CC BY
14
УДК 517.911, 517.968
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-517-522
ПРИЛОЖЕНИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ВКЛЮЧЕНИЯМ
© А. А. Григоренко1) , О. В. Филиппова1)2)
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: g.anya@mail.ru, philippova.olga@rambler.ru 2) Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: philippova.olga@rambler.ru
В статье получено утверждение об оценке близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрено приложение этого утверждения к дифференциальным включениям.
Ключевые слова: возмущенное включение; оценка решений; дифференциальное включение
Пусть X- банахово пространство с нормой || • ||х • Обозначим еошр[Х] - множество всех непустых компактов пространства пространства X ; рх[•, •] - расстояние от точки до множества; Нх [•, •] - расстояние по Хаусдорфу в между множествами. Пусть Мп - арифметическое пространство с нормой | -| , если А С Мп , то || А|| = 8ир{|а|: а € А} . Пусть Ы С [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Ьп(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х :Ы^Шп с нормой
ЦхЦьп(и) = ^ |х(в)| йв; и
П[Ъп[а, Ь]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп [а, Ь]; Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ^ ^ Мп с нормой ||х||= шах{|х(г)| : г € [а, Ь]} ; С+[а, Ь] - конус неотрицательных функций пространства С1 [а, Ь].
Рассмотрим в пространстве Сп [а, Ь] включение
х € Ф(х) + VФ(х), (1)
где Ф : Сп[а, Ь] ^ еошр[Сп[а, Ь]], Ф: Сп[а, Ь] ^ П[Ьп[а, Ь]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь] определен равенством
ь
^г) (г) = J V(г,в)г(в)йв, г € [а, Ь]. (2)
а
Включение (1) назовем возмущенным включением.
Под решением включения (1) будем понимать элемент х € Сп[а, Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ь] ^ Мп является решением включения (1)
тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V € Ф(х) и г € Ф(х) , что справедливо равенство х = V + Уг .
Пусть до € Сп[а, Ь], го € Ф(до) и шо € Ьп[а,Ь] . Представим функцию до в виде
до = го + Ушо + е, (3)
где е = до — го — Уи>о . Предположим, что функция к € Ь^а, Ь] для каждого измеримого и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству
Ръп(ы)К;ФЫ] ^У к(в)йв, (4)
и
а непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, те) определена соотношением
ь
V(1) = ! \У(1,8)\к(з)й8 + \е(£)\, (5)
а
где \У(£, з) \ - согласованная с пространством Мп норма п х п матрицы У(Ь,в) в представлении (2), е € Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (3).
Будем говорить, что отображения У : Ьп[а, Ь] — Сп[а, Ь], Ф: Сп[а, Ь] — сотр[Сп[а, Ь]], Ф: Сп[а, Ь] — П[Ьп[а, Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотон-ные операторы Г : С+[а, Ь] — Ь+[а, Ь] и Р : С+[а, Ь] — М1 , удовлетворяющие условиям: для любых х,у € Сп[а, Ь] и любого измеримого множества ис[а,Ь] выполняются неравенства
hьn(и)[Ф(х), Ф(у)] < ||Гг(х — у)уЬ1(^), (6)
hcnla,ь][Ф(x), Ф(у)] < Р (г (х — у)); (7)
для функции V € С+[а, Ь] , определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1[а, Ь]
функции V € С+ [а, Ь] , определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1 ^
ряд
те
s^Aiv, A0v = V, А^ = А (.А= 1,2,..., (8)
г=о
где непрерывный оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] определен равенством
ь
(Аг)() = !\У (1,8)\(Гг)(з)й8 + Р(г), (9)
а
а отображение г: Сп[а, Ь] — С+[а, Ь] определено соотношением
(Ях)(*) = \х(^)\. (10)
Пусть {(V) - сумма ряда (8), т. е.
те
& ) = £ А^. (11)
i=0
Теорема 1. Пусть до € Сп[а, Ь], го € Ф(до), ■ € Ьп[а, Ь] и пусть функция до пред-ставима равенством (3). Далее, пусть отображения У : Ьп[а, Ь] — Сп [а, Ь], Ф : Сп[а, Ь] — — сотр[Сп[а, Ь]], Ф: Сп[а, Ь] — П[Ъп[а, Ь]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х ( х = V + У г, V € Ф(х), г € Ф(х) ) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом £ € [а, Ь]
\хО — до(£)\ < £М(*); (12)
- Го\\сп[а,Ь] < Р(£(")); (13)
при почти всех г € [а, Ь]
Ш - ыо(г) < к(г) + (Щ»))(г), (14)
где и,£(и),Р,Г,к удовлетворяют соотношениям (5), (11), (7), (6), (4), соответственно.
Замечание 1. Отметим, что теорема 1 дополняет результат работы [1], в которой получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции в случае выпуклозначности отображения Ф: Сп[а, Ь] — еошр[Сп[а, Ь]]. При этом в [1] доказательство этих оценок основывалось на теореме Майкла. Здесь не предполагается, что отображение Ф : Сп[а, Ь] — еошр[Сп[а, Ь]] имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла для доказательства теоремы невозможно.
Замечание 2. Отметим, что теорема 1 дает несколько больше, чем просто условия существования решения включения (1). Она дает способ нахождения приближенного решения путем подбора функции до € Сп[а, Ь]. При этом функция £(и), зависящая от функций д0,г0 € Сп[а,Ь] и ы0 € Ьп[а, Ь], дает оценку погрешности приближенного решения (функции д0) включения (1).
В качестве приложения теоремы 1 рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения
х(г) € Г(г,х(г)), г € [а,Ь], х(а) = х0, (15)
где отображение Г: [а, Ь] х Мп — еошр[Мп] обладает следующими свойствами: для всех х € Мп отображение Г(-,х) измеримо [2]; существует такая функция в € Ь+[а, Ь], что при почти всех г € [а, Ь] и всех х,у € Кп выполняется неравенство
нЖп[г(г,х),г(г,у)] < в(г)|х -у|; (16)
существует такая функция 7 € Ь+[а,Ь], что при почти всех г € [а,Ь] имеет место оценка
ЦГ(г,0)|| < 7(г).
Под решением задачи (15) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ь] — Мп, при почти всех г € [а,Ь] удовлетворяющую включению (15) и равенству х(а)=х0.
Напомним, что многозначный оператор Немыцкого N : Сп[а, Ь] — П[Ъп[а, Ь]], порожденный отображением Г : [а, Ь] х Мп — еошр[Мп], определяется равенством
N (х) = {у € Ьп[а, Ь] : у(г) € Г (г, х(г)) при п. в. г € [а, Ь]}.
Очевидно, что задача (15) эквивалентна интегральному включению
х € х0 + ЛN(х), (17)
где оператор Л: Ьп[а, Ь] — Сп[а, Ь] - оператор интегрирования, определенный равенством
ь
(Лг)(г) = У г(в) йв,
которое является частным случаем (1). При этом отображение Ф :Сп[а, Ь] — еошр[Сп[а, Ь]] в данном случае определяется равенством
Ф (х) = х0.
Пусть функция до : [а, Ь] — Мп абсолютно непрерывна. В этом случае равенство (3) принимает вид
до = хо + Лдо + е,
где е = до (а) — х0, д0 € Ьп[а, Ь] - производная функции д0. Далее, пусть функция к € Ь+ [а,Ь] при почти всех Ь € [а, Ь] удовлетворяет неравенству
Ркп [до(*),*Х*,до(Ь))] < ф(Ь).
Отметим, что функция к удовлетворяет неравенству (4), в котором Ф - оператор Немыцкого N: Сп[а, Ь] — П[Ьп[а, Ь]], порожденный отображением Г: [а, Ь] х Мп — еошр[Мп]. Для рассматриваемого случая непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, те) имеет вид
г
V (Ь) = ф(в) йв + | до (а) — хо\. (18)
Покажем, что отображения Л : Ьп[а, Ь] — Сп[а, Ь], Ф : Сп[а, Ь] — еошр[Сп[а, Ь]], N : Сп[а, Ь] — — П[Ьп[а, Ь]] обладают свойством А. Действительно, для этих отображений непрерывные изотонные операторы Г : С+[а, Ь] — [а, Ь] и Р : С+[а, Ь] — М1 определяются равенствами
(Гг)(Ь) = /З(ЬМЬ), Рг = 0,
где функция в € Ь+[а, Ь] удовлетворяет неравенству (16). Кроме того, для функции V, определенной равенством (18), сходится ряд (8), в котором оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] задан соотношением
г
Ат = 1в(в)г(в) (19)
а
Отметим, что сумма ряда (8) в данном случае представляет собой решение уравнения
г
£Ш) = ! вШ(V)(в) йв + V(Ь), (20)
а
где функция V € С+[а, Ь] удовлетворяет равенству (18). Решение уравнения (20) имеет вид
г
((и)(Ь) = |хо — до(а)Иг) + ! е^г)-^Щ(в) йв,
а
где непрерывная функция р € С1 [а, Ь] задается равенством
г
р(ь) = у в (в) йв.
а
Таким образом, из теоремы 1 вытекает оценка А.Ф. Филиппова [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.
2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.
3. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. Серия: Математика и механика. 1967. № 3. C. 16-26.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-01-00553, № 17-41-680975), Минобрнауки России (Соглашение № 02.a03.21.0008) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 21 апреля 2017 г
Григоренко Анна Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: g.anya@mail.ru
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
UDC 517.911,517.968
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-517-522
APPLICATION OF THE ESTIMATION OF SOLUTIONS OF PERTURBED INCLUSION TO DIFFERENTIAL INCLUSIONS
© A. A. Grigorenko1) , O. V. Filippova1)2)
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: g.anya@mail.ru, philippova.olga@rambler.ru 2) RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: philippova.olga@rambler.ru
In the article, the statement about the estimation of closeness of solutions for perturbed inclusion to a given continuous function is obtained. The application of this statement to differential inclusions is considered. Key words: perturbed inclusions; estimation of solutions
REFERENCES
1. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Perturbation of a convex-valued operator map of Hammerstein type with non-convex values, and boundary-value problems for functional-differential inclusions // Sbornik: Mathematics. 1998. V. 189. № 6. P. 3-32.
2. Ioffe А.D., Tikhomirov VThe theory of extreme problems. M.: Nauka, 1974. 480 p.
3. Filippov А.F. Classical solutions of differential equations with multivalued right-hand side // Vestnik MGU. Seriya: Matematika i mekhanika. 1967. № 3. S. 16-26.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present research is supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 17-01-00553, № 17-41-680975), by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (the Agreement number 02.a03.21.0008) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools, No. NSh-8215.2016.1.
Received 21 April 2017
Grigorenko Anna Alexandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: g.anya@mail.ru
Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department; RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
Информация для цитирования:
Григоренко А.А., Филиппова О.В. Приложение оценки решения возмущенного включения к дифференциальным включениям // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 3. С. 517-522. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-517-522
Grigorenko A.A., Filippova O.V. Prilozhenie otsenki resheniya vozmushchennogo vklyucheniya k differentsial'nym vklyu-cheniyam [Application of the estimation of solutions of perturbed inclusion to differential inclusions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 517-522. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-517-522 (In Russian)
