Сужение множества Парето на основе замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.859 А. О. Захаров

СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО НА ОСНОВЕ ЗАМКНУТОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛПР *>

1. Введение. Последние десятилетия теория принятия решений при многих критериях интенсивно развивается и находит многочисленные применения в самых различных областях техники и экономики. Она призвана помочь человеку в процессе принятия решений, на основе анализа и оценки его взглядов, вкусов и предпочтений выбрать действительно наилучшее решение или, по крайней мере, избежать заведомо негодных. О современном состоянии теории (без учета работ отечественных авторов) можно получить представление по книге [1], в которой также указаны прикладные работы, относящиеся к области финансов, энергетике и телекоммуникации.

К настоящему времени различными авторами предложен ряд методов решения всевозможных многокритериальных задач (см. [1, 2]), которые можно условно разбить на следующие группы:

1) процедуры многокритериальной теории полезности;

2) методы, основанные на использовании обобщенного критерия;

3) интерактивные процедуры;

4) подходы, предназначенные для решения задач в условиях неопределенности;

5) аксиоматический метод сужения множества Парето.

Следует отметить, что большинство из этих методов (не считая последнюю, пятую, группу) является в сильной степени эвристическими, поскольку авторы не могут указать границы того класса многокритериальных задач, для которых применение соответствующих методов гарантированно приводит к наилучшему решению. Что касается аксиоматического сужения множества Парето, то в его основе лежит модель многокритериального выбора, содержащая три объекта - множество возможных решений, числовой векторный критерий и бинарное отношение предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР); также активно используется понятие множества выбираемых решений (векторов). В соответствии с аксиоматическим подходом заранее принимаются некоторые «разумные» аксиомы поведения ЛПР в процессе принятия решений и предполагается, что исследователю известна некоторая информация об отношении предпочтения ЛПР (в [2] на этот счет предлагается понятие «кванта информации»). На основе конечного набора «квантов информации» при помощи результатов выпуклого анализа удается построить определенную оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений и, тем самым, определить область, в которой следует выбирать

Захаров Алексей Олегович — студент кафедры теории управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. В. Д. Ногин. Научное направление: принятие решений при многих критериях. E-mail: zakh.alexey@gmail.com.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00301).

© А. О. Захаров, 2009

«наилучшие» решения. За пределами построенной области «наилучших» решений быть не может. Следует отметить, что каждый «квант информации» можно трактовать как определенное сообщение об относительной важности критериев (см. [2]).

Настоящая работа начинается с представления аксиом [3], которые определяют «разумное» поведение ЛПР, формулируется фундаментальный принцип Эджворта-Парето, согласно которому множество Парето является оценкой сверху для множества выбираемых решений (векторов). В качестве «квантов информации» рассматриваются сообщения об относительной важности критериев так называемого замкнутого типа, когда один критерий важнее второго, второй важнее третьего и т. д., а последний, в свою очередь, важнее первого. Подобная информация может оказаться противоречивой. Поэтому, опираясь на общие результаты о непротиворечивости из [3], сначала устанавливается необходимое и достаточное условие непротиворечивости информации замкнутого типа. Центральным результатом является теорема, показывающая, каким образом учитывать указанную замкнутую информацию. А именно, строится новый векторный критерий, множество Парето относительно которого служит более точной оценкой, чем множество Парето в исходной задаче. Полученные результаты иллюстрируются простыми примерами.

2. Основные понятия и аксиомы. Основными объектами задачи многокритериального выбора являются:

-непустое множество возможных решений (вариантов) X С К", из которого следует осуществлять выбор наилучшего решения;

-числовая вектор-функция / = (/ь /2, ..., /т), определенная на множестве допустимых решений X, которая называется векторным критерием;

-асимметричное бинарное отношение строгого предпочтения Ух, заданное на X. Множество возможных решений (вариантов) является множеством объектов произвольной природы, из которых ЛПР, т. е. человеку или группе лиц, надлежит сделать выбор. Предпочтения, вкусы ЛПР выражаются в виде отношения предпочтения Ух. Если при рассмотрении двух возможных решений х', х'' € X ЛПР выберет первое и не выберет второе (т. е. отдаст предпочтение первому по сравнению со вторым), то в терминах отношения это выражается следующим образом: х' Ух х''.

Кроме того, введем множество возможных векторов У С К™, которое представляет собой образ множества возможных решений X, т. е. У = /(X). Векторное пространство Кт называют критериальным пространством.

В терминах векторов основными объектами модели многокритериального выбора являются

• множество возможных векторов (оценок) У С Кт;

• бинарное отношение строгого предпочтения У у, заданное на У. Причем последнее отношение связано с отношением Ух следующим образом:

у' уу у'' & х' Ух х'', где у' = /(х'), у'' = /(х''), Ух' € х', Ух'' € х''; X', X ' € X,

здесь X - совокупность классов эквивалентности, порожденных отношением эквивалентности х' ~ х'' & /(х') = /(х'') на множестве X. Таким образом, результаты, полученные в терминах векторов, при необходимости можно переформулировать в терминах решений, и наоборот.

Совокупность решений (векторов), которым ЛПР отдаст предпочтение в результате выбора, называется множеством выбираемых решений (множеством выбираемых векторов) и обозначается С (X) (соответственно С (У) = / (С (X))). Очевидно, С (X) С X

и С(У) С У. Точного определения множества выбираемых решений нет (см. [2]), поэтому ищут не само множество С(X), а некоторую оценку сверху для него.

Множество недоминируемых решений Ndom(X) определяется следующим образом:

М^ш(Х) = {х* е X | $х е X : х Ух х*}.

Введем также множество недоминируемых векторов (оценок) Ndom(У) = /(Ndom(X)).

Далее рассматриваемый класс задач многокритериального выбора ограничивается следующими аксиомами [3], принятие которых выражает «разумность» действий ЛПР в процессе принятия решений.

Аксиома 1 (исключение доминируемых векторов). Если для некоторой пары векторов у',у" е У имеет место соотношение у' Уу у'', то у" е С (У ).

Аксиома 2 (продолжение отношения предпочтения). Существует продолжение У на все критериальное пространство К™ отношения Уу, причем это продолжение является иррефлексивным и транзитивным отношением.

Говорят (см. [3]), что г-й критерий / согласован с отношением предпочтения У, если для любых двух векторов у', у'' е К™, таких что у' = (у[, ..., у—, у[, у'+1, ..., у'т), у' = (у[, ..., у'г-ъ у", у'^ ... у^ ), у'г > у'1 следует у' У у''. Другими опот^и если

при рассмотрении двух произвольных векторов из критериального пространства оказывается, что первый вектор строго больше другого по 1-й компоненте, а по остальным они равны, то ЛПР из данной пары векторов выберет первый.

Аксиома 3 (согласование критериев с отношением предпочтения). Каждый из критериев /1, /2, ..., /™ согласован с отношением предпочтения У.

Аксиома Парето. Для всех пар векторов у', у'' е У, для которых имеет место неравенство у' ^ у'', выполняется соотношение у' У у''.

Напомним (см., например, [3, 4]), что запись у' ^ у'' означает выполнение неравенств у[ ^ у", г = 1, то, причем хотя бы одно из них строгое.

Согласно лемме 1.3 из [3], выполнение аксиом 2 и 3 влечет выполнение аксиомы Парето.

Множеством парето-оптимальных (оптимальных по Парето) решений называется множество

Р/(X) = {х* е X I $х е X : /(х) > /(х*)}.

Аналогично вводится множество парето-оптимальных векторов (оценок)

Р(У) = /(Р/(X)) = {у* е У | $у е У : у > у*}. Согласно леммам 1.2 и 1.4 из [3], справедливы включения Ndom(У) С Р(У) и

С (У) С Ndom(Y), (1)

из которых вытекает следующий важный результат.

Принцип Эджворта—Парето [3]. В условиях выполнения аксиом 1-3 (или аксиомы 1 и аксиомы Парето) для любого множества выбираемых векторов С (У) справедливо включение С (У) С Р (У).

Таким образом, если ЛПР ведет себя достаточно «разумно» (т. е. в соответствии с аксиомами 1-3), то выбираемые им векторы должны быть парето-оптимальными.

Следуя [3], примем еще одну аксиому.

Аксиома 4 (инвариантность отношения предпочтения). Отношение предпочтения У является инвариантным относительно линейного положительного преобразования.

Иначе говоря, для любых векторов у', у'' € К™, таких что у' У у'', и любых с € К™, а > 0 выполняется соотношение ау' + с У ау'' + с.

3. Информация об отношении предпочтения ЛПР замкнутого типа и ее непротиворечивость. Введем множество номеров критериев I = {1, 2, ..., т}.

Для того чтобы сузить множество Парето, необходимо располагать некоторой дополнительной информацией о решаемой задаче выбора. В данной работе такой информацией служат сведения об отношении предпочтения ЛПР. Их можно выразить в форме относительной важности критериев следующим образом.

Пусть ¿,з € I, г = 3. Говорят (см. [3]), что г-й критерий важнее го критерия с заданными положительными параметрами , и], если для всех векторов у', у'' € К™, для которых выполняется

у' > уЧ, у] < уу'в = ув' € 1 \ {г3К у' - у" = и, у'] - у] = wj,

имеет место соотношение у' У у''.

Если принять во внимание аксиому 4, то по теореме 2.4 из [3] векторы у', у'' можно считать фиксированными. В частности, можно положить

у'г = и, у] = , у'в = 0 € 1 \ {i,3}, у'' = 0т. (2)

Таким образом, задание информации об относительной важности критериев сводится к заданию вектора у' € Кт вида (2), для которого будет справедливо у' У 0т.

Теперь пусть имеется набор информации в виде конечной совокупности векторов у^ € Ит, г = 1,/г, причем у каждого вектора из этого набора одна компонента положительная, одна отрицательная, а все остальные нулевые:

г/МеГ, 1=1, к, У% = -иМ, У<£= 0 У8^1\{1г,Рг}, кфр*. (3)

Данный набор является непротиворечивым (или совместным) (см. [3]), если существует хотя бы одно бинарное отношение >-', подчиненное аксиомам 2-4 и такое, что выполняются соотношения уМ 0т, % = 1, к.

Имеется алгебраический критерий (см. теорему 4.7 из [3]), позволяющий определять непротиворечивость произвольного конечного набора векторов (3).

Введем подмножество множества номеров критериев Iк С I, 1к = {¿1, ¿2, ..., ¿к}, все элементы которого попарно различны.

Определение. Пусть имеется набор Д С I, к ^ 2, попарно различных номеров критериев. Будем говорить, что задан конечный набор информации об относительной

(1) (1) (2)

важности критериев замкнутого типа с положительными параметрами и: , , ,

(2) (к-1) (к-1) (к) (к) (1) (2) (к) ,- щт

и: ,..., и: , ', ', и: , если для векторов у(1), у(2),..., у(к) € К с компонентами

у(1) = и(11), у^ = , у(х) =0 V* € I \{гх,г2};

у(2 = и??, у(з2) = -иг(32), ув2 =0 V* € I \ {¿2, ¿з}; (4)

ук = и(к), ук = -ик, увк) =0 V* € I \ {¿к,¿1}

справедливы соотношения у(1) У 0т,у(2) У 0т,...,у(к) У 0т. Величину к будем именовать длиной сообщения.

Другими словами, наличие информации замкнутого типа говорит о том, что кри-

(1) (1) „ .

терии %1 важнее критерия «2 с положительными параметрами т) ,т) ; критерии «2

важнее «з и т. д.; критерии «к важнее критерия ;ч с положительными параметрами

(к) (к) Ч/ ,< ) .

Изучим вопрос непротиворечивости набора информации об относительной важности критериев замкнутого типа.

Теорема 1. Пусть имеется информация об относительной важности критериев замкнутого типа, заданная с помощью векторов (4). Для того чтобы эта информация была непротиворечивой, необходимо и достаточно, чтобы

(1) (2) тг2

(1) (2) Ч Ч/

(к-1) (к)

гк_г1 ,, 1

{к-1) {к) ^ т) т)

(5)

Доказательство. Согласно теореме 4.7 из [3], набор векторов (4) будет непротиворечивым тогда и только тогда, когда у системы

^А^ (у(Ь =0т

)=1 Ь=1

(6)

не будет существовать ни одного ненулевого неотрицательного решения относительно А1, ...,Ат, (1, ..., ( к. Подставив вектора у(1) ,у(2),...у( к) в систему (6), получим

А8 =0 € I \ 1к,

(1) ( ) А)1 + (чт)^ - (кЩ^ — 0,

(1) (2) А)2 - (1Щ2 + №Щ2 =0,

(7)

Введем следующее:

Л (к-1) , (к)

А)к - (к-1т\ '+ (кт)к'

А =(А1,А2, ...,Ат), ( — ((1 ,(2, ..., (к), и — (А) 1, А ) 2, ...,А)к,(),

(

А —

Е,

0 т,

(к)

(1) 2 (2)

0

(к)

0

\

(к-1) (к-1)

(к)

/

где Е(к) - единичная матрица размерности к. Тогда последние к уравнений системы (7) можно записать в виде иА — 0к. Очевидно, система (7) не будет иметь ненулевого неотрицательного решения (А, () в том и только в том случае, когда не будет существовать решения и ^ 02к системы иА — 0к. Согласно теореме Моцкина об альтернативе (см. [4]), последнее утверждение равносильно существованию такого вектора х € К.к, который является решением системы неравенств Ах > 02к.

Таким образом, непротиворечивость набора информации, задаваемой набором векторов (4), равносильна существованию решения системы Лх > 02к.

Теперь перейдем непосредственно к проверке справедливости теоремы 1. Необходимость. Пусть существует решение х € К. системы неравенств Лх > 02к. Перепишем ее в развернутом виде

х > 0к, Ш1Х1 - Х2 > 0,

(к-1) (к-1) . п %—1 хк-1 - тгк хк > °

(к) (к) -т^ х1 + ткхк > 0 .

(8)

Преобразовывая (к+1)-е, ..., 2к-е неравенства, получаем

х1 >

(1) »2

х2,

хк-1 >

(к-1) „(к-1)

хк ,

(к) (1) (2) тг т I тг

хк > —=> х1> 2 3

(к) Ч/

(1) (2) Ч Ч

(к-1) (к) '< Ч

(к-1) (к) гк — 1 гк

х1

Деля последнее неравенство на х1 (х1 > 0), приходим к (5).

Достаточность. Пусть выполнено (5). Возьмем произвольное х1 > 0 и, умножив на него обе части неравенства (5), будем иметь

х1 >

(1) (2) "г2 "з

(к-1) (к) . . . • "гк Ч

(1) (2) (к-1) (к) %1 Ъ2 гк-1 гк

х1

(1) (2) (к-■ ■ ■ Ч- 1) -1

(1) (2) "г 2 "г з • . (к-..• Шк -1)

(к)

. Ч_

Х\ > , Х\ .

т

(к) к

Найдется такое хк € К, что

(1) (2) (к ■ ■ ■ Ч-

(1) (2) "г 2 "г з • . (к .. • "к

(к)

(1) (2)

~11 П »2

-XI > хк > (1) (2)

Найдется такое хк-1 € К, что (к-2)

(1) (2) Ч) Ч)

(1) (2) "г 2 "г з

"¡к 2 т(к-1)

г к—2 ¡к

-XI > хк--1 > -

т

(к-2) г к—1

(к-1)

т

гк — 1

(к-2)

(к-2)

х1 >

(к-1) г к

хк.

(1) (2) (к-3) (к-2)

" ш ■ ... • Ш т-

г\ 12_гк-з гк-1

Хк """ /-1-, гп\ /],_о\х1 > (Ь — хк—1 •

(1) (2) (к-3)

т т ... т

г2 г з г к —2

т

(к-2) г к—2

Продолжая аналогично, придем к тому, что найдется такое х2 € К, что

(1)

(1)

х1 > х2 >

(2) »3 „(2)

х3.

Преобразовывая подчеркнутые выше неравенства и учитывая, что х1 > 0, получаем вектор х = (х1,х2, ...,хк), который является решением системы (8), т. е. Лх > 02к-Теорема 1 доказана.

Если положить длину сообщения равной 2, то необходимым и достаточным условием

непротиворечивости векторов у(1),у(2) из (4) (при ¿1 = г, г2 = з), согласно теореме 1, (1) (2) , (1) (2) 0 Гк1 будет неравенство " /тг < 1, что согласуется со следствием 2 из [5].

1

гк-1

4. Сужение множества Парето на основе информации замкнутого типа. Напомним, что бинарное отношение заданное на пространстве К™, называют (см., например, [3]) конусным отношением, если существует такой конус К, К С К™, что для произвольных векторов у', у'' € К™ справедлива эквивалентность у'^Ку'' ■

у' - у'' € К.

Согласно следствию 2.1 из [3], любое бинарное отношение У, удовлетворяющее аксиомам 2-4, является конусным с острым выпуклым конусом, содержащим неотрицательный ортант, и без начала координат. Имеет место и обратное утверждение. Введем квадратную матрицу Ш порядка к:

I

(1)

Ш =

(1)

0

\ 0

0

„(2)

(к-1) т) гк — 1 (к-1) -т1 )

0

(к) л4 '

и образованное от нее семейство матриц И7^, в = 1, /г, р = 1, к, в которых на месте в-го столбца Шя стоит единичный вектор ер пространства Кк.

Прежде чем перейти непосредственно к учету информации замкнутого типа, установим следующий вспомогательный результат.

Лемма. Определитель матрицы И7^ при всех в = 1, к, р = 1, к, положителен.

Доказательство. Через Мг ^ обозначим минор элемента матрицы Ш, стоящего на пересечении г-й строки и ^-го столбца. Введем в рассмотрение две треугольные матрицы

/ (I)

-т) '

ч+г

А(1,д)*) =

0 0

где 1,д €{1, 2, ..., к}, I < д;

0

у(г+1) г ¡+1

0 0

,,(«-1)

г ,_1 „,(9-1)

\

Б(г,г)**) =

/ (г)

—т) '

0 0

,(г+1) гг+1

-„(г+1)

0 0

(1-2) г ь — 1 0

0 0

(4-1) ь—1

„.,(4-1)

где т,Ь € {1, 2, ..., к}, т < Ь, и матрицу С(пхт) размерности п х т, в которой все элементы нулевые, кроме последнего элемента первой строки, равного -т(к). Определители треугольных матриц равны произведению диагональных элементов. Поэтому определитель матрицы А(1, д) положителен при всех возможных значениях I и д. Обозначим

*) Если I = п, то данная матрица состоит из элемента .

г1

*) Если г = Ь— 1,

то данная матрица состоит из элемента —ш.

(г)

—т

0

Ч

г+1

0

г+1

его а(1, д). Знак определителя матрицы Б(т,Ь) зависит от разности Ь — г и сам определитель равен \Б(т,Ь)\ = ( — 1)4-г ■ /3(т,Ь), где в(т,Ь) - некоторое положительное число. Определитель \Швр\ будем вычислять, раскладывая его по в-му столбцу, т. е.

\ШВ,Р \ = ( — 1У+рМ^р.

(9)

В зависимости от соотношения между в и р минор МврР порядка к — 1 будет различен, поэтому выделим три случая: в = р, в > р, в < р.

Сначала рассмотрим возможность в = р. Степень —1 в (9) будет равна 2в и знак \Шв,в\ определяется только знаком Мв,в. Если в = 1 или в = к, то

М1 ,1 = \А(2, к)\ = а(2, к), Мк, к = \А(1, к — 1)\ = а(1, к — 1).

Пусть в = 1 и в = к. Тогда

Мя

А(1, в — 1) С( е-1) х (к-в) 0 А(в +1,к)

а(1, в — 1)а(в + 1, к).

Теперь рассмотрим случай в > р. Если р =1 (в = к) или в = к (р =1), то соответственно получаем

Мв,1

Мк,Р

Б(1, в) 0 0 А(в +1,к)

А(1,р — 1) 0 0 Б(р, к)

(—1)в-1а(в + 1,к)в(1,в), ( —1)к-ра(1,р — 1)в(р, к).

Если р =1 и в = к, то МкД = \Б(1, к)\ = ( —1)к-1в(1, к). Теперь пусть в = к и р = 1. Тогда находим

Мв,Р =

А(1,р— 1) 0 С(р-1)х(к-в)

0 Б(р, в) 0

0 0 А(в + 1,к)

= ( —1)р-ва(1,р — 1)в(р, в)а(в + 1, к).

Из полученных выше выражений для минора Мв,Р и (9) делаем вывод, что в случае в > р определитель \Швр \ положителен.

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию: в < р. В случае в = 1 (р = к) имеем

М1,

0 0 ..

А(2,р — 1) 0

0 —ч

0

(к) г1 0

Б(р, к) 0

(к)

,( — 1)к-1+1 (—^ )а(2,р— 1)( — 1)к-рв(р,к)

=( —1)2к-р+1 а(2,р — 1)в(р,к).

Если же р = к (в =1), то

МВ}к =

т(11) 0

0т

(к)

В(1,в) 0

0 Л(в + 1, к - 1)

= (-1)к-1+1(-т(1к))(-1)«-1^(1, з)а(з + 1, к - 1) =

(к)

= (-1)к+яа(в + 1,к - 1)в(1,в).

В случае в = 1 и р = к верно

Мъ

0 0 ... 0 -т,

Л(2, к - 1) .

(к)

(-1)к-1+1(-т(Ц))а(2, к - 1) = (-1)к+1а(2, к - 1)

(к)

к+1

Теперь пусть в = 1, р = к. Раскладывая М8р по первой строке и учитывая, что ми-

(1)

нор элемента " равен нулю, находим

Мя

(1)

0

0т

(к)

В(1,в) 0 0

0 Л(в + 1,р-1) 0 0 0 В(р, к)

0

(к)

(-1)к-1+1(-т(к) )(-1Г-1в (1,в)х

к)

1

ха(в + 1,р- 1)(-1)к-рв(р, к) =(-1)2к+°-ра(в + 1,р- 1)в(1, 8)в(р, к).

Исходя из полученных выше выражений для минора М8р в случае в < р и (9), делаем вывод, что при в <р определитель \ положителен.

Таким образом, во всех трех случаях (в = р, в > р, в < р) определитель \Ш3,р \ положителен. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены аксиомы 1-4 и имеется непротиворечивая информация замкнутого типа с длиной сообщения к, т. е. %1-й критерий важнее %2-го, ¿2-й важнее г3-го, ..., гк-й важнее г1-го с соответствующими положительными параметрами. Тогда для любого множества выбираемых оценок С (У) справедливы включения

С (У) с р(у ) с р (У),

(10)

где Р(У) - образ множества парето-оптимальных решений в задаче многокритериального выбора с множеством возможных решений X и векторным критерием д при отображении т. е. Р(У) = /(Рд(X)), а компоненты т-мерного векторного критерия д определяются равенствами

д<. =Е \^р ,

р=1

= 1,к; & =/» Уге1\1к.

(11)

0

0

1

Доказательство. Пусть К - острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения У. Согласно определению, наличие информации замкнутого типа с длиной сообщения, равной к, означает задание векторов (4) таких, что у(1) У 0т, у(2) У 0т,...,у(к) У 0т. Это эквивалентно включению у(1),у(2),...,у(к) € К. Кроме того, благодаря следствию 2.1 из [3], верно К.— С К.

Введем в рассмотрение набор единичных векторов е1, ..., ет пространства Кт. Обозначим через М выпуклый конус (без нуля), порожденный набором векторов

{е* € К- | в € I \ 1к },у(1),у(2),...,у(к). (12)

Причем данный конус - острый, так как М С К. Все векторы из набора (12) будут являться образующими конуса М, поскольку ни один из них не может быть представлен в виде неотрицательной линейной комбинации остальных. Покажем это.

Если предположить, что произвольный единичный вектор ев, в € 1к, представим в виде

к

ев = Е Хе1 + Е ^, (13)

¡?1ки{8} г=1

то, очевидно, получаем, что ни при каких значениях параметров А; V/ € / \ и {в}) и „г, г = 1,к, данное равенство невозможно, так как в-тая компонента векторного равенства (13) будет иметь вид 1=0.

Если же допустить выполнение равенства

к

(Р) = V X 1 е1 + У" „у,^)

е1 + Е„г'у(\ €{1,...,к},

г ' = ¿^ А]е + „¿у

¿=1 г=Р

то по гр-й и гр+1-й компонентам отсюда получаем соответственно „,,(Р) — „,,(Р-1) „,,(Р+1)

что невозможно ни при каких положительных „Р-1, „Р+1.

По определению, произвольный вектор выпуклого конуса М может быть представлен в виде неотрицательной линейной комбинации его образующих (12), т. е.

Е Л<е1 + Е „гу(г).

г=1

Установим, что единичные вектора е*р, р = 1,к, можно представить в виде такой комбинации, т. е. найдутся такие неотрицательные (одновременно не равные нулю) \[р\ ¿р) V/ € / \ 4, г = ТА что

ЕА^е'+Е^У0, Р = ТЛ (14)

г=1

В самом деле, выберем А^ = 0 при р = 1,к и любых I € / \1к- Неизвестные р = 1,к, в = 1,к, можно найти как решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений

1¥/и(р) = ер, р = 1Д, (15)

где ^,(р) = ^1р), м2Р), ..., мкР)) , еР € Кк. Вычислим определитель матрицы Ш \Ш\ = "(1)"(2) • ...• "к) + (-1)к+1 • (-1)к • "к)тг(1)"2) • .... "й-1) =

II ъ\ г к \ > г\ 12 г з г к

(1) (к) (к) (1) (к-1) = Ч • .... "гк - Ч Ч • ... • Ч .

В силу непротиворечивости информации об относительной важности, по теореме 1 получаем, что \Ш\ > 0. Это означает, что квадратная матрица Ш не особая. Кроме того, так как гапд(Ш) = к = гапд(Ш, ер) Ур € {1, 2, ..., к}, неоднородная система (15) будет совместна при всех р = 1, к. Поскольку \¥ не особая, то можно применить формулу Крамера для линейных неоднородных систем с квадратной матрицей, согласно которой

<Р) ЩА

Используя лемму, получаем ¡л^ > 0, р = 1,к. В результате показали существование таких неотрицательных при всех I € I \ 1к, г = 1 ,к, что выполнено (14). Это означает, что единичные векторы е1 при всех I € 1к принадлежат конусу М (здесь е1 - единичный вектор пространства К™). Таким образом, К.™ С М.

Теперь установим, что конус М совпадает с множеством ненулевых решений следующей системы линейных неравенств*):

{в1, у) > 0 У1 € I \ 1к,

, , _ (16)

о, 8 = 1, к,

где

у£> = \\¥а,р\, р = ТЛ ^=0 Уде1\1к, 8 = 1^.

С этой целью найдем фундаментальную совокупность решений (ФСР) системы неравенств (16), и тогда общее решение будет представлять собой неотрицательную линейную комбинацию данной ФСР. Необходимо убедиться, что последняя будет совпадать с набором векторов (12).

С этой целью рассмотрим систему линейных уравнений, соответствующую системе неравенств (16):

(е\у)= 0

<Ч\у>= о, * = ТЛ

Ранг матрицы любой подсистемы системы (17), образованной удалением какого-либо одного уравнения, равен т - 1. В таком случае для отыскания ФСР достаточно найти ненулевые решения всевозможных подсистем из (т - 1) уравнений системы (17), удовлетворяющих системе (16).

Если из системы (17) удалить уравнение {в1, у) = 0, то решением полученной подсистемы будет вектор в1. Кроме того, данный вектор, очевидно, удовлетворяет системе (16). Если удалить уравнение (уЧ У) = 0) т0 решением полученной подсистемы будет вектор уЧ р = 1,к. Покажем это.

*) Напомним, что для любых векторов а и Ь из Нт обозначение (а,Ь) означает их скалярное про-

изведение, т. е. (а,Ь) = аф1.

г=1

Выполнение равенства (е1, у(р)) = 0 для любого I € I \ 1к очевидно. Остается убедиться в справедливости равенств у=0, в = 1 ,к, в ^ р. Остановимся лишь на разборе случая р = к (при р = к рассуждения проводятся сходным образом*)). Рассмотрим три возможности: в = 1; в = к; в = 1, в = к. 1) в = 1. В этом случае имеем

(у(1),у(Р)) = -т^-ш?^ = |еР, Ш2, ..., Ш

к1 -ш(р)

- 1еР+1, Ш2, ..., Шк1-ш(р)

гр+1

ш(р) еР - ш(р) еР+1,

гр гР+1 '

Ш 2

= |Шр, Ш2, ..., Шк| =0,

поскольку среди столбцов Ш2, ..., Шк обязательно имеется столбец Шр; 2) в = к. Тогда получаем

»

шгр -

(у(к),у(р)) = 1Шк,р1-шР - 1Шк,р+11-ш%+1 = |Ш\ ..., Шк-1, ер| ■

-|Ш1, ..., Шк-1, еР+Ч- ш(р) = Ш1, ..., Шк-1, ш(р) ■ еР - ш(р) ■ еР+1

I ' ' ' I гр+1 ' ' ' гр ¿р+1

= |Ш1, ..., Шк-1, Wp| =0,

поскольку среди столбцов Ш1, ..., Шк-1 обязательно встретится столбец Шр; 3) в = 1, в = к. Здесь выполнено

(у(8),у(р)) = 1Ша,рI ■ ш(р' -1Ша,р+11

(р) г

гр+1

|Ш1, ..., Ш*-1, ер, Ш8+1, ..., Шк |х

х ш(р) -|Ш1, ..., Ш8-1, еР+1, Ш8+1, ..., Шк| ■ ш(р) =

¿р I ' ' ' ' ' ' I ¿р+1

Ш1, ..., Ш8-1, ш(р) ■ еР - ш(р) ■ еР+1, Ш8+1, ..., Шк

' ' ' гр гр+1 ' ' '

= |Ш1, ..., Ш8-1, Шр, Ш8+1, ..., Шк|=0,

поскольку среди столбцов Ш1, ..., Ш8 1, Ш8+1,..., Шк обязательно имеется столбец Ш .

Для того чтобы убедиться, что вектор у(р) удовлетворяет системе неравенств (16), достаточно показать (у(р), у(р)) ^ 0. Если р = 1, то

(у(1),у(1)) = Шц^шЦ =

В случае р = к имеем

е1 — ш(1]е2, Ш2,

= \ШI > 0.

(у(к),у(к)) = ШкМ^^ -ШкА^ш^ =

Если же р =1, р = к, то верно (у(р),у(р)) = 1ШррI ■ ш<Р) - 1Шр,р+1| ■ 1 =

Ш1, ..., Ш

к-1 (к) к (к) 1

= \ШI > 0.

Ш1, ..., ШР-1, ш(р)еР - ш(р) еР+1, ШР+1, ..., Шк

11 ' гр гр+1 1 1 1

= \Ш\ > 0.

В случае р = к вместо трех следует рассмотреть лишь две возможности: 5 = 1 и 5 =1.

V

Таким образом, ФСР системы неравенств (16) является набор векторов (12) и, следовательно, конус М совпадает с множеством ненулевых решений системы (16). Ранее было установлено К.™ С М С К, откуда вытекают включения

Каош(У) С Р(У) С Р(У),

(18)

где Р(У) - множество не до минируемых векторов множества У относительно конусного отношения с конусом М, т. е. Р(У) = {у* е У | $у е У : у — у* е М}.

Пусть х, х* е X, у = /(х), у* = /(х*), /(х) = /(х*). Включение /(х) —/(х*) € М будет иметь место тогда и только тогда, когда вектор /(х) — / (х*) (он ненулевой) удовлетворяет системе (16), т. е. когда выполнено

/1 (х) — /¡(х*) > 0 VI е I \ 1к,

к

> о, * =

Р=1

где хотя бы одно из неравенств - строгое. Эта система неравенств эквивалентна векторному неравенству д(х) ^ д(х*), где д() вычисляется по формуле (11). Таким образом, включение у — у* € М равносильно выполнению неравенства д(х) ^ д(х*), а значит, Р(У) есть образ множества парето-оптимальных решений в задаче многокритериального выбора с множеством возможных решений X и векторным критерием д при отображении /, т. е. Р(У) = /(Рд(X)).

Учитывая (1), из (18) получаем (10). Теорема 2 доказана.

При доказательстве этой теоремы рассматривался определитель матрицы Ш, положительность которого эквивалентна выполнению условия (5) из теоремы 1. Это позволяет сформулировать критерий непротиворечивости информации об относительной важности в матричной форме.

Следствие. Информация об относительной важности критериев замкнутого типа, заданная с помощью векторов (4), будет непротиворечивой тогда и только тогда, когда Ш| > 0.

Пример 1. Если рассмотреть сообщение длины 2 при ¿1 = г, ¿2 = з, то векторный критерий д в теореме 2, согласно (11), будет иметь компоненты

gi = 1Ш1/ +

дз = +

1 —V.

(2)

,(2)

ч(1) 1

—т(1) 0

/ i +

и +

0 1

(2)

(2) п) )

(2)

V '/г + 42)/з

^ 0 — 3 1

(1)

V ) /г + т^/з

д5 = /5 уз е 1 \{г,з'}.

Полученные формулы совпадают с результатом из [3] (см. гл. 4, с. 97).

Пример 2. Рассмотрим ситуацию, когда к = 3 (¿1 = г, ¿2 = з, ¿з = к). Тогда компоненты нового векторного критерия д, согласно (11), будут иметь следующий вид:

дг = Шц/ + |Ш1/ + 1Ш1з1/к = т\2) т™ /г + ы(3) / + т

„(2^„(3)

„(2^„(3)

/к,

дз = №,/ + 1Ш2,2/ + |Ш2,з 1/к = V1 т(3) /г + т(1) /3 + т(3) /к,

/

з

0

з

3

дк = \Wsi\fi + \W32\fj + \W33\fk = + ЧЦ2) + ¡к,

дв = fs У в € I \{1^,к}.

Пример 3. Пусть заданы множество возможных решений X = Ш,, векторный критерий f = fз), где

fl(x) = -(х + 1)3, f2(x) = -е-х, fз(x)= х2 + 6х + 6.

Тогда из рис. 1 нетрудно видеть, что множество парето-оптимальных решений есть вся числовая ось.

Пусть от ЛПР получена следующая замкнутая информация, заданная с помощью набора векторов у(1) = (3,-1,0)т, у(2) = (0, 2, -3)т, у(3) = (-2, 0,4)т. Используя следствие, легко проверить, что данная информация является непротиворечивой, ибо ^\ = 18. Далее воспользуемся формулами для расчета «нового» критерия д из примера 2. В результате получим

д1(х) = -6е-х - 8х3 - 20х2 + 16, д2(х) = -12е-х - 4х3 - 10х2 + 8, д3(х) = -9е-х - 3х3 - 3х2 + 25х + 33.

Множество парето-оптимальных решений Рд (X) в «новой» многокритериальной задаче с векторным критерием д есть интервал [а,Ь] (см. рис. 2). Таким образом, в результате учета заданной замкнутой информации произошло значительное сужение множества Парето: от всей числовой оси до промежутка достаточно малой длины. Полученный результат в значительной мере упрощает процесс выбора.

Рис. 1. «Старый» векторный критерий / Рис. 2. «Новый» векторный критерий д

5. Заключение. Статья посвящена рассмотрению задачи многокритериального выбора. Введено понятие набора информации об относительной важности критериев замкнутого типа. Получен критерий непротиворечивости указанной информации и установлен результат, показывающий, каким образом использовать эту информацию для сужения множества Парето.

Представляется перспективным развитие данной работы в следующих направлениях:

1) рассмотреть ситуацию, когда узлами замкнутой информации являются не критерии, а группы критериев с произвольным конечным числом элементов;

2) обобщить полученные результаты на случай задачи многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения.

Автор благодарит своего научного руководителя проф. В. Д. Ногина за постановку задачи и помощь, оказанную при написании работы.

Литература

1. Figueira J., Greco S., Ehrgott M. Multiple criteria decision analysis: state of the art surveys. New York: Springer, 2005. 1045 p.

2. Ногин В. Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению // Искусственный интеллект и принятие решений. 2008. № 1. С. 98—112.

3. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Физматлит, 2005. 176 с.

4. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Физматлит, 2007. 256 с.

5. Климова О. Н., Ногин В. Д. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2179-2191.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 28 мая 2009 г.