Существование решений включения Гаммерштейна с невыпуклыми образами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ ГАМ1МЕРШТЕЙНА С НЕВЫПУКЛЫМИ ОБРАЗАМИ

© А.И. Булгаков, И.В. Васильева

Bulgakov A.I., Vasilyeva I.V. The Existence of Solutions of the Hammeistein Inclusions with Nonconvex Images. This paper contains a treatment of the integral Hammeistein inclusion generated by the product of a linear integral Nemytski operator and multivalued mapping with nonconvex images. The theorem of the existence of a solution for the Hammeistein inclusion is proved.

Пусть Rn - пространство л-мерных вектор-столбцов с нормой I I. Обозначим comp [7?nJ-множество всех непустых компактов пространства Rn; Ln\a, b\ пространство функций х:[а, b\ -> Rn с суммируемыми по Лебегу компонентами И нормой I*!£ = \д\х(s)^is ; Ь\ пространство непрерывных функций х:[а, Ь\ ->Rn с нормой |х||с = max^x(t)\:t e[a,Z>]}.

Пусть Л,В есо/ир|/?л| и пустьА+[Л,Я] =

sup{p(a,b):a € /4}, где р(-, •) - расстояние в пространстве Rn от точки до множества. Обозначим Л[Л,Я] з тах|/1+[>4,5],Л+[5,/1]| хаусдор-фово расстояние между множествами А и В; И ~ sup^a\:a € л} .

Будем говорить, что множество выпукло по переключению, если для любых измеримых по Лебегу множеств Ui,U2<z[a,b\,

таких, что Uj{\U2 = Uj 116^ = [о>] и любых

х, у 6 'F справедливо включение

x(Uj )х + x(U2 )У е ^ » где %(■) - характеристическая функция соответствующих множеств.

Обозначим через множество всех

непустых замкнутых ограниченных выпуклых по переключению подмножеств из Ln\a, b\.

Непрерывность многозначных отображений понимается по Хаусдорфу. Измеримость множеств везде понимается по Лебегу, измеримость многозначных отображений будем понимать в смысле 11J.

Пусть многозначное отображение F:\ci, b\xRn->camp\ Rn\ . Будем говорить, что F удовлетворяет условиям Каратеодорн, если выполняются следующие условия:

а) при каждом х е Rn отображение F(-, х) измеримо;

б) при почти всех t е [а, £] отображение

F(t, .) непрерывно;

в) для каждого ограниченного множества

V с Rn найдется функция ay е z/[a.b], что при почти всех /б[а,А] и всех xeV выполняется неравенство \F(t,x)\z ay(t).

Многозначный оператор Немыцкого N, порожденный многозначной функцией F:[a, <?|х Rn -*• comp [/?л], определен равенством Nx = {yeLn [а, в]: y(t) € F(t, х (t)) при п.в. t е[а, в\}.

Если F удовлетворяет условиям Каратеодо-ри, то оператор N.'O1 [a, <?]-► П [Vх [а, e]j непрерывен.

Рассмотрим интегральное включение в пространстве С1 [а, в\

х е V Nx +f (1)

где /€ О1 [а, в], многозначный оператор Немыцкого N порожден функцией F:[a, в\х Rn -ьсотр (Лл1, удовлетворяющей условиям Каратеодори и условию Липшица: существует такая функция РeL1 [а, в\, что для почти всех t е [а, в] и всех х, у е Rn справедливо неравенство

h\F(t,x),F(t,y)\*P(t)\x-y\. (2)

Линейный непрерывный интегральный оператор V: Ln [а, в] ->С1 |а, а] определен равенством

(VOO) = J baV(i,s)z(s)ds, te[a,b\ (3)

Под решением включения (1) будем понимать такой элеменг ле О1 \а, в], дня которого справедливо включение (1). Таким образом, каждому решеншо х включения (!) соответствует такой z eZ," \а, в], что zgNx и х = Vz+f

\

Так как многозначная функция Р, порождающая оператор Немыцкого, вообще говоря, имеет невыпуклые значения, то оператор Немыцкого N также имеет невыпуклые образы. Поэтому произведение операторов УЫ, как показывают простые примеры, имеет значения, не являющимися выпуклыми замкнутыми множествами пространства С1 (а, в]. В связи с этим для исследования включения (1) нельзя применять традиционные методы исследования (теорему Какутани [21, принцип сжимающих отображений [31).

В данной работе для исследования включения (1) применяется метод последовательных приближений (У/ = У%+ / <4 еУу1.], / = 1, 2, ...)• Причем последовательные приближения выбираются таким образом, чтобы последовательность прообразов {г,} являлась сходящейся в пространстве Ьп [а, в]. Отметим, что для уравнений такой проблемы не существует, поскольку это свойство непосредствешю вытекает из непрерывности однозначного оператора Немыцкого.

Пусть е Vх \а, в\, // € О1 [а, в], и пусть функция у0 е О1 [а, в 1 удовлетворяет равенству

= V +//• (4)

Далее, пусть существует такая функция к е V \а, в], что при почти всех / е \а, в\ справедливо неравенство

р[ь(0,Р(1уо(0)}£ к(0. (5)

Пусть непрерывная функция уй:(д, <?1->[0,оо) задана равенством

уо(0 = / Ьа\УО.!)\к (*№ +1/(О - /1(01- <б)

Будем говорить, что произведение У]Ч обладает свойством А, если для непрерывного оператора (7 : С1 [а, а\ -» С1 [а, в], определенного равенством

(Ср)0) = \ ьа\У0,5)р(*)р(5)<Ь + у0(О, (7)

сходятся последовательные приближения

Л = С Р1-ъ /' = 1, 2, ... , Р0 = к0. (8)

Здесь | V (/, 5,)| - согласованная с пространством Яп норма п х п - матрицы в представлении (3), функция р € Ь1 [а, в\ удовлетворяет неравенству (2).

Ни/;е везде будем предполагать, что произведет!. УЯ обладает свойством А, а также далее будем обозначать (7 оператор, определенный равенством (7) при у0 = 0.

Далее, рассмотрим в пространстве С1 \а, в] уравнение

4(0 - | + у0(0, (9)

где функция у0 6 С1 [а, в\ задана соотношением (6), а решение с, определено последовательными приближениями (Б). Отметим, что поскольку последовательные приближения (8) сходятся, то решение £ уравнения (9) представимо в виде

ь= 6°'/0зу0- (Ю)

ЫО

Теорема. Для любой функции у о еС* [а, в\, определенной равенством (4), существует такое решение у (у = Уг + / А!у) включения (1), что для любого t е \а, в] выполняется оценка

IУ(0-Уо(0\*Ф) (П)

и для почти всех / е [а, в\ справедливо соотношение

+ (12)

где 4 • решение уравнения (9), функции р, к € V \а, в] удовлетворяют неравенствам (2), (5) соответственно.

Доказательство. Пусть функция Уо е О1 [а, в\ представима в виде (4) и пусть функция ц € Муо при почти всех / е [а, в\ удовлетворяет равенству

М) - ю(01 = р(<о(0, Уо (0)1

Из определения функции ц и неравенства (5) при почти всех t е \а, в\ вытекает оценка

кг(0-го(0\й к(/). (13)

Далее, пусть у\ = Уц + f Из определений функций у] и у о и неравенства (13) для любого / е [а, в] вытекает соотношение

\у](0-у0(и\*\Ьау0,5)\с(*)с15+\Г10)-Г0)\ =

= уо(0-

Пусть функция 12 6 УУу/ при почти всех t е [а, в) удовлетворяет равенству

Ы‘)-гМ\= р\11(1),Ц1.уМ)\■

Из определения функций ц и 12 и неравенств (2), (14) при почти всех / е \а, в] получаем оценку

ЬОНМйНРО.уоЮ).

т,у/ол*№М(о- <|5)

Пусть у2 = У<2 + / Тогда согласно определению функций у] и у2 и неравенства (15) для любого / е[а, в] имеет место соотношение

1У 20) - У1(0\ * I ЬаУО.з$р(№о(*)<Ь » (5у0 )(().(16)

Далее, пусть е Л(у2 при почти всех / е [а, в\ удовлетворяет равенству

113 0) - 22 0)\ = Р 112 0), Р О, У2 (0)].

Из определения функций 12 И 1з н неравенств (2), (16) при почти всех / 6 [а, в\ имеем оценку

\гз(О -12(0\ £ р( 1)\у2(О-у 1 (!)\ £ РОЯСко)0).

|У1+](О-у]О1\й(51+1-1у0)О) + (б1+1-2у0)О)+...+ +(5К0)О).

Таким образом, пля любого / € \а, в] и любых у = 0, 1, ... и / = 1, 2, ... выполняется неравенство

(20)

Отсюда, согласно сходимости ряда (10) вытекает, что

Аналогично, пусть Уз = У1з + / Тогда для любого / е(я, в\ получаем

\УЗ(0-У20)\ * ! ЬаУО,^(з)(^о)(и№ =

= (62у0)(О.

(17)

Далее, пусть 14 е Яуз при почти всех / € \а, в] удовлетворяет равенству

Iи (0-1з 0)\ = р\1з (0, ГО, Уз 0)Я

Отсюда из (2) и (17) при почти всех / е [а, в\

получаем оценку

\140)-130)\йр0)(02у0)0).

Таким образом, можно определить такие последовательности {>>/} с О1 [а. в\, с Ьп \а, в], что для любого /' = 1, 2, ... у1 = У% +/ Ъ е

причем для любого / € [а, в\ имеет место нера-

венство

\п(О-У!-1О)\*(&-1у0)О),

/ = 1, 2, ...(60уо = уд)

и при почти всех t е\а, в\ справедлива оценка

(18)

|г,<г>-г/-;<г>| £ Р(0<о‘-2У0)(1), / = 2, 3, ...

(19)

Далее покажем, что последовательности {у,} и {ц} сходятся. Вначале покажем, что сходится последовательность {у,}. Пусть / € \а, с]. Для любых у = 0, 1, ... и / = 1,2, ... рассмотрим

!>’/+/ 0) ~ Уу ДО1 ^ Ь/+у 0)-У 1+]-1 0)I +

+ Ь+/-/ ^ ■ ^+/-2М + -+ 1у+/ ДО • >>• ДО1-

Отсюда и неравенства (1Б) получаем оценку

Следовательно, последовательность {>>/} сходится. Пусть Пт У1 = у . Далее, покажем, что у -

/—►ао

решение включения (1), удовлетворяющее неравенству (11). Прежде всего покажем, что ^ удовлетворяет неравенству (11). Действительно, положив в неравенстве (20) у = 0 и учитывая равенство (10), для любого t е(д. в] имеем оценку

1У1 0) - У о 0) I ^ &)•

Переходя в последнем неравенстве к пределу при /->«, получаем неравенство (11).

Далее, покажем, что последовательность {с,} сходится. Действительно, для любых у = 1,2, ...,

/' = 1, 2, ... и / е\а, в\ справедлива оценка

\-ЧМ~ф)\Ачн0)~Ън-10)\+\чн-10Н]н-М+--- + +\^+10)~^0)\-

Отсюда согласно (19) при почти всех / е \а, в\ имеет место неравенство

г/0| < рамд^'-^оХ!) + +(51*1-3у0)0)+...+(5'-,у0)(1)>.

Поэтому для почти всех I е \а, в\ и всех у = 1,2, ..., / = 1,2, ... имеем отношение

к]+,0)-гМй1>0) '£.<°к'’оХЧ (21)

Из сходимости ряда (10) и неравенства (21) вытекает, что

Поэтому предел последовательности {ц} существует. Пусть Пт I; = I . Покажем, что при

почти всех / € \а, в] г удовлетворяет неравенству (12). Действительно, для любого у = 1, 2, ... и любого / е [а, в\ справедлива оценка

\ъ(0 - гс(0\< \ф) - ц(0\ + |ц(0 - к/0\.

Отсюда согласно (21) и (13) для любого у = 1, 2, ... при почти всех t е \а, в] имеет место неравенство

|гу О) - го0)\ $ РО) У (бк у0 )0) + кО). к=0

Следовательно, учитывая равенство (10), из последнего соотношения для любого у = 1, 2, ... при почти всех / е \а, в] имеем оценку

\ф) - Ш - № 4(0 (22)

Переходя в (22) к пределу при у'-юо полу^тем неравенство (12). Далее, так как для любого у = 1, 2, ... у) = Уц + f то, переходя в этом равенстве к пределу при у-юо и учитывая, что

Пт г,- = г , получим представление у = Уг + /

/—►00

Кроме того, так как для любого у = 1, 2, ...

Ъ € (23)

то, переходя к пределу в включении (23) и при этом учитывая замкнутозначность и непрерывность оператора Немыцкого, получаем включение I е Ну. Таким образом у = Уг +/- решение включения (1). Теорема доказана.

Замечание 1. В работах [4, 5] для любой функции у о е О1 \а, в], удовлетворяющей представлению (4), и любого 6 > 0, доказаны теоремы о существовании решения ус включения (1), для которого справедлива оценка (11). Причем - решение уравнения (9) с функцией

уе0) = ^ + *№ + \Г('О "М ^)\. Полу-

чить из результатов работ [4, 5] утверждение для г = 0 путем предельного перехода при е->0 невозможно, поскольку произведешь Ш, как отмечалось, не является замкнутым оператором. Таким образом, доказанная теорема уточняет оценки результатов работ [4, 5) для случая^ когда е = 0 .

Замечание 2. Доказанная теорема использует идеи работ [6, 7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.

М.: Наука, 1974. С. 338.

2 Канторович Л.В., Акшов Т.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. С. 630.

3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Указ. соч. С. 42

4. Бураков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

5. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включеш1Й // Матсм. сб. 1992. Т. 183. Хе 10. С. 63-86.

6. Фи.шппов АФ. Классические решения дифференциальных уравношй с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 3. С. 16-26.

7. Булгаков А И. О существовании обобшешюго решения функционально-интегрального включения // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 3. С. 514-520.

Поступила в редакцию 22 мая 1996 г.