Весовые неравенства для потенциала Данкля-Рисса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 1.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-131-147

Весовые неравенства для потенциала Данкля^Рисса1

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов

Горбачев Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет, г. Тула. e-mail: [email protected]

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет, г. Тула. e-mail: [email protected]

Аннотация

Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла 1а хорошо известны условия Харди—Литлвуда—Соболева—Стейна-Вейса (Lp,Lq^ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье Т потенциал Рисса определяется равенством Т(Iaf)(у) = Ы-аТ(f)(у)- Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля Тк, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней R С Rd, ее группы отражений G и неотрицательной функции кратности к на R, инвариантной относительно G. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства Т(Iaf)(у) = Ы-аТи(f)(у) определили Д-потенцпад Рисса. Для Д-потен-циала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matemática (CRM, Barcelona, 2017) M. Л. Гольдман поставил вопрос об условиях (Lp, Lq)-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность ^-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности, в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.

Ключевые слова: Преобразование Фурье, потенциал Рисса, преобразование Данкля, потенциал Данкля-Рисса.

Библиография: 23 названия. Для цитирования:

Д. В. Горбачев, В И. Иванов. Весовые неравенства для потенциала Данкля-Рисса // Чебы-шевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 131 1 17.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-131-147

Weighted inequalities for DunkKRiesz potential2

D.V. Gorbachev, V.I. Ivanov

Gorbachev Dmitry Viktorovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University, Tula. e-mail: [email protected]

Ivanov Valerii Ivanovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University, Tula. e-mail: [email protected]

Abstract

For the classical Riesz potential or the fractional integral Ia, the Hardy-Littlewood-Sobolev-Stein-Weiss (Lp, Lq)-boundedness conditions with power weights are well known. Using the Fourier transform T, the Riesz potential is determined by the equality T(Iaf)(y) = = \y\-aT(f)(y). An important generalization of the Fourier transform became the Dunkl transform Tk (f), acting in Lebesgue spaces with Dunkl's weight, defined by the root system R С Rd, its reflection group G and a non-negative multiplicity function к on R, invariant with respect to G. S. Thangavelu and Yu. Xu using the equality Tk(I&f)(y) = \y\-aTk(f)(y) determined the Д-Riesz potential I*. For the Д-Riesz potential, the boundedness conditions in Lebesgue spaces with Dunkl weight and power weights, similar to the conditions for the Riesz potential, were also proved. At the conference "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" in the Centre de Recerca Matematica (CRM, Barcelona, 2017) M. L. Goldman raised the question about (Lp,Lq)-boundedness conditions of the D-Riesz potential with piecewise-power weights. Consideration of piecewise-power weights makes it possible to reveal the influence of the behavior of weights at zero and infinity on the boundedness of the Д-Riesz potential. This paper provides a complete answer to this question. In particular, in the case of the Riesz potential, necessary and sufficient conditions are obtained. As auxiliary results, necessary and sufficient conditions for the boundedness of the Hardy and Bellman operators are proved in Lebesgue spaces with Dunkl weight and piecewise-power weights.

Keywords: Fourier transform, Riesz potential, Dunkl transform, D-Riesz potential.

Bibliography: 23 titles.

For citation:

D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, 2019, "Weighted inequalities for Dunkl-Riesz potential" , Chebyshev-skii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 131-147.

1. Введение

Пусть Rd — действительное d-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\ = -\f(x,x), d^(x) = (2ж)-Л/2 dx — нормированная мера Лебега на Rd,

Lp(Rd), 1 < р < ж, — пространства Лебега с нормой ||/||р = (fRd \f \р d[i)1/p < ж, Cb(Rd) — пространство непрерывных ограниченных функций, S(Rd) — пространство Шварца,

T(f)(y)=i f (х)е-г(х'У) dp(x)

JRd

2This Research was performed by a grant of Russian Science Foundation (project 18-11-00199).

— преобразование Фурье и А - оператор Лапласа.

Мы будем писать А < Л, если А < С В с константой С > 0, зависящей только от несущественных параметров, и А х В, если А < В и В < А. Как обычно, для р > 1, р1 = -—ц — сопряженный гельдеров показатель, хе(х) — характеристическая функция множества Е С М^. Потенциал Рисса или дробный интеграл 1а определяется как интегральный оператор

и(х) = ы~ч /№ - уг~л ¿ку) = ы-1[ т-у/(хМ^ й»(у),

где 0 < а < ^ = 2а-Л/2Т(а/2)/Т((й — а)/2), и ту/(х) = /(х + у) — оператор сдвига.

Этот оператор впервые исследовал О. Фростман [1]. Многие важные его свойства были доказаны М. Риссом [2]. Формулы для преобразований Фурье

Т(1*1) = V 1-ат(/), Т((—А)*12/) = |- гл/),

указывают, что потенциал Рисса является обратным оператором для дробной степени оператора Лапласа.

Весовая (Ьр,Ьд^ограниченность потенциала Рисса записывается в виде неравенства Стейна-Вейса

||И-71*1 (х)\\д < с(а,Р,1,р,д,й)\1х1Р/(х)\\р (1)

с константой с(а, Р,^,р,д,(1) ж 1 < р ^ д < ж.

Условия конечности константы с(а, Р,^,р,д,й) хорошо известны.

Теорема 1. Пусть й € N 1 <Р ^ Я < ж, ^ < Р < у, 0 <а<й,иа — 7 — Р = й( - — Константа с(а, Р,^,р,д,й) в неравенстве (1) конец на, если р = д или р < д и а ^ - —

Теорема 1 была доказана Г.Х. Харди и Дж.И. Литлвудом [3] для й = 1, С. Соболевым [4] для й> 1 ж 7 = р = 0, Е.М. Стейном и Г. Вейсом [5] в общем случае.

Неравенство Стейна-Вейса (1) в эквивалентной форме может быть записано в виде неравенства Харди-Реллиха-Соболева

||И-7/(х)\\д < с(а,Р,7,р,д,ё)\1х1Р(—А)*2/(х)\\р.

Одним из важных обобщений преобразования Фурье Т является преобразование Данкля Тк (см. [6, 7]). Аналог потенциала Рисса для преобразования Данкля, исследуемый в статье, и называемый нами Б-потенциалом Рисса, определили С. Тангавелу и Ю. Шу [8].

Пусть К С М^ \ {0} — система корней, К+ — положительная подсистема Д, С(К) С О(й) — группа отражений, образованная отражениями {аа: а € К}, где иа — отражение относительно гиперплоскости (а,х) = 0, к: К ^ М+ — функция кратности, инвариантная относительно группы С. Напомним, что конечное множество К С М^\{0} называется системой корней, если

К П Ма = {а, —а} и ааК = К для всех а € К.

Пусть

(х) = Л 1(а,х)12 к(а\ (х) = ск Ук (х)йх

аек+

— вес и мера Данкля, где ск 1 = е \х\2/2Юк(х) (1х — интеграл Макдональда-Мета-Сельберга, Ьр(Ма, ), 1 < р < ж, — пространства Лебега с нормой ||/= ^|/1- d|J,к^j 1 < ж,

Т3 / (х) = / (х) к(а)(а, е3) 1 {х\ , 1 = 1,...,й,

аеп+ (a, Х)

—дифференциально-разностные операторы Данкля и Ак = — лапласиан Данкля.

Ядро Данкля Ек(х,у) является единственным решением системы

Т3 / (*) = Уз / (*), 3 = 1,...Л / (0) = 1.

Функция вк(х,у) = Ек(х, гу) играет роль обобщенной экспоненты. Ее свойства подобны свойствам классической экспоненты ег(х'у\ Многие из них вытекают из интегрального представления Реслер [9]

ек(х,у) = I <!&(£), (2)

где ц.X — вероятностная мера Бореля с носителем в выиуклой оболочке С-орбиты х в частности, |е&(х,у)1 < 1 и шрр^Х С В\х\, где Вг — евклидов шар радиуса г с центром в нуле. Для / е Ь1(МЛ ,й^к) преобразование Данкля определяется равенством

Fk(f)(y) = f (х)ек(х,у) (х).

JRd

Если к = 0, то Fo совпадает с преобразованием Фурье F. Отметим, что

Fk (е-1^/2)(у) = е-|ж|2 /2, F-\f )(х) = Fk (f )(-х).

Преобразование Данкля является изометрией в S(Rd) и L2(Rd, d^k)■ Равенство Планшереля имеет вид

(f )I

M. Реслер [10] определила оператор обобщенного сдвига ту, у G Rd, на пространстве L2(Rd,d^k) равенством

Fk (т у f )(z) = ек (y,z)Fk (f )(z)

или

Tyf (х) = / ек(y,z)ek(x,z)Fk(f )(z) d^k(z).

JRd

Он действует из L2(Rd,d^k) в L2(Rd,d^k) и Цту||2^2 = 1-

Если к = 0, то туf (х) = f (х+у). Если f G S(Rd), то ту f (х) G S(Rd) xS(Rd) и равенство (3) справедливо поточечно. К. Тримеш распространил ту на Cœ(Rd) [11]. Например, ту 1 = 1. В общем случае, не является положительным оператором и вопрос о его Lp-ограниченности остается открытым. Пусть

d

dk = 2Хк + 2, \к = - — 1+^2 к (а). (3)

aER+

С. Тангавелу и Ю. Шу [8] определили D-потенциал Рисса на S(Rd) как интегральный оператор

la f (X) = (ja )-Ч Т-У f (X)\y\a-dfc d^k (У), (4)

JRd

где 0 < а < dk и ^ = 2a-dk/2T(a/2)/T((dk — а)/2) Как и для потенциала Рисса для него справедливо равенство Fk(1%f) = \ • \ -aFk(f)■

Потенциал Рисса — положительный оператор. Из определения (4) положительность D-потенциала Рисса не вытекает. Нам удалось показать, что D-потенциал Рисса также является положительным оператором, записав его с помощью положительного оператора обобщенного сдвига.

Пусть R+ = [0, то) Sd 1 = {х е Rd: \х\ = 1} ^ евклидова сфера, х = rx', г = \х\ е R+, х' е Sd-\ X > -1/2, Ъ-1 = 2хГ(Х + 1) dux(r) = Ъхr2X+1 dr — мера на R+, dak(х') = акvk(х') dx' — вероятностная мера на Sd-1. Отметим, что d^k(х) = dvXk (г) dak(х').

В [12] на пространстве Шварца нами определен положительный оператор обобщенного сдвига равенством

T*f (х) = f rty' f (х) dak(у')= i jXk (t\z\)ek(x,z)Fk(f)(z) d^k(z).

Jsd-1 JRd

Его положительность вытекает из представления Реслер [13]

T'f(x)= i f(z) dakXtt(z),

J Rd

где axt — вероятностная мера Бореля с носителем

supp akx>t С U {z е Rd: \z — дх\ < t}. gee

В частности, Tl1 = 1. Если f е S(Rd), 1 < p < то, то \\Tlj\\P,d^k < \\fWp,d^k и оператор Tl может быть продолжен на пространства Lp(Rd,d^k) при 1 ^ р < то и пространство Cb(Rd) при р = то с сохранением нормы.

D-потенциал Рисса может быть записан следующим образом

/•те

It f (X) = (I*)-1 T*f (X)ta~dk duXk (t). (5)

J 0

Из представления (5) и Lp-ограниченности оператора Т1 вытекает его положительность на всех функциях из Lp, на которых он определен. Поэтому при исследовании весовой (Lp,Lq)-ограниченности D-потенциал а Рисса можно ограничиться неотрицательными функциями. Неравенство Стейна-Вейса для D-потенциала Рисса примет вид

IN "7 ^ / (x)\\q,d»k < Ск (а, & 1, Р,q, d)WW * * (x)hd»k, * е S (Rd), (6)

с константой ck(a, ft,j,p, q, d) и 1 < p ^ q < то. Неравенство (6) эквивалентно неравенству Харди-Реллиха-Соболева

IN "7 / (x)hd»k ^ ck (а, ft, Ъ Р, 1, d)\\\x\t (-Ак r/2f (x)\Ipdllk.

В [14] нами доказан полный аналог теоремы 1.

Теорема 2. Пусть d е N к — произвольная функция кратности, 1 < р ^ q < то, 1 < ~kf; ft < ^¡t, 0 < а < dk, и а — 7 — ft = dk(^ — 1). Константа ck(a, ft, р, q, d) в неравенстве (6) конечна, если р = q или р < q и а ^ dk (^ — 1).

Мы видим, что везде размерность d в теореме 1 заменяется на число dk, которое можно считать обобщенной размерностью евклидова пространства Rd с весом Данкля.

Если к = 0, то dk = d и теорема 2 сводится к теореме 1. Для группы отражений Zd и 7 = ft = 0, теорема 2 была доказана в [8]. Для произвольной группы отражений и 7 = ft = 0 она была доказана С. Хассани, С. Мустафа и М. Сифи [15]. Мы предложили для этого случая и другое доказательство [12], основанное на идеях работы [8] и использующее представление (5). При р = q теорема 2 была доказана в [16] при более сильных ограничениях 1 < р < то, 0 < ^ < f, 0 <ft<

На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matemática (CRM, Barcelona, 2017) M.JI. Гольдман поставил вопрос об условиях (Lp, Lq^ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Настоящая работа посвящена ответу на этот вопрос.

Пусть В\ = {х е Rd: N < 1} В\ = Rd \ Въ 7 = (71,72) Р = (pi,p2),

u-j (х) = Ixl-11 хв-1 (х) + И-72 хщ (х), ufi (х) = Ixf1 хв-i (х) + Ixf2 хвч (х) — кусочно-степенные весовые функции. Рассмотрим неравенство

||«-7 (x)Ia f (x)^q,d^k — cfc (а, PH,P,Q,d)\\u/3 (x)f (7)

с константой ck(a, P,j,p,q,d) и 1 < р — q < ж.

Неравенство Харди-Реллиха-Соболева в этом случае будет иметь вид

\\u-j (x^)f (x)\\q^k — ck (a, J,p, d)\\up (х)(-Ак )a/2f (х)\\р^к.

Мы доказываем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть d е N к — произвольная функция кратности, 1 < р ^ q < ж, 0 < а < dk- Константа Ck (a, P,j,p,q,d) в неравенстве (7) коне нна при р = q или при р < q и а ^ dk{^p — тогда и только тогда, когда

„ dk а dk dk а dk 7i <—, Pi <-;-, a — 72 <-;-, « — P2 <—,

q p' q' p , ,

(1 1н

71 + Pi ^ a — dk{---К 72 + P2.

\p qJ

При доказательстве теоремы 3 используются неравенства типа Харди для операторов Хар-ди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами. Они имеют самостоятельный интерес и устанавливаются в секции 2.

Если в теореме 3 положим 71 = 72, Pi = Р2, то получим условия (Lp,Lq^ограниченности в теореме 2.

В общем случае в теореме 3 при р < q нам не известна необходимость условия а ^ dk(jp — • Необходимость этого условия нам удалось доказать только при к = 0.

Теорема 4. Пусть d е N к = 0 1 < Р ^ Я < <ж, 0 < а < d. Константа c0(a, Р, р, q, d) конечна, в неравенствн (7) тогда и только тогда, когда выполнены, условия (8), в которых dk = d,xa ^ 1 — i).

Таким образом, теорема 4 обобщает теорему 1 и показывает, что все условия на параметры в ней являются необходимыми.

Для радиальных функций условие а ^ dk(^p — при р < q можно ослабить.

Теорема 5. Пусть d е N к — произвольная функция кратности, 1 < р < q < ж, 0 < а < dk- Констан та ck (a, P,j,p,q,d) в неравенстве (7) конечна, на подпространстве радиальных функций тогда и только тогда, когда выполнены, условия (8) и

11

а ^---. 9

Р Q

Теорема 5 при 71 = 72, р1 = р2 была доказана в [17, 18, 19] (достаточность см. также в [20]).

2. Неравенства типа Харди в пространствах с весом Данкля

Неравенства Харди на полупрямой, простое доказательство и их история изложены, например, в [21], [22, Section 1], [23, Introduction], функции в них предполагаются неотрицательными.

Предложение 1. Пусть 1 < р < q < то u(r)-, v(r) ~ измеримые, почти всюду положительные на R+ весовые функции, (г) Неравенство

{^{u(r) [ f V) dt) " dr)1 " < (/ ™(v(r)f (r))P dr)

справедливо тогда и только тогда, когда

( [™ \1/я ( Г _ , \W

sup ( / vfl (г) dr) I v p (г) dr) < то. (10)

Cr<™Vr ' V о '

0<r<™^.) г ' ^J0

(и) Неравенство

(f( ф)[ ™ f (t) dtfdr)<(J ™(v(r) f (r))p dr) справедливо тогда и только тогда, когда

(Г \i/q I f™ ' ^ i/p'

sup ( / uq(r)drj{ v p(r)dr) < то. 0<r<™^ J0 ' ^Jr '

Определим операторы Харди

Hf (x) = I f (у)йцк (y)

Ау\Ф\

и Беллмана

Bf (x)= i f(y) dfik(y).

J\y\>\x\

'\y\>\x\

Для них справедливы следующие неравенства типа Харди в пространствах с весом Данкля. Функции в них также предполагаются неотрицательными.

Теорема 6. Пусть d <Е N к — произвольная функция кратности, dk и Хк определены в (3), 1 < р < q < то и(г)-, v(r) — весовые функции на, R+.

(/ №1 )Hf (x))qdiik(x))1/q < (i (v(lx\)f(x))pdiik(x))1/P (11)

VRd / VRd /

справедливо тогда и только тогда, когда

/ Г ™ \1/q / i'r \1/p'

sup ( / uq(t)t2Xk+1 dt) ( / v-p (t)t2Xk+1 dt) < то. (12)

(i (u(\x\)Bf (x))qdik(x))1/q < (/ (v(lxl)f (x))pdik(x)Y/P

VImd / v md /

справедливо тогда и только тогда, когда

/ Сг \1/я / Г™ \1/р'

и9(Ь)Ь2Хк+1 <и)( V--- (Ь)12Хк+1 си) < ж. (13)

Доказательство. Оба утверждения в теореме 6 доказываются с помощью предложение 1. Докажем только часть (г). Доказательство части (гг) будет проходить аналогично.

Пусть вначале функция f (х) = /0(|ж|) ^ радиальная, х = гх', у = Ьу1, г = 1x1, £ = 1у1. Переходя к полярным координатам, получим

Н1 (х) = / f (у) й^к(У) = Г I /М йак(у')йиХк (I)

= Г ¡0 (г) йиХк (1) = ьХкГ тг2Хк+1 <и, 00

(^(и^Н/(х))9 (х))1/Я = Ь\+ 11,1 ^™(и(г)г[ Ы^2Хк+1 <и)9

\1/р л/ / Г ™ 2\к + 1 ч 1/р

^х])/(х))- й»к(X)) = Ь^у (ь(г)г — ¡о(г)У .

0

После замены д({) = неравенство (9) будет эквивалентно неравенству

Г™/ 2Хк + 1 ГГ \ 9 ч1/9 ( Г™ 1 \1/р

I уи(г)г 4 I 9(1) йг^ <\] (у(г)г Р /(Г))Р .

Применяя (10), придем к условию (12).

Так как Н/(х) всегда радиальная функция, то общий случай может быть сведен к радиальному. Пусть /(х) — произвольная, /о(^) = /(гх') й<7к(х') и выполнено (12). Применяя неравенство Минковского, получим

(У (У(г)Мг))Р йиХк (г)) - = Ц Л°к (Х')) - уР(Г) ^ (Г))

(и(\х\)!(х))р й^к(х))1/Р.

По уже доказанному,

П (иЫН/(х))9 (X))119 =(1 ™(и(г)гI' М^2Хк+1 м)9 (1г)

1/9 ( Г™/ , , Г . 1 ,Л9 , Л 1/9

и(г)г ч 00 Г™ 2 Лй + 1 ч 1/р

I (у(г)г Р ¡0(г))р йг\

™ ч 1/р

< Г

<Ц шт)р (г)

< О (V(lXl)f (Х))Р ^к(^1/Р

Итак, неравенство (11) доказано. □

Напомним, что для 7 = (^1,^2) кусочно-степенной вес имеет вид

и.. (х) = ^У1 ХВг (х) + ХВ$ (х).

Теорема 7. Пусть (I € N к — произвольная функция кратности, 1 < р < д < ж, 1 = (11,12); Р = (Р1,Р2)• Неравенство

([ (и-у(№)Н/(х))9 йЦкк(х))119 < ([ (щ(М)/(х))р йЦкк(х))1/Р (14)

V ¡ша / V шв. /

справедливо тогда и только тогда, когда

d d /11 \ Pi<~7, ъ > —, Ъ+Pi < 4(- + Ч ^ 12 + .

р q \р' q/

Доказательство. В силу теоремы 6 необходимо проверить выполнение условия (12)

/ Г™ \ 1 /я / Г I \ i /Р

sup A(r) = sup ( / uq_, (t)t2Xk+1 dt) ( / u-p (t) t2 Xk+1dt) <

0<r<™ 0<r<™^Jr ' ^J0 '

Если 0 < r ^ 1, то

A(r) - (J1 i+2Xk+1 dt + J ™ t-<2 «+2Xk+1 dt)1/q rM+2Xk+1 dt)1/P. Необходимо потребовать

r<™ r1

/ Г72g+2Xk+1 dt< то, / t~3ip'+2Xk+1 dt < TO,

10

или 72 > ^kf, < ^pk- При выполнении этих условий

A(r) — r~3i+dk/p' + r-H+dk/q) = r-Pi+dk/p' + r-H-Pi+dk(1/p+1/q)

поэтому из конечности sup0<^ A(r) вытекает условие j1 + ^ +

Если r ^ 1, то

A(r) - ™ Г" q+2Xk + 1 dt) 1/q [ I t~31p +2Xk + 1 dt + £ +2Xk + 1 dt) 1/P'

— r-12+dk/q + r-32+dk/p') = r-J2+dk/q + r-f2-32+dk(1/p+1/q)

Из конечности suprA(r) вытекает условие j2 + [32 ^ dk(j^ + □

Теорема 8. Пусть d <E N к — произвольная функция кратности, 1 < р < q < то, 1 = (l1,l2); А = (Р1,Р2)• Неравенство

( (и-, (\x\)B f (x)fdik (x)) *<(/ (и? (\x\)f(x))p dik (x)) p (15)

справедливо тогда и только тогда, когда

d d /11 \

$2 > -J, 11 < —, 71 +А1 <dk( - + Ч ^ 12 + fh. р q \р' qJ

Доказательство. В силу теоремы 6 необходимо проверить выполнение условия (13)

/Г \ 1/q / f ™ / \ 1/p'

sup A(r)= sup ( и- (t)t2Xk+1dt) ( u-p (t)t2Xk+1dt) < то.

0<r<™ 0<r<™^ J0 ' ^Jr '

Если 0 < r ^ 1, то

A(r) - t~,iq+2Xk+1 dt)1/q 1 t~3ip'+2Xk+1 dt + J™ Г3^'+2Xk+1 dt)l/P'

Необходимо потребовать

г132Р>+2Х. + 1 dt< ^ г~М+2Хк+1 dt< ^

или 71 < Р2 > ■ При выполнении этих условий

А(г) х г-Ц+<1к1 + г-Р1+(1к 1р= г-.1+<1к/р' + г-.1 -¡¡1+<к{1/р'+1/9)

поэтому из конечности 8ир0<г^1 А(г) вытекает уеловие 71 + р1 ^ +

Если г ^ 1, то

А(г) ^I г^+2Хк+1 dt +JГ t-~^+2Xk+1 dt) 1/Я(£~ Г^р'+2Хк+1 dt)1/P'

x r-P2+dk/p' + r-f2+dk/q) = r-@2+dk/g + r-l2-fi2+dk(1/p'+1/q) Из конечности supr^1 A(r) вытекает уел овие j2 + @2 ^ dk(j^ + □

3. Доказательство основных теорем

Доказательство теоремы 3. Можно считать, что f (х) ^ 0 и f £ S(Rd). В [14] для

D-потенциала Рисса получено интегральное представление

II f (х)=! f Ша(х,У) d^(У) (16)

JRd

с ядром Фа(х,у), для которого выполнены свойства:

1. Фа(х,у) = Фа(у,х)-,

2. §a(rx',ty') = ra-dkФа(х', (t/r)y');

3. Jgd-i Фа(гх', ty') dak(x') = Фа,о(г, i), где с— = sindk-2 у dp,

fK

Фа,о(r,t):=(^)-1CXk {r2 + t2 - 2rt cos ^)(a-dk^/2 sindk-2 pdp; J 0

4. Фа(х, у) = (-ук)-1 fRd(N2 + M2 - 2(y, v))(a-dk)/2 d»X(v),

где ц^Х ~ вероятностная мера из (2) и supp ц^Х ^ B\x\ = iv ■ M ^ N1-

Разобьем (16) на сумму трех линейных операторов

Ika f (х) = J1f (х) + J2f (х) + Jsf (х), (17)

где

hf (х) = / f (у)Фа(х,у) d^k(у), J2f (х)= f (у)фа(х,у) d^k(у),

J\y\K\x\/2 Ау\^2\х\

Jlf (х) = f (у)Фа(х,у) d^k (у).

J\x\/2^\y\^2\x\

Оценка Так как

(\х\-\У\)2 < \х\2 + 1у12 - 2(у,Г}) < (1x1 + \У\)2, то при 1у1 ^ 1хI/2 го свойства 4 Фа(х,у) х \х\а-Лк. Следовательно,

ЛДх) х \х\а-Лк [ ¡(у) (у) = \х\а-акН/(х/2). Ау\Ф\/2

Кусочно-степенной вес обладает слабой однородностью

а( Х)и-1 (х) ^ и-1 (Ах) ^ с2(Х)и-1 (х), Х> 0,

поэтому по теореме 7

\\и-,(х).7г¡(х)\\^ х \\и-,(х)\х\а-ЛкН}(х/Щ^

х \\и-,(х)\х\а-ЛкН!(х)\\^ < \иШ(х)\\р411к

тогда и только тогда, когда

01 , а -72 < ~г, 71 + 01 ^а -йк{- - ^72 + $2. р ц \р ду

Оценка 32]. При \у\ ^ 2\х\, Фа(х,у) х \у\а-Лк. Следовательно,

J2f(x) х f(y)\y\a-dk dßk(у) = g(y) dßk(у) = Вд(2х),

Jlyl^lxl ЦуУ^Х

где д(у) = f(y)\y\a-dk. Необходимо найти условия на параметры, при которых имеет место неравенство

Кт (х)В9 (2х)|| q4ßk < WU3 (x)\x\dk-a9 (x)\\p,dßk •

По теореме 8

\\и-т(х)Вд(2х)|qAßk X \\и-т(х)Щ(х)\\qAßk

< \и(хх)\х\dk~ад(х)\\р^к

тогда и только тогда, когда

а - ß2 <—, "ц < —, "ц + ßi ^ а - dk(1 - ^^72 + ß2.

Оценка J^f. Остается показать, что при выполнении условий (8) и при р < q условия а ^ dk{^j — справедливо неравенство

\\и-т(cc)Jsf(х)\\qAßk < \\Uß(х)fWWpd^• (18)

Вначале докажем неравенство

\\xB-I(х)и-т(х)J3¡(х)\\q4ßk < \\Uß(х) 1(х)\\р^к• (19)

Неравенство (19) эквивалентно неравенству

\\xB-I(х)и-т(х) J3(u-ßЛ(х)\\qtdßk < \\^х)\\Р^к•

Учитывая, что при ^ ^ 1, и-1 (х) х ^ 71, (х) х ^ Р1, запишем последнее неравенство в виде

А := ЦХВ1 (хМ-71 -Р1.Н1 (х)1<^ < \\¡(х)\\р^к.

Так как

^ + Ц > а — АА1- — ^ пли (1к > а, д р' \р ду

то существует пара (70,@0) такая, что

70 <—, < ~т, 70 +00 = а — йА- — ^ ^ 71 + Поэтому, применяя теорему 2 для пары (^0,^0), получим

А < ([ Ы-70-^ [ ¡(у)Ф*(х, у) йцк(у))" (Ы(х))1/Ч

< (i (^г701 ¡(уМ-роф*(х,у)й^к(у))Ч(^к(х))1/ч г^ 11 У \ .

<

Мы воспользовались тем, что неравенство (6) может быть записано в эквивалентн0й форме

ШхГЧ* (Ц-Р/)(х)\д^к < Cк(a,fЗ,7,P,g, ¿)\\№\\р,«,к.

Неравенство (19) доказано. Докажем неравенство

\\ХВ1 (х)и-7МЫ(х)\\9^к < \\щ(х)!(х)\р^к. (20)

Оно эквивалентно неравенству

\\ХВ1 (х)и-7(х),1з(и-р/)(х)\я^к < \\¡(Х)\р^к.

Из условия |x| ^ 1 вытекает и-.(х) х |ж|-72, (х) х |ж|-Р2, поэтому последнее неравенство можно записать так

Л := \\xbi(х)Ы-72-И2зъ!(х)^ < \\¡(х)\

йк , йк ^ 1 (1 1 \ ^ А

а--- + а--< а — а,к(---или а < йк,

Так как

йь йк , (1 1 — + а--< а — ак[---

то существует пара (70,@0) такая, что

« — 70 < ~т, а — @0 <—, 70 + @0 = а — йк{- — ^^72 +Р2 Для нее также 70 < Р0 < и то теореме 2 для пары (^0,$0)

А < (I Ы-70-?0 [ !(у)Ф*(х, у) (1цк(у)Уй11к(х))1/д

<(/ ЦхГ70 [ ¡(уМ-Р0Фа(х, у) П^к(у))4 <1цк(х)Л 1/4

Неравенство (20) также доказано. Из (19), (20) вытекает неравенство (18). □

Доказательство теоремы 4. С учетом теоремы 3 остается установить необходимость условия а ^ р — ^ . Пусть 0 < е < 1/?^,х0 = (1,..., 1) € М-, В£(х0) = {х € М-: 1х — х0\ ^ е}. Если х,у € В£(х0), то

11х1 < \(1+е)Ы < (1 — ЛЫ < М < (1 + е)Ы < 2(1 — е)Ы < 21х1

и-1 (х) X 1, (х) X 1,

поэтому,

\\ХВаы(х>-(х 1«(хвЛхо))(х)\\^ > л!В(ыЛ 1Мхо) УЛх)1Ы,

\иФ(х)ХвЕ(хо)(х)\\р,^к <(/ , /х)

1/р

Делая в интегралах замены переменных х = хо + ех, у = хо + е'ш, получим

\\и-( (х) 1а(Хв£(х0 ))(х)\\> еа+(1/д Л ^ Л !В1 \z-2\-« Уаг)1/д > £а+ЛЫ,

\\иИ(х)Хв£(х0)(х)\\рА11к < еа/р.

Следовательно, для справедливости неравенства (7) при е ^ 0 необходимо выполнение условия а + - ^ □ д р

Рассмотрим сужение Б-потенциала Рисса на радиальные функции. Пусть х = гх', у = Ьу', г = \х\, Ь = \у\, /(х) = /о(г). Применяя полярные координаты, свойства 1, 3 ядра Фа(х, у), получим

тк 1 (х) =

о

где

("К

Фа,о(Г, *) = ( 1ка)-1 сХк (г2 + I2 — 2Нсо8^)(а--кУ2 J о

Пусть Ьр(М+, ¿и\к), 1 < р < то, — пространства Лебега с нормой

Г<х

р

№ (х) = Мг, фа,о( г, 1)ёиХк (I) = 1£Ш,

о

( Г™ \1/р

^хк = Ц \ЛРЛ1Ухк) < то.

Для радиальной функции ||¡(х)\\р-^к = II Ш\\р

Предложение 2 [17-19]. Пусть ( € N А — произвольная функция кратности, 1 < р < д < то 0 < а < (к- Неравенство

\\г-11« кМ\\^ < VШ\\р4иХк

справедливо тогда и только тогда, когда

^ (к а ^ (к .11 о л л 11 >

1<—, Р<—т, а ^---, а — ■у — р = ак[---.

Доказательство теоремы 5. Пусть г = Ixl, f(x) = f0(г) — неотрицательная радиальная функция. Как и при доказательстве теоремы'З будем использовать разложение (17). Так как в неравенствах (14), (15) экстремальным является подпространство радиальных функций, то условия (8) являются необходимыми и достаточными для справедливости неравенств

\\и-7 (x)Jl f (x)\\qAllk < \\щ (х) f(x)\\p)Allk, г = 1,2.

Неравенство

\\U-J(x)J3f(x)\\q,d„k - К(х) f(x)\\P,d„k

доказывается также как и в теореме 3, только вместо теоремы 2 следует использовать предложение 2.

Необходимость условия а ^ 1 — 1 доказана, например, в [19]. □

4. Заключение

Ограниченность D-потенциала Рисса исследована в лебеговых пространствах с весом Данкля для степенных и кусочно-степенных весов. Хотя в теоремах 2, 3 остается невыясненным вопрос о необходимости при р < q условия а ^ dk{^p — Другой важной задачей становится исследование ограниченности D-потенциала Рисса для пары общих весов и(х), v(x).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Frostman О. Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions. These. Communic. Semin. Math, de l'Univ. de Lund., 1935. Vol. 3.

2. Riesz M. L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchv // Acta Math. 1949. Vol. 81, № 1. P. 1-222.

3. Hardy G.H., Littelwood J.E. Some properties of fractional integrals, I // Math. Zeit. 1928. Vol. 27. P. 565-606.

4. Соболев С. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб. 1938. Т. 4(46), № 4. С. 471-497.

5. Stein Е. \!.. Weiss G. Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space //J. Math. Mech. 1958. Vol. 7, № 4. P. 503-514.

6. Dunkl C. F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992. Vol. 138. P. 123-138.

7. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2003. Vol. 1817. P. 93-135.

8. Thangavelu S., Xu Y. Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform //J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 199. P. 181-195.

9. Rosier M. Positivitv of Dunkl's intertwinning operator // Duke Math. J. 1999. Vol. 98. P. 445463.

10. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators // Comm. Math. Phvs. 1998. Vol. 192. P. 519-542.

11. Trimeche К. Paley-Wiener Theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. Vol. 13. P. 17-38.

12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1-51.

doi.org/10.1007/s00365-018-9435-5

13. Rosier M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355, № 6. P. 2413-2438.

14. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform. Preprint CRM, Barcelona, 2018. № 1238. P. 1-28.

15. Hassani S., Mustapha S., Sifi M. Riesz potentials and fractional maximal function for the Dunkl transform //J. Lie Theory. 2009. Vol. 19, № 4. P. 725-734.

16. Abdelkefi C., Rachdi M. Some properties of the Riesz potentials in Dunkl analysis // Ricerche Mat. 2015. Vol. 64, № 4. P. 195-215.

17. Nowak A., Stempak K. Potential operators associated with Hankel and Hankel-Dunkl transforms // J. d'Analvse Math. 2017. Vol. 131, № 1. P. 277-321.

18. De Napoli P. L., Drelichman I., Duran R. G. On weighted inequalities for fractional integrals of radial functions // Illinois J. Math. 2011. Vol. 55. P. 575-587.

19. Duoandikoetxea J. Fractional integrals on radial functions with applications to weighted inequalities // Ann. Mat. Рига Appl. 2013. Vol. 192. P. 553-568.

20. Рубин B.C. Одномерное представление, обращение и некоторые свойства потенциалов Рисса от радиальных функций // Матем. заметки. 1983. Т. 34, № 4. Р. 521-533.

21. Sinnamon G, Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1 // J. London Math. Soc. 1996. Vol. 54, № 2. P. 89-101.

22. Kufner A., Opic B. Xardv-tvpe inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific and Technical, 1990. 333 p.

23. Kufner A., Persson L.E. Weighted inequalities of Xardv type. Singopure-London: World Scientific hrblishing Co. Pte. Ltd., 2003. 358 p.

REFERENCES

1. Frostman O., 1935, "Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions", These, Communic. Semin. Math, de ¡'Univ. de Lund., vol. 3.

2. Riesz M., 1949, "L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchv", Acta Math., vol. 81, № 1, pp.1-222.

3. Hardy G.H., Littelwood J.E., 1928, "Some properties of fractional integrals, I", Math. Zeit., vol. 27, pp. 565-606.

4. SoboleffS., 1963, "Sur un theoreme d'analvse fonctionnelle", Amer. Math. Soc. Transl.,№ 2(34), pp. 39-68.

5. Stein E.M., Weiss G., 1958, "Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space", J. Math. Mech., vol. 7, № 4, pp. 503-514.

6. Dunkl C. F., 1992, "Hankel transforms associated to finite reflections groups", Contemp. Math., vol. 138, pp. 123-138.

7. Rosier M., 2003, "Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions", Lecture Notes in Math. Springer- Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.

8. Thangavelu S., Xu Y., 2007, "Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform", J. Com,put. Appl. Math., vol. 199, pp. 181-195.

9. Rosier M., 1999, "Positivitv of Dunkl's intertwinning operator", Duke Math. ,J., vol. 98, pp. 445463.

10. Rosier M., 1998, "Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators", Comm. Math. Phys., vol. 192, pp. 519-542.

11. Trimèche K., 2002, "Palev-WTiener Theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators", Integral Transform,. Spec. Funct., vol. 13, pp. 17-38.

12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2018, "Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications", C'onstr. Approx., doi.org/10.1007/s00365-018-9435-5, pp. 1-51.

13. Rosier M., 2003, "A positive radial product formula for the Dunkl kernel", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, № 6, pp. 2413-2438.

14. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2018, "Riesz potential and maximal function for Dunkl transform", Preprint CRM, Barcelona, № 1238, pp. 1-28.

15. Hassani S., Mustapha S., Sifi M., 2009, "Riesz potentials and fractional maximal function for the Dunkl transform", J. Lie Theory, vol. 19, № 4, pp. 725-734.

16. Abdelkefi C., Rachdi M., 2015, "Some properties of the Riesz potentials in Dunkl analysis", Ricerche Mat., vol. 64, № 4, pp. 195-215.

17. Nowak A., Stempak K., 2017, "Potential operators associated with Hankel and Hankel-Dunkl transforms", J. d'Analyse Math,., vol. 131, № 1, pp. 277-321.

18. De Nâpoli P. L., Drelichman I., Durân R. G., 2011, "On weighted inequalities for fractional integrals of radial functions", Illinois J. Math,., vol. 55, pp. 575-587.

19. Duoandikoetxea J., 2013, "Fractional integrals on radial functions with applications to weighted inequalities", Ann. Mat. Pura Appl, vol. 192, pp. 553-568.

20. Rubin B.S., 1983, "One-dimensional representation, inversion and certain properties of Riesz potentials of radial functions", Math. Notes, vol. 34, № 4, pp. 751-757.

21. Sinnamon G, Stepanov V. D., 1996, "The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1", J. London Math. Soc., vol. 54, № 2, pp. 89-101.

22. Kufner A., Opic B., 1990, "Xardv-type inequalities", Pitman Research Notes in Mathematics Series, Harlow: Longman Scientific and Technical, 333 p.

23. Kufner A., Persson L. Е., 2003, "Weighted inequalities of Xardv type", Singapore-London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 358 p.

Получено 13.02.2019 Принято к печати 10.04.2019