CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 515.124.4+519.852.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-101-117
Существование неприводимых мультиобходов кратности 2
А. О. Иванов, О. С. Щербаков
Иванов Александр Олегович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (г. Москва). e-mail: aoivaQmech.math.тsu.su
Щербаков Олег Сергеевич — Университетская гимназия, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (г. Москва). e-mail: shcherbakovosQyandex. ru
Аннотация
Ивановым и Тужилиным была предложена одномерная проблема Громова о минимальном заполнении конечных метрических пространств, где в качестве заполнений рассматриваются взвешенные графы с неотрицательными весами ребер. Они показали, что задача редуцируется к случаю так называемых бинарных деревьев — деревьев у которых вершины имеют только степени 1 и 3. Ерёминым была получена минимаксная формула веса минимального заполнения. Формула Ерёмина использует понятие минимального параметрического заполнения — фиксируется граф (параметризация или тип); он показал, что вес минимального параметрического заполнения равен максимальному значению так называемого мультипириметра среди всех неприводимых мультиобходов.
Сложность структуры бинарного дерева можно измерять количеством так называемых усов — пар граничных вершин с общей смежной вершиной. Настоящая работа посвящена изучению мультиобходов бинарных деревьев с тремя усами. Найдена линейная рекуррентная формула для числа бинарных деревьев с тремя усами. Установлена связь между неприводимостью мультиобходов и включениями мультиграфов мультиобходов для фиксированного бинарного дерева.
Недавно Щербаковым было доказано, что кратность неприводимого мультиобхода для бинарного дерева с тремя усами не превосходит 2, в этой работе доказано существование таких неприводимых мультиобходов у любого такого бинарного дерева.
Недавно Иванов и Тужилин предложили вычислять вес минимального параметрического заполнения, находя вершины многомерного многогранника допустимых значений переменных двойственной задачи линейного программирования с помощью компьютера. Разработанная в настоящей работе техника позволяет найти все неприводимые мультиоб-ходы у бинарного дерева с 6 граничными вершинами и 3 усами без использования компьютерных вычислений.
Ключевые слова: конечное метрическое пространство, минимальное параметрическое заполнение, линейное программирование, многогранник бинарного дерева, мультицикли-ческий порядок, неприводимый мультиобход, мультиграф мультиобхода.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 10И17.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 515.124.4+519.852.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-101-117
Existence of irreducible multitours of multiplicity 2
A. O. Ivanov, O. S. Shcherbakov
Ivanov Alexandr Olegovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University; Bauman Moscow State Technical University (Moscow). e-mail: aoivaQmech.math.msu.su
Shcherbakov Oleg Sergeevich — University Gymnasium, Lomonosov Moscow State University; Bauman Moscow State Technical University (Moscow). e-mail: shcherbakovosQyandex. ru
Abstract
Ivanov and Tuzhilin stated the problem of one-dimensional Gromov minimal filling of finite metric spaces, where the filling is considered as a weighted connected graph containing the metric space as a subset of its vertex set. They shown that the problem can be always reduced to the case of so-called binary trees — trees whose vertices have degrees 1 and 3 only. Later Eremin obtained a minimax formula for the weight of the minimal filling. Eremin's formula uses the concept of minimum parametric filling, i.e. the filling with a fixed graph (parameterization or type), and the weight of the minimal parametric filling turns out to be equal to the maximum value of so-called multi-perimeters over all irreducible multi-tours.
1
vertex. The number of moustaches can measure complexity of binary trees. In this paper the
3
found for the number of such binary trees. For a fixed binary tree a connection is established between the irreducibility of multi-tours and inclusions of multi-tours multi-graphs.
Recently Shcherbakov proved that the multiplicity of an irreducible multi-tour for a binary-tree with 3 moustaches does not exceed 2; in this paper the existence of such irreducible multi-
3
Ivanov and Tuzhilin proposed to calculate the weight of a minimal parametric filling by-finding the vertices of a multidimensional polyhedron of feasible variable values of the dual linear programming problem. These their results are based on computer calculations. The technique developed in this paper permits to find all irreducible multi-tours of a binary tree with 6 3
Keywords: finite metric space, minimal parametric filling, linear programming, convex polytops of binary tree, irreduceble multi-torus, multigraph of multi-torus.
Bibliography: 18 titles. For citation:
Ivanov, A. O., Shcherbakov, O. S. 2024, "Existence of irreducible multitours of multiplicity 2" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 101-117.
1. Введение
Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства появилась в [1] (см. краткое введение в [2], [3] или [4]). Она возникла как обобщение задачи Штейнера о кратчайшей сети (см. например [5]) и задачи Громова о минимальном заполнении гладкого
риманова многообразия [6]. Развитию этого сюжета посвящены работы [7], [8], [9], [11]. Так, например, теория минимальных заполнений позволила получить ряд продвижений в задаче об оценке отношения Штейнера, см. [10], [18].
Напомним общую постановку задачи. Пусть X — конечное метрическое пространство. Требуется найти взвешенное (с неотрицательной весовой функцией и> на рёбрах) дерево С наименьшего веса такое, что выполнены условия: 1) множество X вкладывается в множество вершин дерева С; 2) для любых двух точек г и ] метрического пространства X тес единственного пути Гу, соединяющего их в дереве, не меньше расстояния р^ между этими точками в метрическом пространстве.
Бинарными деревьями мы называем деревья у которых степени вершин могут принимать только значения 1 и 3. В [1] показано, что всегда вместо рассмотрения произвольных деревьев, можно ограничится рассмотрением бинарных деревьев, причем множество X совпадает при вложении с множеством вершин степени 1. При изучении минимальных заполнений естественно возникает задача о минимальном параметрическом заполнении. В такой постановке фиксируется дерево С (тип заполнения) и минимизируется весовая функция на ребрах графа в сделанных выше предположениях. В этом случае оказалось удобным перейти к так называемым обобщённым, заполнениям,, разрешив весовой функции и> принимать отрицательные значения. В работе [12] доказано, что вес минимального заполнения совпадает с весом обобщённого заполнения для псевдометрического пространства.
В работе Еремина [4] получена формула веса обобщенного минимального параметрического заполнения в терминах так называемых неприводимых мультиобходов, и показано, что таких мультиобходов конечное число. Полученная в [4] оценка на число неприводимых мультиобходов для т-точечного метрического пространства равна Например, для
10-точечного метрического пространства означает СЦ и 1,1 ■ 1012, а для 15-точечного — С105 и 8, 77 ■ 1024, что делает перебор невозможным на практике.
В [2] поиск формулы веса минимального параметрического заполнения осуществляется так: задача о поиске минимального параметрического заполнения для бинарного дерева С рассматривается как задача линейного программирования, далее следует переход к двойственной задаче. Допустимое множество в двойственной задаче — некоторый многогранник Х(С), он не зависит от метрического пространства, а зависит только от типа заполнения. От метрического пространства зависит только целевая функция в двойственной задаче. Согласно принципу двойственности минимум целевой функции исходной задачи совпадает с максимумом целевой функции двойственной задачи, поэтому вес минимального параметрического заполнения можно найти как максимум значений целевой функции в вершинах многогранника Х(С). В [2] также установлено соответствие между рациональными точками многогранника Х(С) и мультиобходами дерева С.
В [13] установлена биекция, между вершинами многогранника Х(С) и неприводимыми мультиобходами, показано, что максимум целевой функции в двойственной задаче может достигаться на любой из вершин многогранника Х(С), что означает, что для поиска формулы веса минимального параметрического заполнения в виде максимума значений целевой функции в вершинах многогранника Х(С) необходимо найти все в ер шины Х(С).
В [13] найдены все вершины многогранника Х(С) для бинарных деревьев с 2 усами (так называемые деревья типа "змея") и тем самым найдена формула веса минимального параметрического заполнения для этого случая. В [14] доказано, что кратность неприводимого
32
усами.
2. Необходимые определения и предварительные результаты
В настоящей работе бинарным деревом называется связный ацикличный простой конечный граф (т.е. дерево), у которого все вершины имеют степень 1 ми 3. Вершины степени 3 называются внутренними, вершины степени 1 — граничным,и или листьям и. Далее С = (V., Е) — бинарное дерево, V — множество его вершин, Е — множество рёбер. Множество граничных вершин дерева С обозначим через М, а их число |М| — через т. Обозначим й = Ст — число неупорядоченных пар вершин из М, число рёбер бинарного дерева С обозначим г, тогда г = 2т — 3.
Бинарные деревья будем рассматривать с точностью до изоморфизма графов.
Мультициклинеский порядок кратности I на множестве М = {у\, у2,..., Ут} из т элементов — это отображение а : —М, такое, что
1) Ук е Ъгт а(к + 1) = а(к); 2) Уу е М = I.
Мультициклический порядок на множестве {^1,^2,..., Ут} обозначим (Уг1у^ ... Уцт), где Ьгк+1 = &(к), а когда обозначения вершин не важны, будем писать (11X2 ... Чт)-
Путь, соединяющий граничные вершины г и ] в дереве С, обозначим Г^ и будем называть граничным. Пути Г^ и Г^ отождествляем. По мультициклическому порядку а построим мультимножество Г°" граничных путей:
Г<7 := {Г<т(0)<г(1), Гa(1)a(2), . . ., Г а(1т-1)а(0)}.
Согласно предложению 2.4 из [4] мультиобходом а кратности I бинарного древа С будем называть такой мультициклический порядок на множестве его граничных вершин М, что через каждое ребро дерева С проходит ро вно 2/ его граничных пут ей из Г°\
По Гст построим век тор и>а = (а 12,..., &(т-1)т) е МСт, положив коорди пату а^ равной количеству включений граничного пути Г у в Гст. Полученный ве ктор ь]а будем называть вектором мультиобхода а.
Лемма 1. ([4], Предложение 2.5) Для всякого 1-обхода, а через каждую пару смежных рёбер дерева С проходит ровно I граничных пут ей из Г°".
Мультиобходы а и а' бинарного дерева С назовём эквивалентными, если и)а = и)а . Эквивалентность мультиобходов обозначим так: а = а'.
По бинарному дереву С построим матрицу А размера г х й (см. [2]): строки индексированы рёбрами С, столбцы — парами из М, элемент а^- матрицы А определён условием:
и \1, если е^ е Гц;
4 = |0 к ^ 1 < к < г, 1 < < т.
%3 1 0, если еи е Гг3;
Вектор-столбец й х 1, все координаты которого равны 1, обозначим I. В [2] каждому бинарному дереву С сопоставляется выпуклый многогранник
X = Х(С):= {х = (х12,...,х(т-1)т) е М^ : Ах = I, хц > 0,1 < К] < т). (1)
Теорема 1. ([4], Теорема 3.3) Для всякого вектора ад с целым,и неотрицательными координатам,и, такого, что Аад = 211, существует мультиобход а, для которого данный, вектор является вектором мультиобхода.
По всякому ¿-обходу а можно построить точку х многогранника X, следующим образом: х = 2 ад, эту точку будем обозначать ха.
Неприводимые мультиобходы введены в [4] для формулы веса минимального параметрического заполнения. В работе [13] показано, что существует биекция между множеством вершин Х
дующее
Определение 1. Мультиобход а кратности I назовём неприводимым, если х° = 2 ад0 — вершина многогранника, и все координаты, вектора ад0 взаимнопросты в совокупности, в противном случае мультиобход называется приводимым.
Напомним, что усы, бинарного дерева — это пара его граничных вершин, имеющих общую смежную вершину. Также усами называется соответствующая пара соседних ребер, инцидентных этим граничным вершинам.
Лемма 2. ([13], Лемма 4) Если пара вершин бинарного дерева С образуют, усы, то соответственная координата х^ точки многогранника Х(С) равна 2-
Следствие 1. Для любого 1-обхода о бинарного дерева С, если пара вершин vivj образуют, усы, то для вектора мультиобхода соответствующая координата а^ = I.
Лемма 3. Рассмотрим мультиобходы а, ( и т кратностей I, к и £ соответственно. Если для, векторов мультиобходов для некоторого п € N выполнено равенство:
пи)0 = + и)Т, (2)
то мультиобход а приводим, причём кратности связаны соотношением п1 = к +
Доказательство. Из равенства (2), применив к обоим частям матрицу А, получаем п1 = к + Разделим обе части равенства (2) на 2п1, получим
0 1 (2к с 2£ Л к с Ь т
х = —- —+--ад = —-+—-х .
\2к 2£ /
2п1 \ 2к 2£ / п1 п1
Значит точка ж° лежит между точками х^ т хТ, то есть не является вершиной многогранника Х, откуда следует приводимость а по определению 1. □
2.1. Мультиграфы
В настоящей работе под мультиграфом понимается простой граф, каждому ребру которого сопоставлено целое неотрицательное число, называемое кратностью. Считаем, что
0
Определим произведение мультиграфа С на натуральное число I, как мультиграф Ю у которого множество вершин совпадает с множеством вершин графа С, а кратности всех рёбер увеличены в I раз.
Пусть у мультиграфов С1 и С2 совпадают множества вершин: V1 = У2 = V. Определим сумму мультиграфов как мультиграф С1 + множество вершин которого V, а кратность ребра, связывающего вершины ы и равна сумме кратностей этого ребра вС^ С2.
Обозначим через К(М) полный граф с множеством вершин М. Напомним, что последовательность смежных вершин и рёбер, такая, что все рёбра различны, называется цепью. Ясно, что для задания цепи в простом графе достаточно указывать только вершины.
Последовательность вершин ...^множества М, где соседние вершины различны,
представляет собой цепь в графе пК(М) для некоторого п. Вершины ы1 и ык назовем концам,и цепи. Если концы цепи совпадают (ы1 = ь^), то будем говорить что цепь зам,кнута,, то есть является циклом,, и писать (у^... 1).
Иногда, вместо Уг1 Уг2 ... Угк будем писать 1112 .. Ли, если ясно о каких вершинах идёт речь. Мультициклический порядок (ы1 ... Уг1т) можно рассматривать как замкнутую цепь в графе 1К(М). Если мультициклический порядок имеет вид а = (... 1]к ...), то будем говорить
А
что цепь А = г]к входит в а и т.п. Заметим, что 1-обходу соответствует гамильнотов цикл в полном графе К (М).
Цепи ¿122 ... ^п соответствует последовательность граничных путей Г^, Г^д, ..., Гп_ 1гп. По ¿-обходу а определим мультиграф Са: в качестве множества вершин графа Оа возьмём М, каждую тару вершин г и ] соединим ребром кратности а^. Ясно, что Оа С 1К (М).
2.2. Побеги и обходы
Начнем с описания вспомогательной конструкцию так называемого побега.
Процедура приклеивания усов. Рассмотрим бинарное дерево С с граничной вершиной ад. Добавим к множеству вершин этого дерева ещё две вершины у^ ш №1 и соединим каждую из них ребром с вершиной ад, получим бинарное дерево с усам и (У1,ад\). Будем говорить, что дерево С1 получено го бинарного дерева С путём приклеивания усов (у1,ад1) к вершине ад
Процедура выращивания побега из р листьев (р > 2). Рассмотрим бинарное дерево С с граничной вершиной ад, переобозначим её через адр. Приклеим усы (ур,адр-\) к бинарному дереву С по вершине адр, получим бинарное дерево О^ далее из С1 приклеиванием усов (ур-1, адр-2) к вершине адр-1, получим бинарное дерево С2, и так далее. На последнем (р — 1)-м шаге к дереву Ор-2 с усам и (Уз,ад2), приклеенными на предыдущем шаге, приклеиваем усы (у2, у1) к вершине ад2, получаем дерево Ор-1.
Наименьшее бинарное поддерево А дерева Ср-1, содержащие все вер шины (у1, .. .ур), назовём побегом. Вершину ур будем называть концевой вершиной побега. Если р = 2, то побег, по определению, состоит из одних лишь усов.
Будем говорить, что дерево Ср-1 получено из дерева С путём выращивания побега А из р листьев из вершины ад. Пусть е — единственное ребро, смежное с ад в дереве С, и о — другая вершина этого ребра, тогда е и о входят в побег, ибо побег мы определили как бинарное поддерево. Вершину о мы будем называть корнем, побега.
Пусть бинарное дерево С содержит побег А из р листьев (рис. 1), а нумерация первых р вершин дерева С совпадает с нумерацией вершин побега А.
Лемма 4. ([14], Лемма 1) Для любого 1-обхода а дерева С справедливо:
а = (... * А1 * ... * А2 * ... * * ...), (3)
где Аи, к = 1..1, представляют собой цепи вида,
Ак = Зк 11 к, (4)
где
-Ь = & и 1к = гк1 гк2 ...г,кк, Чк + ги = р — 1,
{й ,...,Й,Й} и{ г! ,г/к ,...,1кГк} = {2,3,4,...,р}, ^ >...>зк > Й « Я < гк2 < ... < гкГк.
Символом * обозначены какие-то граничные вершины, не входящие в побег А.
Цепь Аг будем называть так же путём по побегу А.
2.3. Бинарные деревья с тремя усами
Множество бинарных деревьев ровно с тремя усами будем обозначать через Вз. Через У обозначим единственное бинарное дерево с 3 граничными вершинами.
Лемма 5. ([14] Лемма 2) Всякое бинарное дерево О из Вз состоит из 3 побегов с общим корнем. Побеги выращены из граничных вершин дерева У, а, их корень — единственная внутренняя вершина У.
Заметим, что количество граничных вершин в побегах однозначно определяют дерево из
Вз.
Рассмотрим бинарное дерево из Вз и обозначим его побеги через А, В и С. Следующая теорема объединяет результаты теорем 1, 2 и следствия 3 из [14]:
Теорема 2. Неприводимые мультиобходы бинарного дерева из Вз, с точностью до эквивалентности, состоят из путей Аь,Вь,Сь по побегам А, В, С и могут быть только такими:
а) а ^ (А1В1С1) или б) а = (А1В1С1А2В2С2), (5)
причём в случае б) если ар — концевая, вершина побега А, то А1 = арА'1 и А2 = А'2ар или А1 = А[ар и А2 = арА'2, аналогично для побегов В и С.
Следствие 2. ([14], Теорема 3) У бинарного дерева из Вз существует не более чем 2
2.4. Оценка на число вершин многогранника
Напомним критерий (см. например [15] Теорема 2.1) того, что точка многогранника заданного условиями (1), является его вершиной (угловой точкой).
Столбцы матрицы А обозначим Ац, А1з ...,А(ш-1)ш (в соответствии с парами вершин), условие Ах = I переписывается в виде
А12Х12 + А13Х13 + ... + А(
т—1)тХ(т—1)т 1
Как показано в [2] (Лемма 2.2), матрица А имеет максимальный ранг г = 2т — 3.
Теорема 3. Для того, чтобы точка х была угловой для множества X, необходимо и достаточно, чтобы нашлось г = rang А линейно-независимых столбцов АК1, АК2,... АКт А
АЯ1ХЯ1 + АК2ХК2 + ... + АЯГХЯГ - 1 (6)
причём xKs > 0, s — 1,... ,г, а, все остальные Xij — 0.
Как показано в [13], число неприводимых мультиобходов бинарного дерева в точности совпадает с числом вершин многогранника бинарного дерева, это число обозначим через ъ'(С). Число неприводимых мультиобходов кратности к дерева С будем обозначать через щ(О).
В работе [4] (следствие 3.25) была получена верхняя оценка на число неприводимых мультиобходов бинарного дерева: и(С) < С^. Она получена как число выборок г столбцов матрицы А размер а г х с1. Эту оценку можно улучшить.
Предложение 1. Пусть у — количество усов бинарного дерева, тогда и(С) < СгА—у.
Доказательство. Если вершины с номерами I ш у образуют усы, то по лемме 2
чит все столбцы А^ соответствующие усам бинарного дерева должны участвовать в выборке □
Отметим, что при т — 10 для нахождения вершин многогранника перебором с помощью теоремы 3 число выборок столбцов матрицы А составляло СД ~ 1,1 х 1012, с учётом предложения 1 получаем для бинарного дерева с 4 усами ~ 1, 76 х 1010, что прмерно в 62, 6 раза меньше; а для 5 усов С42 ~ 5, 6 х 109, что почти в 200 раз меньше.
3. Число бинарных деревьев с 3 усами и т листьями
При доказательстве следующего предложения используются диаграммы Юнга, позволяющие наглядно представлять разбиения натурального числа в сумму натуральных слагаемых (см. необходимые определения например в [16], [17]).
Предложение 2. Пусть Ат — число бинарных деревьев из В3 с т листьми, тогда т > 6 и выполнено линейное рекуррентное соотношение
Ат — Ат-1 + Ат-2 Ат-4 Ат-5 + Ат—6,
с начальными условиями А6 — 1, А7 — 1, А8 — 2,А9 — 3; А10 — 4.
Доказательство. Согласно лемме 5 всякое дерево из В3 состоит из трёх побегов, причем
число листьев в каждом из побегов. Тройку натуральных чисел всегда можно упорядочить по убыванию, будем считать, что р > д > г > 2. Введем обозначения: р :— р — 2, д :— д — 2, г :— г — 2. Получаем, что бинарные деревья из В3 задаются однозначно тройкой чисел (р, д, г). Числа р, г, г это чиста вершин степени 1 не входящих в усы в побегах А, В, С соответственно.
Поскольку р > г > г > 0, то каждому элементу из В3 взаимно-однозначно соответствует диаграмма Юнга (р, д, Г). Вес такой диаграммы п — р + д + г — р + д + г — 6 — т — 6. Ясно, что все такие диаграммы Юнга лежат в полосе шириной 3 клетки. Чисто диаграмм Юнга веса п в такой полосе обозначим Ап его можно найти с помощью производящей функции ([16], п.2.3):
(8) — > Ак8к — 1
Л(* ) — Е Ак
к=0 (1 — *3)(1 — «2)(1 — 8)
— 1 + 8 + 2 82 + 3 8 3 + 4 + 5 85 + 786 + 887 + 10 89 + 12810 + 14 811 + 16812 +
Поскольку многочлен, стоящий в знаменателе производящей функции, имеет вид:
(1 — 8 3)(1 — 8 2)(1 — 8 ) — 1 — 8 — 8 2 + + 8 5 + 8 6,
получаем (см. например [17], п.2.3) рекуррентное соотношение:
Ап — Ап-1 + Ап-2 — Ап-4 — Ап-5 + Ап-6.
Учитывая первые пять коэффициентов производящей функции Л( 8) и то, что т — п + 6,
□
4. Существование мультиобходов
Лемма 4 утверждает, что всякий мультиобход эквивалентен мультиобходу вида (3). В работе [14] a priori не ясно, каждое ли выражение вида (3) соответствует некоторому мультиобходу. Оказывается, ответ положительный, см. теорему 4 ниже.
Лемма 6. Пусть G — бинарное дерево с границей М, и А — некоторый его побег. Пусть а — мультициклический порядок кратности I на М, имеющий вид а = (... * Al *... * А\ *...), где пути А^, k = 1..1, по побегу А определены равенством (4). Тогда через каждое ребро побега А проходит ро вно 21 граничных пут ей из Га.
Доказательство. Пусть а — мультициклический прядок заданный формулой (3), и номер каждой граничной вершины в правой части (3) содержится ровно I раз, значит через каждое ребро е\,е2,..., ер проходит ровно 21 граничных путей (см. рис. 1). Остаётся показать, что через все рёбра f2,..., fp проходит ро вно 21 путей.
Обозначим внутренние вершины w2 ... wp побег а А как на рисунке 1 {wi смежн a v^ Wp+i = о — корень побега), тогда fa = {wk}• Граничный путь Г^, 2 < i < j < р, проходит через рёбра ? fi ? fi+l 1 ... 1 fj —
i ,ey Граничный п уть Гк^ к > 2, ^^^^^^^^^щий вер шину vk и вершину * </ А проходит через ребра ек, fk, fk+l,..., fp в побеге А. Для граничных путей вида rlj и Г1* имеем последовательности рёбер el, f2,..., fj—i, ej и el, f2,..., fp соответственно.
Рис. 1: Побег А
Каждая цепь имеет вид (4), значит она разбивается на две цепи jq... 1 и И\%2 .. Аг которые пересекаются по вершине а\. цепи %2 .. Лг соответствует последовательность граничных путей Г^, ¿2,... Г^г-1 гг, Каждое ребро г = 2 .. .р ровно 1 раз встречается в этой последовательности, тоже верно для цепи jqjq-l.. 1. Значит для каждой цепи через каждое ребро проходит пара граничных путей, и поскольку к = 1../, то таких путей 21. Если граничный путь в дереве проходит через ребро побега, то не менее одной его граничной вершины принадлежит этому побегу. Заметим, что никакое ребро не может быть включено больше чем 2/ раз в множество граничных путей ибо это означало бы что в а больше чем 2/ вершин побега А, что невозможно. □
Теорема 4. Правые части в формулах (5) — это мульциклические порядки, которые являются мультиобходами соответствующего дерева из
Доказательство. Правые части в формулах (5) представляют собой мультициклические порядоки кратностей I = 1 и I = 2 по определению. Через каждое ребро побега А по лемме 6 проходит ровно 2/ граничных путей, тоже верно для побегов В и С. Значит через каждое
ребро дерева из проходит 2/ граничных путей, откуда а — мультиобход по определению. □
Теорема 5. Для бинарного дерева из В3 с т граничными вершинами = 2т 3.
Доказательство. Пусть бинарное дерево С е В3 состоит нз побегов Д В, С из р, д и г листьев соответственно. По теореме 2 произвольный 1-обход а имеет в ид (Ах Сх). Цепь Ах = 7х 1/1, цеп и 7х и /х строятся разбиением множества на 2 подмножества множества {а2, аз,... ар}, ясно, что таких избиений возможно 2Р~х. Аналогично для Вх и Сх. Подпишем число возможных разбиений под каждой цепью:
2р-1 2г-1
Заметим, что разным разбиениям соответствуют различный набор граничных путей, а значит
и различные обходы. Согласно теореме 4 все они существуют, откуда: = 2р+д+г-3 = 2т~3. □
5. Существование неприводимых 2-обходов
По теореме 4 все мультициклические порядки вида (5) являются мультиобходами. Как по-казыввает следующий пример, нельзя утверждать, что каждый 2-обход вида (5) неприводим.
5.1. Важный пример
Рассмотрим бинарное дерево С е В3, состоящее из побегов с листьями: (1,2), (3,4) и (5, 6, 7, 8), расположенными как рисунке 2.
3 4
Рис. 2: Одно из двух бинарных деревьев из В3 с 8 граничными вершинами Рассмотрим мультиобходы а, т, £ и их векторы мультиобходов Имеем:
а = ^4^8657),
А1 В1 С1 А 2 В2 С2 wa = (2,1,0,0, 0,1,0,0,1,0,0, 0,1,2, 0,0,1, 0,0,0, 0,1,2,1,1,1,1, 0),
А1 В1 С1 А 2 В2 С2
<шт = (2,1,0, 0,0,1, 0,0,1, 0,0,0,1, 2,0,0,1,0,0, 0,0,1, 2,2,0, 0,2,0),
£ = 02-43-7658 ^ ^8567),
А1 В1 С1 А 2 В2 С2
<шс = (2,1, 0,0,0,1,0,0,1,0,0, 0,1,2, 0, 0,1,0, 0,0,0,1,2,0, 2,2,0, 0).
Ясно, что данные мультиобходы имеют вид (5). Но по лемме 2 мультиобход а приводим, ибо 2и]а = и)т + из^ ^ & это легко видеть из их координатных записей (координаты всех трёх векторов отличаются лишь в последних 5 знаках).
Отметим, что для координат точек многогранника Х(С), имеем:
= - хт + - х^ 2 2
То есть точка ха — середина отрезка [хт ].
5.2. Мультиграфы мультиобходов и приводимость мультиобходов
Лемма 7. Пусть дан 1-обход а бинарного дерева С у которого более 2 вершин. Тогда для вектора и!*7 = (ах2,... ,&(т-Х)т) мультиобхода а для всех координат выполнено а^ < I.
Доказательство. Рассмотрим вершину у^ обозначим смежное ей ребро е, а пару рёбер смежных ребру е обозначим через /х и /2 (рис. 3). Граничный путь Г^, связывающий вершины ^ и у^ проходит только через одно из этих рёбер: или через /х, или через /2. Пусть это ребро /х- По лемме 1 ровно I граничных путей в мультиобходе проходит через пару рёбер (е, /х). Значит граничных путей в мультиобходе а из ^ в у^ не более чем I. □
Рис. 3: Дерево G
Следствие 3. В мультиграфе Ga мультиобхода а кратности I бинарного дерева G с числом рёбер г > 3 каждое ребро имеет кратность не более чем I.
Заметим, что Ga С GT эквивалентно том у, что ац < Tij для вс ex ij.
Теорема 6. Пусть l-обход а приводим, причём для соответствующей точки многогранника X(G) выполнено:
п
ха = Ах х^1 + ... + Хп х^п, Хк > 0, к = 1~п, У^ Хк = 1, (7)
к=х
где £1,..., £,п — мультиобходы кратностей 1х,... ,1п, а х^,... х^п — соответствующие точки многогранника X(G). Тогда имеют место следующие включения мультиграфов соответствующих мультиобходов:
1) G*k С lkG°, 2) G° С l(G^ + ... + G^).
Доказательство. 1) Рассмотрим £ = £k — мультиобход из правой части (7). Требуется показать, что < lk aij для вс ex ij. Пусть вершины inj связаны ребром в Gi кратности
^ > 1. Поскольку \к > 0, получаем, что ¿^'-координата в правой части равенства (7) отлична П тг„„ ^ _ ^ ™ > _ ^ ^ > 0, ^
от 0. Для левой части (7) это означает, что ж?- > 0. Далее х^ _ 2а^ > 0, но а^ е ^>0, значит
а%з > 1) откуда 1ко%з > 1к- Осталось заметить, что кратность мультиобхода £ _ £к равна 1к по предположению, откуда по лемме 7 получим ^ < 1к < 1ка^.
2) Требуется доказать, что а^ < ¿(^х + £г2 + ... + ) для всех г/. Для ¿^'-координаты равенство (7) запишется в виде:
^ _ Лх 2^7^ + Л2 22 ^ + ... + Лга $.
Пусть а^ > 0, тогда и правая часть строго больше 0, следовательно найдётся такой мульти-обход £к, что > 0, значит > 1, откуда > I. Отсаётся заметить, что а^^- < I в силу
леммы 7. □
Следствие 4. Если £ _ £к — 1-обжод в условиях предыдущей теоремы, то С^ С
5.3. Неприводимые мультиобходы кратности 2 дерева с 3 усами и 6 граничными вершинами
В этом разделе С е В3 и имеет 6 граничных вершин.
В работе [2] полностью разобран случай (раздел 3.3) дерева С: найдены все вершины многогранника этого бинарного дерева, все неприводимые мультиобходы и соответствующие мультиграфы. Для этого в [2] с помощью компьютера найдены все вершины допустимого множества — многогранника Х( С). При таком подходе нужно решить 5005 (или 924, с учётом предложения 1) систем линейных уравнений 9 х 9, что делает ручную проверку практически невозможной.
Разработанная в данной работе техника позволяет решить задачу о поиске всех неприводимых мультиобходов дерева С, не прибегая к компьютерным вычислениям. Для этого будем использовать теорему 2, ограничивающую кратность неприводимых мультиобходов и теорему 4, устанавливающую существование мультиобходов указанного вида.
Построим всевозможные мультиобходы для С, которые могут быть неприводимы в тео-
1
обходы имеют вид: (А1.В1С1), где для цепи ^возможно 2 варианта: А\ _ 12 или А\ _ 21. Для возможно В\ _ 34 или В\ _ 43 и С\ _ 56 или С\ _ 65. Итого получаем 23 _ 8 1
£х _ (123456), £2 ^ (123465), £3 ^ (124356), _ (124365),
_ (213456), _ (213465), ^ (214356), _ (214365).
24
они имеют вид ( А1.В1С1.А2-В2С2). Для цепей Аг, В^, Сг (г _ 1, 2) возможен такой же выбор как и для цепей А1, В\, С\ в случае 1-обходов. По теореме 2 две цепи в неприводимом 2-обходе, соответствующие одному побегу, не могут обе сразу начинаться или заканчиваться концевой вершиной побега, то есть случаи когда А1 _ ^2 дают приводимые мультиобходы. Для побега из 2 листьев это означает, что цепь А2 полностью определена цепью А\, и тоже справедливо для Вг и Сг. Итого получается 23 _ 8 вариантов для построения мультиобхода. В доказательстве теоремы 2 в [14] отмечено, что мультиобходы вида (.А1.В1С1.А2-В2С2) и (А2-В2С2А1Л1С1) совпадают, из двух возможных вариантов выбора А1 будем выбирать тот у которого А\ _ 12,
4
ах _ (123456214365), а2 _ (124356213465), а3 _ (123465213456), а4 _ (124365213456). (8)
Мультиобходу £ кратности I соответствует замкнутая цепь в 1К(М), проходящая через каждую вершину ровно I раз , в частности при I = 1 эта цепь представляет собой гамильто-нонов цикл в К(М) состоящий из рёбер графа С^.
Рассмотрим граф Д на рисунке 4. Пусть Е — множество рёбер графа Д, а Е' := {(12), (34), (56)} С Е.
3
1 5
Д
Д
из Е'.
доказательство. От противного, пусть такой гамильтоиов цикл существует. Прохождение по ребру из Е' меняет чётность номера вершины, а прохождение по ребру из Е\Е' нет. В таком цикле 6 рёбер, ровно 3 из £", значит чётность меняется 3 раза, что невозможно. □
Далее нам понадобится мультиграф Д', вершины которого такие же как у графа Д, рёбра из Е' имеют кратность 2, а рёбра из Е\Е' — кратность 1. Лемма 8 легко обобщается на случай мультиграфа Д'.
Теорема 7. Для бинарного дерева С е Вз с 6 граничными вершинами, его 2-обходы а\ ъ = 1..4 неприводимы.
Доказательство. Для мультиобходов а\ % = 1..4 рассмотрим их мультиграфы: Оа\ % = 1..4 (рис. 5). Несложно видеть, что все они изоморфны графу Д'.
Рис. 5: Мультиграфы мультиобходов ах, а2, аз, а4 соответственно (красные рёбра имеют 21
Положим аг = т р^ля финансированного г, а оставшиеся 3 ^^^таобхода а^
обозначим как о,
Пусть Xх — выпуклая оболочка всех точек многогранннка X, соответствующих 1-обходам. Заметим, что таких точек 8, по теореме об 1-обходах, обозначим жхх^ ,.. .х^ . Поскольку мультиобход т имеет кратность 2, то определению точки многогранника хт, получаем хт = ^и)т.
Покажем, что хт еопу {X1, а, г?, £}. От противного, тогда
11
хт = Л1Х?1 + ... + Лзх?8 + Хдха + Аюх4 + Лпхс, Лк > 0, к = ТТТТТ, ^ Лк = 1. (9)
к=1
Сначала покажем, что А1 = ... = Лэ = 0. От противного, рассмотрим такой £ = при котором коэффициент Лк > 0, из следствия 4 получаем включение С« С Ст. С другой стороны пары вершин (1, 2), (3, 4) и (5, 6) образуют усы. По следствию 1 получаем ¿¡12 = {34 = £бб = 1 и все ребра из Е' входят в С^. По лемме 8 гамильтонов цикл, соответствующий не может содержаться в Ст, то есть С С Ст — противоречие.
Далее рассмотрим 4 точки ха\ г = 1..4, соответствующие мультиобходам аг:
1 1 2 1 ха = -(2, 0,1,1, 0,1, 0, 0,1, 2, 0,1,1, 0, 2), ха =^(2,1, 0,1, 0, 0,1, 0,1, 2,1, 0, 0,1, 2),
х-3 = 1(2, 0,1, 0,1,1, 0,1, 0, 2,1, 0, 0,1, 2), х-4 = 1(2,1, 0, 0,1, 0,1,1, 0, 2, 0,1,1, 0, 2).
Рассмотрим векторы « = х^ — ха\ ] = 1, 2, 3:
«1 = 1(0, —1,1,1, —1,1, —1, —1,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), 1
«2 = 2(0, 0, 0,1, —1, 0, 0, —1,1, 0,1, —1, —1,1, 0), 1
«3 = -(0, —1,1, 0, 0,1, —1, 0, 0, 0,1, —1, —1,1, 0).
Эти векторы линейно независимы, значит 4 точк и ха\ г = 1..4, аффинно независимы, следовательно равенство (9) невыполнимо, следовательно мультиобходы а1,..., а4 кратноети 2 неприводимы. □
5.4. Существование неприводимого мультиобхода у бинарного дерева с 3 усами
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 8. У всякого дерева С из В3 существуют неприводимые мультиобходы крат-2
Доказательство. От противного, в силу теоремы 2, кратность неприводимых мультиобхо-дов < 2, тогда неприводимы только 1-обходы дерева С, которые существуют по теореме 4. Значит многогранник X бинарного дерева С совпадавт с X1 — выпуклой оболочкой точек вида х^, где £ — 1-обходы. Тогда для любого 2-обхода а соответствующая точка ха принадлежит X1. Рассмотрим мультициклический порядок
а = (0102 ... арЬдЬд-1... 61С1С2 ... с3арар-1... 016162 ... Ьдс3с3-1... С1).
По теореме 4 он задаёт мультиобход. Построим мультиграф Са для этого мультиобхода (рис. 6).
Рассмотрим произвольный 1-обход £ графа С. Как и ранее покажем, что С С С°. Сделаем переобозначение: 02 = ар, 62 = Ьд, с2 = с3. Графу С« соответствует гамильтонов цикл в К(М). Предположим, что в Сст существует гамильтонов цикл, соответсвующий обходу Пара вершин (а1, а2) образует усы, то следствию 2 получаем ¿¡12 = 1, то есть ребро (а1а2) входит в гамильтонов цикл. Поскольку у вершины а2 только две смежные вершины в Са — вершины
и аз, то в нем есть и вер шина аз, продолжая рассуждение, получаем, что этот цикл должен содержать всю цепь а1... а^ = а^2 ... ар-1 а^ Аналогично в него входят цепи 61... С1... С2-Остаётся заметить, что цикл, проходя по каждой из вышеуказанных цепей меняет чётность нижнего индекса вершины (после переобозначения), а прохождение по оставшимся рёбрам С7
нет, то есть чётность в цикле меняется 3 раза, что невозможно. Откуда ха ф X1, противоречие. □
6. Результаты компьютерных экспериментов
В заключение данной работы приведем таблицу, в которой указано количество неприводимых мультиобходов (с точностью до эквивалентности) для деревьев из Вз с небольшим количеством т граничных вершин. Напомним, что такое дерево задается длинами трех побегов. каждый из которых содержит усы. поэтому имеет длину не меньше двух.
m Длины побегов 1-обходы 2-обходы Всего
1 6 (2, 2,2) 8 4 12
2 7 (2, 2,3) 16 16 32
3 8 (2, 2,4) 32 56 88
4 8 (2, 3,3) 32 64 96
5 9 (3, 3,3) 64 256 320
6 9 (2, 2, 5) 64 164 248
7 9 (2, 3,4) 64 224 288
Из данной таблицы видно, что верхняя оценка па число 2-обходов достигается для случаев 1. 2. 4. 5. но не точна для остальных случаев.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов. А.О.. Тужилип. А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. Т. 203, Л* 5.С. 65-118.
2. Ivanov, A.. Tuzhilin. A. Dual Linear Programming Problem and One-Dimensional Gromov Minimal Fillings of Finite Metric Space // Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser. Cham. 2022. pp. 165-182.
3. Ivanov, А.О., Tuzhilin, A.A. Minimal fillings of finite metric spaces: The state of the art // Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics. - Vol. 625 of Contemporary Mathematics. -United States: AMS Press, 2014. pp. 9-35.
4. Еремин, А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства. Матем. сб. 2013. T.204, № 9. C.51-72.
5. Иванов, А.О., Тужилин, А.А. Задача Штейнера на плоскости или плоские минимальные сети, Матем. сб.'1991. Т. 182, № 12, с.1813-1844
6. Gromov, М. Filling Riemanian Manifolds // J.Differential Geom. 1983. vol.18, № 1. pp.1-147.
7. Беднов, Б.Б., Бородин, П.А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения. Матем. сб. 2014. т.205 № 4, 3-20;
8. Степанова, Е.И. Бифуркации минимальных деревьев Штейнера и минимальных заполнений для невыпуклых четырехточечных границ и суботношение Штейнера на евклидовом плоскости // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2016, № 2. C.48-51.
9. Степанова, Е.И. Бифуркации минимальных заполнений для четырех точек евклидовой плоскости // Фундамент, и прикл. матем. 2019. Т. 22, № 6. С. 253-261.
10. Рублева, О.В. Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012. № 2. С.8-11.
11. Овсянников, З.Н. Открытое семейство множеств, для которых минимальное заполнение не единственно // Фунд. и прикл. матем. 2013. T.18, № 2. С.153-156.
12. Иванов, А.О., Овсянников, 3.11.. Стрелкова, И.П., Тужилин, А.А. Одномерные минимальные заполнения с ребрами отрицательного веса // Вестн. Моск. унив., Матем. Мех. 2012. № 5. С.3-8.
13. Щербаков, О.С. Многогранники бинарных деревьев, строение многогранника дерева типа «змея». Чебышёвский сб. 2022. T.23, № 85. С.136-151.
14. Щербаков, О.С. Оценки на кратности неприводимых мультиобходов некоторых бинарных деревьев. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2025, № 2.
15. Васильев, Ф.П., Иваницкий, А.Ю. Линейное программирование. М.: МЦНМО, 2020.
16. Смирнов, Е.Ю. Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы. М: МЦНМО, 2014.
17. Ландо, С.К. Введение в дискретную математику. М: МЦНМО, 2014.
18. Пахомова, А.С. Оценки для суботношения Штейнера и отношения Штейнера-Громова, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2014. № 1, С.17-25.
REFERENCES
1. Ivanov, А.О., Tuzhilin, А.А. 2012, "One-dimensional Gromov minimal filling problem", Sbornik: Mathematics, Vol. 203, № 5.pp. 65-118.
2. Ivanov, A., Tuzhilin, A. 2022, "Dual Linear Programming Problem and One-Dimensional Gromov Minimal Fillings of Finite Metric Space", Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser, Cham, pp. 165-182.
3. Ivanov, А.О., Tuzhilin, А.А. 2014, "Minimal fillings of finite metric spaces: The state of the art", Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics, Vol. 625 of Contemporary Mathematics. - United States: AMS Press, pp. 9-35.
4. Eremin, A.Yu. 2013, "A formula for the weight of a minimal filling of a finite metric space", Sbornik: Mathematics, Vol. 204, № 9. pp.51-72.
5. Ivanov, A.O., Tuzhilin, A.A. 1993, "The Steiner problem in the plane or in plane minimal nets", Math. USSR-Sb, Vol. 74, № 2. pp. 555^582.
6. Gromov, M. 1983, "Filling Riemanian Manifolds", J.Differential Geom, Vol.18, № 1. pp.1-147.
7. Bednov, B.B., Borodin, P.A. 2014, "Banach spaces that realize minimal fillings", Sb. Math., Vol.205, № 4. pp. 459-475.
8. Stepanova, E.I. 2016, "Bifurcations of Steiner minimal trees and minimal fillings for non-convex four-point boundaries and Steiner subratio for the Euclidean plane", Moscow University Mathematics Bulletin, Vol.71 № 2. pp.79-81.
9. Stepanova, E.I. 2019, "Bifurcations of minimal fillings for four points on the Euclidean plane", Fundamental and Applied Mathematics, Vol.22. № 6. pp. 253-261.
10. Rubleva, O.V. 2012, "The additivitv criterion for finite metric spaces and minimal fillings", Moscow University Mathematics Bulletin, Vol.67. № 2. pp. 52-54.
11. Ovsvannikov, Z.N. 2013, "An open family of sets that have several minimal fillings", Fundamental and Applied Mathematics, Vol.18. № 2. pp.153-156.
12. Ivanov, A.O., Ovsvannikov, Z.N., Strelkova, N.P., Tuzhilin, A.A. 2012, "One-dimensional minimal fillings with negative edge weights", Moscow University Mathematics Bulletin, 2012. Vol.67. № 5-6, pp. 189-194.
13. Shcherbakov, O.S. 2022, "Polvtops of Binary Trees, Structure of the Polvtop for the "Snake-tvpe"-Tree", Chebyshevskii sbornik, Vol. 23. № 4. pp.136-151.
14. Shcherbakov, O.S. 2025, "Estimates of the multiplicity of irreducible multitours for some binary trees", Moscow University Mathematics Bulletin, Vol. 82. № 2.
15. Vasilvev, F.P., Ivanitskiv A.Y. 2001, "In-Depth Analysis of Linear Programming", Dordrecht: Springer.
16. Smirnov, E.Yu. 2014, "Young Diagrams, Plane Partitions and Alternating-sign Matrices", Moscow: MCCME.
17. Lando, S.K. 2014, "Introduction to Discrete Mathematics", Moscow: MCCME.
18. Pahkomova A.C. 2014, "Estimates of Steiner subratio and Steiner-Gromov ratio", Moscow University Mathematics Bulletin, Vol. 69. № 1. pp. 16-23.
Получено: 10.04.2024 Принято в печать: 04.09.2024
