Сужение множества Парето на основе замкнутой информации о нечетком отношении предпочтения лица, принимающего решение Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.859 А. О. Захаров

СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО НА ОСНОВЕ ЗАМКНУТОЙ ИНФОРМАЦИИ О НЕЧЕТКОМ ОТНОШЕНИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛИЦА, ПРИНИМАЮЩЕГО РЕШЕНИЕ *>

1. Введение. Многие задачи принятия решений являются многокритериальными по своей природе, поскольку несут в себе экономические, технические, социальные, политические и другие аспекты, что делает процесс выбора без привлечения математического аппарата крайне сложной процедурой. Потому разработка современных методов по решению задач многокритериального выбора является в настоящее время актуальной задачей. Один из вопросов при построении таких методов заключается в том, что понимать под «оптимальным» решением, на чем должен быть основан выбор именно этой альтернативы, а не другой. Ответ на такой вопрос свой у каждой из существующих на данный момент методологий по поддержке принятия решений при многих критериях.

В настоящей работе используется аксиоматический метод сужения множества Па-рето [1]. Одно из основных его достоинств состоит в том, что цель здесь не поиск самого множества «оптимальных», наилучших решений (множества выбираемых решений), а построение некоторой оценки сверху для искомого множества. Тем самым, указывается граница, за пределами которой нет наилучших решений.

Человек при оценке своих вкусов и предпочтений часто уверен в них лишь в определенной мере. Это необходимо учитывать при разработке методов решения многокритериальных задач, в связи с чем появляется необходимость использования теории нечетких множеств и отношений. Ранее аксиоматический подход был обобщен на случай нечеткого отношения предпочтения [2, 3]. Основными компонентами модели «нечеткого» многокритериального выбора являются множество возможных решений, числовой векторный критерий и нечеткое бинарное отношение предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Последнее позволяет установить степень уверенности в выборе одной альтернативы вместо другой. Решения, в полной степени удовлетворяющие вкусам и взглядам ЛПР, т. е. представляющие собой «нечеткий» многокритериальный выбор, составляют нечеткое множество выбираемых решений.

В рамках указанного подхода принимается ряд «разумных» аксиом «нечеткого» выбора, и при наличии дополнительной информации о нечетком отношении предпочтения можно построить нечеткое множество, которое будет более точной оценкой сверху для

Захаров Алексей Олегович — аспирант кафедры теории управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. В. Д. Ногин. Количество опубликованных работ: 2. Научное направление: принятие решений при многих критериях. E-mail: zakh.alexey@gmail.com.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-07-00449).

© А. О. Захаров, 2012

нечеткого множества выбираемых решений, чем множество Парето. На данный момент уже рассмотрен учет различных случаев нечеткой информации: одна группа критериев важнее другой [2]; один критерий важнее двух других (по отдельности), и наоборот [3]; одна группа критериев важнее другой, которая, в свою очередь, важнее первой [4]. В данной работе предлагается использовать замкнутую информацию о нечетком отношении предпочтения, обобщающую ситуацию, рассмотренную нами в [5]. Она представляет собой замкнутую «цепочку» сообщений (каждое со своей степенью уверенности) о том, что один критерий важнее второго, второй важнее третьего и т. д. и, наконец, последний важнее первого.

В работе устанавливается условие, при котором нечеткая замкнутая информация является непротиворечивой, т. е. применимой в процессе принятия решений. В п. 4 получены теоремы, показывающие, каким образом построить верхнюю оценку (а именно, функцию принадлежности нечеткого множества) нечеткого множества выбираемых векторов при учете нечеткой замкнутой информации о трех критериях. В действительности для построения такой функции принадлежности необходимо решить четыре специальные мнгокритериальные задачи с четким отношением предпочтения. Также один из полученных результатов обобщен на случай произвольного числа критериев. Кроме того, учет нечеткой замкнутой информации иллюстрируется числовым примером (см. п. 6).

2. Основные понятия нечетких множеств и нечетких отношений. Рассмотрим основные понятия из теории нечетких множеств, которые будут использоваться при постановке многокритериальной задачи с нечетким отношением предпочтения [6, 7].

Пусть X - некоторое множество (счетное или несчетное), которое называется универсальным. Тогда нечеткое множество А в X определяется как множество упорядоченных пар {х,Лл(х)} для любого х € X, где Лл(-) - функция принадлежности, принимающая значения во вполне упорядоченном множестве М, которое называется множеством принадлежностей. Причем значение Лл(х) указывает степень принадлежности элемента х множеству А. Далее всегда будем полагать М = [0,1].

Если М = {0,1}, тогда имеет место ситуация «обычного» четкого множества А, т. е. теория нечетких множеств является обобщением теории множеств (традиционной).

Суппортом виррА нечеткого множества А называется такая совокупность элементов универсального множества X, для которых функция принадлежности положительна, т. е. эиррА = {х € X | Лл(х) > 0}.

Пусть А и В - два нечетких множества в X с функциями принадлежности Лл(•) и Лв (•) соответственно. Тогда А содержится в В (А С В), если Лл(х) ^ Лв (х) для всех х € X, причем включение строгое, если, по крайней мере, для одного элемента х неравенство строгое.

Нечетким бинарным отношением на X называется нечеткое подмножество декартова произведения X х X.

Нечеткое бинарное отношение на X с функцией принадлежности ¡(-, •) будем считать транзитивным, если ¡(х, г) ^ тт(^(х, у), ¡(у, г)) для всех х,у, г € X.

Нечеткое множество, заданное с помощью функции принадлежности п(:) на линейном пространстве Ь, называется нечетким острым конусом, если ц(х) = г/(ах) для всех а > 0 и х € Ь и его суппорт является острым.

Нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности ¡(-, •) называется конусным на линейном пространстве Ь, если найдется такой нечеткий конус, заданный на Ь, с функцией принадлежности п('), что ¡(х, у) = ц(х — у) для всех х,у € Ь.

3. Многокритериальная задача с нечетким отношением предпочтения.

Сформулируем многокритериальную задачу выбора с нечетким отношением предпочтения [2, 3]. Для этого введем множество (четкое) возможных решений X С К", из которого ЛПР делает свой выбор, представляющий собой, в отличие от многокритериальной задачи с четким отношением предпочтения, нечеткое множество выбираемых решений С(X). Оно задается через функцию принадлежности АX ■ X — [0,1]. Случай, когда функция принадлежности АХ принимает значения только 0 или 1, переносит в ситуацию многокритериальной задачи с четким отношением предпочтения.

Цели ЛПР отражает числовой векторный критерий /, отображающий множество возможных решений X в пространство Мт, которое называется критериальным.

В многокритериальной задаче с четким отношением предпочтения (см. [1]) возможны три варианта: выбирается либо одна альтернатива (тогда вторая отвергается), либо другая альтернатива (тогда первая отвергается), либо два решения оказываются несравнимыми. Однако вводимое здесь нечеткое отношение предпочтения ЛПР позволяет также сказать, какова степень уверенности в том, что то или иное решение предпочтительно для ЛПР, и выразить эту степень уверенности некоторым числом от 0 до 1.

Таким образом, функции принадлежности ¡х ■ X х X — [0,1] нечеткого отношения предпочтения ЛПР такова, что соотношение ¡х (х',х") = ¡* означает выбор ЛПР решения х' вместо х" со степенью уверенности ¡*. При этом часто, имея ввиду нечеткое отношение с функцией принадлежности ¡х , будем говорить просто о нечетком отношении ¡х .

В итоге получаем модель многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения в терминах решений (X, /, ¡х ).

Вообще говоря, нечеткое множество выбираемых решений С(X) не имеет точного определения. Обозначим С(X) нечеткое множество, которое составляют гипотетически выбранные решения при условии удовлетворения всех вкусов и предпочтений ЛПР. В силу индивидуальности и субъективности взглядов, а также их неповторимости у каждого отдельного ЛПР будет свое «С(X)».

Можно сформулировать модель многокритериального выбора и в терминах векторов (У, ¡у), где У = /(X) - множество возможных векторов (оценок). Нечеткое бинарное отношение предпочтения на множестве У с функцией принадлежности ¡у согласовано с соответствующим нечетким бинарным отношением ¡х :

где х' € X', х'' € X'', X'X'' € XX, XX - совокупность классов эквивалентности, порожденных отношением эквивалентности х' ~ х'' ■ /(х') = /(х'') на множестве X.

Нечеткое множество выбираемых векторов (оценок) С(У) зададим при помощи функции принадлежности Ау, которая определяется следующим образом:

Таким образом, всегда можно перейти от задачи в одних терминах к задаче в других.

Аксиоматический подход базируется на «разумных» аксиомах «нечеткого» выбора [2, 3]. Они обобщают аксиомы многокритериального выбора с четким отношением предпочтения [1].

Аксиома 1 (недоминирования). Для любой пары векторов у, у' € У, удовлетворяющих соотношению ¡у (у, у') = ¡* € [0,1], справедливо неравенство Ау (у') ^ 1 — ¡*.

¡х (х',х'') = ¡у (/(х'),/(х'')),

АС (у )

АХ(х), если 3 х ■ у = /(х), 0, если у € Мт \ У.

Аксиома 2 (продолжимости). Существует иррефлексивное и транзитивное нечеткое отношение предпочтения ¡(-, •), заданное на пространстве Мт, сужение которого на множество У совпадает с отношением ¡у (•, •).

Заметим, что такое продолжение ¡(-, •) может быть не единственным, однако этот факт не оказывает влияния на дальнейшие результаты (теоремы 2-4), поскольку они касаются лишь той части отношения предпочтения ¡(-, •), которая задана на У.

Аксиома 3 (согласованности). Каждый из критериев /1,...,/т согласован с отношением предпочтения ¡(-, •).

Согласованность некоторого критерия с нечетким отношением предпочтения означает, что ЛПР заинтересовано в получении как можно больших значений по данному критерию при неизменных значениях по остальным критериям, причем степень уверенности равна единице.

Аксиома 4 (инвариантности). Нечеткое бинарное отношение предпочтения ¡(-, •) является инвариантным относительно положительного линейного преобразования.

Фундаментальную роль играет нечеткий принцип Эджворта-Парето [2], согласно которому для всех у € У имеет место Лу (у) ^ Лр (у), где Лр(•) - функция принадлежности множества Парето (четкого) Р(У) = {у € У | $у* € У : у* ^ у}. При этом его функция принадлежности Лр(•) принимает значение 1, если у € Р(У), и 0 -в противном случае. Отношение также называемое отношением Парето, означает, что для компонентов векторов у* и у в определении множества Парето справедливы неравенства у* ^ уг, г = 1, то, причем хотя бы одно из них строгое.

Данный принцип очерчивает для ЛПР область его «нечеткого» выбора при условии соблюдения вышеупомянутых «разумных» аксиом. Справедливо стремление упростить выбор, сужая область компромиссов. Однако это можно сделать лишь при использовании дополнительной нечеткой информации о вкусах и предпочтениях ЛПР. Таким образом, следуя аксиоматическому подходу [1], в п. 4 получим оценку сверху для множества С (У), указав, тем самым, «нечеткую» границу, за пределами которой не существует «наилучших», по мнению данного ЛПР, решений.

4. Замкнутая информация с нечетким отношением предпочтения. В работе [5] рассматривалась замкнутая информация об отношении предпочтения ЛПР, с помощью которой производилось сужение множества Парето. Теперь перенесем данный случай на многокритериальный выбор с нечетким отношением предпочтения, в связи с чем введем следующее определение.

Пусть I есть множество всех номеров критериев {1,...,т} и Iк - некоторое его подмножество, т. е. 1к С /; = {«1,..., г^ € {1,..., то}, ] = 1, к.

Определение. Будем говорить, что задана нечеткая замкнутая информация со степенями уверенности ¡1 ,...,¡1- € (0,1] и с положительными скалярны-(1) (1) (2) (2) (к-1) (к-1) (к) (к) ми параметрами ,Щ2 ,Щ3 ,...,Щк_г ,Щк ,ш1к , если для векторов

у(1),...,у(к) € Мт с компонентами

■т,

■т,

у(1) =0 V, € I И^Ы; ((з2), у(2) =0 V, € I \{*2,Ы;

у(к = , у(к = —т(к), у(к) =0 V, € I \{гк,г1}

справедливы равенства ¡(у(1), 0т) = ¡1,..., ¡(у(к), 0т) = ¡к.

Таким образом, нечеткая замкнутая информация представляет собой набор следующих к сообщений: критерий ¿1 важнее критерия ¿2 со степенью уверенности ¡1 и с пара-

(!) (1) • (1) тттттэ

метрами , , т. е. ради увеличения значения по критерию ¿1 на и^ единиц ЛИР

„(1)

готово пожертвовать и 2 единицами по критерию ¿2, и степень уверенности в таком

2 (2) компромиссе равна ¡1; ¿2 важнее %з со степенью уверенности ¡2 и с параметрами и2,

(2) (к) (к) 2 из и т. д.; ¿к важнее ¿1 со степенью уверенности ¡к и с параметрами и к, и^ .

Иллюстрацией такой информации может служить пример, приведенный в [8] и обобщенный на случай нечеткого отношения предпочтения. Рассматривается покупка подержанного автомобиля, при этом критериями выбора служат: 1) стоимость (/1, тыс. руб.); 2) пробег (/2, тыс. км); 3) расходы (/3, тыс. руб.) (предполагаемые затраты на техническое обслуживание автомобиля в дальнейшем). Задается следующая нечеткая замкнутая информация: стоимость важнее пробега со степенью уверенности ¡1 = 0.9

и с параметрами w\ „„(2)

(1)

50, w.

(1) 2

12; пробег важнее расходов с /2

3' = 20; расходы важнее стоимости с /з = 0.5 и w^3) = 25, wf = 15.

„(3)

0.7 и w(2) = 35,

Поскольку нечеткая замкнутая информация задается при помощи набора векторов, необходимо поставить вопрос о ее непротиворечивости. Сначала введем понятие непротиворечивости в случае многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения, как было сделано в [3]. Также введем неотрицательный ортант Rip = {у € Rm I у > 0т} и множество Rm = {у G Rm | у < 0т}.

Набор векторов г/« е Nm, г = 1,к, где Nm = Rm \ (R™ U Rm U {0m}), в совокупности с набором чисел /л1,...,/к € (0,1] будет задавать непротиворечивую (совместную) нечеткую информацию, если найдется нечеткое бинарное отношение предпочтения с функцией принадлежности /(■, ■), удовлетворяющее аксиомам продолжимости, согласованности и инвариантности, и такое, что 0m) = /ij, i = 1,к.

Обозначим через

/11,

,/1к1

,/l1,

> /к

(2)

такую перестановку чисел / 1,

,/к, что

1 > /11

/1ki > ... > /11

/к > 0,

где к = к1 + ... + к, 1 ^ I ^ к. Введем четкие конусы Кь, Н € {1,...,/}, порожденные единичными векторами е1,...,ет пространства Кт и векторами у(г), % € {1,..., к}, такими, что соответствующие числа ¡г удовлетворяют неравенству ¡г ^ ¡^ 1. Из определения конусов, очевидно, справедливы включения К1 С К2 С ... С К;.

Введем матрицу

/

W

\

w(1)

0 0

0

.,(2)

0 0

-w(k)\

(k-1)

w

ik-i

(к-1)

0

(к)

гк гк '

Условие непротиворечивости для нечеткой замкнутой информации основано на следующем общем критерии непротиворечивости информации о нечетком отношении предпочтения.

Теорема 1 [3]. Для того чтобы набор векторов у^ € Ж™ вместе с набором чисел /XI, •••,/■«£; € (0,1], где ¡л{у^1\От) = г = 1,/г, задавали непротиворечивую нечеткую информацию, необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений

т к

+ Е ' У^ =°т (3)

¿=1 '=1

не имела ни одного ненулевого неотрицательного решения относительно Л1,..., Хт, £1 и, кроме того, чтобы каждый конус К^, Ь € {1,...,/ — 1}; не содержал

ни одного вектора з = 1 ,к, которому соответствует число ^ такое, что ^ <

Также отметим, что теорема 1 из [5] показывает, что система линейных уравнений (3) не имеет ни одного ненулевого неотрицательного решения тогда и только тогда, когда выполнено условие | > 0.

Утверждение. Нечеткая замкнутая информация, введенная в определении, непротиворечива в том и только в том случае, когда \\¥\ > 0.

Доказательство. Необходимость. Упорядочим числа /¿¿, г = 1, к, в систему (2). Построим конус (четкий) Кь для всех Н € {1,...,/}, порожденный единичными ортами пространства Мт и векторами у^1, % € {1,..., к}, с компонентами из (1) и такими, что справедливо неравенство ^ 1. Пусть нечеткая замкнутая информация непротиворечива. Тогда справедлива теорема 1. В доказательстве теоремы 1 из [5] показана эквивалентность отсутствия ненулевого неотрицательного решения системы (3), где компоненты векторов уопределяются по (1), и выполнения неравенства 1Ш| > 0.

Достаточность. Теперь пусть выполнено неравенство | > 0. По доказательству теоремы 1 из [5] система уравнений (3), в которой компоненты векторов у''1 определяются согласно (1), не будет иметь ни одного ненулевого неотрицательного решения. Докажем справедливость второго условия теоремы 1, а именно, что каждый конус К,, }г € {1,...,/ — 1}, не содержит ни одного вектора з = 1, к, такого, что соответствующее число ¡Л' удовлетворяет неравенству < ¡Ь1. Предположим обратное. Пусть найдутся такое Н € {1,...,1- 1} и такое 3 €{1,..., к}, для которых < ¡¡г1, что конус Кь содержит вектор у'1. На самом деле далее предполагаем, что 3 € {1,...,к — 1}, случай, когда 3 = к, рассматривается аналогично.

Вышесказанное означает справедливость представления вектора у'1 в форме неотрицательной линейной комбинации

т

у' =£ Л¿ei + ^ у''1. (4)

¿=1 ' : Из >Ин1

Возможны такие варианты: 1) ¡¿+1 ^ ¡¿1> 2) ¡¿+1 < ¡м. Компоненты векторов у'1 и у'1) в общем виде выглядят таким образом:

у'1 = т'1, У1 = —т', у' =0 У 8 € I \{р,д},

ур1 = мр1, у^11 = —т^11, у^11 =0 V* € I \{д,£},

где р, д, Ь - некоторые неравные между собой номера критериев из набора 1к. В ситуациях 1) и 2) д-тая компонента векторного равенства (4) будет следующей:

1) — = Лч + З^М^11, 2) — = Л,

соответственно. Ни одно из равенств невозможно ни при каких положительных и £¿+1. Значит, предположение € К^ неверно.

Тогда по теореме 1 нечеткая замкнутая информация является непротиворечивой. Утверждение доказано. Из него следует: всегда можно построить такие конусы К,, что будет выполнено второе условие из теоремы 1. Поэтому для проверки непротиворечивости достаточно убедиться в справедливости неравенства \ > 0. В итоге условия непротиворечивости замкнутой информации в случаях четкого (см. теорему 1 из [5]) и нечеткого отношения предпочтения совпадают.

5. Сужение множества Парето. Пусть задана нечеткая замкнутая информация со степенями уверенности € (0,1], которая, согласно определению, означает,

что векторы у(1) ,у(2) ,у(3) € Мт с компонентами

yi(1) = ww y? = -wj1], y(1)

yf (2) = Wj , y(2) = -w(2), y(2)

у(з) (з) = wl \ у(з) = (з) -wi \ У(з)

0 Vs е I \{j,l}, (5)

0 Vs е I \{l,i}

удовлетворяют условиям /(y(1), 0т) = /1, /(y(2), 0т) = /2, /(у(з), 0т) = /з, где i, j, l - неравные между собой номера критериев. При этом будем считать, что задана непротиворечивая информация, т. е. \W\ > 0.

Упорядочим числа /1, /2, /з так, что Д1 ^ Д2 ^ Д3, где (Д 1,Д2,Д3) есть некоторая перестановка (/ 1, /2, /з). Такой перестановке (Д1, Д2, Д3) соответствует упорядоченный набор неравных между собой векторов y(1),y(2),y (з), где y(i) е {у(1),у(2),у(з)} Vi е {1, 2, 3}, и каждый вектор из такого набора задает информацию о том, что один критерий важнее другого с соответствующей степенью уверенности.

Пусть Д j, I е {i,j,l}, причем Д j, I не равны между собой. Возможны следующие две ситуации: набор векторов y(1), y(2), y(з) задает либо «цепочку» сообщений (I), когда критерий г важнее критерия j, критерий j важнее критерия l, а критерий I важнее критерия Д; либо «цепочку» сообщений (II), когда критерий Д важнее критерия j, критерий l важнее критерия Д а критерий j важнее критерия l.

Под ситуацию (I) попадают такие неравенства: /1 ^ /2 ^ /з, /з ^ /1 ^ /2, /2 ^ /з ^ /1. Когда выполнено первое их них, то y(1) = y(1), y(2) = y(2), y(з) = У(з), Д = i, j = j, I = l; когда справедливо второе - y(1) = у(з), y(2) = y(1), y(з) = y(2), Д = l, j = i, I = j; когда выполнено третье - y(1) = y(2), y(2) = у(з), y(з) = y(1), Д = j, j = l, l = i.

Ситуация (II) реализуется, когда /1 > /з > /2, /2 > /1 > /з, /з > /2 > /1. В первом случае y(1) = y(1), y (2) = у(з), y (з) = y(2), Д = i, j = j, l = l, во втором - j(1) = y(2), y (2) = y(1), y (з) = у(з), Д = j, j = l, I = i, в третьем - y (1) = у(з), y (2) = y(2), j(з) = y(1), Д = l, j = i, Д = j.

Поскольку число возможных перестановок (/1, /2, /з) равно 6, то других возможных неравенств, связывающих числа /1, /2, /з, кроме рассмотренных выше, не существует. Поэтому для нечеткой замкнутой информации, заданной с помощью набора векторов (5), справедлива ситуация либо (I), либо (II).

В ситуации (I) рассматриваются нестрогие неравенства, в ситуации (II) - строгие.

Пусть для заданной нечеткой замкнутой информации справедлива ситуация (I). Не ограничивая общности, положим /1 ^ /2 ^ /з, в противном случае можно переименовать критерии.

Рассмотрим следующую функцию принадлежности:

(y) = 1 - sup С(z,y) Vy е Y, (6)

zeY

где

1, если z - y е М™, ¡1, если z - y е М™, z - y е М™ , С(z,y) = { ¡2, если 5 - y е М™, z - y </ М™, 4y,z е Y, y = z, (7)

¡3, если z - y е М™, 5 - y </ М™,

0, в остальных случаях,

а векторы a, a, Z, где a = (ai,...,am) е {y,z}, выглядят так (ei,ej,el - единичные векторы пространства М™):

a = a + (wj1 ai + (w(1) - 1)aj)ej,

a = a + (wj^ai + (wiL) - 1)aj)ej + (w[2)wj^ai + w(2)wiL)aj + (wj2 wiL) - 1)ai)el,

i // (2) (3) in , (2) (3) . (2) (3) w , / (1) (3) . a = a + ((wj Jw\ - 1)ai + wl wi aj + wj wi ai)e + (wj 'w\ ai +

(3) (1) (1) (3) j (2) (1) (2) (1) (2) (1) l

+ (wl 'wi - 1)aj + wj 'wi ai)ej + (w\ 'wj ai + w\ 'wi aj + (wj 'wi - 1)ai)e .

Теорема 2. Пусть выполнены аксиомы 1-4 (из п. 3) и задана непротиворечивая нечеткая замкнутая информация о том, что критерий i важнее критерия j

(1) (1)

с положительными параметрами wi ', wj ' и степенью уверенности ¡l, критерий j

1 (2) (2) важнее критерия l с положительными параметрами wj , wl и степенью уверенно-

"1 ■ (3) (3)

сти ¡2, а критерий l важнее критерия i с положительными параметрами w\ , wi

и степенью уверенности ¡3, причем ¡л1 ^ ¡2 ^ ¡3*). Тогда для любой функции принадлежности Ху(•) нечеткого множества выбираемых векторов C(Y) справедливы неравенства Ху(y) ^ Х^(y) ^ Хр(y) для всех y е Y, где функция Xм(•) определяется по (6).

Доказательство. Обозначим функцию принадлежности неизвестного множества выбираемых векторов C(Y) через XC(■).

Известно (см. [3], лемма 4.1), что нечеткое бинарное отношение ¡(-, •), заданное на критериальном пространстве М™, является конусным отношением с нечетким острым выпуклым конусом K, который с единичной степенью уверенности включает неотрицательный ортант М™ и с нулевой степенью уверенности содержит начало координат.

Задание непротиворечивой нечеткой замкнутой информации означает, что для векторов y(1), y(2), y(3) с компонентами (5) справедливы равенства ¡(y(1), 0т) = ¡i, ¡(y(2), 0™) = ¡2, ¡(y(3), 0т) = ¡3.

Рассмотрим три четких конуса Ki, K2, K3, каждый из которых определяется, как это было описано выше (при рассмотрении непротиворечивости). Кроме того, справедливы включения Ki С K2 С K3. Таким образом, каждый вектор y(i) принадлежит конусу Ki для всех i е {1, 2, 3}.

Теперь для каждого конуса Ki, г = 1,3, введем нечеткий конус Mi, г = 1,3, такой, что supp(Mj) = Ki, i = 1,3, и все его элементы, принадлежащие неотрицательному ортанту (за исключением начала координат), имеют степень принадлежности 1, а остальные - ¡ i.

Пусть M есть нечеткий конус с некоторой функцией принадлежности п(') и суппортом, образованным неотрицательным ортантом М!р без начала координат и векторами

*) Ситуации, когда хотя бы одно из двойного неравенства выполняется как равенство, оговариваются далее.

y(i), y(2), y(3). Причем функция принадлежности

n(y)

1, если y e R!p \ {0m},

Mi, если y e Ki, ye R+ \ {0m},

\i2, если y e K2, y e Ki,

Мз, если y e K3, y e K2,

0, в остальных случаях.

Очевидно, конус М является объединением конусов М1, М2, М3, а также острым и выпуклым в силу непротиворечивости заданной информации.

Согласно доказательству теоремы 2 из [5], множество векторов, составляющих суппорт конуса М (вирр(М) = К3), есть множество ненулевых решений системы неравенств (хотя бы одно из них строгое)

(2) (3) . (3) (2) (3) (2) „

Щ Щ Уг + Щ Щ Уз + Щ Щ VI ^ о,

(1) (3) , (1) (3) , (3) (1) . п Щ у г + Щ уз + Щ 'тЗ > 0,

(1) (2) , (1) (2) , (1) (2) . п Щ Щ Уг + Щ 'Уз + Щ 'тЗ 'VI > 0,

у8 > 0 Уз€1 \{г,з,1}.

Также включение у € вирр(М2) = К2 эквивалентно справедливости системы неравенств (хотя бы одно из них строгое)

Щзруг + т\чуз > 0,

(1) (2) , (1) (2) , (1) (2) . п Щ Щ уг + Щ у3 + Щ тЗ 'ух > 0,

у8 > 0 Уз€1 \ {з, I},

а включение у € вирр(М1) = К1 - системы неравенств (хотя бы одно из них строгое) (см. [1], теорема 2.5)

(1),

Щруг + т\чуз > 0, у8 > 0 Уз€1 \{з}.

Введем нечеткое конусное отношение с конусом М, обозначив его функцию принадлежности через ф(-, •), для которой справедливо равенство ф(г,у) = п(г — у) для всех г, у € У. Нетрудно видеть, что данная функция принадлежности совпадает с С(•, •), определенной в (7). То есть нечеткое бинарное отношение С является конусным с конусом М.

Из (6), очевидно, следует, что функция Х^(•) - это функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых векторов относительного бинарного отношения С.

По определению нечеткого конуса М, он содержит неотрицательный ортант К™, а также справедливо включение М С К. Тогда множество Парето содержит нечеткое множество недоминируемых векторов относительно бинарного отношения С, которое включает нечеткое множество недоминируемых векторов относительно отношения .

Пусть Ху (•) - функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых векторов относительно бинарного отношения ¡л (ему соответствует конус К). Согласно лемме 1 из [2], справедливо неравенство Ху (у) ^ Ху (у) для всех у €У.

(1),

В результате приходим к справедливости неравенств Ху(y) ^ Xf (y) ^ Хр (y) для всех y е Y. Теорема 2 доказана.

Конструктивно результат теоремы 2 говорит о том, что для сужения множества Па-рето, используя нечеткую замкнутую информацию, необходимо решить четыре многокритериальные задачи (с четким отношением предпочтения).

Первоначально находится множество Парето P(Y) в исходной многокритериальной задаче, т. е. с множеством возможных решений X и векторным критерием f. Тогда Xм(у) = 1 для всех векторов y е P(Y), а для остальных векторов из множества Y значение функции принадлежности Xf(•) приравнивается нулю. Затем решается многокритериальная задача с векторным критерием f, полученным из критерия f заменой j-й компоненты на w(1)fj+w(1)fj, кроме того, пусть P(Y) = f (P j(X)). Для векторов, вошедших во множество P(Y) \P(Y), функция принадлежности Xf(•) будет равна 1 -¡i. Данные утверждения получаются из формул (6) и (7). Принадлежность произвольного вектора y множеству P(Y) \ P(Y) означает, что y е P(Y), y е P(Y). Последнее эквивалентно тому, что Vz е Y выполнено: z - y е М™, У- y е М™, где zs = zs, ys = ys для всех s е I \ {j}, Zj = wjL)zi + w(1)zj, yj = wjL)yi + w(1)yj. Тогда, согласно (7), С(z,y) = ¡1, значит, по (6) имеем Xf (y) = 1 - ¡1. Аналогичные рассуждения можно провести для третьей и четвертой многокритериальных задач. У третьей многокритериальной задачи векторный критерий f образован компонентами векторного критерия f, где j-й крите-

(1) i , (1) f 1 - (1) (2) г , (1) (2) г , (1) (2) f т-т

рий заменен на wj ji + wi fj, а l-й - на wj w\ ji + wi w\ fj + wi wj fl. При этом образ множества парето-оптимальных решений Pj(X) при отображении f обозначим через P(Y). Значение функции принадлежности Xf(•) для любого вектора из множества P(Y) \ P(Y) будет равно 1 - ¡2. После этого решаем четвертую многокритериальную задачу с векторным критерием f, полученным из критерия f заменой i-й, j-й и 1-й (2) (3Ь . (3) (2Ь . (3) (2Ь (1) (3Ь . (1) (3Ь . (3) (1) , компонент на wj wl ' j + wi wl fj + wi wj fi, wj wl ' j + wi wl fj + wi wj fi

и wjL)w(2)fi + w(1)w(2)/j + w(1)wj2)fi соответственно. Также положим, что P(Y) = f(P f(X)). Тогда значение функции принадлежности Xf(•) от векторов, принадлежащих множеству P(Y) \ P(Y), будет 1 - ¡3.

В итоге, решив четыре многокритериальные задачи с четким отношением предпочтения, построили функцию принадлежности Xf (•) нечеткого множества, которое является верхней оценкой для нечеткого множества выбираемых векторов C(Y).

Замечание 1. Если в формулировке теоремы 2 ¡1 = ¡2, то нечеткое конусное отношение С будет рассчитываться по формуле

1, если z - y е М!р,

ч , ¡1 = ¡2, если 5 - y еМ™, z - уе М™, w _ ,

С(z,y)=S „ _ Vy,z е Y У = z.

¡3, если a - y е М™, a - y е М™,

0, в остальных случаях.

Замечание 2. В случае, когда в формулировке теоремы 2 ¡2 = ¡3, то нечеткое конусное отношение С вычисляется следующим образом:

1, если z - y М™,

+ '

,, \ . ¡1, если У - уе м™, z - уе М™, w „ .

С(z,y) = \ , , - Vy,zе Y у =z.

¡2 = ¡3, если Z - У е М™, Z - y е М™, в остальных случаях.

Замечание 3. Если же в формулировке теоремы 2 ¡1 = ¡2 = ¡3 = ¡*, тогда справедливо

(1, если z - y е М™,

¡*, если Z - y е М™, z - y е М™, Vy,z е Y, y = z.

0, в остальных случаях.

Теперь рассмотрим ситуацию (II). Не ограничивая общности, положим ¡1 > ¡3 > ¡2, т. е. ¡¡1 = ¡1, ¡¡2 = ¡з, ¡¡з = ¡2, в противном случае можно переименовать критерии.

Как и ранее, рассмотрим функцию принадлежности Х^(■), определенную в (6), где нечеткое отношение

1, если z - y е М™, ¡1, если z - y е М™, z - y е М™, С(z,y)={ ¡3, если 5 - y е М™, z - y е М™, Vy,z е Y, y = z, (8)

¡2, если z - y е М!р, 5 - y е М!р, 0, в остальных случаях,

причем векторы b, b, b, где b = (61,..., bm) е {y, z}, таковы, что b = a, b = а и

b = b +(w(3)bi + (w(3) - 1)bi)ei + (wf w(3)bi + (w,(1)w(3) - 1)bj + wf w(3)bi)ej.

Теорема 3. Пусть выполнены аксиомы 1-4 (из п. 3) и задана непротиворечивая нечеткая замкнутая информация, что и в теореме 2. Однако для степеней уверенности ¡1, ¡2 и ¡3 справедливы неравенства ¡1 > ¡3 > ¡2. Тогда для любой функции принадлежности ХC(■) нечеткого множества выбираемых векторов C(Y) справедливы неравенства ХC(y) ^ Х^(y) ^ Хр(y) для всех y е Y, где функция Xм(■) определяется по (6), а нечеткое отношение С(■, ■) - по (8).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 с той разницей, что четкий конус K2 образован неотрицательным ортантом М™ и векторами y(1) и y(3), а также суппорт нечеткого конуса M2, т. е. конус K2, является множеством ненулевых решений системы неравенств (хотя бы одно из них строгое)

(1) I (1) ^ п

w\ 'yi + wi 'yj > 0,

(1) (3) , (1) (з) . (3) (1) . n wj w\ 'yi + wi 'w\ 'yj + wi 'wj 'yi > 0,

ys > 0 Vs е I \{i,j}.

Теперь рассмотрим учет замкнутой информации о нечетком отношении предпочтения, состоящей из замкнутой «цепочки» с произвольным числом критериев, со степенями уверенности ¡1,...,^. Другими словами, согласно определению, пусть заданы такие векторы y(1),... ,y(k) е М™, компоненты которых находятся по (1) и для которых справедливы равенства ¡(y(1), 0т) = ¡1,..., ¡(y(k), 0т) = ¡k. Кроме того, пусть выполнены неравенства ¡1 > ... > ¡k. Как было уже доказано, такой набор векторов непротиворечив, если определитель \W|, составленный из параметров информации, положителен.

Сначала введем семейства квадратных матриц:

1) порядка к, в = 1,к, р = 1, к, образованное из матрицы Ш (см. п. 4) заменой в-го столбца Шя на единичный вектор ер пространства ;

2) \¥(я,р) порядка в, р = 1, в, в = 2, к:

/ «£>

(1)

-Wi2 Wi2

W (s,p) =

0

(2)

0

\ 0

0 0

(s-1) (s-1)

-wi

1s

где ер - единичный вектор пространства Мя.

Теорема 4. Пусть выполнены аксиомы 1-4 (из п. 3) и задана непротиворечивая нечеткая замкнутая информация со степенями уверенности ¡л1,...,^к € (0,1], согласно определению. Для степеней уверенности справедливы неравенства ¡л1 > ... > ¡к. Тогда для любой функции принадлежности Xу(•) нечеткого множества выбираемых векторов С (У) справедливы неравенства Ху (у) ^ X^ (у) ^ Хр (у) для всех у € У, где функция Xм(•) рассчитывается по (6), а нечеткое отношение

1, если z - y е М™,

Hi, если z(1) - y(1) е М+ , z - y £ М+ ,

C(z,y) = <

Hj, если z(j) - y(j) е М™, z(j-1) - z(j-1) £ М™, Vy,z е Y, y = z, Hk, если z(k) - y(k) е R!p, z(k-1) - y(k-1) £ R!p,

0, в остальных случаях. Причем векторы а^ G R™\ а^ G у^}, j = 1, к, выглядят следующим образом:

3 +1 /8-1 _ _ \ _

= « + Е Е\W(S>P)K + (\W(S> s)l " 3 = 1,к- 1,

s=2 Vp=1 J

z(k) = a

+ E

s=2

T,\Ws,pК + (|WS,S |-1)c

p=i \p=s

p

e s.

Доказательство является обобщением доказательства теоремы 2 в случае трех критериев на случай к критериев. Поэтому рассматривается к четких конусов К1,..., Кк, где Кь, к = 1,к, - конус, порожденный ортами е1,..., ет пространства Мт и набором векторов у(1),..., у(к).

По такому же правилу, как в теореме 2, для каждого четкого конуса К введем нечеткий конус М^, г = 1, к, а также пусть М есть нечеткий конус с функцией принадлежности

n(y)

1, если ye Rip \ {0m},

ji, если yeKi, ye Rp \ {0p},

jj, если y e Kj, ye Kj-1,

¡¡к, если у е Ки, у е Ки-1, 0, в остальных случаях,

суппорт которого образован неотрицательным ортантом К™ без начала координат и векторами у(1),..., у(к), т. е. М =

Суппорт конуса М составляет множество ненулевых решений системы неравенств (см. доказательство теоремы 2 из [5]) (хотя бы одно из них строгое)

к

Р=1

У1 > 0 У1е1 \ 1к,

а суппорт конуса М^-1, ] = к,..., 2, - множество ненулевых решений системы неравенств (хотя бы одно из них строгое)

р=1

У1 > 0 У1е1 \{{2,...,1з}.

Оставшаяся часть доказательства дословно повторяет соответствующую часть доказательства теоремы 2.

6. Числовой пример. Пусть задано множество возможных векторов У следующими элементами:

У™ = (2) , У(2) = 0 , У(3) = (о) , У(4) = (9) , у(5) = (1) , у(6) = (2) .

От ЛПР получена замкнутая информация о нечетком отношении предпочтения, которая представлена векторами

= | -1), *(2) = (2 ) , *(3) = ( 0^

со степенями уверенности 0.9, 0.7 и 0.3 соответственно, т. е. справедливы равенства ¡(*(1), 0з) = 0.9, ¡(*(2), 0з) = 0.7 и ¡(*(3), 0з) = 0.3. Очевидно, данная информация является непротиворечивой, поскольку определитель |*(1) *(2) *(3)| = 18 положителен.

Все векторы множества У, кроме у(3), являются парето-оптимальными. Следовательно, функция принадлежности Ар множества Парето Р (У) будет иметь вид \Р(у(4)) = 1 для всех I е {1, 2, 4, 5, 6}, А£(у(3)) = 0.

Поскольку находимся в ситуации (I) (0.9 > 0.7 > 0.3), для учета замкнутой информации применим теорему 2 и построим «новое» множество Парето (оценку для нечеткого множества выбираемых векторов) с функцией принадлежности АМ.

Для этого решаем вторую многокритериальную задачу с векторным критерием / = (/1,/2,/з), где Л = /1, ¡2 = /1 + 3/2, /з = /з. Используя последние соотношения, сформируем множество возможных векторов У

в котором парето-оптимальны 1-й, 2-й, 4-й и 6-й векторы. Поэтому на данном этапе функция принадлежности АМ будет следующей:

АМ(у(г)) = 1 У*е {1,2,4,6}, АМ(у(5)) = 0.1, АМ(у(з)) = 0.

Теперь решаем третью многокритериальную задачу с векторным критерием / = (/1, /2, /з), где /1 = /1, /2 = /1 + 3/2, /з = 3/1 + 9/2 + 6/з, и с соответствующим множеством возможных векторов У

Парето-оптимальными являются векторы y (1), y (2) и y (4), поэтому

(y(i)) = 1 Vie {1, 2,4}, (y(6)) = 0.3, (y(5)) = 0.1, (y(3)) = 0.

Окончательно приходим к четвертой многокритериальной задаче, в которой компоненты векторного критерия / = (/1, /2, /з) суть функции /1 = 8/1 + 6/2 + 4/з, /2 = 4/1 + 12/2 + 2/з и /з = 3/1 + 9/2 + 6/з. Отсюда получаем множество возможных векторов У

Поскольку вектор у(4) доминирует все остальные векторы по отношению Парето, имеем следующий вид функции принадлежности АМ:

АМ(у(4)) = 1, АМ(у(1)) = АМ(у(2)) = 0.7, АМ(у(6)) = 0.3, АМ(у(5)) = 0.1, АМ(у(з)) =0.

В результате, используя замкнутую информацию о нечетком отношении предпочтения, построено нечеткое множество с функцией принадлежности А^, которое служит оценкой сверху для множества выбираемых векторов С (У) и является собственным подмножеством исходного множества Парето Р(У).

7. Заключение. В настоящей работе рассматривается задача многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения ЛПР, для решения которой используется аксиоматический подход сужения множества Парето. Вводится понятие нечеткой замкнутой информации, являющейся взаимозависимой. Устанавливается необходимое и достаточное условие непротиворечивости данной информации, при выполнении

которого возможно ее дальнейшее применение в процессе принятия решений. Также получены теоремы об учете непротиворечивой нечеткой замкнутой информации. Они показывают, каким образом строить функцию принадлежности нечеткого множества, являющегося «новой» оценкой сверху для нечеткого множества выбираемых векторов, причем такая оценка более точная, чем исходное множество Парето. Данные результаты обобщают ранее установленные для случая четкой замкнутой информации.

Литература

1. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Физматлит, 2005. 176 с.

2. Ногин В. Д. Принцип Эджворта—Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 11. С. 1676— 1686.

3. Богданова А. В., Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе простейших наборов нечеткой информации об относительной важности критериев // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 3—17.

4. Климова О. Н. Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009. № 2. С. 34-44.

5. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 69-83.

6. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. Vol. 8. P. 338-353.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / пер. с франц. В. Б. Кузьмина; под ред. С. И. Травкина. М.: Радио и связь, 1982. 432 с. (Kaufmann A. Introduction a la theorie des sous-ensemblis flous.)

8. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе взаимно зависимой информации замкнутого типа // Искусственный интеллект и принятие решений. 2011. № 1. С. 95-109.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 26 апреля 2012 г.