CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 4.
УДК 515.124.4+519.852.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-136-151
Многогранники бинарных деревьев, строение многогранника
дерева типа «змея»1
О. С. Щербаков
Щербаков Олег Сергеевич — аспирант, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (г. Москва). e-mail: shcherbakovosQyandex. ru
Аннотация
В данной работе изучаются минимальные заполнения конечных метрических пространств (объект, возникший как обобщение понятий кратчайшего дерева и минимального заполнения в смысле Громова). Как известно, вес минимального заполнения данного типа может быть найден как решение задачи линейного программирования или с помощью так называемых мультиобходов. Связь между этими двумя подходами можно проследить, перейдя к двойственной задаче линейного программирования: рациональные точки выпуклого многогранника, который строится по типу заполнения, соответствуют мультиобходам. Данная работа посвящена изучению таких многогранников. Показано, что их вершины соответствуют неприводимым мультиобходам. Получена описание многогранника и явная формула веса для минимального параметрического заполнения бинарного дерева типа «змея».
Ключевые слова: конечное метрическое пространство, минимальное заполнение, линейное программирование, двойственность, выпуклые многогранники.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
О. С. Щербаков. Многогранники бинарных деревьев, строение многогранника дерева типа «змея» // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 136-151.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.
UDC 515.124.4+519.852.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-136-151
Polytops of Binary Trees, Structure of the Polytop for the «Snake^t.ype»—Tree
O. S. Shcherbakov
Shcherbakov Oleg Sergeevich — postgraduate student, Lomonosov Moscow State University; Bauman Moscow State Technical University (Moscow). e-mail: shcherbakovosQyandex. ru
1 Исследование выполнено в рамках Научно образовательной школы МГУ «Математические методы анализа сложных систем».
Abstract
In the paper minimal fillings of finite metric spaces are investigated. This object appeared as a generalization of the concepts of a shortest tree and a minimal filling in the sense of Gromov. It is known that the weight of a minimal filling of a given type can be found by linear programming and by so-called multitours technique. A relation between theses two approaches can be demonstrated using duality in linear programming, namely, rational points of the polytop constructed by the dual problem correspond to multitours. The paper is devoted to investigation of such polytopes, It is shown that the vertices of the polytop are in one-to-one correspondence with irreducible multitours. A description of the polytop and an explicit formula for the weight of the minimal filling of the «snake-type» binary tree is obtained.
Keywords: finite metric space, minimal filling, linear programming, duality, convex polytops.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
0. S. Shcherbakov 2022, "Polytops of Binary Trees, Structure of the Polytop for the «Snake-type» Tree" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 136-151.
1. Введение
Широко известна классическая задача Штейнера о поиске сети минимальной длины, соединяющей заданный набор точек на плоскости [1]. Задача Штейнера и её обобщения имеют множество приложений: проектирование транспортных сетей, линий электропередач, беспроводных сетей и т.п. Разные обобщения получаются путём изменения формулировки классической задачи: набор точек рассматривается в каких-либо метрических пространствах, изучаются различные аналоги длины, вводятся некоторые ограничения на сети.
Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства поставлена и подробно описана в [2] (краткое введение в [3] или [4]) . Это — одно из обобщений, с одной стороны задачи Штейнера о кратчайшей сети, с другой - задачи Громова о минимальном заполнении гладкого риманова многообразия. Развитию сюжета задачи о минимальном заполнении посвящены работы [6], [8], [9] ,[10], [11], [12], [13]. Отметим, что теория минимальных заполнений позволяет получать новые оценки на отношение Штейнера [14], [15].
Задача состоит в поиске взвешенного дерева наименьшего веса, соединяющего данное метрическое пространство (т.е. точки метрического пространтсва вкладываются в множество вершин графа) так, что для любых двух точек метрического пространства вес любого пути, соединяющего их в графе, не меньше расстояния между ними в метрическом пространстве. В ходе решения задачи приходится иметь дело с т.н. задачей минимального параметрического заполнения (ЗМПЗ), в такой постановке фиксируется граф (тип заполнения) и минимизируется весовая функция на ребрах графа в сделанных выше предположениях.
Ещё в работе [2] отмечена связь ЗМПЗ с задачей линейного программирования, однако подробное исследование дано в статье [3]. В работе [4] получена формула веса минимального заполнения в терминах так называемых мультиобходов. Несмотря на то, что не дано точных рецептов по поиску этих мультиобходов, разработана техника работы с мультиобходами, введено понятие неприводимых мультиобходов. Так же показано, что неприводимых мультиобходов конечное число. Формула веса минимального параметрического заполнения использует только неприводимые мультиобходы.
В работе [3] поиск формулы веса минимального параметрического заполнения осуществляется в терминах задачи линейного программирования. Задача о поиске минимального параметрического заполнения рассматривается как классическая задача линейного программирования (КЗЛП), затем следует переход к двойственной задаче (ДЗ). Как известно, КЗЛП и ДЗ разрешимы или не разрешимы одновременно (в рассматриваемом случае разрешимы),
и минимум целевой функции на допустимом множестве в КЗЛП совпадает с максимумом целевой функции в ДЗ на допустимом множетсве в ДЗ. В ДЗ допустимое множество строится по бинарному дереву — это многогранник X, который не зависит от метрического пространства (в отличии от допустимого множества в классической задаче), а зависит только от типа заполнения, то есть от структуры графа. Вершины многогранника X соответствуют некоторым мультиобходам, а произвольному мультиобходу соответствует некоторая точка многогранника. Вес заполнения рассматривается как целевая функция в КЗЛП. Значение минимального веса совпадает с максимумом целевой функции ДЗ, который достигается на одной из вершин многогранника X. Существует известный рецепт вычисления вершин многогранного множества в задачах линейного программирования (например подробно описан в [5]), но вычислительные трудности на современных ПК начинются уже для 8 точечных метрических пространств.
В настоящей работе
• установлена биекция между множеством неприводимых мультиобходов и множеством вершин многогранника X;
• доказано, что формула веса минимального параметрического заполнения полученная в работах [4] и [3] не может быть улучшена;
• в явном виде найдено строение всех мультиобходов, в том числе неприводимых, для бинарного дерева определённого типа (так называемая "змея") с произвольным количеством вершин, и найдена формула веса минимального заполнения этого типа, имеющая вид минимума линейных функций от расстояний между точками исходного конечного метрического пространства.
2. Необходимые определения
Определение 1. Бинарное дерево — связный ацикличный простой конечный граф, у которого все вершины имеют степень 1 или 3.
Далее С = (V, Е) — бинарное дерево, V — множество его вершин, Е — множество рёбер.
Внутренние вершины — вершины степени 3.
Граничные вершины — вершины степени 1. Множество граничных вершин дерева С обозначим дС.
Пусть |дG| = т, тогда то индукции | = 2т — 3.
Рассмотрим конечное псевдометрическое пространство (М,р), |М | = т > 3. Пусть дС = М, тогда будем говорить, что дерево С затягивает М.
Пусть дС = М = {ь\,У2,..., Ут], обозначим ребро инцидентное вершине Ук (оставшиеся т — 3 ребра занумеровываются в зависимости от типа бинарного дерева).
2.1. Мультиобходы бинарных деревьев
Определение 2. Мультициклический порядок кратности I на множестве М из т элементов — это отображение а : Z¿m ^ М, такое, что
1. Уп е а(п + 1) = а(п)
2. Уу е М ^(у^ = I.
Будем говорить, что а(п + 1) следует за &(п) в мультициклическом порядке а. Отождествив точки М с их номерами, мультициклический порядок будем обозначать (г\12 ... Цт), где 1к+1 = &(к), подобно обычным циклам в перестановках.
Определение 3. Мультиперметр мультициклического порядка а кратности I на псевдометрическом пространстве М — это число, определенное формулой:
р(М,а) = 1 £ р(а(п),а(п + 1))
Удаление любого ребра е^ бинарного дерева разбивает его на 2 компоненты связности, которые индуцируют дизъюнктное разбиение множества граничных вершин (и их номеров)
м = м{к1) и м^
Путь от вершины ^ в и/ обозначим2 Г^ заметим, что такой путь — единственный. Обозначим Г у путь с точностью до направления. Путь, соединяющий граничные вершины, будем называть граничным.
Определение 4. Множество всех граничных путей мультициклического порядка обозначим Г7: Г7 : = {Га(п)а(п+1) : п € Zгm}.
Определение 5. Кратность направленного пути Г^ в мультициклическом порядке а — это целое неотрицательное число := ^ Indicator{(а(п) = г) Л (а(п + 1) = ])}.
пе%1т
Кратность пути Гсоответсвенно := + ш^.
Определение 6. Мультиобход бинарного дерева С кратности I с множеством граничных вершин М = дС это мультициклический порядок а на М, такой, что для всякого ребра вк существует ровно I граничных путей в мультиобходе из М^1 в М^2 и столько же обратно.
Множество всех мультиобходов и множество 1-обходов дерева О обозначим, Т(О) и 71(С) соответственно.
Определение 7. Мультиграф мультиобхода. Для мультиобхода а € Т(С) определим, вспомогательный граф с кратным,и ребрами (мультиграф) без петель О7, множество вершин С7 совпадавт с М. Кратность ребра, соединяющего произвольные вершины, Уг V/ определим равной Шц, т.е. множество ребер графа С7 совпадает с множеством Г7 граничных путей.
В [4] (Предложение 2.5) доказан полезный технический результат:
Лемма 1. Пусть ад произвольная внутренняя (степени 3) вершина, графа О, и а € 71(С); тогда через каждую пару инцидентных вершине ад рёбер проходит ровно I граничных путей из Г7.
2.2. Линейная алгебра мультиобходов
Данный раздел — краткое изложение необходимых понятий, введенных в §3 работы [4] и работе [3].
Рассмотрим векторное пространство V = V(М), базисные векторы которого VI, V2,... vm соответсвуют множеству М. Введем пространство и = Бут2 У/^^^, 1 < г < т}. В пространстве ^определим б азис В = ^12,..., V(m_1)m}, базисные векторы Vij соответствуют
2 Обозначение ^подчёрктает направление от г к )
неупорядоченным парам различных вершин М. Заметим, что dim U = Далее считаем базис B фиксированным. Превратим пространство U в евклидово, определив стандартное скалярное произведение {■, ■) в базисе B.
Определение 8. Вектор wa мультиобхода а. По мультиобходу а £ Т(G) построим вектор wa £ U, координаты, вектора в базисе B определяем, равным,и крат,ноет,ям, ребер графа Ga:
Wa = {Шl2, ... , Uij, ..., Ш(т-1)т)Т
Определение 9. Мультиобходы а и т называют, эквивалентными, если их векторы совпадают: wa = wT. В терминах вспомогательны,х графов а ~ т, если Ga = GT.
Результат факторизации множеств Т(G) и Ti(G) будем обозначать Т(G) и 71(G) со-отвественно.
Определим векторное пространство W = и зафиксируем в нём базис E = (ei, e2,..., б2т-з| j рёбрам графа G. Определим ^^^йное отображение А : U ^ W на
базисных векторах:
2т-з
Avij = ^ Indicator(efc £ Г^^ k=i
Матрица А линейного оператора А в указанных базисах представляет собой матрицу разрезов полного графа К(М), построенную по бинарномv дереву G. Подробнее, удаление любого ребра из бинарного дерева разбивает его на 2 компоненты связности и соответственно разбивает на 2 части множество граничных вершин М, семейство рёбер с концами в разных частях образуют т.н. разрез графа К(М), соответствующий этому разбиению. Столбцы матрицы индексированы парами ij : 1 < г < j < т, и соответствуют неупорядоченным парам различных вершин М, то есть ребрам графа К(М). Строки матрицы А соответствуют рёбрам дерева G. Элемент аг£ матрицы А из к строки и ij столбца определён следующим образом:
В [3] (Лемма 2.2) доказано, что:
Лемма 2. Матрица А максимального ранга, rang А = 2т, — 3. Определяем вектор I = (1,1,..., 1)т £ W.
Следующий результат доказан в статьях [4] (теорема 3.3) и [3] (лемма 2.5) Теорема 1. Пусть wa вектор I-обхода а £ Ti(G), тогда Awa = 21I.
Для любого вектора и £ U, координаты которого целые неорицательные числа, такого, что Аи = 21I, I £ N существует l-обход а £ Ti(G), такой, что wa = и.
2.3. Аддитивная полугруппа мультиобходов
Используя теорему 1, в [4] определяется сумма а\мультиобходов а\ ш произведение па мультиобхода а на натуральное число п.
Определение 10. Сумма,. По а\ и а2 строятся векторы мультиобходов и)а1 и по теореме 1 строится мультиобход т, такой, что ,шТ = •ы'71 + ша2, далее а\ + а2 := т.
обходов а1 и а2.
Ввиду очевидного равенства ад71+72 = ад71 +ад72, сразу будем рассматривать операцию сложения на фактормножестве Т:
+ : Тк (С) хТь (О) ^Тн+12 (О)
В силу ассоциативности и коммутативности сложения векторов получаем, что (Т, +) — аддитивная полугруппа.
1
обход т, такой, что = п ■ ад7, п -а := т.
Согласно замечанию 3.17 в [4], кратность мультиобхода т в п раз больше кратности мультиобхода а. Для векторов мультиобходов выполнено: адп7 = пи:7. Заметим, что
па ~ а + а + ... + а. 4-*-'
п
Определение 12. Мультиобход а называют, непреводимым, если справедлива, импликация
Уп € N па ~ а1 + а2 Эк а1 ~ ка, а2 ~ (п — к)а
и приводимым, в противном случае.
Множество классов эквивалентности неприводимых мультиобходов обозначим Т'(О)
2.4. Многогранники бинарных деревьев
В статье [3] показано, что с матрицей разрезов А бинарного дерева G можно связать выпуклый многогранник X = X(G) := {х = (Х\2,... ,X(m-i)m)T G U : Ах = I, Xij > 0}.
Далее U>o := {х G U : х > 0}. Пусть хо,х — произвольные точки многогранника, тогда А(х — х0) = 0, получаем:
X = {хо + ker^} П U>o (2)
Лемма 3. Размерность многогранника X равна (т-2). Доказательство.
Из представления (2) следует, что dim X = dimker^. Используя лемму 2 найдем dim ker^ = dim U — dim im A = 1 (m2 — 5m + 6) □
А G
можно рассматривать как функционалы (ковекторы), их будем обозначать как ребра ek G U*.
Стандартное скалярное произведение {■, ■) задает изоморфизм3 U* = U, ввиду этого бу-
векторе х будем обозначать {е,х). В U* фиксируем базис, двойственный базису B. В таких обозначениях условие Ах = I переписывается в виде системы из 2m — 3 уравнений:
{ е k ,х) = 1 к = 1,..., 2m — 3 (3)
Векторы ек при 1 < к < m соответствуют ребрам, инцидентным граничным вершинам ^дерева G. Координаты век тора ек = (а\2,... 1)т) определены равенством (1). Из произвольной граничной вершины vk G V через ребро ек проходят все пути Г^ (j = к) и не проходит ни один из путей Г^ где г = к и j = к одновременно, получаем, что
ij I 1 г = к или j = к
аfc =< 1 < к <m
0
чт : U * ^ U w ,т , , , ,
^ здесь вектор у определен условием Ух £ U е(х) = \у,х)
з
Что удобно записать в виде:
4 = 6гк + 63к (4)
Каждый вектор ек задает ортогональную ему аффинную гиперплоскость Нк'.
Нк := {х е и : (ек,х) = 1}
2т—3
Пусть П:= П Нк, ясно, что П = хо + кегД. В таких обозначениях получаем X = ПП и>о-к=1
Определение 13. Усы, бинарного дерева — это пара его граничных вершин, имеющих общую смежную вершину. Также усам,и называется соответствующая пара соседних ребер, инцидентных этим граничным вершинам,.
Про координаты многогранника X соответствующие усам получим следующие утверждение:
Лемма 4. Пусть граничные вершины уг и у^ образуют усы, тогда х^ =
Доказательство. Без ограничения общности занумеруем вершины усов уг = у\ ш = У2 и рассмотрим рёбра е\ в2 инцидентные вершинам У\,У2 и ек третье смежное ребро, тогда
е\ = (1,1, , 1,0, 0, , 0, 0, 0,..., 0)
т—1 т—2
в2 = (1, 0,..., 0,1, 1,...,1, 0, 0,..., 0) т—1 т—2
ек = (0, 1,..., 1, 1, 1,...,1, 0, 0, . . . , 0)
т—1 т—2
Из системы уравнений (3) имеем (е\ + в2 — е-к,х) = 1)
((2, 0, 0,..., 0), (Х12,...,Х{т—1)т)Т) = 1
откуда следует утверждение. □
Существует критерий [5] того, что точка многогранника является вершиной (угловой точкой):
Теорема 2. Пусть дано множество (необязательно м,ногогра,нник)У = {х = (х\,х2,..., хп)Т е Мп, Ах = Ь, х > 0}, где Мп — стандартное п -мерное евклидово пространство, А — матрица тхп ранга г, А = 0; Ь — вектор из Мт. Обозначим столбцы матрицы, А\, А2 ..., Ап, условие Ах = Ь переписывается в виде
А\Х\ + А2Х2 + ... + АпХп = Ь
Для того, чтобы точка х была угловой, необходимо и достаточно, чтобы нашлись линейно-независимые столбцы , А^2,... А^г, т,акие что:
Л?1 Х31 + Л?2 Х]2 + ... + Х]г = Ь
причём > 0, а все остальные хг = 0.
Для рассматриваемого многогранника X коэффициенты матрицы А равны 0 и 1, в частности лежат в поле 0>, откуда получаем
Следствие 1. Все вершины многогранника, X имеют рациональные неотрицательные координаты.
2.5. Мультиобходы и многогранники
Следующее утверждение сразу вытекает из теоремы 1:
Следствие 2. Если дан 1-обход а е Т:(С), то е X.
Точки многогранника X имеющие рациональные координаты в базисе В обозначим X,.
Определение 14. Точка, мультиобхода. По I-обходу а е 71(С) определяем, точку многогранника х° := 1'и}<Т е X. Вектор имеет рациональные координаты, таким, образом определено отображение:
X : Т^ X, % : а^ха И, соответственно, определено отображение:
X : Т ^ X, X : а^ха
Следствие 3. Из определений получаем, формулы:
а1 е Тн(С), а2 е Т12(С) х°1+°2 = у^х*1 + 12
к + 12 к + 12
Точка, ха1+°2 делит, отрезок [ха1 ;ха2] в отношении к : 12. Аналогично:
= , , к , , + ... + 1
1 1р
к +... + 1р 1 ... к +... + 1р р
Точка, ха1+-+ар является выпуклой комбинацией (строго внутренней) точек ..., хар, в частности, если точки х1,..., хар аффинно независимы,то кратности к,..., 1Р мультиоб-ходов а1,... ,ар являются барицентрическими координатам,и точки ха1+---+ар. Объединяя предыдущее:
хта1+...+прар = ^- х„ + ... + ; ПрР--х$ (5)
п,1. Л- п 1 1 п,1. Л- п 1 р Х '
В статье [4] доказана (теорема 3.27):
Теорема 3. Пусть С — бинарное дерево, а1,... ,а3 — все его неприводимые мультиобходы крайностей к,..., Iз соответственно. Тогда, для, любого решения х уравнения Ах = I, такого, что все хц > 0 найдутся неорицательные вещественные числа, а1,...а3, в сумме дающие 1, такие, что
х = у ^ 21 к к=1 К
Лемма 5. Любая точка многогранника X с рациольными координатами — точка мультиобхода, иным,и словами отображения X и X сюръективны.
Доказательство. Пусть х точка многогранника X с рациональными координатами, I — наибольший общий делитель знаменателей, тогда и = 21 х — целочисленный вектор и Аи = 211, согласно теореме 1 существует I -обход а такой, что и>а = и. Получаем х = = ха. □
х = ха
3. Неприводимые мультиобходы и вершины многогранника
Оказывается, что вершины многогранника Уей(Х(С)) находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности непереводимых мультиобходов Т'(О):
Теорема 4. Пусть а1,...,а3 — все неприводимые мультиобходы (попарно неэквивалентные) и ха1,..., х°а соответствующие им точки многогранника, X, тогда, ха1,..., х°а —
Х
Доказательство.
Пусть N — множество классов мультиобходов, кратных неприводимым, т.е. мультиобходов вида пап О N и а г О. Т'. Оставшиеся классы приводимых мультиобходов обозначим как 6> = Т\N. Через N и £ обозначаем множества мультиобходов, соответсвующие классам N и
Множество вершин многогранника обозначим V = Уег^(Х), а множество остальных рациональных точек многогранника обозначим № = Х^ДУ.
Пусть {х\,..., хр] = V и х О № и пусть а — произвольный мультиобход, такой что х = ха, такой мульти обход существует, поскольку отображение % сюръективно (лемма 5). Покажем, что а приводим.
По следствию 2 вершины имеют рациональные координаты, следовательно:
1. существуют мультиобходы т\,... ,тр, такие, что Х\ = хТ1,..., хр = хТр;
2. для точки с рациональными координатами можно выбрать коэффициенты выпуклой комбинации рациональными:
р
X = <Х1Х1 + ... + арХр ^^ (Хг = 1, (Хг О
г=0
Поскольку точка х отлична от вершин, то выпуклая комбинация нетривиальна. Оставим только аг > 0, и без органичения общности, выбирая соответсвующую нумерацию вершин, считем (х1,...,(хч > 0:
х° = а1хТ1 + ... + адхТч 2 < д < р, ^ (х^ = 1, (Хг О
г=1
Пусть кратности мультиобходов а,Т1,..., тд равны соответсвенно к,к1,... кд, тогда предыдущее равентсво записывается в виде:
1 п а1 Т1 ао Т
—и]а = —1- и) 1 + ... + -¿7 ь)Тч 2 К 2К1 2Кд
Поскольку щ О Q>o, то щ = ^ где и а натуральны и взаимн0Пр0СТЫ Домножим рассматриваемое равенство на число 2кк1... кдс1... сд, получим:
ПЬ]" = П1 ■ШТ1 + ... + Пд■ШТ П,П1, . . . ,Пд О N
Последнее равенство означает что мультиобход а О N, значит а О 5, то есть х-1(^) С 5, что означает х-1 (^) С ¿>.
Пусть ¿-обход а не кратен неприводимому мультиобходу, т.е. а О 5, тогда
па ~ п1аг1 + ... + пдагд 1 < г1 < ... < гд < 8 п,пк О N д > 2
Без ограничения общности выберем нумерацию мультиобходов так, что = 1,..., %д = с[. Пусть 1\,..., 1д — кратности соответствующих мультиобходов. Используя формулу (5) из следствия 3, получаем:
а П\Ь Пл Пд1а а
го" — ___Г£а1 + +___
mh + ... +nqlq n\h + ... +nqlq
Что переписывается в виде:
х° = alxai + ... + aqxGq ^ ai = 1, ai > 0
i=l
Точка xa представлена нетривиальной выпуклой комбинацией точек xai ... xaq значит xa — не вершина.
Получили, что х(<$) С W, значит x(S) С W. Из доказанных включений x(S) = W, учитывая сюръективность х получаем ) = V.
Если а кратен неприводимому мультиобходу ai, тогда согласно следствию 3 получаем xa = xnai = xai, следовательно x{N) = Хс(Т')- Осталось заметить, что если <ri = aj, то xai = то есть ограничение отображения х на Т' сюръективно, следовательно х : Т' ^ V
— биекция. □
Количество вершин многогранника X, используя теорему 2, может быть оценено сверху числом С-3, получаем:
Следствие 4. Множество неприводимых мультиобходов T(G) конечно. |Т'| < Cf^-3. Результат совпадает со следствием 3.25 из [4].
4. О формуле веса минимального параметрического заполнения
Рассмотрим линейный функционал рм G U*, построенный по псевдометрическому пространству М:
рм(x) :.= Y,PW ^
i<j
рм
гогранника xa равна его мультипериметру:
р(М, а) = рм(xa)
Замечание 1. Обратно, по функционалу р = (р12,..., р(т-1)т) G U* координаты, которого неотрицательны и удовлетворяют неравенству треугольника можно построить псведометрическое пространство, если к тому же все его координаты положительны, то пространтсво будет метрическим.
Формула веса минимального параметрического заполнения псведометрического простран-М
метрического заполнения типа G пространства М через mpf(M, G), запишем его формулу:
mpf(M,G) = max р(М,а)
аеТ '(G)
Естественно возникает вопрос: на любом ли неприводимом мультиобходе может достигаться максимум? Можно ли из формулы удалить какие-либо мультиобходы? Как показывает следующая теорема — нельзя.
Теорема 5. Для любого неприводимого мультиобхода а существует, метрическое пространство М, такое, что для любого т, такого, что т ф па Уп выполнено строгое неравенство р(М, а) > р(М, т).
Доказательство. Согласно теореме 4 - вершина многогранника X Далее т ф па
хТ = ха.
Рассмотрим аффинную оболочку многогранника П = Ай"(Х), ясно, что П || кегД. Пусть Р1, ... Рп - все гиперграни (грани коразмерности 1 в П) многогранника примыкающие к вершине жст. Для каждой гиперграни ^ определен ортогональный ей вектор /г О кегД такой, что ха + а^ О X для любого а О К>о (Неформально говоря, вектор направлен вне многогранника).
Рассмотрим строго внутренний единичный4 вектор конуса $ О Сопе{/1, ¡2 ... то есть / := а1/1 + ...ап/п и аг > 0. Аффинная гиперплоскость ха + /^ проходит только через вершину многогранника ха.
Найдем ц = (1]12,..., т-1)т) := е1 + ... + ет- Поскольку все е^ ± П, то ц ± П. Вычислим произвольную координату щ:
т т
Ъ = = £( ъ + я) =2 к=1 к=1
Получаем ц = где Л := (1,1,..., 1) О и*, следовательно Л ± П.
Рассмотрим функционал £ = (¿¡12,..., С(т-1)т) := Л + Заметим, что f О кегД, откуда Л ^ Покажем, что аффинная гиперплоскость ха + ^ проходит только через вершину многогранника жст. Предположим противное, тогда найдется ненулевой вектор V О такой, что ха + V = Хо О X. Получаем, что:
0 = (£, у) = (Л + е/, у) = (Л, у) +(е/, у) у О ^
о
Откуда ха + V = Хо О ха + но ха + П X = ха — противоречие.
Поскольку / - единичный вектор, то Ду < 1. заметим, что при е < 3 для любых координат вектора £ выполнено строгое неравенство: ^к < Сч + ^к и все координаты строго положительны. Согласно замечанию после формулы (6) построим искомое метрическое пространство. □
Заметим, что функционалу Л соответствует метрическое пространство (М, р) с дискретной метрикой ру = 1 —
5. Теорема о строении многогранника для дерева "змеи"
Определение 15. Змея - бинарное дерево ровно с двумя усам,и.
Обозначим внутренние вершины змеи од, од,...-шт-2- Вершина од инцидентна первой паре усов (у 1, у2), вершина тт-2 инцидентна второй паре усов (ут-1, ут).
Теорема 6. Все неприводимые мультиобходы змеи (с точностью до вы,бора, направления) исчерпываются 1-обходами вида:
(12 г 1% 2 ... %р (т — 1) т]д]д-1... 31) или (12г т ... Ърт (т — 1) ЗдЗд-1... jl) (7)
где п < г 2 < ... < %р, Л < ]2 < ... < Эд и {к,... %р, л,..., Зд} = {3, 4,...т — 2}, р + д = т — 4, р,д О %>о-
4 Относительно стандартной нормы в и
Рис. 1: Обязательно нужна подпись к рисунку
Иными словами, множество {3, 4,..., (т — 2)} разбивается на два (возможно пустых) подмножества I = {¿1 ,...,ip} и J = {ji,...,jq} и каждому такому разбиению соответствуют обходы (12/(т — 1)mJ) и (121т(т — 1)J).
Доказательство теоремы разобьём на две леммы.
Замечание 2. Если Г^- е Га; то а = (.. .ij ...) или а = (. ..ji...).
Конструктивно восстановим 1-обход, по последовательности граничных путей, каждая вершина Vj имеет степень 2 в графе обхода следовательно существуют ровно две различные вершины V{YL Vfa отличные от Vj, такие что Г^-, Г^ е а, и нет других путей в Vj.
Г^-, Г^ е (J (J = (... ijk ...) или а = (... kji...).
Обход будем восстанавливать последовательно, присоединяя по одной вершине, первый и последний известный номер вершины в цикле и саму вершину будем называть крайними восстанавливаемой части. Например, в предыдущем случае номера ink крайние.
Лемма 6. С точностью до выбора направления 1-обходы змеи имеют вид (7).
Доказательство. Рассмотрим произвольный 1-обход а.
Из леммы 4 х12 = 2п т0 есть путь Г12 е Га и и12 = 1.
Г12 е Га, значит а = (12...) или а = (21...), выберем первый случай, т.к. второй получается из него изменением направления обхода.
Рассмотрим разбиение U соответсвуюгцие ребру ет+1, где выберем =
= {V1 ,V2 }•
Согласно лемме 1 ровно 1 путь из путей Га проходит через пару рёбер (еэ ,ет+1) инцидентных вершине w2l следовательно существует ровно один путь из Уэ в Мт++1, это ил и Г1э Г2э
Получаем альтернативу, возможен один из двух вариантов:
а =(12... 3) пли а =(123...) (1)
Рассмотрим разбиение порожденное удалением ребра М = М^к и где
к = ...ук+1 }• Применяя лемму 1 получаем, что существует ровно один путь из
г^+2 в к. Очевидно, что он ведёт в один из концов восстанавливаемой части.
Так, на следующем шаге, из у 4 существует 1 путь в учитывая (1), получаем 4
возможных варианта:
• а = (124 ... 3);
• а = (12 ... 43);
• а = (1234...);
• а = (123 ... 4).
Рассматривая далее и^, и?... ьт-2 - вершины, не принадлежащие усам, число возможных обходов каждый раз удваивается.
Построение завершается рассматрением пары (ут-1, ут) и ребра е2т-3, поскольку в силу леммы 4 Х(т-1)т = 2, то есть Г(т-1)т е а, возможны 2 варианта или пара (т — 1,т) или пара (т, т — 1) замыкает обход. □
Заметим, что каждая вершина змеи от ьз до ьт-2 могла добавляться к восстанавливаему обходу двумя способами, а так же в обходе был выбор части (т —1, т) или (т, т — 1), получаем колличество обходов.
Следствие 5. Обходов (1-обходов) змеи с т граничными вершиными 2т-3.
Лемма 7. У змеи нет неприводимых мультиобходов кратности I > 2.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный мультиобход а кратности I > 2, докажем что он имеет эквива-
1
граф Оа.
Из леммы 4 получаем Х12 = 1, следовательно вершины VI, У2 соединены ребром кратности I: Ш12 = I.
Начнем строить мультиобход т с Г12 е Гст, тар а (12) должна всречается I раз в а:
т = (...12......12 ... ***... 12 ...)
Рассмотрим разбиение Мт+1 и соответсвующие ребру ет+1, где выберем Мт+1 =
= [V1, У2}-
Согласно лемме 1 ровно I путей в а проходит через пару рёбер (ез, ет+\) инцидентных вершине од, следовательно существует ровно I путей из г>з в Мт^ц это пути вида Г13 кратности ^13 или Г23 кратноети ш23. В качестве обхода возьмем:
т = (... 123 ... 123 ... * * * ... 123 ......312 ... 312 ... * * * ... 312 ...)
V V
Ш23 Ш13
Рассмотрим разбиение порожденное удалением ребра ет+к: М = М^к и Мт+ к (мт+ к =
= [^ 1,1>2 ... Ук+1})- Применяя лемму 1 получаем, что в т существует I путей из Ик+2 в М^^+^к-Продолжаем процедуру восстановления, добавляя к каждой известной части мультиобхода
а
Построение завершается рассматрением ребра е2т-3 и тары (ут-1, ьт). Вновь применяя лемму 4 получим Х(^т-1)т = 1, следовательно вер шины ит-1, ит соединены ребром кратности Ш(т-1)т = ^ в • Получаем, что Г(т-1)т входит в мультиобход а ровно I раз. К каждой известной части вида (]я ... ,72,7112г 112 ... гр) добавляется соответсвующая пара
(т — 1, т) или (т, т — 1) слева или справа. □
Следствие 6. Многогранник змеи с т граничными вершинами имеет ровно 2т 3 вершин.
Пример. Обходу а = (123 ... т) соответвтвует вершина
ж = 1(1, 0, 0,... 0,1, 0, 0 0,... 10Д), ^^
т— 1 т—2
Данной вершине соответствует мультипериметр мультиобхода
Р(М, а) = р12 + р23 + ... + Р(т- 1)т + Р1ш Для произвольного построенного обхода из теоремы 5 имеем:
Р ((12«1«2 ...jl)) = Pl2 + P2h + ... + Pill
Из теоремы 6 получаем
Следствие 7. Формула веса минимального параметрического заполнения для графа типа
l
- max{pi2 + P2i± + ■ ■ ■ + Pip (m-1) + P(m-1)m + Pmjq + ■ ■ ■ + Pji 1 ; ^12 + + ■ ■ ■ + Pip rn + Pm(m—1) + Pmjq + ■ ■ ■ + Pji 1 }
Здесь индексы, г1 < ... < гр <Е I и j1 < ... < jg <Е J представляют, собой дизъюнктное разбиение множества {3,... (т — 2)} = IU J, а максимум берется по всевозможным таким разбиениям.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
2. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 5.С. 65-118.
3. Ivanov A., Tuzhilin A. Dual Linear Programming Problem and One-Dimensional Gromov Minimal Fillings of Finite Metric Space // Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhäuser, Cham. 2022. pp. 165-182.
4. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства. Матем. сб., 2013. Т.204, Ш. ('.51-72.
5. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: MI II I.MO. 2020.
6. Иванов А.О., Тужилин A.A. Еремин А.Ю. и др. Минимальные заполнения псевдометрических пространств // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике, 2011. Т.27. С.83-105.
7. Иванов А. О.,Овсянников 3. И., Стрелкова И. П., Тужилин А. А. Одномерные минимальные заполнения с ребрами отрицательного веса // Вестн. Моск. унив., Матем. Мех. 2012. №5. С.3-8.
8. Иванов А. О., Тужилин А. А., Цислик Д. Отношение Штейнера для многообразий // Матем. заметки, 2003. Т.74, №3. С.387-395.
9. Овсянников З.Н. Открытое семейство множеств, для которых минимальное заполнение не единственно // Фунд. и прикл. матем. 2013. Т.18, № 2. С.153-156.
10. Беднов Б. Б. Длина минимального заполнения пятиточечного метрического пространства // Вестн. Моск. уши;.. Матем. Мех. 2017. №6. С.3-8.
11. Беднов Б. Б. О множестве точек Штейнера четырех элементов в пространстве Линден-штраусса // Вестн. Моск. унив., Матем. мех. 2019. №6. С.3-8.
12. Беднов Б. Б. Длина минимального заполнения типа звезды // Матем. сб. 2016. Т.207, №8. С.31-46.
13. Беднов Б. Б., Бородин П. А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения // Матем. сб., 2014. Т.205, №4. С.3-20.
14. Пахомова А. С. Критерий непрерывности отношений типа Штейнера в пространстве Громова-Хаусдорфа // Матем. заметки, 2014. Т.96, №1. С.126-137.
15. Рублева О.В. Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения// Вестн. Моск. унив., Матем. Мех. 2012. №2.С.8-11.
REFERENCES
1. Ivanov А.О., Tuzhilin A.A. Extreme Networks Theory // Moscow, Izhevsk: IKI, 2003.
2. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. One-dimensional Gromov minimal filling problem // Sbornik: Mathematics 2012. vol. 203, № 5.pp. 65-118.
3. Ivanov A., Tuzhilin A. Dual Linear Programming Problem and One-Dimensional Gromov Minimal Fillings of Finite Metric Space // Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser, Cham. 2022. pp. 165-182.
4. Eremin A.Yu. A formula for the weight of a minimal filling of a finite metric space.Sbornik: Mathematics 2013. vol. 204, №9. pp.51-72.
5. Vasilvev F.P., Ivanitskiv A.Y. In-Depth Analysis of Linear Programming // Dordrecht: Springer, 2001.
6. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A., Eremin A.Yu. Minimal filling of a pseudometric space // Seminar on tensor and vector analysis with applications in geometry, mechanics and physics, 2011. Vol.27, pp.83-105
7. Ivanov A.O., Ovsvannikov Z.N., Strelkova N.P., Tuzhilin A.A. One-dimensional minimal fillings with negative edge weights // Moscow University Mathematics Bulletin, 2012. vol.67, pp.189194.
8. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A., Cieslik D. Steiner Ratio for Manifolds // Math. Notes 2003. vol.74, №3. pp.387-395.
9. Ovsvannikov Z.N. An open family of sets that have several minimal fillings // Fundamental and Applied Mathematics, 2013. Vol.18. №, pp.153-156.
10. The length of minimal filling for a five-point metric space // Moscow University Mathematics Bulletin, 2017. vol.72, pp.221-225.
11. Bednov B. B. The set of geometric medians for four-element subsets in Lindenstrauss spaces // Moscow University Mathematics Bulletin 2019. №6. C.215-220.
12. Bednov B. B. The length of a minimal filling of star type // Sb. Math., 2016. T.207, №8. C.1064-1078.
13. Bednov B. B., Borodin P. A. Banach spaces that realize minimal fillings // Sb. Math., 2014. vol.205, №4. C.459-475.
14. Pahkomova A.S. A Continuity Criterion for Steiner-Tvpe Ratios in the Gromov-Hausdorff Space // Math. Notes, 2014. vol.96, №1. pp.130-139.
15. Rubleva O.V. The additivitv criterion for finite metric spaces and minimal fillings // Moscow University Mathematics Bulletin, 2012. vol.67, pp.52-54.
Получено: 13.05.2022 Принято в печать: 8.12.2022
