Критерий непротиворечивости «Квантов» информации о нечетком отношении предпочтения лица, принимающего решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8 О. В. Басков

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2

КРИТЕРИЙ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ «КВАНТОВ» ИНФОРМАЦИИ О НЕЧЕТКОМ ОТНОШЕНИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛИЦА, ПРИНИМАЮЩЕГО РЕШЕНИЯ*)

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В работе развивается аксиоматический подход к сужению множества Парето, в котором сужение производится за счет учета «квантов» информации об отношении предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Эта информация предоставляется самим ЛПР и может носить нечеткий характер. Для того чтобы данный метод сужения был применим, от ЛПР требуется согласие с определенным набором аксиом. Тогда для решения задачи можно использовать недавно разработанный алгоритм. Предлагается способ проверки информации, полученной от ЛПР, на непротиворечивость, которую можно осуществлять по ходу работы алгоритма. Получено необходимое и достаточное условие того, что предоставленные ЛПР «кванты» информации согласуются с принятыми аксиомами. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: сужение множества Парето, аксиоматический подход, «кванты» информации, нечеткие множества.

O. V. Baskov

A CRITERION OF CONSISTENCY OF INFORMATION «QUANTA» ON THE PREFERENCE RELATION OF THE DECISION MAKER

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation

A model of multicriteria decision problem is considered, where a decision maker has to choose one or several options from a set of possible choices based on estimates of the choices by several numerical criteria and his own preferences. It is well known that the choice must belong to the Pareto set, but in pratice this set is often too large to make a choice directly. Therefore a problem of reducing the Pareto set arises. An axiomatic approach to this problem is adopted. The decision maker is required to accept the so called axioms of rational choice. With these axioms, it is possible to perform the Pareto set reduction based on a certain kind of information «quanta» given by the decision maker. Each «quantum» represents a certain compromise, when the decision maker prefers to choose an option with higher estimates by one group of criteria even though by other criteria that option may have worse estimates. The decision maker can also specify a degree of certainty in such a compromise. An algorithm has been developed for accounting for these «quanta» and reducing the set of choices. In this paper consistency of the information provided by the decision maker is examined. A criterion of contradictoriness of the «quanta» is suggested that can be checked in the process of the algorithm for accounting the «quanta». Bibliogr. 7.

Keywords: Pareto set reduction, axiomatic approach, information «quanta», fuzzy sets.

Введение. Задачи принятия решений встречаются в различных областях человеческой деятельности. В них ответственному лицу надлежит выбрать одну или несколько альтернатив из множества возможных вариантов. Задаются в общем случае несколько критериев, по которым оценивается каждый вариант. Лицо, принимающее решение (ЛПР), стремится выбрать такой вариант, который имеет как

Басков Олег Владимирович — аспирант, ассистент; e-mail: [email protected] Baskov Oleg Vlo,d,imirovich — post-graduate student, assistant; e-mail: [email protected]

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №14-07-00899).

можно лучшие оценки по всем критериям. Однако часто критерии характеризуют противоречащие свойства альтернатив. В таких случаях варианта, на котором все критерии достигают наилучших (наибольших или наименьших) значений, не существует, и ЛПР вынуждено искать компромиссное решение.

Подходы к решению этой задачи подробно освещены в [1]. Данная работа развивает аксиоматический подход, описанный в [2]. В его рамках от ЛПР требуется согласие с набором аксиом «разумного» выбора. При их выполнении варианты следует искать среди множества парето-оптимальных. Однако часто оно оказывается большим, и произвести выбор из него варианта затруднительно. Это приводит к вопросу о сужении множества Парето.

Два алгоритма сужения множества Парето были представлены в [3]. Затем в [4] было разработано обобщение одного из этих алгоритмов на случай, когда предоставляемая ЛПР информация носит нечеткий характер. В настоящей работе рассматривается вопрос о проверке информации, поступающей от ЛПР, на непротиворечивость.

Задача многокритериального выбора. Предположим, что заданы множество возможных вариантов X и набор числовых критериев /1,..., /т, по которым они оцениваются, т. е. известен векторный критерий / = (/1,..., /т) : X ^ Мт. Вкусы ЛПР моделируются с помощью отношения предпочтения Ух, смысл которого состоит в следующем: х' Ух х'' означает, что при сравнении пары вариантов х' и х" ЛПР отдает предпочтение первому и не выбирает второй, т. е. х' «лучше» х''. Однако зачастую выбор оказывается затруднительным, поэтому предоставляется возможность указать степень уверенности в том, что один вариант лучше другого. Таким образом, отношение предпочтения является нечетким, и его функция принадлежности будет обозначаться цх. Задача состоит в том, чтобы построить как можно более точную верхнюю оценку множества выбираемых решений С (X), которое также нечеткое и описывается функцией принадлежности АС(Х).

Для удобства рассуждений вводятся также множество возможных векторов С (¥) = / (С (X)), представляющее собой множество векторных оценок возможных вариантов, и индуцированное на нем отношение предпочтения У у, описываемое функцией принадлежности ¡у: ¡х (х', х'') = ¡у (/ (х'), / (х'')).

Будем считать, что выполнены следующие четыре аксиомы «разумного» выбора [5].

Аксиома 1. Если для некоторых вариантов х',х'' € X выполняется соотношение ¡х (х',х'') = ¡0, то АС(Х) ^ 1 — ¡0. Другими словами, если вариант х' «лучше», чем х'', то и выбирать вместо х'' следует именно его.

Аксиома 2. Существует иррефлексивное транзитивное продолжение У нечеткого отношения предпочтения Уу на все пространство Мт. Функция принадлежности отношения У будет обозначаться ¡.

Эта аксиома позволит рассуждать не только об имеющихся вариантах, но и строить гипотетические альтернативы. Кроме того, она накладывает требование транзитивности на предпочтения ЛПР.

Аксиома 3. Для любого орта ек пространства Мт, произвольного вектора у € Мт и числа а > 0 выполнено ¡{у + аек,у) = 1. Здесь постулируется заинтересованность ЛПР в максимизации всех критериев. Понятно, что если какой-либо критерий /к выгодно минимизировать, следует заменить его на —/к.

Аксиома 4. Для произвольных а > 0 и с, у', у'' € Мт справедливо равенство Л (ау' + с,ау'' + с) = л (у',у''). Другими словами, отношение предпочтения предполагается инвариантным относительно положительного линейного преобразования.

При выполнении этих аксиом справедлив принцип Эджворта-Парето:

Теорема 1 [5]. Для любого нечеткого множества выбираемых вариантов C (X) имеет место включение C (X) С Pf (X), т. е. AC(X) (x) ^ APf (X) (x) для всех вариантов x € X.

Для получения более точной оценки множества выбираемых вариантов используются так называемые «кванты» информации об отношении предпочтения ЛПР.

Определение 1. «Квантом» информации об отношении предпочтения ЛПР называется вектор u с сопоставленной ему степенью уверенности v, если этот вектор имеет хотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты и выполнено соотношение ц (и, 0) ^ v > 0.

Содержательно наличие такого «кванта» означает, что ЛПР готово пойти на компромисс, соглашаясь потерять несколько пунктов по одним критериям ради получения более высоких оценок по другим.

Если задан конечный набор «квантов» и1, ...,up с соответствующими степенями уверенности vi,...,vp, то использовать их для уточнения оценки множества выбираемых вариантов позволяет следующая теорема.

Теорема 2 [4]. Каким бы ни было нечеткое множество выбираемых вариантов C (X), для всех x € X выполняется неравенство

Ac(x) (x) < min max 9 k,

( ) x'eXf (x') = f (x) k:gk f (x)>gk f (x')

где g1,...,gq с соответствующими степенями принадлежности 91,...,9q суть образующие нечеткого конуса, двойственного к нечеткой конической оболочке векторов e1,..., em, и1, ...,up со степенями принадлежности l,...,l,v1,...,vp.

Выражение в правой части является функцией принадлежности множества, содержащего все выбираемые варианты. При этом нетрудно показать, что это множество уже, чем множество Парето.

Отметим, что если все «кванты» информации имеют степень уверенности, равную единице, то получаемая оценка оказывается четкой. Более того, она есть не что иное, как множество Парето относительно нового векторного критерия, компоненты gkf которого вычисляются с помощью образующих упомянутого двойственного конуса.

Если же у некоторых «квантов» степень уверенности менее единицы, компоненты gkf, k = l,...,q, также можно считать новым векторным критерием, однако теперь с каждой компонентой gkf сопоставляется число 9k € (0; 1]. Если некоторый вариант x доминирует x' только по компонентам, с которыми сопоставлено число а или менее, то степень принадлежности x множеству выбираемых вариантов не может превосходить а. Таким образом, такое нечеткое множество представляет собой «наслоение» множеств Парето, т. е. степень принадлежности ему варианта x равна а в том и только в том случае, если x содержится во множестве Парето относительно векторного критерия с компонентами gkf для k : 9k ^ а, но, если а < 1, не содержится во множестве Парето относительно векторного критерия с компонентами gkf для k : 9k > а.

Алгоритм построения двойственного конуса. Из теоремы 2 видно, что проблема сужения множества Парето с использованием «квантов» информации u1,...,up с соответствующими степенями уверенности vi,...,vp сводится к задаче отыскания образующих нечеткого конуса L, двойственного к нечеткой конической оболочке K векторов e1,..., em, u1, ...,up со степенями принадлежности 1,..., 1,vi,..., vp.

Эта задача решается алгоритмом, описанным в [4]. Он начинает работу с самодвойственного неотрицательного ортанта - конической оболочки векторов е1,...,ет с единичными степенями принадлежности. Обозначим его Ко = Ъо. На каждом шаге в к конусу К8_1 добавляется образующая и8 со степенью принадлежности и вычисляются образующие двойственного к полученному конусу К8 нечеткого конуса . За р шагов алгоритм дает искомые образующие конуса = Ъ.

Обозначим образующие конуса за Ь1,..., ЬГз-1, а соответствующие им степени принадлежности /31,...,вГд_1. Тогда для нахождения образующих конуса следует:

1) разбить образующие на три группы: А8 = {г : Ьгия > 0}, В8 = {] : Ъив < 0}, С8 = {к : Ьки8 = 0};

2) в список образующих конуса включить образующие Ьк со степенями принадлежности ¡3к для всех к € А8 и С8;

3) включить также образующие Ь° со степенями принадлежности шт {[3^; 1 — для всех ] € В8;

4) для всех пар (г,]) € А8 х В8 дополнить список векторами (ияЬ^ Ь — (и8Ь^) Ьг со степенями принадлежности шт {вг; /З^}.

Для удобства переобозначим занесенные в список векторы ё1 ,...,ён, а их степени принадлежности 51,...,5^. Для каждой образующей следует составить множество

Т (¿ка = {ег : егёк = 0} и {иг : игёк = 0,^г + 5к > 1,г < в} .

Из списка можно исключить те образующие ¿к, для которых 5к =0 или существует другой вектор ¿г : Т Э Т . Оставшиеся векторы и являются образующими конуса .

Противоречивость набора информации. В процессе принятия решений ЛПР опрашивают с целью выявления «квантов» информации о его отношении предпочтения. Получаемая информация применяется для сужения множества Парето и упрощения процедуры выбора. Однако для надежного использования предоставляемых ЛПР «квантов» следует убедиться, что они не являются противоречивыми.

Определение 2. Набор «квантов» информации и1, ...,ир с соответствующими степенями уверенности у1,...,^р называется противоречивым, если не существует такого нечеткого отношения У с функцией принадлежноести ¡а, которое удовлетворяет всем аксиомам «разумного» выбора и соотношениям л (и1,0) ^ Vl, ..., л (ир, 0) ^ ир.

Другими словами, противоречивость означает, что предпочтения ЛПР, которые оно описывает с помощью «квантов», не согласуются с аксиомами «разумного» выбора. В этом случае следует пересмотреть набор «квантов» и изменить их так, чтобы аксиомы не нарушались. В худшем случае это невозможно, предпочтения ЛПР не удовлетворяют аксиомам, и рассматриваемый подход неприменим.

В процессе учета «квантов» проверять их непротиворечивость позволяет следующая теорема.

Теорема 3. Если на некотором шаге в алгоритма построения образующих двойственного нечеткого конуса оказывается, что среди образующих группы А8 нет таких, степень принадлежности которых равна единице, то набор «квантов» информации и1, ...,ив со степенями уверенности и1,...,и8 противоречив.

Для ее доказательства нам понадобятся несколько вспомогательных фактов. Прежде всего отметим, что в рамках аксиом «разумного» выбора отношение предпочтения ЛПР является конусным [6], т. е. существует нечеткий конус М с функцией принадлежности п такой, что л (х, у) = п (х — у) для любых векторов х,у € Кт.

Приведем определение нечеткой конической оболочки, упоминавшейся в теореме 2.

Определение 3 [7]. Нечеткой конической оболочкой векторов о1,...,о8 со степенями принадлежности «1 ^ ■ ■■ ^ а8 называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Л (х) = шах { ак : х € еопе { о1 ,...,ок}} ,

причем максимум по пустому множеству считается равным нулю. Нечеткий конус, представимый в виде нечеткой конической оболочки конечного числа векторов, называется конечнопорожденным.

Из этого определения видно, что функция принадлежности конечнопорожденно-го нечеткого конуса может принимать лишь конечное число значений.

Далее приведем одно свойство двойственных нечетких конусов.

Определение 4 [7]. Двойственным нечетким конусом к нечеткому конусу с функцией принадлежности & называется нечеткое множество с функцией принадлежности

ф (х) = М (1 — & (у)) .

Для полноты степень принадлежности нулевого вектора можно полагать равной единице.

Лемма. Пусть & и ф - функции принадлежности конечнопорожденных нечетких конусов, двойственных друг другу. Тогда ядро & двойственно суппорту ф.

Доказательство. Напомним, что ядром нечеткого множества называется совокупность его векторов, имеющих степень принадлежности, равную единице. Обозначим С = {х € Кт : & (х) = 1}. Суппорт нечеткого конуса с функцией принадлежности ф определяется как множество В = {у € Кт : ф (у) > 0}. Рассмотрим конус Е, двойственный к С. Эти конусы четкие, потому по определению Е = {у € Мт : Ух € С ^ ху > 0}.

Возьмем произвольный вектор у € В. Так как ф (у) = М (1 — & (х)) > 0,

х£Жт:ху<0

для всех х : ху < 0 верно 1 — & (х) > 0, т. е. & (х) < 1, и такие векторы х не входят в ядро & - конус С. Следовательно, Ух € С ^ ху ^ 0. А значит, у € Е, т. е. справедливо включение В С Е.

Рассмотрим теперь Уу € Е. Тогда для всякого х € Кт : & (х) = 1 имеет место ху ^ 0. Таким образом, если ху < 0, то & (х) < 1. В силу того, что конус & конечно-порожденный, функция & может принимать лишь конечное число значений, следовательно, За : Ух : ху < 0 ^ & (х) ^ а < 1. А тогда ф (у) = М (1 — & (х)) ^ а > 0

:ху<0

и у € В. Итак, В = Е, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 3. Предположим, что набор непротиворечив, т. е. существует нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности ц, удовлетворяющее всем аксиомам и соотношениям ц (ик, 0) = Vк для к = 1,...,в.

Рассмотрим ядро нечеткого конуса Е8_1. Оно является четкой конической оболочкой тех его образующих Ь1 , ...,ЬЧ, которые имеют степень принадлежности, равную единице. Если они не входят в группу А8, то все эти образующие оказываются в неположительном полупространстве, образованном гиперплоскостью с нормалью ия: Ук ^ Ькия ^ 0. Но тогда Ьк (—ия) ^ 0, и вектор —и88 принадлежит конусу, двойственному к ядру конечнопорожденного нечеткого конуса Е8_1, который в соответствии с леммой есть не что иное, как суппорт нечеткого конечнопорожденного конуса К8_1. Данный конус, в свою очередь, содержится в конусе отношения предпочтения ЛПР. Следовательно, конус отношения предпочтения не является острым, так

как он с ненулевыми степенями принадлежности включает векторы us и -us. Другими словами, ¡л (us, 0) > 0 и ¡л (—us, 0) = ¡л (0, us) > 0. Но это противоречит иррефлексивности отношения предпочтения. Таким образом, предположение несостоятельно, и набор «квантов» противоречив. Теорема доказана.

Установим теперь справедливость противоположного утверждения.

Теорема 4. Если на каждом шаге s алгоритма построения образующих двойственного нечеткого конуса группа As содержит хотя бы одну образующую с единичной степенью принадлежности конусу Ls_1; то набор «квантов» информации u1,...,up с соответствующими степенями принадлежности v1,...,vp непротиворечив.

Доказательство. Рассмотрим конусное нечеткое отношение ¡л с конусом Kp. Так как среди образующих этого конуса есть все «кванты» uk, то ¡л (uk, 0) ^ Vk. Образующими являются орты пространства, ¡л (ek, 0) = 1 для всех индексов к, откуда с учетом конусности следует выполнение аксиомы 3. Конусность этого отношения влечет справедливость аксиомы 4. Транзитивность напрямую следует из выпуклости конечнопорожденного конуса Kp.

Покажем, что если на шаге s ранг набора образующих конуса Ls_i с единичными степенями принадлежности равен m и группа As содержит хотя бы одну из них, то ранг набора образующих конуса Ls с единичными степенями принадлежности также равен m. Обозначим образующие конуса Ls_i с единичными степенями принадлежности Ьк, к = 1,...,q. Образующими конуса Ls с единичными степенями принадлежности являются векторы Ьк для к G As U Cs и (usb) bj — (usbj) Ьг для (i, j) G As x Bs. Предположим, что ранг этих векторов меньше m. Тогда есть вектор v, ортогональный им всем. Среди них есть образующая Ьг из группы As. Так как vbl = 0, то для всех j G Bs справедливо

. v ((usbi) bj — (usV) bi) + (usbj) (vbi) vir =-—- = 0.

usbi

Следовательно, все образующие Ьк ортогональны вектору v, и их ранг не может быть равен m, что противоречит предположению.

Рассмотрим векторы x,y G Km : ¡л (x, y) > 0. Тогда вектор x — y имеет ненулевую степень принадлежности конусу Kp. Предположим, что вектор y—x также имеет ненулевую степень принадлежности этому конусу. Отсюда двойственное к суппорту Kp ядро конуса Lp лежит в гиперплоскости, ортогональной вектору x — y. Следовательно, ранг образующих конуса Lp с единичной степенью принадлежности меньше m. Однако ранг образующих конуса Lo с единичной степенью принадлежности - ортов пространства Rm - равен m. Но по условию на каждом шаге алгоритма s группа As содержала образующие с единичной степенью принадлежности, таким образом, ранг образующих конуса Lp с единичной степенью принадлежности должен быть равен m. Данное противоречие показывает, что вектор y—x не может принадлежать конусу Kp. Итак, yx, y G Km : ¡л (x,y) > 0 ^ ¡л (y, x) = 0, и нечеткое отношение ¡л иррефлексивно.

Таким образом, нечеткое отношение, удовлетворяющее всем аксиомам и соотношениям ¡л (uk, 0) ^ Vk, существует, что и требовалось доказать.

Заключение. Теоремы 3 и 4 в совокупности дают критерий непротиворечивости набора «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР: набор «квантов» противоречив в том и только в том случае, если на некотором шаге алгоритма среди образующих с единичной степенью принадлежности не оказывается тех, которые

лежат в положительном полупространстве. Этот критерий позволяет проверять надежность поступающей от ЛПР информации в процессе принятия решения.

Литература

1. Ногин В. Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению // Искусственный интеллект и принятие решений. 2008. № 1. C. 98—112.

2. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002. 176 с.

3. Ногин В. Д., Басков О. В. Сужение множества Парето на основе учета произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения // Докл. РАН. 2011. Т. 438, № 4. С. 1-4.

4. Басков О. В. Алгоритм сужения множества Парето на основе конечного набора нечеткой информации об отношении предпочтения ЛПР // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. Т. , № . С. 00-00.

5. Ногин В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2003. Т. 43, № 11. С. 1676-1686.

6. Богданова А. В., Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе простейших наборов нечеткой информации об относительной важности критериев // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 3-17.

7. Басков О. В. Двойственные нечеткие конусы // Процессы управления и устойчивость: Труды XLIII междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 449-453.

References

1. Nogin V. D. Problema sugheniya mnogestva Pareto: podhody k resheniyu (Pareto set reduction: solution approaches). Iskusstvennyj intellekt i prinyatie reshenij, 2008, no. 1, pp. 98-112.

2. Nogin V. D. Prinyatie resheniy v mnogokriterial'noy srede: kolichestvennyj podhod (Decision making in multicriteria environment: quantitative approach). Moscow: Fizmatlit, 2002, 176 p.

3. Nogin V. D., Baskov O. V. Sughenie mnogestva Pareto na osnove ucheta proizvol'nogo konechnogo nabora chislovoy informatsii ob otnoshenii predpochteniya (Pareto set reduction based on an arbitrary finite collection of numerical information on preference relation). Dokl. RAN, 2011, vol. 438, no. 4, pp. 1-4.

4. Baskov O. V. Algorithm sugheniya mnogestva Pareto na osnove konechnogo nabora nechyotkoy informatsii ob otnoshenii predpochteniya LPR (Algorithm for Pareto set reduction based on a finite collection of fuzzy information on preference relation of decision maker). Iskusstvennyj intellekt i prinyatie reshenij, 2014, vol. , no. , pp. .

5. Nogin V. D. Printsip Edgewortha-Pareto i otnositel'naya vaghnost' kriteriev v sluchaye nechyotkogo otnosheniya predpochteniya (Edgeworth-Pareto principle and relative importance of criteria in case of fuzzy preference relation). J. vychislit. mathematiki i mathem. fiziki, 2003, vol. 43, no. 11, pp. 1676-1686.

6. Bogdanova A. V., Nogin V. D. Sugheniye mnogestva Pareto na osnove prosteyshyh naborov nechyotkoy informatsii ob otnositel'noj vaghnosti kriteriev (Pareto set reduction based on simplest collections of fuzzy information on the relative importance of criteria). Vestnik S.-Peterb. un-ta, ser. 10: Prikladnaya matematika, informatika, processy upravleniya, 2007, issue 2, pp. 3-17.

7. Baskov O. V. Dvoystvenniye nechyotkiye konusy (Dual fuzzy cones). Processy upravleniya i ustoychivost': Trudy XLIII meghdunar. nauchn. konferentsii aspirantov i studentov. Pod red. А. S. Erem^, N. V. Smirnovа. St.-Petersburg: Izdat. Dom S.-Peterb. un-ta, 2012, pp. 449-453.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.