CC BY
5
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 4.
УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96
Ограниченный оператор сдвига для (к, 1)-обобщенного
преобразования Фурье1
В. И. Иванов
Валерий Иванович Иванов — доктор физико-математических наук, профессор, Институт прикладной математики и компьютерных наук Тульского государственного университета (г. Тула).
e-mail: ivaleryi@mail.ru
Аннотация
В пространствах с весом Данкля vк (х) степенного типа на Rd, определяемым системой корней и неотрицательной функцией кратности к, инвариантной относительно конечной группы отражений, построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует случаю к = 0. В 2012 году Салем Бен Сайд, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое (к, а)-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом (х), а > 0. Наиболее интересны случаи а = 2 и а = 1. При а = 2 обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае а =1 гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При а =1 имеется оператор сдвига ту f (ж). Его Lp-ограниченность недавно установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при 1 ^ р ^ 2. В настоящей работе предложен новый оператор обобщенного сдвига Тff (х). Он получается интегрированием оператора ту f (х) то единичной евклидовой сфере по переменной у', |у'| = 1, у = ty'. Мы доказываем, что он положителен на функциях из пространства Шварца S(Md), для него Т'1 = 1 и он допускает представление с вероятностной мерой. Отсюда мы выводим его -ограниченность для всех 1 ^ р < ж и ограниченность на пространстве Сь(М^) непрерывных ограниченных функций.
Ключевые слова: (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье, оператор сдвига.
Библиография: 17 названий.
Для цитирования:
В. И. Иванов. Ограниченный оператор сдвига для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 85-96.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 4.
UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96
Bounded translation operator for the (k, 1)-generalized
Fourier transform2
V. I. Ivanov
Valery Ivanovich Ivanov — Doctor of physical and mathematical sciences, professor, Institute of Applied Mathematics and Computer Science of the Tula State University (Tula). e-mail: ivaleryi@mail.ru
Abstract
In spaces with a Dunkl weight Vk (x) of power type on Rd, defined by a root system and a nonnegative multiplicity function к invariant with respect to a finite reflection group, a meaningful harmonic analysis is constructed, that generalizes the Fourier analysis in the Euclidean space. The classical Fourier analysis on the Euclidean space corresponds to the case к = 0. In 2012, Salem Ben Said, Kobayashi, and Orsted defined the two-parameteric (к, a)-generalized Fourier transform, acting in spaces with weight \x\a-2Vk(x), a > 0. The most interesting cases are a = 2 and a = 1. For a = 2 the generalized Fourier transform coincides with the Dunkl transform and it is well studied. In case a =1 harmonic analysis, which is important, in particular, in problems of quantum mechanics, has not yet been sufficiently studied. One of the essential elements of harmonic analysis is the bounded translation operator, which allows one to determine the convolution and structural characteristics of functions. For a =1, there is a translation operator тy f (ж). Its Lp-boundedness was recently established by Salem Ben Said and Deleaval, but only on radial functions and for 1 < p < 2. In this paper, a new generalized translation operator T*f (x) is proposed. It is obtained % integrating of the operator тy f (x) over the unit Euclidean sphere with respect to the variable y', \y'\ = 1, у = ty'. We prove that it is positive on functions from the Schwartz space S(Rd), for it Tг1 = 1 and it admits a representation with a probability measure. From this we deduce its Lp-boundedness for all 1 < p < ж and boundedness on the space Cb(Rd) of continuous bounded functions.
Keywords: (к, 1)-generalized Fourier transform, translation operator.
Bibliography: 17 titles.
For citation:
V.I. Ivanov. 2020, "Bounded translation operator for the (к, 1)-generalized Fourier transform", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 85-96.
1. Введение
Пусть Rd — действительное d-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\ = \JJx~x), А — оператор Лапласа.
Для преобразования Фурье в Rd
F{y) = (2^)-d/2 [ f (x)e-i{x>y) dx
JRd
2This Research was performed by a grant of Russian Science Foundation (project 18-11-00199).
Хов [1] получил спектральное представление
Т = ехр(^) ехр(£ (Д — |х|2)),
используя базис из собственных функций в Ь2(М^) гармонического осциллятора Д — |х|2. Оно оказалось удобным, например, при определении дробной степени преобразования Фурье.
Одним из обобщений преобразования Фурье стало преобразование Данкля Тк [2], определяемое с помощью системы корней К С М^, группы отражений С С 0(2) и функции кратности к: К ^ М, инвариантной относительно С. Здесь С — конечная группа, порожденная отражениями {аа: а € К], где аа — отражение относительно гиперплоскости (а,х) = 0. Роль оператора Лапласа в гармоническом анализе Данкля играет дифференциально-разностный оператор Дк, называемый лапласианом Данкля [3]. Для к = 0 Дк = Д- Лапласиан Данкля позволяет записать гармонический осциллятор Данкля Дк — |х|2 и преобразование Данкля
Тк = ехр(^ {2 + ^ВД)) ехр(^(Дк — |х|2)). аеп
Дальнейшее обобщение преобразований Фурье и Данкля получено в [4]. Салем Бен Сайд, Кобаяши и Орстед [4] определили а-деформированный гармонический осциллятор Данкля
Д к,а = |х|2-аД к — №, а> 0,
и двупараметрическое семейство унитарных операторов в гильбертовом пространстве Ь2(Ма, (1^к,а) с нормой
= |/(х)№к,а(х)) ' , Р = 2, названное (к, а)-обобщенным преобразованием Фурье:
Тк,а = ех^2а (2Ак + а^ех^2а Дк,а). (1)
Здесь
2 1
Ак = 2 — 1 + (к), (к) = 2^>(а),
аеп
2Цк,а(х) = Ск,аУк,а(х) 2х, Ьк,а(х) = |х|а—2Ьк (х), Ук(х) = П |(а,х)|к(а), С-1а = / е-^а/аУк,а(х) 2х.
аЕК ' ^
Если а = 2, то (1) — преобразование Данкля. Если а = 2 и к = 0, то (1) — преобразование Фурье. Если а = 2, то (1) — деформированное преобразование Данкля и деформированное
а = 1
к = 0 деформированное преобразование Данкля является оператором унитарного обращения модели Шредингера минимального представления группы 0(Ж + 1, 2) [5].
В гармоническом анализе и теории приближений большую роль играет оператор сдвига, так как он позволяет определить свертку и структурные характеристики функций. В гармоническом анализе Фурье оператор сдвига имеет вид ту/(х) = /(х + у). В гармоническом анализе Данкля оператор сдвига ту был определен Реслер для функций из Ь(Ма,2/Лк,2) [6] и Тримеш для бесконечно дифференцируемых функций [7]. В этих пространствах он является ограниченным линейным оператором. Но его ограниченность в пространствах Ьр(Ма,2,/Лк,2), р = 2, доказана только для группы отражений С = Основная трудность состоит в том, что
ту в общем случае не является положительным оператором. Реслер [8] показала, что среднее значение ту по сфере
T'f (х)= i тty' f (х) dak(у'), t е R+, Jsd-1
где Sd-1 = [х е Rd : \х\ = евклидова сфера, a dak(у1) = акvk(у') dy1 — вероятностная мера на сфере, является положительным оператором. Опираясь на этот факт, в [9] доказана ^-ограниченность оператора Тг для всех 1 ^ р < ж. Таким образом, его можно использовать как ограниченный оператор сдвига. Если к = 0, то оператор Тг совпадает с оператором среднего значения по сфере и имеет широкое применение. Отметим также, что положительность оператора Тг позволила доказать положительное!ь оператора ту [8] и его ^-ограниченность [10, 9] на радиальных функциях.
Следующий важный случай обобщенного преобразования Фурье ПРИ а = 1- Оператор сдвига ту для преобразования ограниченный в пространстве L2(Rd, d^k,i), определен Са-лемом Бен Саидом и Делеавалом [11], см. также [12]. Они доказали, что на радиальных функциях оператор ту положительный и ограниченный в пространствах Lp(Rd,d^k,i), 1 ^ Р ^ 2. В настоящей работе при \к > 0 определяется оператор среднего значения ту по сфере
Tff (х) = / rty/ f (х) d(Tk,i(yr), t е R+, (2)
JSd-1
где dak (у') = &k,iVk,i(y') dy' — вероятностная мера на сфере. Он также ограниченный в пространстве L2(Rd,d^kA). Наша цель показать, что оператор Т * положительный на функциях из пространства Шварца 5 (Rd) и Тг1 = 1. Откуда будет вытекать, что для всех t е R+ и х е Rd он допускает представление
T'f (x)=j f (Z) dolx(i) (3)
с вероятностной мерой da1^x.
Опираясь на представление (3), мы доказываем, что для f е S(Rd) и t е R+, 1 ^ р ^ ж
\\Tlf\\p,d^kii ^ \\f\\p,d»k!i. (4)
В силу плотности пространства Шварца оператор Тг может быть продолжен на все пространства Lp(Rd, d^kyi), 1 ^ р < ж, с сохранением неравенства (4).
2. Элементы обобщенного гармонического анализа и операторы сдвига
Гармонический анализ Данкля, в частности, строится с помощью дифференциально-разностных операторов
оху аек+ [а, X)
где К+ — положительная подсистема системы корней Д, а {е^ } — стандартный ортонормиро-ванный базис в Rd. А также лапласиана Данкля
d
2
j=i
Ак f (х) = ^ T2f (х).
При к = 0 А^ — оператор Лапласа А. Для радиальных функций
А, /(х) = А /(х) + 2 £ к(а) ,
(а, х)
где V /(х) — градиент функции /(х).
В гармоническом анализе Данкля построен положительный оператор сплетения Ук, для которого
тш (х) = ук цхх, 1 =
Для него получено представление
ъ/(х) = / /а) (5)
с вероятностной мерой й носитель которой лежит в выпуклой оболочке орбиты Ох = [дх: деС].
Большинство основных фактов гармонического анализа Данкля можно найти в [3]. Пусть ,7а(%) — функция Бесселя первого рода и порядка а ^ -1/2,
1 Ы = 2°Т(а + 1)= V Г(а + 1)(-^* ]а(г) = 2 1(а + 1) ^ = ^ 22^-!Г0" + а + 1)
— нормированная функция Бесселя. Для нее |]а(%)1 ^ 1В дальнейшем будем считать, что выполнено условие Хк > 0. В пространстве Ь2(М.а, й/лк,1) (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье определяется как интегральный оператор
/(х)= Вк(х, у)/(у) й11кл(у) (6)
с непрерывным ядром
В(х, у) = Ук(зХк_1/2Мх|М(1 + (х, ))(у'), х = 1х1х', у = 1у1 у', (7)
для которого в силу представления (7)
1Вк(х, у)1 < 1, Вк(0, у) = 1, 1х1А%Вк(х, у) = -1У1Вк(х, у), (8)
I Вк(х,1у') йак>1(у')= ,]2Хк(9)
Обобщенное преобразование Фурье — изометрия пространства Ь2(Ма,й/лк,1) и ^¡21 = Ы. Если / е Л = [/: Тк, 1( /) е Ь1 (Ма,й/лк, 1)], то равенство (6) справедливо поточечно. Справедливо вложение £(Ма) с Л.
Основные факты об обобщенном преобразовании Фурье можно найти в [4]. Оператор сдвига в пространстве Ь2(Ма,й/лк, 1) для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье определяется как интегральный оператор
ту/(х)=/ Вк(х,0Вк(у,№д(/)Ю^м(£). (ю)
Jмd
В силу (8) норма оператора ту ъ Ь2{МЛ, й/лк,1) равна 1. Если / е Л равенство (10) справедливо поточечно.
Известно [11], что для $ е 5 д £ Л,
тУ!(х) д(х)йцкл(х) = ¡(х)туд(х) йцкл(х).
JRd
(11)
Для функций из класса Д оператор сдвига Тг определен равенством (2). В силу (9) он может быть записан как интегральный оператор
ТV(х) = Вк(х, (2^Щ\)ЪЛ№)б,11к>Ш
(12)
Он также действует в Ь2^"1, йцк,{) и ег0 норма равна 1. Для функций из класса Л равенство (12) выполняется поточечно. Из (12) также вытекает
7кл(Т* / )(£) = кхк (2-Ш)Ы / )(£).
Для $ е Б д £ Д из (11) получаем самосопряженность оператора Ть:
Т7(х)д(х) йцкл(х) = / }(х)Тьд(х)йцкл(х).
(13)
3. Интегральное представление оператора сдвига
Лемма 1. Если / £ 5£ е R+, то Тг/ еЛи
/ (х) йцк,\(х) = ¡(х)йцкл(х).
JRd JRd
Доказательство. Так как 7ку1(/) е Б[13], то 7к,1(Т1 /) е Ь1^^^^. Если И/ = \ ■ \Ак/, то согласно (8)
Отсюда
м 2ттV (х) = N 2тГкл(э2Хк (2^М~тМ))(х) = 7к,1(п2ти2хк л)(х)
= I в(Х,ои2т(кхк¿^,1(0.
■1 Rd
1
Г /(Х)\ <
N
2т
Если выбрать 2т > 2\к + 1 и доказать конечность последнего интеграла, то получим Т*/ £ Ь1{Ш1 ,йц,к1). Первое утверждение леммы будет установлено. Докажем конечность нужного интеграла. Пусть
Имеем
VМ = 32Хк (2^tr), г = \x\, д(х) = к,1(Л(х).
V (г) = - й^КХк+1(2^), Т3 (<рд )(х) = *(г)Т3д (х) + ^х3д (х), Т2(*д)(х) = ф)Т2д(х) + ^(х3Т3д(х)+Т3(х3д(х))) + * (г) (г)х2д(х),
d
D(pg){х) = rp(r)Akg(x)+p'(r)Y^(xjTj9(x) + T{xjg(x)))+(p"(r) - p'{r))g{x).
3=1
Продолжая вычисления, получим, что D2m(pg)(x) есть линейная комбинация функций из пространства Шварца с коэффициентами, которые растут на бесконечности не быстрее многочленов. Следовательно, D2m(pg)(x) £ L1 (Rd,dßk,1). Пусть Л > 0. Так как £ Л [11], то согласно (13)
/ Tlf (x)e-Xlxldßkii(x)= i f(x)Tted/j.kA(x).
Jvd Jvd
Отсюда по теореме Лебега об ограниченной сходимости
/ T*f (x) d/j.k,i(x) = f(x) dßk,i(x),
JVd JVd
так как по доказанному T*f £ L1(Rd, dßk,1), f £ L1(Rd, dßk,1) и
e-AM ^ i T| ^ !, lim ^—\\x\ = ! lim jte-AM = L
A^ü A^ü
(см. [11]). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Tf1 = 1.
Доказательство. По лемме 1 для любой p £ S(Rd)
{Tt1,p) = {1,Ttp) = 1 Ttp(x) dnkt1(x)= I p(x) d/ikA(x) = (1,p).
JRd JRd
Следовательно, T11 = 1. Лемма 2 доказана.
Далее покажем, что для f £ S(R) оператор сдвига Tb f (x) может быть получен как предел некоторого семейства линейных операторов. Рассмотрим ограниченную функцию
r(x, у, z, s) = i e-s\Z\Bk(x, i)Bk(у, i)Bk(z, £) dßk(£)
JRd
и ее сферическое среднее
К (x,t,z, s) = r(x,ty',z, s)dak,1(y').
Jsd-1
Для функции f £ S(Rd) рассмотрим интегральный оператор
/ К(x,t,z, s)f (z)dßk,1 (z).
Jvd
Применяя (9), получим
/ К(x,t,z, s)f(z)d/j.k,1(z) = / r(x,ty',z, s)dak,1 (y')f (z) dßk,1 (z)
Jvd Jvd JSd-1
= ff i e-s\Z\Bk (x, i)Bk (ty', i)Bk (z, i)dßk (0dak,1(y' )f(z)dßkA(z)
JS,d Jsd-1 Js,d
= \ e-s\i\Bk(x, О I Bk(ty', Odak,1(y')Fk,1(j)(Od/ik(£).
jRd Jsd-1
= [ е-а®32хк (2^Щ)Вк (x, 0^k,i(/)(0dßk (0. Так как Fk,i(/) G <S(Rd), то по теореме Лебега об ограниченной сходимости
lim К (x,t,z, s)f(z)dßk,i(z)
s^O JRd
= i hxk (2VW\)Bk (x, 0^k,i( f)(Odßk (0=1*/(x).
J Rd
Теорема 1. Если f G S(Rd), x G Rd, t G R+ то для оператора сдвига Тf (х) справедливо представление (3).
Доказательство. Докажем, что Т/(х) ^ 0, если / G S(Rd) и /(х) ^ 0. Для этого достаточно показать, что ядро К(x,t,z, s) ^ 0. Мы следуем работе [8]. Применяя (9), получим
К (x,t,z, s)=l e-sS^B(x, Of Bk (ty1,0 dak,i(y')Bk (z, 0 dßk (О
JR,d JSd-1
= i e-s^j2Xk (2^W\)Bk (x, OBk (z, Odßk (О
J Rd
rx
= I(x,z, r)e-srj2Xk (2Vt^)du2Xk (r), (14)
где
I(x, z, r)= i Bk(x, r0)Bk(z, r0) d(7k,i(0),
■J 3d-1
rx
du2Xk (r) = b2Xk ,ir2Xkdr, b-lkl = J e-rr2Xkdr = T(2Xk + 1).
В [11] выведена формула
I(x, z, r) = Vk [j ]2Xk ^^nTN^^RMlT^yy^) dtpXk-i(u)) (zr),
-1
где
у^Г(А + 1)
— вероятностная мера на отрезке [—1,1]. Применяя интегральное представление оператора сплетения Ук (5), получим
I{x,z, г) = ^ У з2хк ) ^Хк-1(и) {О.
гх г г1
К(х,1^, 8)= е-аг32Хк (2^)
■)ж<1 .)-1
X 32Хк{ 2\/г(\х1 + И - л/М^К1 + (Х', 0)и))d "2Хк М ^хк -1(и) ^' (0.
Для функций Бесселя хорошо известна теорема умножения Гегенбауэра [14, п. 11.41]. Запишем ее в удобной для нас форме
32Хк(^)12Хк(^Ъ) = J 32Хк (\/а + Ь - 2^оЬУ) #2Хк-1/2
O
Обозначая
д = |ж| + И + Ь - + {х', 0)и - 2ф(\х1 + И - л/1Ф1(1 + {х',
и применяя теорему умножения, получим
К(х, I, х, в)
,-1 Г1 гоо
JR¿ J-и-и0 Так как [15, стр.33, формула 10]
е аг]2\к) (1щХк(г) «¡л*(О йфХк-\(и) <1ф2Хк-1/2(у).
гж е-д'3
Уо £-згк\к<(Г) = > 0,
то ядро К(х, I, г, в) ^ 0.
Таким образом, при фиксированных м í оператор (х) является положительным линейным непрерывным функционалом на 5(М^). Так как он положителен и непрерывен на пространстве Со°(М^) бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, то он является мерой Радона [16, теорема 2.1.7]
Т7(х)= [ №)<ЧХ(0. Непрерывность на £(М^) влечет степенной рост меры [17, п. 3.4]. Для некоторого т ^ 0
I' ¿ОгЛО
(1 + 1£12У
< те.
Наконец, лемма 2 показывает, что мера (а^х вероятностная. Представление (3) получено. Теорема 1 доказана.
Интегральное представление (3) показывает, что оператор сдвига (х) может быть распространен и на другие классы функций, в частности, на пространство непрерывных ограниченных функций Сь(Ма).
4. ¿^-ограниченность оператора сдвига
Мы следуем работе [9].
Теорема 2. Если 1 < р < те, то для I е М+ и / е 5(М^),
\\т ч ||р (15)
Доказательство. Пусть £ е М+ задано и оператор Т определен на 5(М^) представлением (3). Используя (12), мы получим
8пр{\\Т4 / \ \ 2 : ¡ев (М<*), \\ ¡У^к д < 1}< 1
и
Т * может быть распространен на пространство Ь2(Ма, ¿11^,1) с сохранением нормы, и это распространение совпадает с (12). Кроме этого, (3) дает
8ир{\Т/\\ж : f е 5(М<*), \\ Дж < 1}< 1. (16)
Так как оператор T самосопряженный (13), то из (16) sMWT Ч ||М№ : feS (Rd), Wfh,^ < 1}
= supU TtfgdHk: f,g eS(Rd), Wfh^kl < 1, Ц^Ц- < Л
' J
= sup\[ fTtgdfik: f,g eS(Rd), Wf Ц14^к i < 1, |b|U < l}
= sup[WTtgW-: g e S(Rd), ЦдИ- < 1} < 1.
Следовательно, T может быть распространен на L1 (Rd,d/ik,i) с сохранением нормы и это распространение совпадает с (12) на L1(Rd,dfik,1) П L2(Rd,d^k,{)-По интерполяционной теореме Рисса-Торина
supiWT'f Цр4,к : f e S(Rd), WfWp,d»k,i < 1} < 1, 1 < P < 2.
Пусть 2 <p < x, 1/p + 1/p = 1. Как и для p = 1 мы получим
sup{WT v WP
: f e S(Rd),
< 1}
= sup{WTtgWpl^kii: g e S(Rd), д < 1} < 1.
Неравенства (15) и теорема 2 доказаны.
5. Заключение
В работе построен положительный оператор сдвига, ограниченный в пространствах LP. Для него получено интегральное представление с вероятностной мерой. Но остался невыясненным вопрос о носителе меры, его компактности. Компактность меры позволила бы распространить оператор на пространство бесконечно дифференцируемых функций, с топологией определяемой компактными множествами. Обратно, если бы удалось доказать непрерывность оператора сдвига на таком пространстве, мы бы получили компактность носителя меры.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Howe R. The oscillator semigroup. The mathematical heritage of Hermann Wevl (Durham, NC, 1987) // Proc. Svmpos. Pure Math. Amer. Math. Soc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988. Vol. 48. P. 61—132.
2. Dunkl C. F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992. Vol. 138. P. 123-138.
3. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2002. Vol. 1817. P. 93-135.
4. Salem Ben Said, Kobavashi Т., 0rsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.
5. Kobavashi Т., Mano G. The Schrodinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group 0(p; q) // Memoirs of the American Mathematical Societies. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011. Vol. 212, no. 1000.
6. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators // Comm. Math. Phvs. 1998. Vol. 192. P. 519-542.
7. Trimeche К. Paley-Wiener Theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. Vol. 13. P. 17-38.
8. Rosier M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 2413-2438.
9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555-605.
10. Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal function for Dunkl transform //J. d'Analyse. Math. 2005. Vol. 97. P. 25-55.
11. Salem Ben Said, Deleaval L. Translation operator and maximal function for the ( k, 1)-generalized Fourier transform // Journal of Functional Analysis. 2020. Vol. 279, no. 8. Article 108706.
12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform // International Mathematics Research Notices. 2016. Vol. 2016, no. 23. P. 7179-7200.
13. Johansen T.R. Weighted inequalities and uncertainty principles for the (k; a)-generalized Fourier transform // Internat. J. Math. 2016. Vol. 27, no. 3. Article 1650019.
14. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 799 с.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя. Интегралы. М.: Наука, 1970. 328 с.
16. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986. 464 с.
17. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.
REFERENCES
1. Howe R., 1988, "The oscillator semigroup. The mathematical heritage of Hermann Wevl (Durham, NC, 1987)" , Proc. Svmpos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI: Amer. Math. Soc., vol. 48., pp. 61 132.
2. Dunkl C. F., 1992, "Hankel transforms associated to finite reflections groups" , Contemp. Math., vol. 138, pp. 123-138.
3. Rosier M.. 2002, "Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.
4. Salem Ben Said, 2012, "Kobavashi Т., 0rsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265-1336.
5. Kobavashi Т., Mano G., 2011, "The Schrodinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group 0('p;q)n , Memoirs of the American Mathematical Societies. Providence, RI: Amer. Math. Soc., vol. 212, no. 1000.
6. Rosier M., 1998, "Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators" , Comm. Math. Phys., vol. 192, pp. 519-542.
7. Trimeche К., 2002, "Paley-Wiener Theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators" , Integral Transform,. Spec. Funct., vol. 13, pp. 17-38.
8. Rosier M., 2003, "A positive radial product formula for the Dunkl kernel" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, pp. 2413-2438.
9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2019, "Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications", C'onstr. Approx., vol. 49, no. 3, pp. 555605.
10. Thangavelu S., Xu Y., 2005, "Convolution operator and maximal function for Dunkl transform" , J. d'Analyse. Math., vol. 97, pp. 25-55.
( k, 1)
generalized Fourier transform" , Journal of Functional Analysis, vol. 279, no. 8, Article 108706.
12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2016, "Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform" , International Mathematics Research Notices, vol. 2016, no. 23, pp. 7179-7200.
13. Johansen T.R., 2016, "Weighted inequalities and uncertainty principles for the (k; a)-generalized Fourier transform" , Internat. J. Math, vol. 27, no. 3, Article 1650019.
14. Watson G.N., 1995, "A treatise on the theory of Bessel functions" , Cambridge University Press, 814 p.
15. Bateman H., Erdelvi A., 1954, "Tables of Integral Transforms. Vol.2" , New York, Toronto, London: MC GRAV-HILL Book COMPANY, INC, 328 p.
16. Hormander L. 1983, "The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Distribution Theory and Fourier Analysis" , Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 464 p.
17. Vladimirov V.S., 1964, "Methods of the theory of functions of several complex variables" , M.: Nauka, 412 p. (In Russian)
Получено 13.02.2020
Принято в печать 22.10.2020 г.
