Возмущение многозначного оператора Гаммерштейна с невыпуклыми образами однозначным отображением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ВОЗМУЩЕНИЕ МНОГОЗНАЧНОГО ОПЕРАТОРА ГАММЕРШТЕЙНА С НЕВЫПУКЛЫМИ ОБРАЗАМИ ОДНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ

© В.Г. Тихомиров

Tikhomirov V.G. Disturbing Hammerstein’s Multivalued Operator With Non-Convex Image By A OneValued Mapping. In the article, the theorem of the existence of a solution to the disturbed inclusion is proved.

Пусть Rn - пространство и-мерных вектор-столбцов с нормой |»| и р(•,•) - расстояние от

точки до множества. Обозначим comp\Rl\ -множество всех непустых компактов пространства Rn, I?[a,b] - пространство функций

х : [a, b\ -» Rn с суммируемыми по Лебегу ком-

ь п

понентами и нормой ЦхЦ^ = ^\x(s)\ds , 2L la,b^ -

а

множество всех непустых, ограниченных замкнутых подмножеств пространства 1?[а,Ь] , ОЧа, Ь\ - пространство непрерывных функций х : [a, b\ -> Rn с нормой ||х||с = max{\x(t)\:t efa,b]} .

Пусть А, В е comp[Rn].

Пусть h+ [А, В] = sup{p(a, В): а е А} .

Обозначим h[A,B] = max{h+[A,B],h+[B,A]} - ха-усдорфово расстояние между множествами А и В; ||Л|| = sup{\a\: а е А) .

Рассмотрим многозначное отображение F : [а, Ь\ у Rn ■-> comp[Rn\. Далее будем предполагать, что многозначное отображение F удовлетворяет следующим условиям:

а) при каждом х е Rn отображение F(., х) измеримо [1];

б) существует такая функция (3 е Lnfa,b] , что при почти всех t е [а, Ь\ ж всех х, у е Rn справедливо неравенство

h[F(t, х), F(t, у)] < Р(7)|х->'|; (1)

в) функция \\F(t, 0)\\ суммируема. Напомним, что многозначный оператор Не-

мыцкого N: (?[а, Ь\ -> 21П1а’Ь1, порожденный многозначной функцией F : [a, b\ х Rn comp[Rn], определяется равенством

Nx ={у е I?[a,b]: y(t) eF(t,x(t)) при почти всех t е [а, Ь]}.

Далее, пусть линейный непрерывный интегральный оператор V :1?[а,Ь], —> 0[а, Ъ] задан соотношением

ь

{У£){$=\У(1,з)1(з)<1в, 1 е[а, Ь]. (2)

а

Непрерывный оператор М : Сп\а, Ь\ —> С][а, Ь\ определим равенством

(Мх)(1) = тах{\х(т)\:г е[а,?]} • (3)

Рассмотрим в пространстве ОЧа, Ь\ интегральное включение

х е Ш(х) + Ях), (4)

где непрерывное отображение / : (^[а, Ь] -» С"[а, Ь\ - обладает свойством: существует такая функция у е С^а, Ь\, что при всех х, у е СР[а, Ь\ и всех t е [а, Ъ] справедливо неравенство

I (АХО - (/ЖО I ^ У(1)М(х - у)(0, (5)

где оператор М определен равенством (3). Отметим, что этим предположением охватывается широкий класс однозначных операторов, например, операторы типа Вольтерра с запаздыванием и без запаздывания.

Под решением включения (4) будем понимать такой элемент х е 0[а, Ь], для которого выполняется включение (4). Таким образом, для каждого решения х найдется такая функция

I еЬп[а,Ь], которая удовлетворяет включению

г е Лбе и равенству х = Vz + Ах)-

Отметим, что многозначная функция Р, порождающая оператор Немыцкого Ж, вообще говоря, имеет невыпуклые значения, поэтому оператор Немыцкого N также имеет невыпуклые образы. В связи с этим, произведение УЫ,

как показывают простые примеры, имеет значения, не являющиеся выпуклыми замкнутыми

множествами пространства С"[а,й]. Поэтому для

исследования включения (4) нельзя применить традиционные методы: теорему Какутани [2], принцип сжимающих отображений ([1]. С. 42). Ниже для изучения включения (4) будем применять метод последовательных приближений О/ = Уц + ЛУ1-1), г,- е Ату,-ь I = 1, 2, ...), выбирая их так, чтобы не только последовательность образов {у,} сходилась в пространстве ОЧа, Ь\, но и последовательность прообразов {гг} являлась сходящейся в пространстве Ьп[а, Ь\.

Отметим, что для уравнений такой проблемы не существует, поскольку последовательность прообразов сходится в пространстве Ьп[а, Ь\, если последовательность образов сходится в 0[а, Ъ\. Это свойство непосредственно вытекает из непрерывности однозначного оператора Немыцкого. Однако для многозначного оператора Немыцкого такая задача является актуальной, поскольку не всякая последовательность прообразов {г;} является сходящейся в пространстве Ьп[а, Ь] (даже в случае, когда многозначный оператор Немыцкого удовлетворяет условию Липшица!). Это можно показать на следующем примере. Пусть оператор

2]->С;[0, /] определен равенством

__ г (Ут.)(*) = \г(*№,

о

и пусть _?={-1, 1}. Обозначим N = е Ь]^0, 1\^у(1) е Р при почти всех

* е [(9, оператор Немыцкого, порожденный

множеством ¥ . В данном случае этот многозначный оператор представляет собой постоянное множество, удовлетворяющее условию Липшица с константой, равной О!

Разобьем отрезок [0, 1] на 2к равных по мере частей точками ^ = 0, t], (ж-?, *2к = 1 и

построим последовательность

/А \ ^ 1 е(,21>121+]) ; _ п 1 Ь- 1

1к^)=\ , * - 0, 1, к - 1.

1Ы1с7

1

-1, t е^21+1,121+2)

Из определения последовательности {г*} следует, что е N и эта последовательность

не является сходящейся в пространстве V|0, 1]. Рассмотрим последовательность образов

{.Ук '■ Ук = }. Согласно определению эта по-

следовательность представима в виде:

Ук(() =

і + 1

-~t,t s(t2i+i,t2i+2)

і = О, 1, ..., к - 1.

Очевидно, что ддя любого к = 2, 3, ...

1С^0 “ Ц" и поэтомУ последовательность

{Ук) сходится к нулю в пространстве С?[0, 1]. Таким образом, из сходимости последовательности образов не следует сходимость прообразов для многозначных операторов.

Пусть г0 е Ьп[а, Ь\, у о е 0[а, Ь\. Представим функцию у0 е ОЧа, Ь\ в виде

У о = Vz0+ f(y0) + e, где е = у0 -Vz0- f(y0) .

(6)

Пусть функция ке ЬЦа, Ь\ при почти всех t е [а, Ь\ удовлетворяет неравенству

Р\Zo(t), Щ y0{t)] < к(t).

Непрерывную функцию v^: \а, b\ [0, со) определим равенством

(7)

Уо(*)={|У(1,$)\1($)(1$ + \е(1)\ , (8)

а

где е определена представлением (6).

Далее, пусть непрерывный оператор : С\а, Ь\ -> С][а, Ь\ задан соотношением:

ь

(*Др)(0= Р(1)р(*№ + утмР)(Ъ, (9)

где | У((, я) | - согласованная с пространством Яп норма п х п - матрицы в представлении (2); функции р є Ь]\а, Ь\ и у є С\а, Ь\ удовлетворяют неравенствам (1) и (5) соответственно; оператор М задан соотношением (3).

Будем предполагать, что ряд

J^A'vg, A°v0 = v0

является сходящимся. Пусть непрерывная на [а, Ь\ функция 4 есть сумма этого ряда, то есть

\ = . 1=0

(10)

Теорема. Пусть функции у о е 0[а, Ь] и Zo е Ща, Ь\. Тогда существует такое решение у (у = VI + Ду), I е Л(у) включения (4), что для любого ? 6 [а, Ь\ выполняется оценка

I y{t) - ydf) I ^ Ut)

(И)

и при почти всех і е[а, Ь] справедливо соотношение

(12)

где Е, - сумма ряда (10), функции [3, к е ЬЦа, Ь\ удовлетворяют неравенствам (1), (7) соответ-

ственно.

Доказательство. Пусть функция уд е С"1а, Ь\ представима в виде (6) и пусть функция zi е Nyo при почти всех t е \а, Ь\ удовлетворяет равенству

I Zj(t) - z0(t) I = РUo(0, F(t, Уо(Щ ■

Из определения функции zi и неравенства (7) при почти всех t 6 [а, 6] вытекает оценка

\zi(t) - Z0(t) \ < к(/). (13)

Далее, пусть yj= Vzj + fiyo)- Из определений функции yi и уо и неравенства (13) для любого t е \а, Ь\ вытекает соотношение

IУ if) - ydt) I = \(Vz№ +fiyo)(t) - (Vzdd) -ЛУо) «НЮ1 = b

= l(Vta- zdif) - е(М £ \\v(t,s)\ I fate) - zd.s)\ds +Ш <

a

b

<\\V(t,s)\K(s) ds+ I£</) | = vo(0- (14)

a

Пусть функция Z2 e Nyj при почти всех t e\a, b] удовлетворяет равенству

\zit) - гХ01= f>\zj(i), f[t, у AW-

Из определения функций Zi и Z2 и неравенств (1), (14) при почти всех t е [а, Ь\ получаем оценку

I zii) - Zi(t) I < h[F(t, ydt)),

F(t, УШ < m\yi(t) - У M I £ p(0v0(0- (15)

Пусть у2 = VZ2 + fiyi)- Из определений функций у] и У2 и неравенств (5), (15) для любого t е [а, Ь\ имеет место соотношение

ь

\у&) - yi(t)\ < f\V(t,s)\ I (zis) - Z;(s)l *1 +

a

+ I (fyi)(t) - ifyoW) I ^ b

\Y(t,s)\ P(5)v0(5)rf5+ y(t)M(yj - уф) | <

a

b

p(s)v0te)rf.s + y(t)(Mv0)(t) = (cftvo)(f). (16)

a

Пусть функция Z3 e Ny2 при почти всех t e[a, b] удовлетворяет равенству

kj(0 - zit)\ = ?{zit), F[t, yit))].

Из определения функции Z2 W- Z3 и неравенств (1), (16) при почти всех t 6 [а, b] имеем оценку

- zit)\ < (3(01>’2(0 - уАг)\ < Р(0(сД',0)(/).

Пусть у? = У%з + ЛУ2)> тогда для любого / е \а, Ь\ получим ь

\уз(0 - У А*) I ^ \\У(*,з)\Р(МсА уо)(*)* +

а

+ т(0(Л4Дуо)(0=(сЛ2уо)(0- (17)

Далее, пусть Z4 е №уз при почти всех / б[а, Ь] удовлетворяет равенству

ЫО - гз(1) I = Рк?(0, Щ у3(Ш

Тогда из (1), (17) при почти всех / е \а, Ь\ полним оценку

\*М) - 1з^) I < Р(?) I- уМ I < Р(?)(с^2уо)(0-

Пусть У4 = Уг4 + Луз), тогда для любого ? е [а, Ь\ получим

Ь

\уМ - у А01 ^ \\V(t,s)\p(s)(cA2 уо)(«)* +

а

+ т(0(Л^с>Ч2''о)(0 = (сД3',о)(0-

Итак, можно определить такие последовательности {у,} и {гг}с!п[й, й], что для

любого / = 1, 2, ... у,- = Кг,- +Ду/-7) и ^ е ТУу,-_7, причем для любого t £ [а, Ь] имеет место неравенство

Ы0 - о)(0, ‘ = 1> 2, ... (18)

и при почти всех ? е [а, Ь\ справедлива оценка

к,<0 - г,-;(01 ^ Р(0(сД'‘2',о)(0) I = 2, 3, ... (19)

Покажем, что последовательность {у,} сходится.

Пусть ? е [а, /?]. Тогда для любых] = 0, 1, ... И ( = 1, 2, ... имеет место

\уш(0 - У/.01 ^ 1уу+/(0 - Уу+г-КО I + ,

+ 1 У]м-М - У]м-2(01 + - + \У]+АЬ ~ У]<01 -

Отсюда и неравенства (18) получаем оценку

\у]нО) - У/(?)1 ^ (<Л/+''^о)(0 +

+ (сД/+,_2уо)(0 + ■■■ + (сД'уоХО-

Таким образом, для любого t е [а, Ь\ и любых

У = 0, 1, ... и / = 1, 2, ... выполняется неравенство

00

1уу+/(0 - УА<)\ ^ 2 (сА^оМ- (20)

Поэтому согласно сходимости ряда (10) последовательность {у,} фундаментальна, а так

как пространство О^а, b] полно, то последовательность {yt} сходится.

Пусть у = Пт у/. Покажем, что у - решение

7->оо '

включения (4), удовлетворяющее теореме. Сначала покажем, что у удовлетворяет неравенству (13). Положим в неравенстве (20) j = 0. Тогда с учетом равенства (10) дня любого t е [а, Ь\ получим оценку

I уМ - уМ I < 4(0-

Переходя в последнем неравенстве к пределу при /—> ос, получим соотношение (11).

Далее, покажем, что последовательность (г,) сходится.

Поскольку для любых j = 1, 2, ... и / = 1, 2, ... и / е \а, Ь] справедлива оценка

13+;(0 - ф) I ^ I ^+,<0-Zj+i-i(t) I +

+ I - Zj+i-^i) \ + ... + I Zj+id) - Ф) I,

то согласно (19) при почти всех t е [а, b} имеет место неравенство

I Zj+i(t) - Zj(t) I < р(0 (cAkvo)(t)- (21)

Поэтому согласно сходимости ряда (10) и неравенства (21) последовательность {<:,■} фундаментальна, а так как пространство Ln[a, b\ полно, то последовательность {г,} сходится. Пусть z = Ит zПокажем, что при почти

всех t е [a, b] z удовлетворяет неравенству (12). Действительно, для любого j — 1, 2, ... и любого t е[а, Ь\ имеет место неравенство

I Zj(t) - zdS) I < I Zj(t) - Zi(t) I + I Zi(t) - Zdt) I,

отсюда согласно (21) и (13) для любого j = 1, 2, ... при почти всех t е \а, Ь\ справедлива оценка

I ф) - Zo(t) I < т х («лЧ)гу + «о-k=j~i

Поэтому с учетом равенства (10) для любого j = 1, 2, ... при почти всех t е [а, Ь\ имеет место соотношение

I Zj(t) - zdt) | s р(/)4(/) + К(/). (22)

Переходя в (22) к пределу при j —> оо, получаем неравенство (12).

Далее, так как для любого i = 1, 2, ... выполняется равенство yt = Vzi + fiyi-i), то переходя в этом представлении к пределу, получим равенство у = Vz + fiy). Далее, поскольку для любого /' = 1, 2, ... выполняется включение Zi £ Nyi-i, то из непрерывности оператора Немыцкого, получаем включение z е Ny, то есть у - решение включения(4).

Замечание. Отметим, что данная теорема обобщает и уточняет результаты работ [3 - 5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 338.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:

Наука, 1977. С. 630. '

3. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральных включений с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № з. С. 371-379.

4. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.

5. Булгаков А.И., Васильева И.В. Существование решений включения Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов. 1996. Т. 1. Вып. 2. С. 95-98.

Поступила в редакцию 30 ноября 1996 г.