CC BY
8
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-82-92
Условия Макенхаута для кусочно-степенных весов в евклидовом пространстве с мерой Данкля1
Д. В. Горбачев, В. И. Иванов
Горбачев Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: dvgmail@mail.ru
Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: ivaleryi@mail.ru
Аннотация
В результате многолетних исследований в гармоническом анализе Фурье был выделен класс линейных интегральных операторов Кальдерона—Зигмунда, ограниченных в пространствах Lp на Rd с мерой Лебега при 1 < р < то. Б. Макенхаутом были найдены условия на вес, необходимые и достаточные для ограниченности операторов Кальдерона-Зигмунда в пространствах Lp с одним весом. Они теперь известны как А^-условия Макенхаута. Г.Х. Харди и Дж.И. Литлвудом (d = 1) и С.Л. Соболевым (d > 1) была доказана
(Lp,Lq^ограниченность потенциала Рисса /а при 1 < р < q < то, а = d^^ — i)- Б- Ма-кенхаут и Р.Л. Виден нашли Ар,д-условие па вес для одновесовой (Lp, Lq)-ограниченности потенциала Рисса. Важным обобщением потенциала Рисса стал потенциал Дапкля-Рисса, определенный С. Тангавелу и Ю. Шу в евклидовом пространстве с мерой Данкля. Для потенциала Данкля-Рисса нами была доказана (Lp,Lq^ограниченность с двумя радиальными кусочно-степенными весами. В настоящей работе мы определяем Ар и Ap,q-условия Макенхаута для весов в Rd с мерой Данкля и выясняем, когда они выполняются для кусочно-степенных весов. Полученные результаты показывают, что условия (Lp, Lq)-ограниченности потенциала Данкля-Рисса с одним кусочно-степенным весом могут быть охарактеризованы с помощью Ар д-условия. Это позволяет предположить, что условия (Lp,Lq^ограниченности потенциала Данкля-Рисса с одним произвольным весом могут также быть записаны с помощью Ар д-условия.
Ключевые слова: весовая функция, условия Макенхаута, кусочно-степенной вес, мера Данкля, потенциал Данкля-Рисса.
Библиография: 13 названий. Для цитирования:
Д. В. Горбачев, В. И. Иванов. Условия Макенхаута для кусочно-степенных весов в евклидовом пространстве с мерой Данкля // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 82-92.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-82-92
Muckenhoupt conditions for piecewise-power weights in Euclidean space with Dunkl measure2
D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov
Gorbachev Dmitry Viktorovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: dvgmail@mail.ru
Ivanov Valerii Ivanovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Head of Department, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula).
e-mail: ivaleryi@mail.ru
Abstract
As a result of many years of research in the Fourier harmonic analysis, a class of linear integral Calderon-Sigmund operators was defined that are bounded in the spaces Lp on Rd with the Lebesgue measure for 1 < p < <x>. B. Muckenhoupt found conditions on weight that are necessary and sufficient for the boundedness of the Calderon-Zygmund operators in Lp-spaces with one weight. They are now known as the Muckenhoupt Ap-conditions. G.H. Hardy and J.E. Littlewood (d = 1) and S.L. Sobolev (d > 1) proved (Lp, Lq)-boundedness of the Riesz potential I aipha for 1 < p < q < to, a = d^p — ij. B. Muckenhoupt and R.L. Wheeden found Ap,g-weight condition for one weight (Lp,Lq)-boundedness of the Riesz potential. An important generalization of the Riesz potential has become the Dunkl-Riesz potential defined by S. Thangavelu and Yu. Xu in Euclidean space with the Dunkl measure. For the Dunkl-Riesz potential, we proved (Lp, Lq)-boundedness with two radial piecewise-power weights. In this paper, we define the Muckenhoupt i^d Ap,g-conditions for weights in Euclidean space with the Dunkl measure and find out when they are satisfied for piecewise-power weights. The obtained results show that the conditions of (Lp, Lq)-boundedness of the Dunkl-Riesz potential with one piecewise-power weight can be characterized using the Ap,g-condition. This suggests that the conditions of (Lp, Lq)-boundedness of the Dunkl-Riesz potential with one arbitrary-weight can also be written using the Ap,g-condition.
Keywords: weighted function, Muckenhoupt conditions, piecewise-power weight, Dunkl measure, Dunkl-Riesz potential.
Bibliography: 13 titles.
For citation:
D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, 2019, "Muckenhoupt conditions for piecewise-power weights in
Euclidean space with Dunkl measure" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 82-92.
2This Research was performed by a grant of Russian Science Foundation (project 18-11-00199).
1. Введение
Пусть Rd — действительное d-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой |ж| = \J(x,x), Sd-1 = {х G Rd: |ж| = 1}— евклидова сфера, Lp(Rd), 1 < р < ж, — пространства Лебега с нормой \\f \\р = (JRd |/|рdx)l/p < ж.
Мы будем писать М < Ж, если М < CN с константой С > 0, зависящей только от несущественных параметров, и М х N, если М < Ж и Ж < М. Как обычно, для р > 1 р' = — сопряженный гёльдеров показатель, \Е(%) — характеристическая функция множества Е С Kd, В — произвольный замкнутый евклидов шар вида В(хо, R) = {х G Rd: |ж — Жо| ^ R}, Q — произвольный замкнутый куб со сторонами, параллельными осям координат, Q(x0, R) = П<j=1ix0j — R, x0j + Щ-
В гармоническом анализе Фурье важное место занимают исследования ограниченности линейных интегральных операторов в пространствах Lp(Rd). В результате этих исследований был выделен класс сингулярных интегральных операторов Кальдерона-Зигмунда (класс CZSIO), для которых ограниченность имеет место при 1 < р < ж (см. [1, Chapter 4], [2, Chapter 8]). Доказательство этого факта в значительной степени основано на ограниченности в Lp(Rd), 1 < р < ж, максимальной функции Харди-Литтлвуда Mf.
В дальнейшем ограниченность интегральных операторов исследовалась в пространствах Lp(Rd) с весом. Be сом w называют локально интегрируемую функцию в Rd, принимающую
(0, ж)
совое неравенство
\\wMf\\р < \\wf\\р, 1 <р< ж, справедливо тогда и только тогда, когда для веса ш = wp выполнено следующее условие:
supf-^ I wdx^(-1 I ш р-1 dx] < ж, Q VM Jq j Jq j
где |Q| — мера Лебега куба Q. Это условие известно теперь как Ар-условие Макенхаута. Ар-условие оказалось необходимым и достаточным и для весовой ограниченности в Lp(Rd) операторов из класса CZSIO [2, Chapter 9]. Потенциал Рисса или дробный интеграл
Iaf(ж)=/ f(y)lx — yr~ddy, 0 <a<d,
не является ограниченным оператором в Lp(Rd). Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд f5] (d = 1) и С.Л. Соболев f6] (d > 1) показали, что этот положительный оператор ограничен из Lp(Rd) в Lq (Rd) при 1 < р < q < ж и а = ^ — 1974 году Б. Макенхаут и Р. Л. Виден [4]
доказали, что при 1 < р < q < жи а = ^ — одновесовое неравенство
я,
ур
\\Wlaf \\g < \\wf \\р
справедливо тогда и только тогда, когда для веса ш = п]4 выполнено так называемое Ар,д-условие:
8иЩ— -— йх) Р < Ж.
Я JQ ' 4^1 Зя '
Отметим, что условия Ар,р и Ар совпадают.
Пусть Б = {а\,... ,ат} С Ба-1 — множество различных единичных векторов, функция к: в ^ М+, степенной вес типа Данкля (ж) = 1(аз, гДе % = )• Класси-
ческий вес Данкля получается в том случае, когда 5 является системой корней, а функция к инвариантна относительно конечной группы отражений, порожденной отражениями
аах — х 2(а,х)а, а € Б. Евклидово пространство М^ с мерой Данкля (1ц.к(х) — Ук(х)йх допускает содержательный гармонический анализ Данкля (см. [7]). Используя его, С. Тан-гавелу и Ю. Шу [8] определили потенциал Данкля-Рисса В [9, 10, 11] для потенциала Данкля-Рисса I£ / мы доказали весовые (Lp, )-неравенства с двумя степенными или кусочно-степенными весами. Отметим, что по сравнению с этими работами, мы опускаем в весе Данкля несущественную здесь константу Макдональда-Мета-Сельберга.
Настоящая работа посвящена изучению Ар и Ар,д-условий для радиальных кусочно-степенных весов в М^ с мерой Данкля и анализу их роли в весовых (Ьр,Ьд)-неравенствах для потенциала Данкля-Рисса. В разделе 2 получены порядковые оценки меры Данкля шаров и кубов и условия удвоения для радиальных кусочно-степенных весов в пространстве с мерой Данкля. В разделе 3 для них исследуются Ар и АР;д-условия.
2. Условия удвоения для кусочно-степенных весов в пространстве М^ с мерой Данкля
Пусть х,у € М^, х — \х\х', у — \у\у', х',у' € й(х', у') — атссов (х', у') — геодезическое
расстояние на В(х'0, г) — {х1 € : й(х'0,х') ^ 9} — сферическая шапочка с центром в
х0 и радиусом д € (0,п), \Е\й^к — /Е Л[Лк — мера Данкля множества Е С М^, ш(х) — весовая функция в М^, \Е\^к^ — /Еш йцк, ¿к — й + ^=1 к^ — обобщенная размерность пространства М^ с мерой Данкля.
Теорема 1. Для всех х0 € М^ К > 0
т
\В(хо,К)\а,к-К П(\(а, ,хо)\ + К)к> (1)
3 = 1
с константами, не зависящими от, х0 и К.
Доказательство. Рассмотрим два случая \х0\ ^ 3 К и \х0\ ^ 3 К. Пусть сначала \х0\ ^ 3К. Имеем
Г Г |жо|+Д г-
\В(х0,К)\^к — йцк — са гЛк-1 / Хв(х0,п)(гх')ук(х')йа(х') йг
¿В(х0,Я) ¿1х0 — К Jsd-1
г |жо|+Д г
— са гЛк-1 ук (х' )йа(х' )йг, (2)
]1хо1-К В(х:'0,в(г))
где Са > 0. № соотношений \х| — г, \х|2 + \х0\2 — 2\х|\х0\(х0,х') — К2 выводим:
\ х0 \ 2 + г2 — К2
сонв(г) —
2 х0
) — у/(\х0 \ +Г + К)(\хр\ +г — К)(\х0\ +К — г)(К + г — \хр\) ^
(П 2г \ х0 \ ,
• л/ \ ^ К . жК 2К
ыт < , т < 2рккг < Т2КГ■
Положим
А [1,т]: \(а3,х0)\ < щ}, В — ^ € [1,т]: \(а3,х0)\ ^ щ}.
Пусть х' G В(х'0, О (г)). Согласно (3)
2 R
ы
поэтому
,fc, - т-г/ 5Е \k
||(aj,х')| — l(a,j,ж0)|| ^ lcosd(a,j,х') — cosd(aj,x'0)l ^ d(x',х'0) ^ 0(г) < ,—¡-,
п |(ai^ < щйл) ', п |(ai^ х п \(aj,4)|k'. №
jea jea | 0| jeb jeb
Применяя (2), (4), получим
I vk(х') da(x') < П (J^Y' П |(aj,%'о)|kз I da(x')
1в(х'0,0(г)) eA 1x01 jeB JB(*'o,%))
/ ~R \ k
< щ пл)' п |(a, ,4)|ki (%))d—1
jeA lX0^ jeв
< ' £ г п( £ г п^
, \x0\+R ft ч d-1 , ft ч k* _ , ,
l*(®о,Д)|** < / ^ щкч) ' п |(ai^0)|ki
^\xo\-R VF0K ДА4 |Жо|У /eB
m
<Rd п ^ п |(a, ,^0)|k' < Rd п(|(а, ,хо)\ + R)k'.
jeA jeB j=1
Оценка сверху в (1) при |ж0| ^ 3 R доказана.
Получим оценку снизу. BJ13, Lemma 5.5] доказано, что для некоторого е G (0,1/2), не зависящего от ж0 и R, rn у'0 G В(х'0, 9 (г)/2)
В(у'0, ед(г)) С В(х'0, в (г)) и Kaj ,х' )| ^ е в (г) для х' G В( y'0,ed(r)), j G А.
Отсюда и из (4)
Vk(х') > п(0(r))k> п ^,x'о)|k>, * G В(у0,ев(г)).
jeA jeB
Если г G [|ж0| — R/2, |ж0| + R/2], то из (3) в(г) > \Ry, следовательно
Vk(х')da(x') > Vk(х')da(x')
JB(x'0 ,в(г)) J B(y'0 ,ев(г))
R \k' тг ,, ,,,ki
П(Ьч) ' П |(a,,x'о)|k> L da(x')
t\K|x0|J JB(y' ,ев(г))
>
1Хо1 ' feB jB(y'o ^(r))
e A | 0| e B
> f £ гш £ г пк* ^
f\x0\+R/2 , f ft sd-1 _ / ft ski „
lB(x0,R)ld,k > ^-1drЩ-ft) ' П |(a,,*'о)lk
j\x0 \-R/2 /eAV 1x01 J jeB
m
> Rd п Rk'H \(aj,X0)lk' > Rd п(|(а,,хо)1 + R)k'. e A e B =1
и
и
Оценка снизу и в целом соотношение (1) при \ х0 \ ^ 3К доказано. Пусть теперь \ х0 \ ^ 3К. В этом случае
т
Rd П(\(%",*o)l + R)k> ~ Rdk ~ IB(0,R)Id,k.
3=1
Если |жо| ^ R/2, то В(0, R/2) С В(хо, R) С В(0, 3R/2) и
lB(xo,R)ld,k -Rdk.
Если R/2 ^ |х01 ^ 3R, то B(x0,R/6) С В(х0, R) С В(0, 4R). Следовательно,
|В (xo,R)Wk < 1В(0, 4R)U^k <Rdk.
Если R = R/6, то |х01 ^ 3R. Случай шара В(х0, R) уже был рассмотрен. Он дает
|В(хо,^и№ ^ 1В(х0^/6)1^к > Rdk.
Теорема 1 доказана. □
Следствие 1. Мера Данкля удовлетворяет условию удвоения:
|В(х0,2 R)|d^k < |В(х0, R)\d^k. Так как пространство (Md,d/ik) однородно, то следствие 1 также вытекает из [12, Chapter
!]•
Вложения В(х0, R) С <^(х0, R) С В(x0,VdR) дают
Следствие 2. Имеем
т
\Я(х0, R)\d^k -Rd п^,х0)\ + R)k]
3=1
\Я(х0,2К)\^к < \Я(х0,К)\Лп■
Рассмотрим случай радиального кусочно-степенного веса. Для х € М^, 7 — (71,72) € М2 он имеет вид
иу (х) — \х| 71ХБ1 (х) + \х| 12ХВ1 (х) — и° (\х|),
где В1 — В(0,В1 — М^ \ В(0,1), а и°1 (г) — г^Х[о,1](г) + г72Х(1,^)М- При 7 — 71 — 72 получаем степенной вес и7(х) — \х\7.
Из требования локальной интегрируемости весовой функции и7 (х) вытекает необходимое условие
71 > —4 ■
Будем предполагать, что оно выполнено. Нас интересуют оценки меры
\ В(х0, R)\d^k,Ul = Ujdnk.
JB(xn,R)
1'
В(Х0,К)
Отметим, что для кусочно-степенных весов справедливы следующие легко проверяемые свойства:
с1(Х)и~( (х) ^ и7 (Хх) ^ с2(Х)и1 (х), \> 0, Щ (х)ир (х) — и1+р (х), (и7 (х))я — и 31 (х), в € М.
и
Теорема 2. Если х0 € МЛ, К > 0 71,72 > —^к, то
т
\В(х0, К)\Л^и1 — и*(|х0| + К)КЛ ,х0)\ + К)к>■
3=1
Доказательство. Из доказательства теоремы 1 вытекают следующие оценки. Если |х01 ^ 3К, то
Ахо|+Д , к \ 1 / К
\В<]ы_к м*(г^) п(щ) ' пк",
т
<и°(\х0|)К п(\(а,,х0)\+Кр,
3 = 1
Ах01+И/2^ К \cl-1 — / К \кз -1-т
\ В(х0,К)\^ > (г)йг(-) щйл) ' п\("з,х0)\
Ахо 1-Я/2 Чх0 \J \ х0 \J
т
>и°(\х0|)КЛ п(\(а,,х0)\ + ф,
3 = 1
поэтому
т
\В(х0, К)\Л^и1 — и°(М)^ Ц(\(а,,х0)\ + К)к>■
3 = 1
Если \х0\ ^ К/2, то с учетом условий 71,72 > —йк
\В(х0,К)\^^ < \В(0,3К/2)^ < гЛк-1и°1 (г) йг <и°(К)КЛк
гЯ/2
\В(х0,К)\^к^ > \В(0, К/2)\^к > Л-1и°(г) йг >и°(К)Кк,
0
поэтому
\ В(х0,К)\^ -и*(К)КЛк■
Если К/2 ^ \хо\ ^ 3К, то аналогично \В(хо,К)— и®(К)КЛк. Теорема 2 доказана. □
Пусть ш — весовая функция. Будем говорить, что пара (ш, йц,к) удовлетворяет условию удвоения, если для всех хо € М^ и К > 0
\ В(х0, 2К)\^< \В(х0,К)\^
х К
Следствие 3. Если 71,72 > —йк,т,о пара, (и7,йц.к) удовлетворяет условию удвоения.
Замечание 1. Если К ^ 1, 71 > —йк, а 72 ^ —йк, то
гЯ
\В(0, К)\^^ — с<к гЛк-1и°(г) йг ■)о
¡■К
— са,к {г"'1+Лк-1Х[«,1](г) + Г'2+Лк-1Х{1,ж)(г)}
1 72 + йк < 0,
1п( К + 1), 72 + йк — 0.
и
и
3. Условия Макенхаута для кусочно-степенных весов в пространстве М с мерой Данкля
Пусть 1 ^ р < ж, В — евклидовы шары. Будем говорить, что пара (т, йцк) удовлетворяет ^-условию Макенхаута ((1л,йцк) € Ар), если
sua( щ- iwd^){ шт iw-p --п < ж 1 <p< ж
8ир{(т77Г— i ^йцл уга18ир(-ш < ж, р = 1. в 1 ЧВ|Фк .¡в ' в )
Теорема 3. Пара (щ,йцк) удовлетворяет Ар-условию Макенхаута тогда и только тогда, когда —йк < < <!к(р — 1) при 1 < р < ж и —йк < Ъ,12 ^ 0 при р = 1.
Доказательство. Необходимость. Из условий локальной интегрируемости весов и
и__^ при 1 < р < ж вытекут необходимые условия —йк < < йк(р — При р = 1
р-1 "
они имеют вид — йк < ^ 0.
Если + ¿к ^ 0 и 1 < р < ж, то — р—1 + йк > 0. Отсюда, применяя (6) и теоремы 1 и 2, для К ^ 1 получим
' 1, Ъ + 4 < 0,
\ln
\B(0,R)\d^k ^ Il /п I , А П
' 4n(R + 1), J2 + dk = 0, \B(0,R)\d,k xRdk, \B(0,R)\ ^ xr-.
dfik,(u1 ) P-1
Следовательно,
S^Çîc мш^ fmS) " ""k )( шши; ^ %* ** г}
îr-72-dk , ъ +"k < 0,
x sup < = Ж.
Rèi\ ln(R + 1), Ъ + "k = 0
= 1
sup{(,D,n L,- I "jd/J-k) vrai sup ("-1))
K\B(0, R)\d^k JB(0,R) ' B(0,R) J
ÎR-j2-dk, 12 + "k < 0, x sup < = Ж.
R^l ln(R +1), J2 + "k = 0
Необходимость условия 72 + "k > 0 при 1 ^ p < ж доказана.
Если j2 ^ "k(p — 1) и 1 < p < ж, то j2 + "k > 0. Отсюда, применяя (6) и теоремы 1 и 2, для R ^ 1 получим \B(0, R)\d^k,u~f x Rj2,
\B(0,R)\ 1 J 1, 72 >"k(P — 1),
' V "d^k,^,) ^T Un(R +1), ъ = "k(p — 1).
Следовательно,
SPi(мш^jb(0r"j"*•)(\b(0.r)wjbio,r]11 }
ÎRj2-dk(P-1), J2 >"k(p — 1), x sup = Ж.
r/i) lnp-1 (R + 1), 72 = "k(p — 1)
и
Необходимость условия 72 < dk (р — 1) при 1 < р < ж доказана. Остается рассмотреть случай р = 1 и 72 > 0:
sup{( i в/п рм- I ui d/k) vrai sup (и-1)} х sup R12 = ж.
\ B(0,R)\dnk JB(0,R) j B(0,R) j r^I
Необходимость условия 72 ^ 0 при p = 1 также доказана.
Достаточность. Пусть р > 1, —dk < 71,72 < dk(р — 1). Согласно (5)
Jp = (\b(xC!r)\d,k lr Ul ^ (\b(x0]r)\d,k lr U- p-1 (¥k)
(\ b(xo,r) \ ib(xo,r)uj dlXk)(\b(xo,r)\d^k ib(x0,r)u~ ^ .
Применяя теоремы 1 и 2 и свойство (5) получим
Jp X Ui (\х0\ + R)(u_ ^ (\Хо\ + R))p-1 = Ui (\x0\ + R)u-1 (\x0\ + R) = 1.
p—1
Если p = 1 и — dj <71,72 ^ 0, то
/ 1 r __L \p-1
vrai sup (u-1) = Hm (—-—--u- P-1 d/Л х u-j(\xo\ +R).
b 1 p^+oK\b(xq,r)\d^k Jb(x0,r) j
Следовательно, J1 х u~((\хо\ + R)u-1 (\хо\ + R) = 1- Теорема 3 полностью доказана. □. Пусть 1 < p < q < ж. Будем говорить, что пара (w,d/k)
удф^^^^^фр^^^ Ар, ^-УСЛОВИЮ
Макенхаута ((w, d/k) G Ap,q), если
tu b^j^^ )( lw-id^k г} <ж
Аналогично теореме 3 доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Пусть 1 < р < д < ж. Пара (и1 ) удовлетворяет Ар^-условию Макенхаута тогда и только тогда, когда — йь < 71, 72 <
Зам ечание 2. Б определениях Ар и Ар^-условий Макенхаута шары В можно заменить на, кубы, ( и условия на весовые функции в теоремах 3, 4 останутся те же самые.
4. Заключение
Рассмотрим задачу о (Ьр, Ьд)-неравенстве для потенциала Данкля-Рисса с одним весом ш:
\\wltf \\(и4цк) < \\(ЬР (7)
В [11] установлено, что неравенство (7) выполняется для кусочно-степенного веса ш — и-1 и 1 < р < д < ж тогда и только тогда, когда выполнены условия
'1 1 \ <1к ^ dk
---,--7 < 71,72 < —
ур д/ р' д
С учетом теоремы 4 условия (8) эквивалентны следующим
11
А ( 11 \ dk dj . .
а = (Щ---,--j < 71,72 <—. (8)
\р g ) V g
а = dk(- — ^ и (u-1,d/k) G Ap,q.
Мы предполагаем, что эти условия являются необходимыми и достаточными для произволь-w
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Grafacos L. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. New York: Springer, 2008. 489 p.
2. Grafacos L. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 250. New York: Springer, 2009. 504 p.
3. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 165. P. 207-226.
4. Muckenhoupt В., Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for fractional integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 192. P. 261-274.
5. Hardy G.H., Littelwood J.E. Some properties of fractional integrals, I // Math. Zeit. 1928. Vol. 27. P. 565-606.
6. Соболев С. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб. 1938. Т. 4(46), № 4. С. 471-497.
7. Rosier М. Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2003. Vol. 1817. P. 93-135.
8. Thangavelu S., Xu Y. Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform //J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 199. P. 181-195.
9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive Lp-bounded Dunkl-Type generalized translation operator and its applications // Constructive approximation. 2019. Vol. 49. No. 3. P. 555-605.
10. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform. Preprint CRM, Barcelona, 2018. № 1238. P. 1-28.
11. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Весовые неравенства для потенциала Данкля-Рисса // Че-бышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 131-147.
12. Stein Е.М. Harmonic analysis: Reals-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1993. 716 p.
13. Dai F. Multivariate polynomial inequalities with respect to doubling weights and weights // J. Funct. Anal. 2006* Vol. 235. P. 137-170.
REFERENCES
1. Grafacos L., 2008, "Classical Fourier Analysis", Graduate Texts in Mathematics 249. New York: Springer, 489 p.
2. Grafacos L., "Modern Fourier Analysis", Graduate Texts in Mathematics 250. New York: Springer, 504 p.
3. Muckenhoupt В., 1972, "Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 165, pp. 207-226.
4. Muckenhoupt В., WTheeden R. L., 1974, "Weighted norm inequalities for fractional integrals", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 192, pp. 261-274.
5. Hardy G. H., Littelwood J.E., 1928, "Some properties of fractional integrals, I", Math. Zeit., vol. 27, pp. 565-606.
6. SoboleffS., 1963, "Sur un théoréme d'analyse fonctionnelle", Amer. Math. Soc. Transi.2(34), pp.39-68.
7. Rosier M., 2003, "Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions", Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.
8. Thangavelu S., Xu Y., 2007, "Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform", J. Com,put. Appl. Math., vol. 199, pp. 181-195.
9. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2019, "Positive Lp-bounded Dunkl-Type Generalized Translation Operator and Its Applications", Constructive approximation, vol. 49. No. 3. pp. 555-605.
10. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2018, "Riesz potential and maximal function for Dunkl transform", Preprint CRM, Barcelona, № 1238, pp. 1-28.
11. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2019, "Weighted inequalities for Dunkl-Riesz potential", Chebyshevskii Sbornik, vol. 20, № 1, pp. 131-147. (In Russian)
12. Stein E.M., 1993, "Harmonic analysis: Reals-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals", Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 716 p.
13. Dai F., 2006, "Multivariate polynomial inequalities with respect to doubling weights and weights", J. Funct. Anal, vol. 235, pp. 137-170.
Получено 18.05.2019 г. Принято в печать 12.07.2019 г.
