CC BY
75
2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.
Сер. 10.
Вып. 2
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.859
А. В. Богданова, В. Д. Ногин СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
НА ОСНОВЕ ПРОСТЕЙШИХ НАБОРОВ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ *>
1. Введение. Принципиальная сложность задач выбора при многих критериях заключается в невозможности априорного определения того, что называть наилучшим решением. Каждое лицо, принимающее решение (ЛПР), имеет право вкладывать свой смысл в это понятие. Более того, небольшое изменение обстоятельств, при которых осуществляется выбор, может привести к изменению смысла наилучшего решения. Понятие наилучшего решения зависит от чрезвычайно большого числа параметров, которые не удается учесть в рамках фиксированной математической модели как по причине их количества, так и в силу невозможности математизации (по крайней мере, на данный момент развития) различных аспектов психологического характера, оказывающих влияние на окончательный выбор.
Все это говорит о непродуктивности использования для решения задач выбора при многих критериях традиционного подхода, сложившегося десятки лет назад в области оптимизации с одним критерием и предполагающего обязательное формальное введение понятия оптимального решения (обычно это элемент множества ограничений, в котором целевая функция принимает максимальное либо минимальное значение).
В отличие от традиционного подхода в последнее время активно развивается методология, не предполагающая для своей реализации наличия строгого определения выбираемого решения (см., например, [1]). Ее суть заключается в получении тех или иных оценок сверху для заранее неизвестного множества выбираемых решений на основе определенных общих свойств поведения ЛПР в процессе принятия решений с учетом некоторой числовой информации об отношении предпочтения ЛПР.
Эта методология к настоящему времени приобрела вполне определенные контуры [1]. Ее фундамент составляет знаменитый принцип Эджворта-Парето, а основное содержание образуют результаты, показывающие, каким образом следует учитывать заданную количественную информацию об отношении предпочтения ЛПР для обоснованного сужения множества Парето. Нередко такую информацию удобно интерпретировать в терминах теории относительной важности критериев, в основу которой положен уточненный вариант одного определения, предложенного в [2].
В соответствии с упомянутой выше методологией любой выбор, подчиняющийся набору аксиом, характеризующих поведение ЛПР в процессе принятия решений, следует осуществлять в пределах множества Парето, которое можно построить с помощью
*' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00310).
© А. В. Богданова, В. Д. Ногин, 2006
«нового» векторного критерия, определяемого на основе «старого» векторного критерия и имеющейся количественной информации. Тем самым, строится некоторая оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений, являющаяся более точной, чем исходное множество Парето. Этот подход можно охарактеризовать и таким образом: наличие указанной информации дает возможность сузить исходное множество Парето.
Нередко при выявлении информации об относительной важности удается получить соответствующие количественные данные лишь в специфической нечеткой форме, когда предпочтительность того или иного решения по сравнению с другими оценивается с субъективной степенью уверенности, способной изменяться в некоторых пределах. В таких ситуациях оказывается возможным применить аппарат теории нечетких множеств и отношений [3].
Выяснилось, что разрабатываемая методология сужения множества Парето допускает распространение на более общий случай нечеткого отношения ЛПР, а также нечеткого множества возможных решений (см. [4]). Основы подобного распространения были заложены в работе [5] еще до появления определения относительной важности критериев применительно к случаю нечеткого отношения предпочтения. Использование нечетких множеств и отношений дает возможность разработать более гибкий аппарат, который можно применять при решении прикладных задач многокритериального выбора достаточно широкого класса.
В данной работе после краткого обзора основных используемых понятий теории нечетких множеств в виде аксиом формулируются требования, которые можно трактовать как некоторые условия поведения в нечеткой среде; в дальнейшем они будут предполагаться выполненными. При последующем рассмотрении будем считать, что информация об относительной важности содержит некоторый конечный набор сообщений; каждое из них состоит в том, что какая-то группа критериев является более важной, чем другая группа. Далее вводится понятие непротиворечивого (совместного) набора нечеткой информации об относительной важности критериев и на основе результатов работы [5] формулируется критерий непротиворечивости подобного набора. Центральный результат работы - теоремы, которые показывают, каким образом следует учитывать нечеткую информацию об относительной важности критериев в том случае, когда эта информация представляет собой набор из двух простейших сообщений. В указанных теоремах строится определенная оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений в форме множества Парето относительно видоизмененного векторного критерия. Оказывается, указанная оценка может быть построена в результате решения трех четких многокритериальных задач специального вида. Полученные результаты иллюстрируются примером.
2. Необходимые сведения из теории нечетких множеств. Напомним некоторые важнейшие понятия, связанные с нечеткими множествами и отношениями. Более подробные сведения можно найти, например, в [3].
Пусть .4 - некоторое непустое (универсальное) множество. Нечеткое множество II в А задается функцией принадлежности Л: А —> [0,1]. При этом для каждого х € А число Х(х) € [0,1] интерпретируется как степень принадлежности элемента х множеству II. В случае, когда значениями функции принадлежности А(-) являются лишь числа 0 и 1, она превращается в характеристическую функцию обычного (четкого) множества С/. Все элементы х множества .4, для которых Л(а;) > 0, образуют суппорт множества и, обозначаемый эирр [/.
Включение, а также операции объединения и пересечения нечетких множеств U и V в А обычно определяют в терминах функций принадлежности следующим образом:
UcV \(х) ^р(х), v{x) = max{A(a;),/í(a;)}, р(х) = min{A(a:),ц(х)} Ух е А.
Здесь через р(х) обозначена функция принадлежности нечеткого множества V, а v{x), р(х) - функции принадлежности объединения и пересечения нечетких множеств U и V.
Для нечеткого множества rj(-), заданного на линейном пространстве L, будем использовать следующие термины:
нечеткий конус, если Т](х) = r¡(a-x) Уа>0,Ух б L;
нечеткий острый конус, если его суппорт является острым, т. е. ни один ненулевой элемент суппорта не содержится в нем вместе с противоположным ему элементом;
нечеткое выпуклое множество, если 77(6*37+ (1 — в)у) ^ min{ri(x),ri(y)} Ух,у £ L, Vé» G [0,1].
Нечеткое (бинарное) отношение задается на множестве А с помощью функции принадлежности р: А х А [0,1], при этом число р(х,у) £ [0,1] интерпретируется как степень уверенности в том, что элемент х находится в данном отношении с элементом у. Нередко саму функцию принадлежности р, именуют нечетким отношением с данной функцией принадлежности.
Нечеткое отношение с функцией принадлежности •) будем называть иррефлексивным, если р(х, х) = 0 Ух € А; транзитивным, если р(х, z) ^ min{/u(x, у),р(у, z)} Ух, у, zEA; асимметричным, если р(х,у) > 0 => р(у,х) = 0 Ух, у е А\
нечетким конусным отношением на линейном пространстве L, если найдется такой нечеткий конус г/ : L —» [0,1], что р(х,у) = r¡(x — у) Ух, у G L\
инвариантным относительно линейного положительного преобразования, если оно задано на линейном пространстве L и выполняются равенства р(ах,ау) = р(х,у), р(х + с, у + с) — р(х,у) У x,y,ceL, У а > 0.
3. Задача нечеткого многокритериального выбора.
3.1. Основные компоненты задачи нечеткого многокритериального выбора. Через X обозначим (четкое) множество возможных решений, содержащее по крайней мере два элемента. Обозначим нечеткое множество выбираемых решений через Sel (A") (Sel(X) С Л"), а его функцию принадлежности - через Ад-(-) (при этом универсальным считается множество возможных решений Л'). Множество Sel (А) представляет собой решение задачи нечеткого выбора. В зависимости от целей и предпочтений ЛПР им может оказаться любое нечеткое подмножество множества возможных решений А'. Решить задачу нечеткого выбора для данного ЛПР означает найти множество Sel(A) (точнее говоря, указать его функцию принадлежности), которое наиболее полно и точно соответствует его преставлениям о наилучших для него решениях. При этом каждому ЛПР в той или иной конкретной ситуации будет отвечать свое множество выбираемых решений, и по данной причине невозможно разработать «универсальное» определение множества выбираемых решений, которое было бы приемлемым для всех ЛПР (или, по крайней мере, для достаточно широкого класса ЛПР). В таком положении представляется целесообразным заняться построением тех или иных по возможности наиболее узких оценок сверху для неизвестного множества выбираемых решений. Именно такой подход и рассматривается далее.
Желание ЛПР достичь конкретной цели нередко удается в математических терминах выразить в виде максимизации (или минимизации) некоторой числовой функции, заданной на множестве X. Однако в более сложных ситуациях приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими функциями подобного типа.
Пусть имеется т (т ^ 2) числовых функций (критериев) /ь /2, ■ • •, fm, заданных на множестве X. В зависимости от содержания задачи выбора эти функции называют критериями оптимальности, целевыми функциями и т. п. Они образуют векторный критерий / = (/i, /2,..., /то), который принимает значения в m-мерном арифметическом пространстве ]Rm. Его называют критериальным пространством, или пространством оценок (векторов), а любое значение f(x) = (fi(x),f2(x),...,fm(x)) 6 К,"1 векторного критерия / при определенном решении х € X именуют векторной оценкой решения х. Все векторные оценки образуют множество возможных векторов (оценок)
Y = f(X) = {yenm\ Зхех :у = f(x)}.
Будем считать, что на множестве возможных решений X задано нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности цх{щ, •)• Для х',х" € X число ц(х',х") интерпретируется как степень уверенности ЛПР в том, что для него решение х' предпочтительнее х".
Теперь можно окончательно перечислить все элементы задачи нечеткого многокритериального выбора (в терминах решений) < X,f,/ix >'■
множество возможных решений X,
векторный критерий /, определенный на множестве X,
нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности цх(•,■)> заданной на декартовом произведении X х X и принимающей значения в пределах числового отрезка [0,1].
Решением этой задачи является некоторое в общем случае нечеткое множество Sel(A') с функцией принадлежности Af-(-).
Ту же задачу можно сформулировать в терминах векторов. Через Sel(y) обозначим нечеткое множество выбираемых векторов, функция принадлежности которого задана на ]Rm и естественным образом согласована с функцией принадлежности нечеткого множества выбираемых решений:
дSi \ _ I ^х(х)> если у = f(x) при некотором х £ X, Y \0, если у € Нга \У.
Функцией /ix(-j 0 индуцируется функция принадлежности •) нечеткого отношения предпочтения на множестве Y следующим образом:
цу(у',у") = цх(х',х") при 2/ = /(*')> У" = /(*")> х\х" 6 X.
В свою очередь, функция принадлежности нечеткого отношения предпочтения, заданного на множестве векторов, порождает функцию принадлежности нечеткого отношения предпочтения на множестве возможных решений, факторизованном при помощи отношения равенства на множестве векторов.
В итоге задача нечеткого многокритериального выбора (в терминах векторов) < 1', цу > включает
множество возможных векторов Y,
нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности заданной
на Y и принимающей значения в пределах числового отрезка [0,1].
Она заключается в нахождении нечеткого множества выбираемых векторов Sel(y) с функцией принадлежности А у (У) •
Сформулированные задачи нечеткого многокритериального выбора (в терминах решений и в терминах векторов) эквивалентны в том смысле, что благодаря указанной согласованности перечисленных функций принадлежности все результаты, полученные в терминах одной из этих задач, могут быть легко переформулированы в терминах другой задачи.
Сложность решения приведенных задач заключается в том, что на практике нечеткое отношение предпочтения ЛПР, как правило, известно не полностью или вообще неизвестно. Тем самым, неизвестным оказывается и множество выбираемых решений (и векторов). Поэтому указанное множество приходится строить, располагая лишь частичными сведениями об отношении предпочтения в форме информации об относительной важности критериев и используя некоторые его характеристики в виде определенных аксиом.
3.2. Аксиомы нечеткого выбора. Рассмотрим задачу многокритериального выбора и приведем ряд аксиом, которые представляют собой определенные требования к нечеткому отношению предпочтения и нечеткому множеству выбираемых векторов, участвующих в постановке задачи нечеткого многокритериального выбора. Эти аксиомы были предложены в [4] и будут предполагаться выполненными в данной работе; они представляют собой распространение на случай нечеткого отношения предпочтения аксиом, сформулированных в [1].
Аксиома 1. Для всякой пары решений х',х" Е X, для которой выполняется цх{х',х") = ц* 6 [0,1], справедливо неравенство й 1 — ц*.
Аксиома 2. Существует иррефлексивное и транзитивное нечеткое отношение сужение которого на множество Y совпадает с отношением /лу(-,-).
Говорят, что критерий согласован с отношением предпочтения, если для любых у',у" G Rm из выполнения соотношений
у' = (у[,- ■ ;У'1-11У'иУ'г+11- ■ ->Ут)> У" = (У\ > • • • > V'i-l > Vi> У'г+1' ■ • • > У'т) > У\ > У"
следует равенство ц(у',у") = 1.
Содержательно согласованность данного критерия с отношением предпочтения означает, что ЛПР при прочих равных условиях заинтересовано в получении его больших значений.
Аксиома 3. Каждый из критериев /i,...,/m согласован с отношением предпочтения.
Аксиома 4. Нечеткое отношение ■) является инвариантным относительно линейного положительного преобразования.
Напомним [1], что множество парето-оптимальных решений многокритериальной задачи с векторным критерием / и множеством возможных решений X обозначается Pf{X) и определяется равенством
Pf(X) = {X* е х\ $хеХ: fix) > /00},
где выполнение неравенства f(x) ^ f(x*) означает справедливость покомпонентных неравенств /¿(ж) ^ fi(x*), г = 1,... ,т, причем f(x) ф f(x*).
Введем функцию принадлежности множеству Парето (характеристическую функцию этого множества):
дР/ ч Г 1, если х 6 Р/{X), Л | 0, в противном случае.
4. Нечеткая информация об относительной важности критериев и ее непротиворечивость.
4-1. Определение и некоторые свойства нечеткой информации об относительной важности критериев. Введем обозначение для множества номеров критериев I = {1, 2,..., то}. В целях упрощения записи вместо «критерий /,» условимся писать «критерий г».
Определение 4.1 [4]. Пусть А, В £ I, А ф 0, В ф 0, АПВ ф 0. Будем говорить, что группа критериев А важнее группы критериев В со степенью уверенности ц* £ (0,1] и заданными двумя наборами положительных параметров и^ для всех I 6 Л и Wj для всех 3 £ В, если для любых векторов у', у" £ для которых выполняется
у\ > У" УгеА, у" > у^ У?£ В, у'3 = у? У*£/\{Ли£}, у\ - у" = и>1 V« 6 .4, у" - у) = У3 & В,
имеет место равенство р{у' ,у") =
Всюду далее неотргщательный ортант К"1 суть совокупность всех ненулевых векторов с неотрицательными компонентами.
Следующие утверждения, принадлежащие В. Д. Ногину, представляют собой некоторую переформулировку соответствующих результатов из [4, 5].
Лемма 4.1. Следующие два высказывания эквивалентны:
1) нечеткое отношение /г(-,-) удовлетворяет аксиомам 2-4',
2) нечеткое отношение •) является конусным отношением с нечетким острым выпуклым конусом К, который с единичной степенью принадлежности включает неотрицательный ортант Н"1 пространства Н'л и с нулевой степенью принадлежности содержит начало координат.
Доказательство. I. Сначала установим, что свойство инвариантности нечеткого отношения с функцией принадлежности постулируемое аксиомой 4,
равносильно свойству конусности этого отношения. Пусть ц инвариантно. Введем нечеткое множество г/ равенством Т](х) = ^{х, 0т) для всех х £ И'". Благодаря инвариантности имеем
г](ах) = р(ах,аОт) = р(х,От) = г](х) Ух,Уа > 0. Следовательно, нечеткое множество г] есть конус. Кроме того,
Мж>У) = ~ У,От) = ц{х ~ у) Ух,у,
т. е. отношение р. является конусным отношением с конусом г].
Обратно, пусть /л есть нечеткое конусное отношение с конусом т]. Его инвариантность следует из равенств
р(х, у) = Т](х -у) = т)((х + с) - (у + с)) = ц(х + с, у + с) Ус, ц(х, у) = г)(х - у) = г](а(х - у)) = 1](ах - ау) = р(ах, ау) У а > 0.
II. Приступим к доказательству импликации 1) => 2). Пусть нечеткое отношение /i удовлетворяет аксиомам 2-4. В соответствии с доказанным выше отношение ц является конусным; обозначим его конус через г). Суппорт этого конуса не содержит начала координат, так как в противном случае отношение fi не было бы иррефлексивным. Для доказательства того, что конус острый, предположим, напротив, что существует ненулевой вектор у, для которого ц(у, 0m) = rj(y) > 0 и p(Qm,y) = rj{~y) > 0. Отсюда в силу транзитивности отношения /х получаем ¡л(у,у) > 0, что вновь противоречит иррефлексивности отношения fi. Для доказательства выпуклости конуса г] в определении транзитивного нечеткого отношения положим х = ах', у — 0m, z = (1 — а)(—х"), где а 6 (0,1):
ц(ах', (1 - а){-х")) ^ rnin{/x(ax',0m),/x(0m, (1 - а)(-х"))}. Отсюда в соответствии с инвариантностью следует
ß(ax',(l-a)(-x")) ^ mm{ß(x',0ln),ß(0m,(-x"))},
г](ах' + (1 - а)х") ^ min{ij(z'). ф")} Ух', х", Уа е (0,1),
что означает выпуклость нечеткого конуса г] .
Пусть ег есть г-й орт пространства Rm, т. е. вектор, компоненты которого равны нулю, кроме г-й, равной единице. Согласно аксиоме 3, верно /х(ег,0т) = r?(e') = 1. Это означает, что все орты (а значит, и лучи, совпадающие с координатными положительными полуосями) указанного пространства принадлежат выпуклому конусу г) с единичной степенью принадлежности. Потому и весь неотрицательный ортант пространства имеет степень принадлежности, равную единице, так как для выпуклого нечеткого
множества ( верно неравенство р
min К(х«)} VÖj^O, yei = l Ух{1\ fc=l i
справедливость которого легко проверяется по индукции.
Теперь докажем истинность импликации 2) => 1). Прежде всего заметим, что, согласно доказанному выше, нечеткое отношение ¿х инвариантно, т. е. удовлетворяет аксиоме 4. На основании выпуклости конуса г] для любых x,y,z можно написать
vi^Y^ + = п"11^ _ ~ z)}•
Отсюда получаем неравенство
ц(х, у) ^ min{fi(x, y),ß{y, z)} Ух, у, z,
означающее транзитивность нечеткого отношения /х. Далее, ясно, что это отношение иррефлексивно, так как суппорт конуса т] не содержит начала координат. Тем самым, нечеткое отношение /х удовлетворяет аксиомам 2 и 4. Оно также удовлетворяет аксиоме 3, поскольку для любых двух векторов у' и у" из определения критерия /¿, согласованного с отношением предпочтения, благодаря инвариантности имеем
Ку',у") = ММ - у")е\0ш) = 0,„) = ч(е4) = 1 Vi.
Лемма 4.2. Пусть выполняется аксиома 4- Группа критериев А ваоюнее группы критериев В с заданными наборами положительных параметров Wi, Wj для всех г £ Л, j £ В и степенью уверенности ц* £ (0,1] тогда и только тогда, когда равенство My, От) = ц* справедливо для вектора у £ Ит, где & = Wi, yj = —Wj, ys = О для всех
■i е A, j £ в, s е 1\ (Лив).
Доказательство. Необходимость очевидна. Для проверки достаточности выберем два произвольных вектора у', у" £ В"! из определения 4.1. Требуемое вытекает из равенств
Ц* = fl(y, 0m) = fi(y + у", у") = ц(у\у").
Обозначим через Nm множество всех m-мерных векторов, имеющих по крайней мере одну положительную и одну отрицательную компоненты. Согласно лемме 4.2, каждый вектор введенного множества может задавать определенную информацию об относительной важности критериев, если он окажется предпочтительнее нулевого вектора.
Лемма 4.3 [4]. Для любого нечеткого множества выбираемых решений, функция принадлежности которого А^(-) удовлетворяет аксиоме 1, имеет место включение
Ад'(х) ^ Ах{х) для всех х £ X.
4-2. Непротиворечивость набора нечеткой информации об относительной важности критериев. Пусть заданы набор векторов ul,vl (иг — v1 £ Nm), и набор чисел pi £ (0,1] такие, что /¿(иг,уг) = /ij, г = 1, 2,..., к. Обозначим через
Ми, ■ ■ •,Mu-nM21, ■ • •,H'2k2, • • •, Wi, • • • такую перестановку чисел ц-2, ■ ■ ■ что
1 ^ /in = . . . = Hiki > /i21 = • • • = H2fc2 >■■■> /-111 = ... = Щк, ,
где ki + ... + к/ = к, 1 / 5i к. Тем самым, имеет место следующее взаимно однозначное соответствие: каждой паре векторов иг,уг соответствует некоторое положительное число /irs, г £ {1,2,...,/}, s £ {1,2,..., кг}, такое, что /ij = prs. Обратно, каждому числу цГЗ отвечает определенная пара векторов из набора ul,vl, i £ {1,2,..., к}, такая, что цг$ = /ij. Из последующего изложения следует, что когда среди чисел цТЗ имеются одинаковые, то непринципиально, какая именно пара векторов и1 ,vl соответствует тому или другому из этих чисел.
Пусть ег - единичный орт векторного пространства ]Rm. Введем (четкие) конусы Kh, h £ {1,2,...,/}, порождаемые единичными векторами е1, е2,..., ет и всеми теми векторами и', v', г £ {1,2,..., к}, которым отвечают числа pi (//,, = prs при некоторых г и s), причем fii ^ р/а- Из приведенного определения немедленно вытекают включения К\ С К-2 С ... С А'/.
Определение 4.2. Набор векторов иг, vl {и1 — v' £ Nm), i — 1,2,..., к (к ^ 1), вместе с набором чисел ц\,Ц2,...,(0,1] задают непротиворечивую (совместную) нечеткую информацию об относительной важности критериев, если существует хотя бы одно нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности /х(-,-)> удовлетворяющее аксиомам 2-4 и такое, что р(иг, vl) = щ £ (0,1], г = 1,2,..., к.
Следующее утверждение, полученное В. Д. Ногиным, представляет собой модификацию одного из результатов работы [5].
Теорема 4.1. Для того чтобы набор векторов ul,vl (иг — иг G N'n) вместе с набором чисел Hi G (0,1], где ц{иг, vl) = Hi G (0,1], i = 1, 2,..., к, задавали непротиворечивую нечеткую информацию об относительной важности критериев необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений
Aie1 + ... + Ame'n + ^ (и1 - v1) + ... + (•uk - vk) = 0„ (4.1)
относительно Ai,..., Am,£i, ■ ■ ■ we имела ни одного ненулевого неотрицательного решения и, кроме того, каждый конус Кд, h G {2,...,/}, не содержал ни одного вектора иг — V1, г 6 {1,2,..., А:}, которому соответствует число щ, такое, что Hi < Hhi.
Доказательство. Необходимость. Пусть набор векторов ul,vl (и1 — Vх G Nm), i = 1, 2,..., к, вместе с набором чисел ■ ■ ■ , Hk G (0,1] задают непротиворе-
чивую нечеткую информацию об относительной важности критериев. По определению 4.2 (и согласно лемме 4.1), существует нечеткое отношение н с нечетким выпуклым конусом г/, причем-единичные векторы е1, е2,...,ет и векторы ul—vl G Nm, i = 1,2,... ,к, принадлежат суппорту конуса г], который является острым конусом. Следовательно, четкий многогранный выпуклый конус, порожденный векторами е1, е2,..., em,ul — vl G Nm,i = 1,2,... ,к, также является острым и, согласно утверждению, приведенному на с. 269 в [6], система линейных уравнений (4.1) не имеет ненулевых неотрицательных решений относительно Ai,..., Am, .
Для доказательства второй части необходимости предположим противное: для некоторого he {2,..., 1} конус Kh содержит вектор и1 — vl G Nm такой, что его степень принадлежности Hi = ¡лгз удовлетворяет неравенству ¡лгз < Hhi, где г > h. Включение иг — v>% G Kh можно переписать в виде равенства
и' - V1 = \е" + ai(ui ~ vi)> я j
где Aq >0, a>j > 0 и индекс j удовлетворяет неравенству fiÇu^v^) ^ Hhi- Благодаря выпуклости нечеткого конуса г\ имеем
firs = V(u{ ~ v') = Хяе" + ^aj{uj - vj)) ^ я j
^ mm{ri(Xqe4),r](aj(uj - ?/))} = min{f/(MJ - vj)} = m'm{fi(uj, г;-')} = Hti qJ j j
при некотором t G {h,...,/}. Таким образом, Hrs ^ (ifl и г > (. Это противоречит принятым в начале п. 4.2 условиям
1 ^ цц = ... = ni ^ > Н-21 = ■■■= Нг к2 > • • • > Нп = • • • = Hik, > 0.
Достаточность. Согласно упомянутому выше утверждению из [6], система (4.1) не имеет ненулевых неотрицательных решений. Следовательно, четкий многогранный выпуклый конус Ki, который порождается единичными векторами е1, е2,..., ет и векторами и1 — и' G Nm, i = 1, 2,..., к, является острым. Рассмотрим нечеткое конусное отношение н с нечетким конусом ту.
т)(х) = <
1, если х G R+,
Hi, если х — а{иг - Vх) при некоторых а > 0, г G { 1,..., к}, (4 2)
max {цм \ х G К h}, в остальных случаях,
имеющим суппорт К[ (без начала координат). Здесь Л™ - неотрицательный ортант пространства Ига. Заметим, что имеют место равенства ц(иг,уг) — 7](иг — Vг) — г = 1,2,... ,к. Поэтому остается доказать, что отношение /г удовлетворяет аксиомам 2-4; согласно лемме 4.1, это равносильно тому, что конус т] является выпуклым, причем он с единичной степенью принадлежности включает неотрицательный ортант пространства К"' и с нулевой степенью принадлежности содержит начало координат. Поскольку суппорт конуса т] есть конус К[ без начала координат и в соответствии с (4.2) ?/ содержит неотрицательный ортант с единичной степенью принадлежности, остается убедиться, что конус т] - выпуклый. С этой целью выберем произвольные векторы х,у £ и произвольное число А £ [0,1]. Пусть х £ $ Кн-1 и У € ^ -^е-ъ гДе
I ^ л = г = 0 (здесь считается, что К0 = Н"\ = 0).
Для доказательства выпуклости конуса г) нужно проверить неравенство 7)(г) ^ Цм, где л = А.т + (1 — А)у. Напомним, что по условию конус Кь, Ь 6 {1,..., /}, содержит единичные векторы е1, е2,..., е'71 и векторы вида и1 — V1, для которых ¡ц ^ /¿м. Если г € 11+, то из (4.2) следует т)(г) = 1 ^ В случае 2 = а(и' —V1) при некоторых а > 0 иг£ {1,...,/г}, благодаря (4.2) верно Г](г) = ^ ^ /лм- В оставшихся случаях имеем г £ К] К]-1 при некотором ] 6 {1,...,Л}, откуда на основании (4.2) получаем
г}{г) = цц ^ /¿/а- Тем самым, выпуклость конуса 77 доказана.
5. Сужение множества Парето. Информация о поведении ЛПР в процессе выбора решений в форме указанных выше аксиом вместе с информацией об относительной важности критериев позволяет удалить из рассмотрения некоторые парето-оптимальные решения (векторы), как не соответствующие данной информации, и, тем самым, сузить множество Парето, что облегчит дальнейший поиск решений (векторов), которые следует выбрать. Чем «большим» объемом информации об относительной важности критериев мы располагаем, тем на «большую» степень сужения множества Парето можно рассчитывать.
5.1. Случай, когда один критерий (по отдельности) важнее двух других. Рассмотрим ситуацию, когда заданная информация об относительной важности содержит два сообщения, состоящие в том, что какой-то один критерий важнее по отдельности двух других. Необходимо отметить, что данная ситуация не равнозначна той, в которой имеется лишь одно сообщение о том, что какой-то один критерий важнее группы, состоящей из двух других критериев. В частном (четком) случае это установлено в [1].
Итак, пусть имеется набор информации об относительной важности критериев, состоящий из двух сообщений о том, что критерий г важнее критерия ] с положительными параметрами мл,- и степенью уверенности /¿1 £ (0,1], а также критерий г важнее критерия к с положительными параметрами и степенью уверенности
/х2 £ (0,1], причем /¿1 ^ /12- Введем следующую функцию принадлежности:
\¥(у) = 1-8ир<(г,у) У у £ У,
(5.1)
2 6 У
С{г,у)
1, если г — у € II™, Ш, если г - у £ Н+ , г-у $ 11+,
если г-уе П"'+1, г - у £ И™, г - у $ Ж
т
'4-'
т
т
(5.2)
0, в остальных случаях,
причем
У = {ух, • ■ • , Vj-1, WjVi + WiVj, yj+i, . . . , Ут), y - (yi,---,yj-i,Wjyi + myj,yj+i, • • • ,Vk-i, WkVi + w\yk,
Ук+1,- • -,ym,WjWkyi + WiWkXJj + wjw\yk),
Z = (Zi,...,Zj-i,WjZi +WiZj,Zj+i,...,Zm), z = (zi,.. . , Zj—i j IVjZi + WiZj,Zj+1, . . .,Zk-l,WkZi + w'iZk,
zk +1, • • • ,zm, WjWkZi + WjWkZj + WjW'iZk).
Следующий результат, сформулированный В. Д. Ногиным, показывает, каким образом в процессе принятия решений с помощью введенной функции принадлежности можно производить учет указанного набора из двух сообщений.
Теорема 5.1. Пусть нечеткое отношение предпочтения ЛПР удовлетворяет аксиомам 2~4 и i,j,k Ç. I ; i Ф j, i ф k, j ф к. Предположим, что для этого ЛПР критерий г ваэюнее критерия j с заданными положительными параметрами W{, Wj и степенью уверенности pi £ (0,1], а также критерий г ваэюнее критерия к с заданными положительными параметрами w\, wk и степенью уверенности Ц2 £ (0,1], причем pi ^ Р2- Тогда для любой функции принадлежности Af-(-) нечеткого множества выбираемых векторов, подчиненной аксиоме 1, выполняются неравенства
Vy е г,
где XÇ(y) - функция принадлеэюносгпи множества Парето, а X у (у) - функция принадлежности, определяемая равенством (5.1).
Доказательство (принадлежит А. В. Богдановой). Зафиксируем произвольное нечеткое множество выбираемых векторов с функцией принадлежности Ау(-).
Благодаря лемме 4.1 заданное на критериальном пространстве нечеткое отношение предпочтения /¿(-,-)> удовлетворяющее по условию теоремы аксиомам 2-4, является конусным отношением с нечетким острым выпуклым конусом К, который с единичной степенью принадлежности включает неотрицательный ортант и не содержит начала координат.
Согласно условию теоремы, имеются два сообщения, поэтому к = 2. Рассмотрим два четких конуса К\ и К2, обозначения которых согласованы с обозначениями п. 4. Для них выполняется включение К\ С К2.
Согласно лемме 4.2, наличие информации об относительной важности г-го критерия по сравнению с j-м означает, что вектор у' с компонентами у[ = , y'j = —Wj, y's = 0 для всех s £ I \ {i,j} принадлежит конусу К\, т. е. у' £ К\. со степенью принадлежности fii = fi(y', 0т). Аналогично, благодаря наличию информации об относительной важности г-го критерия по сравнению с А:-м, вектор у" с компонентами у" = ги[, y'I = — wk, y's = 0 для всех s £ I \ {г, к} принадлежит конусу К 2, т. е. у" £ К2, причем его степень принадлежности равна р2 = ^{у", 0т).
Сначала установим непротиворечивость данного набора сообщений об относительной важности критериев. Для этой цели будем использовать сформулированную ранее теорему 4.1. Система линейных уравнений (4.1) в данном случае принимает вид Aie1 + ... + Хте"г + £1 у' + Ç2y" = 0. Из г-го уравнения данной системы вытекает X, = £1 = £2 = 0. Тогда из j-го и к-го уравнений получаем Xj = Хк = 0. Рассмотрение остальных уравнений указанной системы приводит к выводу о том, что и все остальные компоненты As равны нулю. Следовательно, выписанная выше система не имеет ненулевых неотрицательных решений относительно Ai,..., Хт, ¿ц, £2 • Отсюда сразу следует, что в случае /ii = р2 данный набор информации непротиворечив.
Предположим, что > /¿2, и проверим второе условие теоремы 4.1. Допустим противное, т. е. у" € Отсюда вытекает, что вектор у" может быть представлен в виде неотрицательной линейной комбинации векторов е1,... ,ет,у'. Рассмотрение векторного равенства Aie1 + ... + Amem + £1 у' = у" (точнее говоря, его к-го уравнения) приводит к неравенству Хк < 0, что противоречит условию неотрицательности коэффициентов Ai,...,Am. Следовательно, согласно теореме 4.1, рассматриваемый набор нечеткой информации об относительной важности критериев действительно непротиворечивый.
Введем два нечетких конуса с суппортами К i и К2. Через Mi обозначим нечеткий конус с суппортом К\, все элементы которого, принадлежащие неотрицательному ортанту, имеют степень принадлежности 1, а остальные - ¡лх. Через М2 обозначим нечеткий конус, суппортом которого является К2, причем всем его элементам, входящим в неотрицательный ортант, приписана степень принадлежности 1, а остальным - ¡jl2.
Обозначим символом M нечеткий конус (без нуля), суппорт которого порожден векторами е1,..., е'п, у1, у", причем M - объединение нечетких конусов Mi и М2- Вследствие того, что заданная в условиях теоремы информация об относительной важности критериев непротиворечива, нечеткий конус M также острый и выпуклый. Тем самым, векторам суппорта supp М{— К2), входящим в неотрицательный ортант, приписана степень принадлежности 1 (кроме начала координат, степень принадлежности которого равна 0), векторам, принадлежащим конусу К\ и не принадлежащим неотрицательному ортанту, - /ii, а векторам, составляющим конус К2, но не входящим в К i, - соответственно ¡л2 ■
Из доказательств теорем 4.2 и 2.5 из [1] следует, что суппорт конуса M совпадает со множеством всех ненулевых решений системы линейных неравенств
2/s = 0 Vs € I\{j,k}, WjVi + WiVj ^ 0, wkyi + w[yk ^ 0, WjWkyi + U!iWkyj + WjW'^k ^ 0,
a supp Mi - множество всех решений системы линейных неравенств
y.Z о Vs е i\{j}, Wjyi + Wiyj ^ 0.
Рассмотрим нечеткое конусное отношение, конус которого M. Обозначим его Анализ показывает, что оно в точности совпадает с тем, которое обозначено той же буквой, и определяется равенством (5.2). Из определения функции принадлежности (5.1) и равенства (5.2) следует, что нечеткое множество, функция принадлежности которого есть А у (у), представляет собой нечеткое множество недоминируемых векторов относительно отношения
Неотрицательный ортант входит в M с единичной степенью принадлежности. В свою очередь, конус M содержится в конусе К нечеткого отношения На этом
основании множество Парето включает множество недоминируемых векторов относительно конусного отношения Ç, которое содержит множество недоминируемых векторов, соответствующее конусному отношению М. В силу леммы 4.3, любое нечеткое множество выбираемых векторов является подмножеством последнего множества. Тем самым, неравенства А у (у) ^ А у (у) А у {у) для всех у £ Y доказаны.
Поясним смысл теоремы 5.1. Анализ ее формулировки показывает, что для построения нечеткого множества с функцией принадлежности \у (у) следует решить три (четкие) многокритериальные задачи. Начать следует с нахождения множества парето-оптимальных векторов в многокритериальной задаче, содержащей исходную векторную функцию / и множество возможных решений X. После чего всем векторам полученного множества Парето нужно присвоить степень принадлежности, равную единице, а остальным векторам - нулевую степень принадлежности. Затем на том же самом множестве возможных решений X необходимо рассмотреть вторую многокритериальную задачу с новой векторной функцией, имеющей компоненты для всех в € 1\&} и ]-тл компонентой видау^/,4-. Отыскав множество парето-оптимальных векторов для последней задачи, всем векторам «предыдущего» множества Парето, которые не попали в найденное множество Парето, присвоить степень принадлежности 1 - . Наконец, на множестве X следует рассмотреть третью многокритериальную задачу, имеющую исходные компоненты для всех в Е 1\ У,/с), новую ^'-тую компоненту вида ю^/, + Wifj, новую к-тую компоненту вида + ги'{Д и дополнительную (т + 1)-тую компоненту /т+1 = и^и^/г + ы^иок}] + ю^го^/к- После определения множества парето-оптимальных векторов в этой задаче векторам последнего множества Парето, которые не попали ни в первое, ни во второе множества Парето, следует присвоить степень принадлежности 1 — /¿2- В итоге будет построено нечеткое множество векторов, которое будет представлять собой некоторую оценку сверху для неизвестного множества выбираемых векторов Эе1(У) в том смысле, что любое выбираемое множество векторов не должно «выходить за пределы» построенной оценки сверху.
Пример. Пусть выполняются все предположения теоремы 5.1 и ш = 3, / = (/ь/з./з), У = {у1,у2,у3У,У5,у6} 6 Я3, где
у1 = (4,3,5), у2 = (0,3,2), у3 = (1,2,3), у4 = (4,3,0), у5 = (5,2,7), ув = (2,5, 5). В данном случае множество парето-оптимальных векторов состоит из трех элементов:
А = Ау(у5) = Ау(у6) = 1, А = л (V) = А ?(у4) = 0.
Предположим, что от ЛПР получена следующая информация:
и>! = 0.4, ш2 = 0.6, = 0.5, ш3 = 0.5, ц{у\у2) = 0.6, »{у1,у3) = 0.4.
В соответствии с теоремой 5.1 вычисляем
у1 =(4,3.6,5), у2 = (0,1.2,2), у8 = (1,1.4,3), У4 — (4,3.6,0), у6 = (5,3.8,7), у6 = (2,3.2,5).
Здесь множество парето-оптимальных векторов состоит из двух элементов - первого и пятого. Поэтому в соответствии с замечанием 5.1 полагаем
А№) = АР(у5) = 1, Ху(у6) = 0.4, Ху {у2) = Ху(у3) = ^У) = 0.
Далее, согласно теореме 5.1, находим /4 = О.З/1 + О.2/2 + О.З/3. Поэтому
у1 = (4,3.6,4.5,3.3), у2 = (0,1.2,1,1.2), г/ = (1,1.4, 2,1.6), у4 = (4,3.6,2,1.8), у5 = (5,3.8,6,4), у6 = (2, 3.2,3.5, 3.1).
Здесь парето-оптимальным будет пятый вектор. В итоге получаем
а№) = 1, (у1) = 0.6, \у(у6) = 0.4, Ху (у2) = А№) = аГЛу4) = 0. (5.3)
Таким образом, в данном примере нечеткое множество с функцией принадлежности (5.3) дает оценку сверху для неизвестного множества выбираемых векторов. Иными словами, всякое множество выбираемых векторов (при условии выполнения аксиом выбора) должно содержаться в указанном нечетком множестве.
5.2. Случай, когда два критерия (по отдельности) важнее третьего. Прежде всего заметим, что такой случай не равнозначен ситуации, когда имеется одно сообщение, состоящее в том, что группа из двух данных критериев важнее какого-то третьего критерия. В частном (четком) случае эта неравнозначность выявлена в [1].
Пусть имеются два сообщения о важности: критерий г важнее критерия к с заданными положительными параметрами и>к и степенью уверенности £ (0,1], а критерий ] важнее критерия к с заданными положительными параметрами ъи^, ги'к и степенью уверенности /1-2 £ (0,1], причем Ц2-Введем функцию принадлежности
ХР(У) = 1-8ирС(г,у) Уу&У,
гбУ
(5.4)
((г,у) = <
П,
(Н,
И2,
о,
если г — у £ К/ если г - у £ К.™, г - у $ И™, если г - у £ Я'^, г - у $ К™, г - у в остальных случаях,
К
Уг/, г £ У, уф г,
■+ >
причем
У = (У1,---,Ук~1,ЩУк +гику1,ук+и...,ут), У = (г/1, • • ■Ук-\,И>з'и>кУ1 + WiW'kУj + ици>1ук,ук+1, . . .,ут),
г= .. + гк+\, ■ ■ ■, гт),
? = (2/1, • • • 1, г^-ги*^ + + WiWjzk,zk+1,..., гт).
Следующий результат, принадлежащий А. В. Богдановой, показывает, каким образом можно производить учет указанного набора из двух сообщений в процессе принятая решений. Его доказательство во многом сходно с доказательством теоремы 5.1 и потому опускается.
Теорема 5.2. Пусть нечеткое отношение предпочтения ЛПР удовлетворяет аксиомам 2-4 и 1,3>к £ I; г ф г ф к, ] ф к. Предположим, что для этого ЛПР критерий г важнее критерия к с заданными положительными параметрами w^, юк и степенью уверенности ¡л\ £ (0,1], а критерий ] важнее критерия к с заданными положительными параметрами , и>'к и степенью уверенности £ (0,1], причем /¿1 ^ ^2- Тогда для любой функции принадлежности Ау(-) нечеткого множества выбираемых векторов, удовлетворяющей аксиоме 1, выполняются неравенства
АуЫ ^ ^у(у) = Ау(у) Уу£У,
где Xу (у) - функция принадлежности множества Парето, а Ху{у) - функция принадлежности, определяемая равенством (5.4).
Нетрудно видеть, что, в соответствии с теоремой 5.2, для построения оценки сверху для неизвестного множества выбираемых векторов в случае, когда имеется нечеткая информация, состоящая в том, что два критерия по отдельности важнее третьего, следует решить три определенные четкие многокритериальные задачи (аналогично теореме 5.1). При этом число критериев в последней (третьей) многокритериальной задаче, в отличие от теоремы 5.1, сохраняется прежним.
6. Заключение и перспективы дальнейших исследований. В работе была сформулирована задача нечеткого многокритериального выбора, введено понятие непротиворечивого набора нечеткой информации об относительной важности, сформулирован критерий непротиворечивости и представлены результаты, демонстрирующие, каким образом следует учитывать нечеткую информацию об относительной важности критериев, состоящую из двух сообщений и содержащую три критерия.
Наличие этих результатов открывает перспективу дальнейшего изучения рассмотренных вопросов учета конечного набора сообщений об относительной важности критериев в следующих направлениях. Во-первых, вместо трех критериев можно рассмотреть случай трех групп критериев, где каждая группа содержит произвольное конечное число критериев. Во-вторых, предполагается осуществить учет не двух, а любого конечного числа сообщений. В-третьих, оба указанных направления можно скомбинировать, рассматривая различные возможные комбинации конечного числа сообщений, содержащих более трех групп критериев.
Авторы признательны рецензентам за ряд замечаний, способствовавших удалению неточностей и улучшению качества изложения данной работы.
Summary
Bogdanova А. V., Noghin V. D. Reduction of the Pareto set based on some compound information on the relative importance of criteria.
Assuming that a decision maker's preference relation is fuzzy, a multicriteria choice problem is considered. A consistency criterion for compound information on the relative importance of criteria is formulated. The main results of the paper demonstrate how some numerical information on the decision maker's fuzzy preference relation may be used in order to facilitate a decision making process.
Литература
1. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2005. 176 с.
2. Подиновский В. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Д. М. Гвишиани, С. В. Емельянова. М.: Машиностроение, 1978. С. 48-82.
3. Zadeh L. A. Fuzzy sets// Inform. Control. 1965. Vol. 8. P. 338-353.
4. Ногин В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения// Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2003. Т. 43, № 11. С. 1676-1686.
5. Noghin V. D. Upper estimate for fuzzy set of nondominated solutions // Fuzzy Sets and Systems. 1994. Vol. 67. P. 303-315.
6. Черников С. H. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968, 488 с.
Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.
