения можно проводить для оператора Ia' с ядром

Фа(х,у)=Ук [j {\х\ + \у\-^2\х\\у\(1+(х>, ■)) uy-dk,1diPxk-i/2 (и))(у').

Напомним, что неравенство (8) с конечной константой при у = р = 0, а = dk,i(^ - 1), доказано в лемме 3. Пусть

Rd х Rd = Ei UE2 U E3,

где

Ei = {(х,у):2-11х1 < \у\ < 2\х\}, E2 = {(х, у): 1У1 < 2-1\х\}, Ез = {(х, у): \у\ > 2\х\}.

Разобьем оператор 1(кк не сумму трех операторов

I,I'1 = I + I + I =Аг + А2 + А3.

JE1 .¡Е2 ■)Е3

Вместо неравенства (8) для оператора А1 будем доказывать для оператора

Л г< \ I п лф»(х, у)ХЕ1 (х, у) , , .

А1 Кх) = УRdт—— ^кЛу)

эквивалентное безвесовое неравенство

Ш(я)\\< \\¡(х)\\р,-^1. (41)

Так как для (х, у) е Е^ 1х\ + \у1 — \/21х\1у1(1+(х', -))и ^ 2(|ж| + |у|), то полагая а = (1к>1( 1 — 1), получим

(^ + У — ^хЩ^х', ■))и)а--к,1 < (^ + У — ^хЦуК1+{х1, ■))и)а--к,1

№ < (И +

< (И + у — ^хЦУК^Х', »и)*--*1

и

фд(Х, у)ХЕ1 (х, у) < , ул

№ур < Фа(X, у ).

Так как 0 <а < йки то неравенство (41) верно по лемме 3. Если (х, у) е Е2, то Фа(х, у) ^ |x|a--k'1 и

А2/(х) < ^Г^Н/(х).

А2

\\|xГ1--k,lНfфН^ < \\wPf(Х)\\р-^к1. (42)

Если выполнены условия (40), то выполнены и условия (38)

V1), Ь = !3<^

^р' д; р

1 — 1 \ —р> > ур д/ р д

Следовательно, по лемме 5 неравенство (42) верно. Если (х, у) е Е3, то Фа(х, у) ^ у"--^,1 и

а + b = dkj1 + -), b = ß<^f.

\р gJ р

А , А .л (11 ^ а ^ dk,i dk,1

а = dk,1 + 7 -а = dk,1 + dkA----ß > —- > —-.

р

Asf (x) < \y\a-dk'1 f(y)dßk,1(y). J\y\>\x\

Неравенство (8) для оператора A3 будет выполнено, если

ll\x|-1Bf(x)||qAßki < ||\x|f(x)\\p,dßki. (43)

Если выполнены условия (40), то выполнены и условия (39)

, А А ( 1 I 1 > / dk'1

а + b = dk1\—; + - , а = 7<—-,

b = dk'1 + ß -а = dk'1 + dkA - - -) -7 > > .

Следовательно, по лемме 6 неравенство (43) также верно.

Так как операторы Ai, i = 1, 2, 3, положительные, то необходимые условия ограниченности норм операторов Харди и Беллмана в леммах 5, 6 будут необходимыми и для ограниченности норм потенциала Рисса. Таким образом, условия (40) будут необходимыми в теореме 1 при 1 < р ^ д < ж (кроме уеловия 7 + ß ^ 0). Теорема 1 доказана.

6. Доказательство теоремы 2

Пусть

(IV(г) = г-1 (1г, dmк(х) = (IV(г) йак>1(х').

Отметим, что

<1цк,1 (х) = (IVхк'1(г) йакл(х') = Ъхк^Х^1 йтк(х). Нам понадобятся точные оценки норм операторов, определяемых сверткой Меллина,

г <х

Л ¡(г) = и * д)(г)= Пг/I Ш(IV (I).

о

Свертка Меллина коммутативная

( / * д)(г) = (д * Л(г). (44)

Лемма 7 [11]. Пусть Ьр = Ьр(М+, 1 < р < ж. Если / еЬр, Н е и1', де Ь1, то

М*д\\р <\\дМПр,

или

рте рте

/ / h(r) f(t)g(r/t)dv(t)dv(г) <\\g\\ oo

1\\h\\p'\\J \\p

Если g > 0; то

\\Ag\\p^p = \\g\\i, (45)

или

sup sup \f \\P<1 \\h\\v/ <1

те

h(r)Ag f(r)dv(r) = ||0\\i.

Доказательство теоремы 2. Мы следуем работе [11]. Пусть

1 <р< ж, ^, ßK^, а > 0, а = у + ß. (46)

р р

Рассмотрим модифицированный оператор

¿к'1 Пх)= f f(yMdk1 /p'-ß Ф(х, y)dmk (у).

JRd

=

bXk^хГ^^ikk'1 f(х)\\рАтк < c1(a,ß,1,p,p,d,k)\\fWUp^k.

Если х = гх', у = ty', то применяя замену переменных у ^ (r/t)у' и свойства (1), (2) в лемме 4, (44), получим

Тк'1 ¡(х) = r-ß+a-dk,l/p i f((r/t)у')Ф1(t^^dmk(ty'),

JRd

где

Ф1(t, х, у') = tdki/p-a+ßФ^х', у').

В силу (46)

hjk'1 ¡(х)= i /(ty'^r/ty^dmk(ty').

o

Положим

J := / h(rx')f(ty')$1(r/t,x',y') dmk(x)dmk(у)

Jw,d JRd

f f ГТ ГТ

= / / h(rX) f(ty'^1(r/t,x',y')dv(t)dv(r) dakA(x')dakA(y').

Jsd-1 J Sd-1 J 0 JO

Применяя лемму 7 и неравенство Гельдера, получим

1/р' ( [Т , , , .Л1/Р

lsd-1 v Jo ' ^JO

ГТ

<&1(t, X, у') dv(t) dak,1(x') dak,1 (y')

\J \ < f i (Г \h(rxT'dv(r))W (Г \ f(ty')\pdv(t)X J^-1 J Sd-1K JO ' KJO '

(y \h(rx' )\p' dv (r) J <&1(t ,x',y ')dv(t)^

fT \1/p \f(ty')\pdv(t) / <&1(t,x',y')dv(t)) dak,1(x')dak,1(y')

0 o

<[/ i f \h(rx')\p'dv(r) i $1(t,x',y')dv(t)dakA(x')dakA(y'))1P

Jsdi-1 J^-1 JO JO >

f i Г\ f(ty')\pdv(t) Г Ф^,x',y')dv(t)dakA(x')dakA(y'))1/P.

„Sd-1 J Sd-1 J о JO J

Воспользовавшись свойствами (1) и (3) в лемме 4, придем к

I Ф1 (t, x', у') dak 1(x') = tdk1/p~a+ii I' <b(tx', у') dak ф') = tdk1/p-a+P<&o(t, 1)

J 3d-1 J3d-1

j <&1(t,x',y')dak1 (y') = tdk1/p~a+l3Фо(1, t)= tdk'1/p~a+PФо(г, 1).

J3d-1

Меняя порядок интегрирования, получим

\J\ < (Г° tdk'1/p~a+PФо(г, 1)dv(t)^j1/Р П i°°\h(rx)\p dv(r) dakA(x')

JO J sd 1 J о

f (Т \ 1/p / С (Т \ 1

1 tdk1/p~a+^<*o(t, 1)dv(t)) П _ / \f(ty')\pdv(t)dakA(y')):

JO J sd 1 J о

>

tdk1/p~a+*o(t, 1)dv(t) IIh\Ip',dmk\\np,dmk.

o

Таким образом,

ГТ

c1(a,3,1,p,p,d,k) < ЪХкЛ tdk>1/p~a+Фо(1,1)dv(t).

Jo

( x) = o(| x ) = o( )

~ i'T dt

\x\-~t+dk1/piy f(x) = fo(r/t)tdk1/p~a+PФо(1, 1)

o

то лемма 7 (см. (45)) дает

ci(а, 3, j,p,p, d, к) = ЪХкЛ tdk'1/p-a+Фо(1,1)dv(t).

ko

Покажем, что условия (46) для конечности константы ех(а, 7,р,р, й, к) достаточны. Имеем

ci (a, ft, J,p,p, d, к)

ГУ ГК

= Ь«'1)-1С2\кЪ\к,1 tdki/p-a+4 (1+t - 2Vtcostp)a-dk-1 sin2dk,1-2pdpdu(t) Jo JO

, ku 1 , f™ tdk,i/p-a+P Г / 2V~t cosp\»-dk,i . 2, 2 = hka1)-1C2,k bXk'1 l ( i + t)dkA-a l i1 - sin2dk,1-\dpdv (t).

1 + г

= 0, 1, ж

только тогда, когда 7 = а — @ < ^р1. Он сходится в бесконечности только при @ < Для исследования поведения интеграла в окрестности точки £ = 1 положим г = 2л/1 /(1 ). Тогда при г ^ 1 — 0

Г'К

ф(г) = (1 — гсо8р)а-*к,1 s'm2dk,1—2 р дь^р о

1

.2 /2)а-*кЛ( 2*к 1-2

Í (1 -г + rp2/2)a-dk'1p2dk'1-2 dp + 1 o

г у/1—г Г1

(1 - r)a-dk,1p2dk'1-2 dp + / p2a-2dp + 1 Jo Jv^r

Поэтому при t ^ 1

■(1 - r)a-1/2, 0 < a < 1/2, - ln(1 - r), a = 1/2, 1, a > 1/2.

1 -t|2a-1, 0 < a < 1/2,

cos

Г(1 - 2^+0¡p)a-dkA sin2dk,1-2pdp ^ J_ in 11 -ti a = 1/2,

1 1, a > 1/2,

Следовательно, и при t = 1 мы имеем интегрируемую особенность.

¡■у

Остается вычислить интеграл / tdk'1/p-a+P<&o(t, 1) dv(t). Ряд

o

(1 - r cos pr-dk1 = — 1 f (-1)nr(fk'1 -a + n) cos- p ( p) Г(dk'1 -a) n=0 T(n + 1) p

при 0 ^ r < 1 сходится равномерно на [0, n] и

ГК

ф(г) = (1 - rcosp)a-dk1 sin2dk>1-2pdp o

= —i-- У ^ -a +2m) Г2m Г cos2™p sin2dk1-2pdp

T(dk'1 -a)¿=0 Г(2т + 1) Jo p p p

= T(dk'1 - 1) y Г(т + 2)T(dk,1 -a + 2m) 2m = T( dk'1 -a)£=0 Г(2т + 1)T(dk>1 +m) Г '

Отсюда

г те

ci(a,P,7,p,p,d,k) = bxk 1 tdk1 /p-a+P Фо (t, 1)du(t)

k o

(lka'1)-1C2XkbxkлГ(dk,1—h 22mT(m + 2)Г(d^—а + 2m)

T(dk,1—a)

m=0

СТ -jdk,1/p-a+P+m-1

Г(2т + 1)r(dk>1 +m) d .

Так как

J0 (1+t)dk,1-a+2m

tdk1/p-a+fi+m-1 r( ¿p1 + 3 — а + m)r( —3 + m) dt =-—

0 (1+t )-k,1-»+2m Г( а)

r(dk>1—a + 2m)

yk1 =

¡a

Г( 4д)

1

r(dk,1—aY C2Xk Г( 1 )r(dk1 — 1), hk 1 r(dkA),

то

1 ~ r(-f +3 — a + m)r(-p;1 — 3 + m)

ci(a,3,y,p,p,d,k) = га —

m=o

Г( m + 1)Г( dk,1 +m)

Полагая

^к'1 , о и ик'1 а А

а =--+3 — а, Ь = —;--3, с = ак1,

р р'

1 те Г(а + т)Г(Ъ + т)

С1(а,3п,р,р,й,к) = —— > ---——-т.

Г(а) ш=0 Г(1 + т)г(с + т) Далее используем гипергеометрическую функцию [23, СЬ. II]

'(а.Ъ;^>=± ■ (аи = Щ+т

Получим

dk,

запишем

m=o

m!(c)r

Г(а)

c1(a, 3, y,p,p, d, к) = ^ Г(а)Г.(^>) F(а, Ь; с; 1).

Г( а) Г( )

Известно [23, Sect. 2.8, (46)], что

F (а, Ь;с;1) = , с = 0 —1, —2,..., с>а + Ь,

поэтому

Г( — а)Г( — )

c1(a, 3, l,p,p, d, к) =

где с — а — Ь = а, с — а = pk +а — 3 = pk + Ъ + 3-

dk

Г( а)Г(Ь)Г( с — а — Ь) ГаЩсГ—аЩс—Ь),

-k

Окончательно

Теорема 2 доказана.

cifa^,^^^^, к) = —-¡¿1

Г( ¿f —у)Г( ^ —3)

ПЪ1 +у)Г( ¿k1 +3)

эо

и

7. Заключение

В работе определен потенциал Рисса для ( к, 1)-обобщенного преобразования Фурье. Для него доказан аналог известного неравенства Стейна-Вейса для (Ьд,£Р)-норм с радиальными степенными весами. Исследована необходимость условий на параметры. Открытым остался только вопрос о необходимости условия а ^ ^ 1 — ^ при 1 < р < д < ж. Этот вопрос открыт и для потенциала Данкля - Рисса. Другим направлением исследований может стать доказательство аналога неравенства Стейна-Вейса для радиальных кусочно-степенных весов.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H., Littelwood J.E. Some properties of fractional integrals, I // Math. Zeit. 1928. Vol.27. P. 565-606.

2. Soboleff S. On a theorem in functional analysis // Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 1938. Vol. 4(46), no.3. P. 471-497.

3. Stein E. M., Weiss G. Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space //J. Math. Mech. 1958. Vol. 7, no. 4. P. 503-514.

4. Горбачев Д.В, Иванов В.И. Весовые неравенства для потенциала Данкля - Рисса // Че-бышевский сборник. 2019. Т. 20, Вып. 1. С. 131-147.

5. Herbst I. W. Spectral theory of the operator (p2 + m2)1/2 - Ze2/г // Comm. Math. Phvs. 1977. Vol. 53. P. 285-294.

6. Beckner W. Pitt's inequality with sharp convolution estimates // Proc. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 136, no. 5. P. 1871-1885.

7. Samko S. Best constant in the weighted Hardy inequality: the spatial and spherical version // Fract. С ale. Anal. Appl. 2005. Vol. 8. P. 39-52.

8. Dunkl C. F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992. Vol. 138. P. 123-138.

9. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag. 2003. Vol. 1817. P. 93-135.

10. Thangavelu S., Xu Y. Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform //J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 199. P. 181-195.

11. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform // Potential Analysis. 2021. Vol. 55, no. 4. P. 513-538.

12. Salem Ben Said, Kobavashi Т., 0rsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.

13. Salem Ben Said, Deleaval L. Translation operator and maximal function for the ( k, 1)-generalized Fourier transform // Journal of Functional Analysis. 2020. Vol. 279, no. 8. Article 108706.

14. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform // International Mathematics Research Notices. 2016. Vol. 2016, no. 23. P. 7179-7200.

15. Иванов В. И. Ограниченный оператор сдвига для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, № 4. С. 85-96.

16. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555-605.

17. Иванов В. И. Свойства и применение положительного оператора сдвига для (k, 1)-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, № 4. С.

18. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя. Интегралы. М.: Наука, 1970. 328 с.

19. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 799 с.

20. Sinnamon G, Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1 // J. London Math. Soc. 1996. Vol. 54, no 2. P. 89-101.

21. Kufner A., Opic B. Xardv-tvpe inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific and Technical, 1990. 333 p.

22. Kufner A., Persson L.E. Weighted inequalities of Xardv type. Singopure-London: World Scientific hrblishing Co. Pte. Ltd., 2003. 358 p.

23. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеметрическая функция, функция Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

REFERENCES

1. Hardy G.H., Littelwood J.E., 1928, "Some properties of fractional integrals, I", Math. Zeit., vol. 27, pp. 565-606.

2. Soboleff S., 1938, "On a theorem in functional analysis" , Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 4(46), no. 3, pp. 471-497.

3. Stein E.M., Weiss G., 1958, "Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space" , J. Math. Mech., vol. 7, no. 4, pp. 503-514.

4. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2019, "Weighted inequalities for Dunkl-Riesz potential", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 131-147.

5. Herbstl. W., 1977, "Spectral theory of the operator (p2 + m2)1/2-Ze2/r", Comm. Math,. Phys., vol. 53, pp. 285-294.

6. Beckner WT., 2008, "Pitt's inequality with sharp convolution estimates" , Proc. Amer. Math. Soc., vol. 136, no. 5, pp. 1871-1885.

7. Samko S., 2005, "Best constant in the weighted Hardy inequality: the spatial and spherical version" , Fract. Calc. Anal. Appl, vol.8, pp. 39-52.

8. Dunkl C. F., 1992, "Hankel transforms associated to finite reflections groups" , Contemp. Math., vol. 138, pp. 123-138.

9. Rosier M., 2003, "Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.

10. Thangavelu S., Xu Y., 2007, "Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform" , J. Com,put. Appl. Math., vol. 199, pp. 181-195.

11. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2021, «Riesz potential and maximal function for Dunkl transform», Potential Analysis, vol. 55, no. 4, pp. 513-538.

12. Salem Ben Said, Kobavashi Т., 0rsted В., 2012, "Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265-1336.

( к, 1)

generalized Fourier transform" , Journal of Functional Analysis, vol. 279, no. 8, Article 108706.

14. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2016, "Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform" , International Mathematics Research Notices, vol. 2016, no. 23, pp. 7179-7200.

15. Ivanov V. I., 2020, "Bounded translation operator for the (k,l)-generalized Fourier transform" , Chebyshevskii Sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 85-96. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96

16. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2019, "Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications", C'onstr. Approx., vol. 49, no. 3, pp. 555605.

17. Ivanov V. I., 2021, "Properties and application of a positive translation operator for (к, 1)-generalized Fourier transform" , Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, no. 4, pp. (In Russ.)

18. Bateman H., Erdelvi A., 1954, "Tables of Integral Transforms. Vol.2" , New York, Toronto, London: MC GRAV-HILL Book COMPANY, INC, 328 p.

19. Watson G.N., 1995, "A treatise on the theory of Bessel functions" , Cambridge University Press, 814 p.

20. Sinnamon G, Stepanov V. D., 1996, "The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1

21. Kufner A., Opic В., 1990, "Xardv-tvpe inequalities" , Pitman Research Notes in Mathematics Series, Harlow: Longman Scientific and Technical, 333 p.

22. Kufner A., Persson L. E., 2003, "Weighted inequalities of Xardv type" , Singapore-London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 358 p.

23. Bateman H., Erdelvi A., 1953, "Higher Transcendental Functions, I" , New York: McGraw Hill Book Company, 296 p.

Получено 20.08.2021 г.

Принято в печать 6.12.2021 г.