Оценка близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Тбилиси: Изд. Тбил. гос ун-та, 1975.

2. Булгаков А.И., Сергеев Б.А. Осцилляционные свойства решений одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1984. Т. 20. № 2. С. 207-214.

3. Мирзов Док..Д. О колеблемости решений одной системы дифференциальных уравнений // Матем. заметки, 1979. Т. 23. Вып. 3. С. 401-404.

4. Евтпухов В. М. Об условиях колеблемости решений одного нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка // Матем. заметки, 2000. Т. 67. Вып. 2. С. 150-153.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты №№ 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект № 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты Ж№ П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11).

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Bulgakov A.I., Scherbakova A.V. To the question of fluctuating solutions to a nonlinear system of second order ordinary differential equations. For a nonlinear system of second order ordinary differential inequalities and equations there are formulated theorems on fluctuating solutions.

Key words: nonlinear system of second order ordinary differential equations; well-defined solution; fluctuating solution.

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Щербакова Антонина Васильевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru

УДК 517.911, 517.968

ОЦЕНКА БЛИЗОСТИ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ К НАПЕРЕД ЗАДАННЫМ ФУНКЦИЯМ © А.А. Григоренко, В.В. Скоморохов

Ключевые слова: возмущенное включение; оценка решений.

В работе сформулировано утверждение об оценки близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрим приложение этого утверждения к дифференциальным включениям.

Пусть X — банахово пространство с нормой || • ||х • Обозначим сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X ; рх[ш1’] ~ расстояние от точки до множества;

— расстояние по Хаусдорфу в между множествами. Пусть Е£п — арифметическое пространство с нормой | • |, если А С Еп , то ||А|| = вир{|а| : а Е А] . Пусть Ы С [а,Ь] — измеримое по Лебегу множество. Ьп(1А) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы —> с нормой

П[Ьп[а, Ь}\ — множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, 6]; Сп[а,Ь\ — пространство непрерывных функций х : [а, 6] -> Еп с нормой ||#||сп[а,б] = тах{|гс(£)| : Ъ Е [а, Ь]} ; С+[а, Ь] — конус неотрицательных функций пространства С1 [а, 6]

Рассмотрим в пространстве Сп[а, 6] включение

где Ф : Сп[а,6] —>• comp[Сп[а, 6]], Ф : Сп[а, 6] —> П[Ьп[а, Ь]\ — многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : L71 [а, 6] —> Сп[а, 6] определен равенством

Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент х Е С" [а, 6], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ь] —> Мп является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V Е Ф(гс) и 2 Е Ф(х), что

справедливо равенство х = V 4- Vг .

Пусть до Е Сп[а,Ь\, г0 € Ф(</о) и и>о Е Ьп[а, 6]. Представим функцию д0 в виде

где е = до — го — Уи)о • Предположим, что функция к Е Ь1 [<2,6] для каждого измеримого Ы С [а, Ъ] удовлетворяет неравенству

где \У(Ь,я)| — согласованная с пространством Еп норма пхп матрицы У^,з) в представлении (2), е Е Сп[а, Ь] — функция в правой части равенства (3).

Будем говорить, что отображения V : Ьп[а,Ь] —> Сп[а, 6], Ф : Сп[а, 6] —► сотр[Сп[а, 6]], Ф : Сп[а, Ь] -> П[Ьп[а,6]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г : С+[а,6] -)> Ь + [а,6] и Р : С+[а,Ь] -* М1 , удовлетворяющие условиям: для любых х,у Е Сп[а, 6] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняются неравенства

и

х Е Ф(я) + УФ(а:),

(1)

ь

t Е [а, Ь].

(2)

а

до = Го + V Wo + е,

О)

(4)

и

а непрерывная функция v : [а, Ь) —> [0, оо) определена соотношением

ь

(5)

а

(6)

Лс»[а,б][Ф(*), Ф(у)] ^ Р (2{х - у)); (7)

для функции и Е С+[а, Ь], определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1 [а, Ь] ряд

оо

Агу, А0 и = и, Аги = А (Аг~1и), г = 1,2,..., (8)

г=0

где непрерывный оператор А : С+[а, 6] —> С+[а, 6] определен равенством

6

(Аг) (I) = I ИМ)|(Г2)М& + Р(х), (9)

а

а отображение Z : Сп[а, Ь] —> С+^а, 6] определено соотношением

(гх){г) = |®(4)|. (ю)

Пусть £(1/) — сумма ряда (8), то есть

оо

= (п) 1=0

Теорема 1. Пусть до £ Отг[а,Ь], го Е Ф(до)? £ Ьп[а,6] и пусть функция до представима равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ьп[а, 6] —>• Сп[а, 6], Ф : Сп[а, 6] —> сотр[Сп[а, &]], Ф : Сп[а, Ь] —» П[Ьп[а, Ь]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х {х = V + Vг, V Е Ф(я), г Е Ф(ж)) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом £ Е [а, 6]

-до(*)| (12)

1Ь-го||с*[в,б] (13)

при почти всех Ь Е [а, Ь]

\г{Ь) - ш0(*)| < к(г) + (Г£(1/))(*), (14)

где и, £(^), Р, Г, к удовлетворяют соотношениям (5), (11), (7), (6), (4), соответственно.

Замечание 1. Отметим, что теорема 1 дополняет результат работы [2], в которой аналогичные оценки получены в случае выпуклозначности отображения Ф : Сп[а, 6] -> сотр[Сп[а, Ь]\. При этом в [2] доказательство этих оценок основывалось на теореме Майкла, с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви д : Сп[а,Ь] -» Сп[а,Ь] отображения Ф : Сп[а,Ь\ сотр[Сп[а,&]], а также с помощью результата работы [1]. Отметим, что предложенную в работе [2] схему в доказательстве теоремы 1 применить невозможно, поскольку теорема 1 не предполагает, что отображение Ф : Сп[а, Ь] —> сотр[Сп[а, 6]] выпуклозначно.

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 не является непосредственным следствием принципа сжимающих отображений, поскольку оператор, порожденный правой частью включения (1), не является замкнутозначным. Это доказывает следующий пример. Пусть отображение Ф : С![0,1] —► ЩЬ^О, 1]] задано равенством

Ф(х) = {у Е Ьх[0,1] : у{Ь) Е {-1,1} при п.в. £ Е [0,1]},

а оператор V : Ь1 [0,1] —> С1 [0,1] имеет вид

г

(ТЛг)М = J г(з)(18.

о

Определим последовательность измеримых функций ут : [0,1] —> М, т = 1,2,... следующим образом:

1, если £ 6 [0,1/2),

— 1, если ^ е [1/2,1],

2/1 № =

1, если £ Е [0,1/4),

— 1, если £Е [1/4,1/2),

1, если £ Е [1/2, 3/4),

— 1, если ^ Е [3/4,1].

и так далее. Из определения последовательности ут : [0,1] —> Я, т— 1,2,... следует, что Уут 0 в пространстве С1 [0,1] при т —> оо . В то же время 0 ^ УФ (ж).

Замечание 3. Отметим, что теорема 1 дает несколько больше, чем просто условия существования решения включения (1). Она дает способ нахождения приближенного решения путем подбора функции до £ Сп[а,6]. При этом функция £(^), зависящая от функций <7о>го ^ Сп[а,6] и Е Ьп[а,6], дает оценку погрешности приближенного решения (функции до) включения (1).

Замечание 4. Отметим, что, если непрерывный оператор А : С+[а, 6] —> С+[а, 6], определенный равенством (9), для любых 21,22 Е С\[а,Ь] удовлетворяет соотношению

Л(г\ + 22) = А{г\) + А(г2),

то сумма ряда (8) является решением уравнения

= Л(£(г/)) +1А (15)

Действительно, так как

з

= Ит ^2Лги,

^°°^о

ТО

3 3 3+1

Д(£М) = А Нт У" Аги = Нт ААги = Нт Аги — V = £(^) - V.

г=0 г=0 г=0

И, следовательно, £(г/) удовлетворяет уравнению (15).

В качестве приложения теоремы 1 рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

я(£) Е ^(г,ж(£)), < Е [а, 6], я(а) = яо, (16)

где отображение F : [а, Ь] хЕп 4 сотр[Еп] обладает следующими свойствами: для всех хЕГ отображение -Р(-,ж) измеримо [4]; существует такая функция /3 Е Ь+[а,Ь], что при почти всех £ Е [а, Ь} и всех ж, у Е Мп выполняется неравенство

Лщ"[^(*,2;)^(*,у)] <£(*)|а;-2/|; (17)

существует такая функция 7 Е £»^[о,Ь], что при почти всех £ Е [а, Ь] имеет место оценка

Под решением задачи (16) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ь] -> Ел, при почти всех £ Е [а, Ь] удовлетворяющую включению (16) и равенству х(а) = хо.

Напомним, что многозначный оператор Немыцкого N : Сп[а,6] —> П[Ьп[а,£>]],

порожденный отображением F : [а, 6] хКпч comp[Rn], определяется равенством

N(x) = {у G Ln[a,6] : y(t) G F(t,x(t)) при п. в. t G [а, 6]}.

Очевидно, что задача (16) эквивалентна интегральному включению

х G xq + AN(x), (18)

где оператор Л : Ln[a, b] —> Сп[а, Ь] — оператор интегрирования, определенный равенством

t

(Az)(t) = / <z(s) ds, о

которое является частным случаем (1). При этом отображение Ф : Cn[a, b] —>• comp[Cn[a, &]] в данном случае определяется равенством

Ф(:с) = XQ.

Пусть функция до : [а,Ь] —» Мп абсолютно непрерывна. В этом случае равенство (3) принимает вид

до = х0 + Ago + е,

где е = до(а) — хо, д’о G Ln[a,6] — производная функции до- Далее, пусть функция k G L\ [a, b] при почти всех t G [a, 6] удовлетворяет неравенству

/9Kn[go(£),F(£,go(*))] ^ k(t).

Отметим, что функция к удовлетворяет неравенству (4), в котором Ф — оператор Немыцкого N : Cn[a, b] -» П[Ьп[а, 6]], порожденный отображением F : [а, Ь] х Мп —> сотр[Кп]. Для рассматриваемого случая непрерывная функция и : [а, 6] —> [0, оо) имеет вид

t

v(t) = J k(s)ds + \q0(a)-x0\. (19)

a

Покажем, что отображения Л : Ln[a,b] —)■ Cn[a, 6], Ф : Cn[a, b] —> comp[Cn[a, &]], N : Cn[a, b] —»• П[Ьп[а, &]] обладают свойством А. Действительно, для этих отображений непрерывные изотонные операторы Г : C+[a,b] —> L^[a,b] и Р : С^[а, 6] -> R1 определяются равенствами

(Tz){t) = p(t)z(t), Pz = 0,

где функция Р G L]j_[a,b] удовлетворяет неравенству (17). Кроме того, для функции I/,

определенной равенством (19), сходится ряд (8), в котором оператор А : CVM] -> С+[о, 6]

задан соотношением

t

(Az)(t) = J (3(s)z(s)ds. (20)

a

Отметим, что в силу замечания 4 сумма ряда (8) в данном случае представляет собой решение уравнения

t

СММ = J P{s)Z(v){s)ds + v{t), (21)

где функция V 6 С1+[а,Ь] удовлетворяет равенству (19). Решение уравнения (21) имеет вид

£(!/)(<) =фо-9о(а)И!)+ [ йз,

а

где непрерывная функция с/э е С1 [а,6] задается равенством

I

а

Таким образом, из теоремы 1 вытекает оценка А.Ф. Филиппова [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III //Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, N 3. С.371-379; Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, N 4. С.566-571; Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, N 5. С.739-746.

2. Булгаков А.И., Ткач Л.Я.Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

3.Григоренко А.А., Панасенко Е.А. Некоторые вопросы теории возмущенных включений и их приложения // Тамбов: Издатель-ский дом ТГУ имени Г.Р.Державина, 2010.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М.Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

5. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. N3. С.16-26.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты №№ 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект JV» 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты №№ П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11).

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Grigorenko A.A., Skomorokhov V.V. Estimation of closeness of solutions for a perturbed inclusion to given functions. At the article we formulated the statement about the estimation of closeness of solutions for a perturbed inclusion to given continuous function. There is considered an application of this statement to differential inclusions.

Keywords: perturbed inclusions; estimation of solutions.

Григоренко Анна Александровна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: g.anya@mail.ru

Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru