CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 5.
УДК 514 1)01 10.22405/2226-8383-2021-22-5-140-162
Преобразования метрик, сохраняющие геометрические характеристики конечных метрических пространств
С. Ю. Липатов
Липатов Степан Юрьевич — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
Задан класс ^ псевдометрических пространств и семейство преобразований Т псевдометрики. Нужно было описать семейство преобразований Т' С Т, которые переводят Р в себя и сохраняют некоторые типы минимальных заполнений. Был рассмотрен случай, когда Р — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс Т состоит из отображений М ^ АМ + т, где матрицы А и т задают отображение матрицы псевдометрики М, а элементы Т' сохраняют типы С минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графов С, и доказано, что А = ХЕ для некоторого А ^ 0, а т является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда; когда Р — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс Т состоит го отображений р ^ Ар, где А — диагонализируемая матрица с двумя собственными числами \тах > ^тгп ^ 0; наибольшее собственное значение Атаж которой имеет кратность 1, собственное пространство, соответствующее значению Ат4„, не содержит ненулевых псевдометрик, а элементы Т' сохраняют типы С минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графов С. И доказано, что для любой матрицы отображения из Т' существует псевдометрика, являющаяся собственным вектором с собственным значением \тах, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда.
Ключевые слова: минимальные заполнения, конечные псевдометрические пространства.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
С. Ю. Липатов. Преобразования метрик, сохраняющие геометрические характеристики конечных метрических пространств // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 5, с. 140-162.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 5.
UDC 514 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-140-162
Transformations of metrics that preserve the geometric characteristics of finite metric spaces
S. Yu. Lipatov
Lipatov Stepan Yur'evich — Lomonosov Moscow State University (Moscow).
e-mail: [email protected]
Abstract
Given a class F of metric spaces and a family of transformations T of a metric, one has to describe a family of transformations T' с T that transfer F into itself and preserve some types of minimal fillings. The article considers two cases. First, when F is the class of all finite pseudometric spaces, the class T consists of the maps M ^ AM + т, where the matrices A and т define the mapping of pseudometric matrix M, and the elements of T' preserve any type G of minimal fillings of pseudometric spaces whose points correspond to vertices of degree 1 of the graph G, and we prove that A = XE for some A > 0, Mid т is a pseudometric matrix, one of the minimal fillings of which IS cl Stcir. Second when F is the class of all finite pseudometric spaces, the class T consists of the maps p ^ Ap, where A is a diagonalizable matrix with two eigenvalues \max > Xmin ^ 0, the Ingest eigenvalue \max of which has multiplicity 1, the eigenspace corresponding to the value Ami„, does not contain nonzero pseudometrics, and the elements of T' preserve the types G of minimal fillings of the pseudometric space, whose points correspond to vertices of degree 1 of graphs G. And we prove that for any mapping matrix from T' there is a pseudometrics that is an eigenvector with the eigenvalue \max, among the minimum fillings of which there is a filling of the star type. Second, when F is the class of all finite metric spaces, the class T consists of the maps p ^ Np, where the matrix N is the sum of a positive diagonal matrix A and a matrix with the same rows of non-negative elements. The elements of T' preserve all minimal fillings of the type of non-degenerate stars. It has been proven that T 'consists of maps p ^ Np, where A is scalar. Third, when F is the class of all finite additive metric spaces, T is the class of all linear mappings given by matrices, and the elements of T' preserve all non-degenerate types of minimal fillings, and we proved that for metric spaces consisting of at least four points T' is the set of transformations given by scalar matrices. Fourth, when F is the class of all finite ultrametric spaces, T is the class of all linear mappings given by matrices, and we proved that for three-point spaces the matrices have the form A = R(B + XE), where В is a matrix of identical rows of positive elements, and R is a permutation of the points (1,0,0), (0,1,0) and (0,0,1).
Keywords: minimal fillings, finite pseudometric spaces.
Bibliography: 18 titles.
For citation:
S. Yu. Lipatov, 2021, "Transformations of metrics that preserve the geometric characteristics of
finite metric spaces" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 140-162.
1. Введение
Теория минимальных заполнений активно развивается, ей посвящено много работ: [1]-[14].
Проблема Штейнера — это задача об оптимальном соединении конечного множества точек
метрического пространства. По-видимому, первые формулировки этого типа возникли в трудах Ферма, поставившего вопрос о поиске такого расположения точки на плоскости, что сумма расстояний от нее до вершин заданного треугольника наименьшая из возможных. В течении нескольких столетий был получен полный ответ, из которого ясно, что, соединяя три точки на плоскости, бывает выгодно добавить четвертую точку-развилку. Важность таких дополнительных точек прекрасно понимал Гаусс, обсуждавший в переписке с Шумахером задачу о том, как соединить Гамбург, Бремен, Ганновер и Брауншвейг кратчайшей системой дорог. В 1934 году Ярник и Кесслер сформулировали общую задачу, которая теперь известна как классическая проблема Штейнера. Фактически, их задача представляет собой обобщение задачи Ферма и Гаусса о кратчайшем соединении на случай произвольного конечного множества точек плоскости. Что касается самого Штейнера, то он занимался другим обобщением задачи Ферма: найти в пространстве такую точку, для которой сумма расстояний до заданных точек будет наименьшей возможной. Отметим, что недоразумение о приоритете возникло благодаря популярной книге Куранта и Роббинса "Что такое математика?", где задача Ферма была приписана Штейнеру, а задача Ярника и Кесслера была названа просто обобщением проблемы Штейнера.
Сетью в псевдометрическом пространстве X = (X, d), параметризованной произвольным связным графом G = (V, Е), или сетью тuna G: называется отображение Г : V ^ X ([2]). Вершинами и ребрам,и сети Г называются ограничения отображения Г соответственно на вершины и ребра графа G. Длиной ре бра Г : vw ^ X назовем число d(r(v), Г (w)), & длин ой d(r) сети Г — сумму длин всех ее ребер. Границей дГ сети Г назовем ограничение отображения Г на dG. Если М С X — конечное множество и М С Г(У), то будем говорить, что сеть Г соединяет, множество М. Вершины графов и сетей, не являющиеся граничными, будем называть внутренним,и. Число smt(M) = inf|^(Г) | Г — сеть, соединяющая М} назовем длиной кратчайшей сети. Сеть, для которой ^(Г) = smt(M), называется кратчайшей, сетью ([3]). Понятие минимального заполнения появилось в работах Громова [19] в следующем виде: пусть М = (М, р), где М — замкнутое многообразие с функцией расстояния р на нём, a W = (W, d), где W — компактное многообразие с краем, равным М, таково, что d не уменьшает расстояния между точками из М, тогдa W называется заполнением, М. Задача Громова состоит в описании точной нижней грани объемов заполнений, а также описании тех пространств W, называемых минимальными заполнениям,и, на которых эта нижняя грань достигается.
В контексте проблемы Штейнера естественно рассмотреть в качестве М конечное метрическое пространство. Тогда возможные заполнения — метрические пространства, имеющие структуру одномерных стратифицированных многообразий (которые можно рассматривать как реберно взвешенные графы с неотрицательными весовыми функциями). Графы отдельно от весовых функций будем называть типам,и, заполнений. При этом будем рассматривать только такие типы, в которых вершинам степени 1 и 2 соответствуют точки метрического пространства М.
Ивановым и Тужилиным [2] было доказано, что преобразования типа р ^ \р + а для а > \ар, \> 0, где ар — некоторое число, зависящее от метрики р, сохраняют типы G минимальных заполнений метрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графов G. Число а может быть отрицательным; существует такое ар ^ 0, для которого \р + а — метрика при всех а > Хар, и не является метрикой при всех а < \ар (при а = \ар можем получить как метрику, так и псевдометрику).
Общая задача была сформулирована следующим образом: задан класс F псевдометрических пространств и семейство преобразований Т псевдометрики. Нужно было описать семейство преобразований Т' С Т, которые переводят F в себя и сохраняют некоторые типы минимальных заполнений. Был рассмотрен случай,
• когда F — класс всех конечных метрических пространств,
Т = {(М,р) ^ (М, f о р) | f: R>0 ^ R>0}, а элементы Т' сохраняют все невырожденные типы минимальных заполнений четырехточечных метрических пространств и конечных невырожденных звёзд, и доказано, что Т' = {(М, р) ^ (М, Хр + а) | а > Хар} (опубликовано в [5]);
• когда F — класс всех конечных метрических пространств, класс Т состоит из отображений р ^ Np, где матрицы N имеют вид 5 (сумма положительной диагональной матрицы А и матрицы с одинжовыми строками из неотрицательных элементов), а элементы Т' сохраняют все минимальные заполнения типа невырожденных звезд, и доказано, что Т' состоит из таких отображений р ^ Np, где А — скалярна (опубликовано в [6]);
• когда F — класс всех конечных аддитивных метрических пространств, Т — класс всех линейных отображений, задаваемых матрицами, а элементы Т' сохраняют все невырожденные типы минимальных заполнений, и доказано, что Т' — множество преобразований, заданных скалярными матрицами (опубликовано в [6]);
• когда F — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс Т состоит из отображений М ^ АМ + т, где матрицы ^т задают отображение матрицы псевдометрики М, а элементы Т' сохраняют типы G минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графов G, и доказано, что А = \Е для некоторого Л ^ 0, а т является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда;
• когда F — класс всех конечных метрических пространств, класс Т состоит из отображений р ^ Ар, где матрицы А — диагонализируемые с двумя собственными числами Атах > Аmin ^ 0 наибольшее собственное значение Хтах которой имеет кратность 1, собственное пространство, соответствующее значению \т%п, не содержит ненулевых псевдометрик, а элементы Т' сохраняют типы G минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графо в G. И доказано, что для любой матрицы отображения из Т' среди собственных векторов, соответствующих значению Хтах, есть псевдометрика, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда.
Автор благодарен своему научному руководителю профессору Тужилину A.A., а также профессору Иванову А.О. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
2. Предварительные результаты
Приведем необходимые для дальнейшего определения и результаты. Подробности см. в [2].
Определение 1. Псевдометрикой на множестве М называют, такую симметричную функцию р: М2 ^ R для которой р(а, а) = 0 при всех а и выполнены неравенства треугольника: p(i,j) ^ p(i,k) + p(k,j) для любых i,j,k <Е М. Метрикой на, множестве М называют, такую псевдометрику d, что для любых различных a,b <Е М выполнено d(a, Ъ) = 0. Если в определении заменить R на R U то будем называть такие функции обобщёнными
псевдометриками и обобщёнными м,ет,рикам,и.
Замечание 1. Из неравенства треугольника вытекает, неотрицательность псевдометрики р, так как 0 = р(а, а) ^ 2р(а, Ъ).
Множество неотрицательных вещественных чисел будем обозначать как R+.
Пусть М — произвольное конечное множество и G = (V,E) — некоторый связный граф. Будем говорить, что G соединяет М, а М — граница графа G, если М С V. Границу графа
в будем также обозначать через дС1. Вершины графов и сетей, не являющиеся граничными, будем называть внутренними. Пусть теперь М = (М, р) — конечное псевдометрическое пространство, С = (V, Е) — связный граф, соединяющий М, и ш : Е ^ М+ — некоторое отображение в неотрицательные вещественные числа, называемое обычно весовой функцией и порождающее взвешенный граф Я = (С, ш). Весом взвешенного графа Я называется величина ш(Я), равная сумме весов всех ребер этого графа. Функция ш задает на V псевдометрику
а именно, расстоянием между верши нами графа Я назовем наименьший из весов путей, соединяющих эти вершины. Если для любых точек р и д из М выполняется р(р, д) ^ dш (р, д), то взвешенный граф Я называется заполнением пространства М, а граф С — типом этого заполнения. Число т((М) = М ш(Я) то всем заполнениям Я для М назовем весом минимального заполнения, а заполнение Я, для которого ш(Я) = т((М), — минимальным заполнением.
В дальнейшем мы будем иметь дело с конечными псевдометрическими пространствами М = (М,р). Преобразования псевдометрик всегда будут действовать только на (индексированный парами из М) набор расстояний между различными точками, оставляя М тем же. Поэтому для любого п будем считать множество ^изп точек, на котором задана псевдометрика, фиксированным. Для любого п-точечно го (М, р) существует бие кция ф: М ^ N с множеством {1,..., п}, которое вместе с индуцированной на нём псевдометрикой р(г, ]) = р(ф-1(г), ф-1(])) является его изометричным образом. Свойства точек из М никак не влияют на преобразования псевдометрик и их свойства. В таком случае, каким бы ни было пространство (М,р), зафиксировав некоторую биекцию ф, мы можем рассматривать вместо него изометричное ему пространство ({1,...,п}, р), подразумевая ф-1 (г) вместо г <Е {1,... ,п} т р(а, Ь) = р(ф(а),ф(Ь)) вместо р.
Для конечных псевдометрических пространств М = (М, р) из п точек и типов их заполнений С = (V, Е) будем также считать, что V = {1,..., #У}, причём М = {1,... ,п} и р(г,.1) = Рч- Обозначая через р ещё и вектор р = (ри, р13, . . . , Рп-1,п )
личными точками, будем отождествлять его с М = (М,р), так как М восстанавливается по этому вектору единственным образом. Типы заполнений для М = {1,...,п} будем считать изоморфными, если существует изоморфизм их графов, тождественный на М. Такие изоморфизмы соответствуют перестановкам внутренних вершин.
Замечание 2. Вектор р = (р12, р13,..., рп-1,п) расстояний между различными точками задаёт, на, множестве М = {1,... ,п} с^^мет^чную функцию для которой р: М2 ^ М, для которой р(а,а) = 0 при всех а € М. По замечанию 1 из неравенств треугольника следует,, что р — метрика. Поэтому если эта функция не является метрикой, то существуют т,акие а, Ь и с, для, которых не выполнено неравенство треугольника, то есть раь + рьс < Рас-
Обозначим через &(р, С) все весовые функции ш: Е ^ М+ такие, что (С,ш) — заполнение для пространства р. Положим
тр1(р,С)= М ш(С)
и назовем полученное число весом минимального параметрического заполнения типа С для пространства р.
1 Здесь автор использует обозначения и терминологию, которая сложилась в так называемой теории экстремальных сетей. Эта теория, возникшая на стыке геометрии, дискретной оптимизации и теории графов, см. рТиМИ], рассматривает проблему Штейнера, ее аналоги и обобщения как граничные задачи: оптимизируются (в том или ином смысле) графы с фиксированным подмножеством вершин. Терминальные вершины называется граничными, остальные — подвижными или внутренними. Множество всех граничных вершин называется границей и обозначается так же как топологическая граница, хотя и не совпадает с ней. В этом контексте граница графа не определена однозначно. Какое именно подмножество вершин графа выбирать в качестве границы зависит от конкретной задачи. (Примечание А. Иванова.)
Будем называть дерево бинарным, если каждая его вершина имеет степень 1 или 3, а граница состоит в точности из всех вершин степени 1. Взвешенные графы и заполнения с положительными весами будем называть невырожденными.
Определение 2. В [2] доказано, что при изучении минимальных заполнений и кратчайших сет,ей всегда можно ограничиться рассмотрением деревьев, у которых все вершины степени 1 и 2 принадлежат, границе. Класс всех т,аких деревьев обозначим через Та; у которых граница, соответствует вершинам, степени 1 — через Т1 и бинарных через Т^. Соответствующие классы, деревьев с п-точечной границей обозначим через Т0(п), Т1(п) и Тъ(п).
Утверждение 1 ([4]). Для любого натурального п ^ 2 классы Т0(п), Т1(п) и Тъ(п) являются конечным,и множествами.
Конечное псевдометрическое пространство M = (M, р) называется аддитивным,, если M можно соединить взвешенным деревом Q = (G, ш) для которого р совпадает с ограничением (1Ш на М([2]). Дерево Q в этом случае называется порождающим,.
Утверждение 2 ([2]). У каждого аддитивного пространства единственным невырожденным минимальным заполнением является его невырожденное порождающее дерево.
Утверждение 3. Пространство M = (M, р), минимальное за,пол,нение Q = (С,ш) которого представляет собой звезду, в которой внутренняя вершина, v соединена, со всем,и точками Pi G M, 1 ^ г ^ п, п ^ 3, аддитивно.
Пусть G = (V, Е) — произвольное дерево. Пусть v G V — внутренняя вершина степени (к + 1) ^ 3, смежная с к вершинами W\,... ,Wk из dG. Тогда множество вершин {w\,..., Wk}, а также множество ребер {vw\,..., vwk}, называются усам,и. Число к назовём степенью, a v — общей вершиной этих усов.
Теорема 1 ([2]). Преобразования типа р ^ Хр + а для а > Хар сохраняют mипы G минимальных заполнений метрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени 1 графов G.
Утверждение 4 ([2]). Пусть M = {р1,р2,рз,р4}, и р ^ произвольная псевдометрика на, M. Положим pij = p(pi,pj)■ Тогда вес минимального заполнения, Q = (С,ш) пространства M = (M, р) дается формулой
2 (min{pi2 + р34, Р13 + р24, р14 + р23 } + max{pi2 + р34, Р13 + р24, р14 + р2з]) .
Если минимум в этой формуле равен pij + prs, то тип минимального заполнения, — бинарное дерево, усы, которого суть {pi,pj} и {pr,ps}-
Утверждение 5 ([2]). Критерием аддитивности пространства является правило четырех точек: для, любых четырех точек Pi, pj, pk, Pi величины p(pi,pj) + p(pk,pi), p(pi,pk) + p(Vj,'Pi); p('Pi,'Pi) + p(pj,Pk) являются длинами сторон равнобедренного треугольника с основанием, не превосходящим боковой стороны.
Точку р конечного псевдометрического пространства (М, р) назовем вырожденной, если в этом пространстве существуют точки g и г отличные от р и такие, что p(q, г) = p(q,p) + р(р, г).
Утверждение 6 ([2]). Пусть Q — минимальное заполнение конечного псевдометриче-M
M
каждой граничной вершины дерева Q равна 1 и все граничные ребра невырождены,.
Обозначим г-окрестность множества 5 в произвольном метрическом пространстве (Е, р) через иг(Б) = {х € Е : т^^ р(%,у) < г} и пусть Вг(Б) = {х € Е : т^^р(%,у) ^ г}, и для любой точки х € ^положим Вг(х) = {у € Е : р(х,у) ^ г}.
Определение 3 ([20]). Пусть А и В — подмножества метрического пространства. Расстоянием по Хаусдорфу между А и В называется величина,
йн (А, В) = И {г > 0: А С иг (В) и В С иг (А)}.
Будем также использовать эквивалентное определение
йн (А, В) = И {г > 0 : А С Вг (В)и В С Вг (А)}.
Утверждение 7 ([20]). Расстояние по Хаусдорфу является обобщённой псевдометрикой на 2е
Множество 2е всех подмножеств Е будем также обозначать через V(Е), а множество всех непустых замкнутых подмножеств Е будем обозначать через Т(Е).
Пусть р — конечное псевдометрическое пространство, соединенное некоторым (связным) графом С = (У,Е). Как и выше, через &(р,С) обозначим множество, состоящее из всех весовых функций ш: Е ^ М+, для которых Я = (С,ш) является заполнением пространства р, а терез 0,т(р, С) — его подмножество, состоящее из весовых функций, для которых Я — минимальное параметрическое заполнение пространства р.
Утверждение 8 ([2]). Множество £}(р,С) замкнуто и выпукло в линейном пространстве Ме всех функций на Е, а &т(р,С) С &(р,С) — непустой выпуклый, компакт.
Для любого а € М положим М>„ = {х € М : х > а}.
Положим И = {(х,х) : х € М} с М2. Для функций р: М2 ^ М+ и $: М>о ^ М>о определим функцию : М2 ^ М+, равную нулю на И и } о р на М2 \ Б.
Рассмотрим случай, когда Е — класс всех конечных метрических пространств, Т = {(М,р) ^ (М, р]) | /: М>о ^ М>о}, а элементы Т' сохраняют все невырожденные типы минимальных заполнений четырехточечных метрических пространств и конечных невырожденных звёзд. В этом случае был получен следующий результат.
Теорема 2 ([6]). Пусть f: М>0 ^ М>0 — такая функция, что для каждого метрического пространства (М,р) функция по-прежнему является метрикой на М, и сохраняются невырожденные звезды, (из 8 точек) и, типы минимальных заполнений четырёхточечных пространств. Тогда, ¡имеет вид f (х) = кх + Ь.
В данной статье мы будем рассматривать другие преобразования метрики: аффинные преобразования матриц метрики и линейные преобразования векторов метрики.
3. Аффинные преобразования матриц метрики
Утверждение 9. Пусть матрицы А и т задают, преобразование матриц f: М ^ АМ + т. Тогда, если это преобразование переводит любую матрицу метрики в матрицу псевдометрики, то матрица А диагонально,.
Доказательство. Пусть Ао — матрица метрики, в которой все ненулевые расстояния равны 1, а Аг — матрица псевдометрики, в которой все расстояния до г равны 1, а остальные 0.
) 1,к = I ) 1, г €{к,1},к = I (Ао)к1 = < 0 (^г)к1 = < 0
Тогда Ао + Аг — матрица метрики для любого г. Так как преобразование, заданное матрицами А и т переводит любую метрику в псевдометрику, то у матриц ААо + т и А(Ао + Аг) + т = ААо + ААг + т все диагональные элементы равны 0. Следовательно, и у матрицы АА^ все диагональные элементы равны 0.
Покажем, что все внедиагональные элементы матрицы А равны 0. Рассмотрим произвольные г = Положим В = АА^ тогда в силу сказанного выше Ьц = 0. По определению Ьц — произведение г-той строки матрицы А на г-тый столбец А^ в котором на ¿-том месте стоит 1, а на остальных расположены нули. Таким образом, а^ = Ьц = 0. □
Утверждение 10. Пусть матрицы А и т задают, преобразование матриц f: М ^ АМ + т. Тогда, если это преобразование переводит любую матрицу метрики в матрицу псевдометрики, то А = \Е для некоторого X ^ 0.
Доказательство. Усилим утверждение 9. Согласно утверждению 9, матрица А диагональ-на, поэтому А = diag(Al,..., Ага). Выберем произвольную матрицу метрики М = (т^и пусть
М' = / (М) = (т'г] )1= 1 = АМ + т, М" = / (2М) = (т^ ^ = 2АМ + т.
Тогда для любых г и ] выполнено т'^ = \imij + т^ и т"^ = 2\гт^ + т^. Покажем, что А% — для любых г =
Из симметричности матриц псевдометрики следует, что для любых г = ] выполнено т^ = т^п т'^ = т^, отсюда
Ximij + Tij = m'ij = m'ji = Xjmji + Tji,
тогда Ximij — Xjmji = (Xi — Xj)mij = Tji — Tij. Аналогично,
2 Ximij + Tij = m'lj = m'^ = 2Xjmji + Tji,
откуда 2Ximij — 2Xjmji = 2(Xi — Xj)mij = Tji — Tij. Применяя к Tji — Tij оба равенства, получаем 2(Xi — Xj)mij = (Xi — Xj)mij, поэтому (Xi — Xj)mij = 0, откуда с учётом mij = 0 следует Xi = Xj.
Таким образом, все диагональные элементы матрицы А равны некоторому X, что означает А = XE.
Покажем, что X ^ 0. Пусть X < 0. Обозначим наименьший внедиагональный элемент Ту матрицы т через t. Возьмём в качестве M матрицу метрики правильного симплекса, v которой все внедиагональные элементы равны друг другу и больше — t/X. Рассмотрим гj-ый элемент f(М). Он равен m^ = Xmij + t. По построению mij > —t/X, поэтому Xmij < —t, отсюда m'^ = Xmij +1 < 0. Это означает, что f(M) не является матрицей псевдометрикой — противоречие. □
Утверждение 11. Пусть матрицы А и т задают, преобразование матриц f:M ^ АМ + т. Тогда, если это преобразование переводит любую матрицу метрики в матрицу
доказате льство. Так как это преобразование переводит любую метрику в псевдометрику, то по утверждению 10, А = XE для некоторого X ^ 0. Так как для любой матрицы метрики М по предположению f(M) = XM + т — матрица псевдометрики, то т = f(M) — XM — симметричная матрица, все диагональные элементы которой равны 0.
Пусть т не является матрицей псевдометрики, тогда существуют различные a, ft и с, для которых не выполнено неравенство треугольника, то есть таь + тъс < тас. Положим е = тас — таь — тЬс) тогда е > 0. Пусть M = (mij)™j=1 — матрица метрики правильного симплекса,
все элементы которой меньше d = Обозначим М' = f(М) = (т'^)™j=l = XМ + т. Из неравенства треугольника для тех же a, ft и с получаем
0 ^ m'ac - т'аЬ - m'bc = Хтас - XтаЪ - ХтЪс + Тас - ТаЪ - ТЪс =
= e - X(mab + mbc - mac) ^ е - X(mab + mbc) > е - 2d\ = 0, то есть 0 > 0. Получили противоречие. □
Теорема 3. Пусть матрицы А и т задают преобразование матриц f: М ^ AM + т. Тогда это преобразование переводит любую матрицу метрики в матрицу псевдометрики, если и только если А = \Е для некоторого А ^ 0 а Т является матрицей псевдометрики.
Доказате льство. Так как это преобразование переводит любую метрику в псевдометрику, то по утверждению 10, А = \Е для некоторого А ^ 0 и следствию 11, г является матрицей псевдометрики.
Пусть М = (mij)1ij=i — некоторая матрица метрики, т является матрицей псевдометрики и А = ХЕ для некоторого А ^ 0. Обознач им М' = f (М) = (m'^ )™J=1, при эт ом т!^ = \m,ij + Tij. Для любых г = j из того, что т и М — матрицы псевдометрик, следует m,^ = Xmij + Tij = \m,ji + Tji = т'^ж mlii = Хтц + Тц = 0, то есть М' — симметричная матрица, все диагональные элементы которой равны нулю. В силу неравенств треугольника mab + mbc ^ mac и таЬ + тЬс ^ тас для любых a, ft и с, из А ^ 0 следует ХтаЬ + Хтьс + таъ + тъс ^ Хтас + тас, то есть
m'ab + m'bc > m'aC.
Таким образом, любое преобразование такого вида переводит любую метрику в псевдомет-□
Следствие 1. Пусть матрицы А и т задают преобразование матриц f: М ^ AM + т. Тогда это преобразование переводит любую матрицу метрики в матрицу метрики, если и только если, либо А = 0 и т является матрицей метрики, либо А = ХЕ для некоторого X > 0 и т является матрицей псевдометрики.
Доказательство. Покажем сначала необходимость. Так как это преобразование переводит любую метрику в псевдометрику, то по 3, А = ХЕ для некоторого А ^ 0 и т является матрицей псевдометрики. Если А = 0, тогда любая метрика переходит в т, поэтому т является матрицей метрики.
Покажем достаточность. Пусть А > 0, тогда любая матрица метрики М переходит в сумму матрицы псевдометрики т и матрицы метрики AM, поэтому f (М) = ХМ+т является матрицей метрики. Если А = 0, а т является матрицей метрики, то любая матрица метрики М переходит в матрицу метрики т. □
3.1. Сумма псевдометрических пространств
Будем считать п Е N фиксированным, а все псевдометрики по умолчанию заданными на {1,..., п}. Введём следующие обозначения: для заполнения Q = (G, ш), где G Е Ti, псевдометрического пространства ({1,..., п}, р) и любого i = 1,..., п определим Шг как вес выходящего из вершины г ребра графа G. Вес взвешенного графа Q будем обозначать как IQI. Также для псевдометрики s, одно из минимальных заполнений которой имеет тип звезды, определим Si как вес выходящего из вершины г ребра и |s| как вес этого заполнения. Для любой такой псевдометрики s и заполнения Q = (С,ш) тип a G = (V, Е) определим функции ws,w-s Е Ке: для любого внутреннего ребра е е ^положим ws (е) = w-s(e) = ш(е), а для всех граничных рёбер пусть ш1 = Wi + Sj и = Wi - s^ Положим Qs = (G, и Q-s = (G, w-s). Отметим, что w-s ^e ^^^^^^a неотрицательной, поэтому Q-s = (G, w-s) не всегда взвешенное дерево.
Замечание 3. Сумма, р = р+т любых двух псевдом,ет,рик, определённых на, одном, и том же множестве, является псевдометрикой, причём неравенство треугольника для некоторых a,b ис вырождает ся в равенство р'аъ+р'ъс = Рас тогда, и только тогда, когда раь+рьс = рас и Tab + Tbc = Тас-
Утверждение 12. Пусть Q = (G, ш) — заполнение типа G = (V, E) е Т\ для псевдометрики р, а среди минимальных заполнений для псевдометрики s есть звезда. Тогда Qs является заполнением для р + s, и если р — s^ псевдом,ет,рика, uWi ^ Si для любой граничной вершины г, то Q-s является заполнением для р — s.
Доказательство. Для любых вершин г = j из {1,... ,п} положим Iij с E — множество внутренних рёбер в пути, соединяющем i и j. Заметим, что ws е R++, поэтому Qs является взвешенным деревом. Так как Q — заполнение для р, то для любых г = j е {1,...,п} выполнено
р-ij ^Шг + Wj + ш(е).
eelij
Так как sij = si + Sj и ш(е) = ш*(е) > т0
(р + s )ij = рг] + Sij ^Wi + Wj + Si + Sj + ш(е) = wf + uSj + ws(e),
то есть Qs является заполнением для р + s.
Если р — s — псевдометрика, иш; ^ Si для любой граничной вершины i, то w-s е R++ и Q-s является взвешенным деревом. Аналогично в этом случае получаем
(р — s)ij = рij — Sij ^Wi + Wj — Si — Sj + ^2 ш(е) = w-s + w-s + ^ w-s(e),
то есть Q-s является заполпением для р — s. □
Утверждение 13. Пусть Q = ( G, ш) ^ минимальное заполнение типа из Т\ для псевдо-р р —
— псевдометрика и Wi ^ Si для любой граничной вершины г. Тогда Q-s является минималь-
р —
Доказательство. По утверждению 12, взвешенный граф Q-s является заполнением пространства р — s. Кроме того, |Q-sl = |£| — |s|.
Предположим противное, т.е. заполнение Q-s не является минимальным. Рассмотрим минимальное заполнение Q' = (G1, ш') пространства р — s, являющееся бинарным деревом. Тогда < -sl = — I4 По утверждению 12, взвешенный граф Q's является заполнением для р
и
16'1 = 16'I + И < 16-sl + И = 161,
что противоречит минимальности заполнения Q. □
Утверждение 14. Пусть Q — минимальное заполнение типа из Т\ для псевдометрики р, а среди минимальных заполнений для псевдометрики s есть звезда. Тогда, Qs является минимальным заполнением для р + s.
Доказательство. По замечанию 12, взвешенный граф является заполнением пространства р + 8. Кроме того, = |£| + |з|.
Предположим противное, т.е. заполнение Яя не является минимальным для р + 8. Рассмотрим минимальное заполнение = (С,ш') пространства р+8, являющееся бинарным деревом. Для него выполнено 10'| < 108|.
ш'
Положим I = {г : 8г > 0} и т = тт^ тогда существует г € I, на котором этот минимум достигается.
Предположим, что в этом заполнении есть хотя бы одно граничное ребро, вес которого меньше, чем вес соответствующего ребра в в, то есть выполнено < ^ для некоторого I.
ш'
Тогда выполнено 0 ^ < поэтому I € I и т ^ у- < 1. Для люб ого ] будет
{ш' — т ^ ш' — = 0при ] € I, ш' — т = ш' ^ 0при 1 € I,
то есть ш'- ^ 8'т, и так как р + 8 — т,8 = р + «(1 — т) — псевдометрика, то, по утверждению 13, д'-тв является минимальным заполнением пространства р + «(1 — т), у которого граничное ребро при вершине г имеет нулевой вес. По утверждению 6 из этого следует, что г — вырожденная точка этого пространства, соответствующее вырожденное неравенство треугольника по замечанию 3 вырождается в р и в. Тогда 81 = 0, что противоречит 81 > 0.
Таким образом, ^ 81 выполнено для всех г. Тогда так как р — псевдометрика, по утверждению 13, Яявляется минимальным заполнением для р + 8 — 8 = р и 1@'-5| = 1<3'1 — < 10Я1 — = 1<31, что противоречит минимальности ^ для р. □
Теорема 4. Пусть матрицы А и т задают преобразование матриц f: М ^ АМ+т. Тогда это преобразование переводит любую матрицу псевдометрики в матрицу псевдометрики и сохраняет типы Т1 минимальных заполнений, если и только если А = ХЕ для некоторого X ^ 0 а Т является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда.
Доказательство. Если преобразование / переводит любую матрицу псевдометрики в матрицу псевдометрики, то по теореме 3, А = ХЕ для некоторого А ^ 0, а т является матрицей псевдометрики. Так как звезда является одним из типов минимальных заполнений из Т\ для нулевой псевдометрики, а /(0) = т, то одно из минимальных заполнений т — звезда.
Обратно, пусть А = ХЕ для некоторого А ^ 0, а т является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда. Тогда / имеет вид /(М) = ХМ + т, по замечанию 3 матрица /(М) является матрицей псевдометрики, и по утверждению 14, для любого минимального заполнения типа из Т\ для ХМ, а, следовательно и М, среди минимальных заполнений для /(М) есть заполнение того же типа. То есть преобразование / сохраняет все типы Т\ минимальных заполнений. □
4. Преобразования векторов расстояний между различными точками
Пусть теперь псевдометрика задаётся вектором р расстояний между различными точками Р = (P12, p13, . . . , Рп-1,п ), а преобразование задаётся матрицей А и имеет вид р ^ Ар. Как мы увидим ниже, рассмотрение псевдометрики как вектора расстояний между различными точками даёт более разнообразные классы преобразований, сохраняющих типы минимальных заполнений, чем рассмотрение псевдометрики как матрицы.
Замечание 4 ([6]). Обозначим, через К(п) С Мп(п-1)/2 множество всех векторов псевдометрик. Каждое условие неотрицательности и неравенство треугольника задаёт, (замкнутое ) полупрост,ранет,во, ограниченное гиперплоскостью, проходящий через начало координат,
О, поэт,ому К(п) — выпуклый замкнутый конус с вершиной в О. Заметим, что метрикам соответствуют в точности все точки конуса К(п), не лежащие на, координатных гиперплоскостях. В частности, все внутренние точки этого конуса соответствуют метрикам.
Определение 4 ([6]). Объединением мерных граней множества X с назовём такое подмножество Е^(X) в X, что для любой х € Е^ (X) существует лежащий в X шар размерности патек с цент,ром, в х, но не существует лежащего в X шара размерности к + 1 с центром в х. Положим Е(X) = ) и назовём его объединением рёбер. Легко видеть, что Е(К(п)) — объединение лучей с началом в нуле. Каждый из них будем называть ребром К( п)
Лемма 1 ([6]). Для, того, чтобы, линейное отображение А: Мга(га-1)/2 — ^га(га-1)/2 переводило псевдометрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы
А(Е(К(п))) С К(п).
Лемма 2. Для того, чтобы непрерывное отображение А: Мга(га-1)/2 — мга(га-1)/2 переводило метрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило псевдометрику в псевдометрику.
доказате льство. Так как любая метрика является псевдометрикой, достаточность очевидна.
Пусть отображение А переводит любую метрику в псевдометрику. Рассмотрим псевдометрику р и её образ А(р). Для любого г пусть вг — метрика правильного симплекса, все расстояния между различными вершинами которого равны 1/г. Заметим, что р + ,вг — метрика и НтДр + в{) = р. Тогда в силу непрерывности отображения А, имеем А(р) = А( ИшДр + вг)) = Мт1А(р + ,вг). По замечанию 4 множество псевдометрик К(п) — замкнуто, и так как оно содержит А(р + 81) для любого г, то оно содержит и предел А(р) = Нт^ А(р + 81) € К(п). То есть
р □
Лемма 3. Для того, чтобы, линейное отображение А: Мга(га-1)/2 — ^га(га-1)/2 переводило метрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы
А(Е(К(п))) С К(п).
Доказательство. В силу непрерывности линейного отображения А по лемме 2, для того, чтобы оно переводило метрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило псевдометрику в псевдометрику. А по лемме 1, для того, чтобы линейное отображение А переводило псевдометрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы
а(е(К(п)^ С К(п).
□
Замечание 5. Рассмотрим отображение f: р — Ар+т, которое переводит любую мет-(0) =
Утверждение 15. Если отображение f: р — Ар + т переводит любую метрику в псевдометрику, то и р ——У Ар переводит любую метрику в псевдометрику.
Доказательство. Пусть для некоторой метрики р её образ р' = Ар не псевдометрика. Тогда по замечанию 2 существуют такие a, b и с, для которых не выполнено неравенство треугольника, то есть р'аЬ + р'Ьс < р"с. Положим е = р'ас — р'аЬ — р'Ьс, тогда е > 0. Так как по замечанию 5 т — псевдометрика, 6 = тас — таь — тъс ^ 0. Для любого А > —ö/e рассмотрим образ р" метрики Ар, равный f (Хр) = ХАр + т. Тогда
р'ас — р"аЪ — р'ъс = Кр'ас — р'аЬ — РЬс) + тас — ТаЬ — ТЬс = Хе + 8 > °
то есть Хр — метрика, a f (Хр) не псевдометрика, что противоречит условию на отображение
Пример 1. Рассмотрим множество К(3) псевдометрик, заданных на, трёх точках. Так как по замечанию 1 условия неотрицательности следуют из неравенств треугольника, это множество является пересечением 3 полупространств, заданных неравенствами треугольника. Поэтому К(3) является трёхгранным конусом, натянутым на векторы (1,1, 0), (1, 0,1) и (0,1,1). Обозначим через Р матрицу, в столбцах которой записаны координаты этих векторов.
Утверждение 16. Отображение /: М3 ^ М3; заданное как /: р ^ Ар + т переводит любую метрику в псевдометрику тогда и только тогда, когда т является вектором псевдометрики, а матрица А имеет вид А = РАР-1, где А — произвольная матрица с
Доказательство. По замечанию 5 вектор т является псевдометрикой, по утверждению 15 отображение р ^ Ар переводит любую метрику в псевдометрику.
По лемме 3, для того, чтобы отображение вида р ^ Ар переводило любую метрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы образами векторов (1,1, 0) (1, 0,1) и (0,1,1) были псевдометрики. Легко убедиться, что матрица Р, в столбцах которой записаны координаты этих векторов, обратима и задаёт биекцию между положительным октантом и К(3), поэтому матрицу преобразования можно представить как А = PÄP-1 где А = Р-1АР. Поэтому А переводит К(3) в себя тогда и только тогда, когда А переводит положительный октант в себя, что равносильно неотрицательности компонентов А. Следовательно, для того, чтобы отображение вида р ^ Ар переводило любую метрику в псевдометрику, необходимо и достаточно, чтобы матрица А имела вид А = PÄP-1, где А — произвольная матрица с неотрицательными компонентами.
То есть то, что А = PÄP-1, где А — произвольная матрица с неотрицательными компонентами, а г — псевдометрика, является необходимым условием для отображения р ^ Ар + т, чтобы оно переводило любую метрику в псевдометрику. Но оно и достаточное, так как сумма псевдометрик является псевдомерикой. □
Из того, что единственным типом Ti для трёхточечных пространств является звезда, мгновенно следует, что отображения полученного вида являются решением задачи описания всех аффинных отображений, которые переводят любую метрику в псевдометрику и сохраняют все типы Ti минимальных заполнений.
Определение 5 ([6]). Пусть N — сумм,а, положительной диагональной матрицы А = diag(A12, Х13,..., Хп-1,п) и матрицы В с одинаковым,и строками из неотрицательных элементов.
неотрицательными компонентами, а Р =
В [6] были рассмотрены отображения вида р ^ N р. Вообще говоря они не обязаны переводить любую метрику в псевдометрику, но в отличие от преобразований вида р ^ Ар + т, где
критерий для т не требует рассмотрения матрицы А, аналогичные условия на В не были получены. Однако сохранение типов Т\ минимальных заполнений накладывает дополнительные
А
Теорема 5 ([6]). Матрица N вида, А + В в обозначениях 5 сохраняет метрики и минимальные заполнения, типы которых — невырожденные звёзды, тогда и только тогда, когда А
В [6] были рассмотрены линейные отображения общего вида р ^ Ар, но требовалось от них больше: сохранения аддитивности пространств и всех типов минимальных заполнений Т0.
Теорема 6 ([6]). При п ^ 4 л инейное от обра ж ение А переводит аддитивные метрические пространства в аддитивные с тем же невырожденным типом минимального заполне-
А
4.1. Непрерывность веса минимальных заполнений
В этом разделе мы покажем, что функции р ^ mpf(p, G) и mf(p), определяющие вес минимального параметрического заполнения типа G для псевдометрики р и вес минимального заполнения для р, непрерывно зависят от р для любого типа G. Это понадобится для описания минимальных заполнений предельных псевдометрик в следующем разделе.
Определение 6. Пусть G = (V, Е) е Т0(п) — тип заполнения, с границей М = {1,... ,п} для некоторого п е N Обознач им п(п2-^ через I, а, #Е через т, и пуст ь ре R — псевдометрика, то есть р е К(п). На пространсmee RE введём, норму |-|1; равную сумме модулей координат,, а, на, пространстве псевдометрик — норму равную максимуму модуля координат, и соответствующие метрики. Пусть р° — произвольная псевдометрика, такая, что е = |р — р0|те > 0 Введём на пространет,ее Т(Ме) расстояние Хаусдорфа. Пусть отображение g: К (п) ^ T(RE) сопоставляет каждой псевдометрике р множество ü(p, G) е Т(Ме) всех весовых функций параметрических заполнений типа G для, р. Положим, ü = ü(p,G) и ü0 = ü(p0,G). Определим, функцию W: Т(ШЕ) ^ R, положив W (ü) = inf {|w|1 : ш е О}.
Лемма 4. Отображение g в обозначениях 6 является т-липшицевым.
Доказательство. Для каждого граничного пути 7 в G обозначим множество рёбер в 7 через Е(^), а пару (г, j) из начальной и конечной вершины пути 7 через dj. Напомним, что функции М2 ^ R+ принимающие на парах (г, j) и (j, г), г > j значение ij-той координаты К( п) =
К( п)
ü(р, G) = {ш е R+ : ^^ ш(е) ^ p(dj), 7 — граничный путь в G}. еее(7)
Для любых ш € Мь и С € М определим функции ш + С и Се из М , положив (ш + С)(е) = ш(е) + С и Се(&) = С для любого е € Е. При этом расстояние между ш и ш + С равно |Се|1 = |С| т. Положим
Е£(О) = {ш € Ме :ш + £ € О}. Заметим, что Ее(О) С Вте(О). Для любого ш € О0 и любого граничного пути 7 в С выполнено
£ (ш + е)(е)= £ (ш(е)+ е) > £+ ^ ш(е) >р°(д7)+£ > р(д7),
евЕ(^) евЕ(^) евЕ(^)
так как ^ — р0|те = е. Следовательно, ш + £ € О, откуда О0 С Ее(О) С Вте(О). Аналогично, О С Ее(О0) С Вте(О0). Следовательно, йн(О0, О) ^ те. Таким образом, для любого е > 0 и любых псевдометрик ^ — р0|те ^ е выполнено йн(О0, О) ^ те: что означает т-липшицевость отображения д. □
Замечание 6. Для любого О € Т(Ме) тоннам нижняя грань в определении отображения Ш(О) = И : ш € О} достигается, так как для любой ш0 € О выполнено И : ш € О} = И : ш € О П В1Ш01 (0)}; а О П #|Ш0|(0) — компакт.
Лемма 5. Отображение Ш в обозначениях 6 является 1-липшицевым.
Доказательство. Рассмотрим произвольные О, О0 € Т(Ме), для шторых ¿н(О, О0) = е, и пусть минимум нормы по О достигается в точке ш € О. Тогда из йн(О, О0) = £ следует, что для любого 5 > 0 существуют т акая ш' € О0, для штор ой ^ — ^ е + 5. Из этого следует,
Ш(О0) ^ = ^ + ш' — ^ М1 + ^ — ^ М1 + е + 5 = Ш(О) + £ + 5,
то есть Ш(О0) — Ш(О) ^ е + 5. Аналогично получаем Ш(О) — Ш(О0) ^ е + 5, итого ^(О0) — Ш(О)| ^ е + Так как последнее неравенство выполнено для любого 5 > 0, то ^(О0) — Ш(О)| ^ е. Таким образом, ^(О0) — Ш(О)| ^ dн(О0, О), что и означает 1-липшицевость отображения Ш. □
Теорема 7. Пусть С € Т0(п) — тип заполнения, с границей М = {1,... ,п} для, некоторого п € N тогда, вес минимального параметрического за,полнения, типа С для псевдометрики р € К(п) непрерывно зависит от псевдометрики р, то есть функция р ^ тр{(р, С) непрерывна.
Доказательство. Отображение $: К(п) ^ М, переводящее любую псевдометрику р в тр{(р, С), в обозначениях 6, является композицией отображения д: К(п) ^ Т(Ме) и функции №: Т(Ме) ^ М.
По лемме 4, первое отображение т-липшицево, а по лемме 5, второе 1-липшицево, поэтому оба отображения непрерывны. Отображение / как композиция непрерывных отображений является непрерывным, то есть вес минимального параметрического заполнения типа С
непрерывно зависит от псевдометрики. □
Следствие 2. Для любого п € N ее с mf(p) минимального заполнения, для псевдометрики р € К(п) непрерывно зависит от, р.
Доказательство. Так как по замечанию 1 множество Т0(п) — конечно, вес минимального заполнения т{(р) = тт{тр{(р, С) : С € Т0(п)} — минимум конечного числа функций, каждая
из которых непрерывна по теореме 7. Поэтому функция т{(р), как минимум конечного числа
□
Определение 7. Для любого п € N и любой псевдометрики р € К(п) обозначим множество всех типов минимальных заполнений для р из Т0(п) через Тт(р).
Следствие 3. Для любой псевдометрики р € К(п) существует такое £ > 0; что для любой псевдометрики р' € К(п) из £-окрест,ноет,и р выполнено Тт(р') С Тт(р).
Доказательство. Положим Тр = Т0(п) \ Тт(р). По определению, для каждого Сг € Тр, г = 1,..., #Тр выполняется
тр{(р,Сг) > т{(р).
Пусть ö = I inf { mpf(р, Gi) — mf(p) : Gi E Тр}. В силу замечания 1 множество Та(п) — конечно, следовательно эта точная нижняя грань достигается на некотором Gi, поэтомv ö > 0. Так как, по следствию 2, функция mf(p) непрерывно зависит от р, то существует такое £о > 0, что для любой псевдометрики р' E К (п) из £о-окрестности р выполнено
|mf(p) — mf(р')| < S.
А так как по теореме 7 функции mpf(p, Gi) непрерывно зависят от р, то существуют такие £i > 0 1 ^ i ^ #Тр, что для любой псевдометрики р' E К(п) из ^-окрестности имеем
lmpf(p,Gi) — mpf(p',Gi)1 < ö.
Пусть е = min{£i : 0 ^ i ^ #Tp], тогда £ > 0 и для любой псевдометрики р' E К(п) из е-окрестности псевдометрики р выполнено
mpf(p', Gi) > mpf(р, Gi) —ö ^ mf(p) + ö > mf(p'),
то есть среди заполнений для р' типов Gi E Тр, г = 1,..., #Тр нет минимальных, что и требовалось доказать. □
4.2. Минимальные заполнения предельных псевдометрик
Применим полученные результаты для описания минимальных заполнений предельных псевдометрик.
Утверждение 17. Пусть (pk)X=i — сходящаяся к псевдометрике р' последовательность псевдометрик из К(п). Предположим, что для каждой псевдометрики pk есть заполнение типа G E Та (п). Тогда, среди минимальных заполнений для р' также есть заполнение типа G
Доказательство. Рассмотрим все отличные от G графы Gi E Т0(п). Для них будет выполнено
mpf(pk, Gi) ^ mpf(pk, G). Так как, по теореме 7, отображение р ^ mpf(p, G) является непрерывным, то
mpf(p',Gi) = mpf( lim pk,G{) = lim mpf(pk,G{) ^
k^-x k^-x
^ lim mpf( pk,G) = mpf( lim pk,G) = mpf(p',G),
k^x k^x
то есть
mpf( p',Gi) ^ mpf(p',G),
□
n(n — 1)
Определение 8. Для любого вектора р E R 2 с ненулевой суммой координат положим
Р
N (р) =
Si<j pij
N переводит любую псевдометрику р E К(п) \{0} в псевдометрику N(р), которую мм будем
Замечание 7. Как уже было сказано в замечании 4, множество п-точечных псевдометрик
п(п —1) ^_^
К(п) замкнуто. Гиперплоскость п = {р Е R 2 : ^i<j рц = 1} также замкнута, а пересечение Р(п) = К(п) П ■к — замкнуто и ограничено, и, следовательно, компактно. Поэтому любая последовательность в Р(п) имеет сходящуюся подпоследовательность. В частности, для любой псевдометрики р = 0 и любого преобразования псевдометрик f: К(п) \{0} ^ К(п) \{0} последовательность р^ = N(fk(р)^ имеет сходящуюся подпоследовательность pki, причём предел любой сходящейся подпоследовательности принадлежит Р (п).
Следствие 4. Пусть преобразование псевдометрик f: К(п) \{0} ^ К(п) \{0} сохраняет тип G Е Т0(п) минимальных заполнений. Тогда для любой псевдометрики р Е К(п) \ {0} среди минимальных заполнений которой есть заполление mm a G, и любой сходящейся, подпоследовательности pki последовательности pk = N(fk(р)), среди минимальных заполнений предельной, псевдометрики р' = lim^р^ есть заполнение типа G.
Доказательство. Из того, что преобразование псевдометрик f ^^^^^гает тип G минимальных заполнений следует, что для любого натурального к среди минимальных заполнений псевдометрики fk(р) и, следовательно, псевдометрики pk будут заполнения типа G. Применяя к последовательности (pkii утверждение 17, получаем, что среди минимальных заполнений для псевдометрики р' есть заполнение типа G. □
Напомним, что типы Ti типами Т0, v которых степень любой граничной вершины
1
Замечание 8. Для любой псевдометрики р' Е К(п), среди минимальных заполнений для которой есть заполнение
s = ((М U {u}, {uv}veM
типа звезда, также есть минимальные заполнения, любого типа G Е Т1(п), так как G = (V, Е) вместе с весовой функцией, определяемой на, инцидентном, любой вершине v Е М ребре е Е Е как ш(иу), а на внутренних рёбрах как 0, является заполнением того же веса и, следовательно, минимальным. Например, отображение, которое переводит любую псевдометрику в правильный симплекс, у которого все расстояния между различными т очкам и равны 1, сохраняет все типы из Т1.
Далее будем рассматривать отображения, сохраняющие все типы заполнений из Т\.
Следствие 5. Пусть для преобразования псевдометрик
f: К(п) \{0}^ К(п) \{0},
сохраняющего типы Т1(п) минимальных заполнений, существует такая псевдометрика, р', что для любой, псевдометрики р = 0 последовательность pk = N[fk(р)) сходится к р' при k ^ ж. Тогда, среди минимальных заполнений для псевдометрики р' есть заполнение типа звезда.
Доказательство. Возьмём в качестве р произвольную псевдометрику такую, что одно её минимальных заполнений имеет тип звезды, например, правильный симплекс, у которого все расстояния между различными точками равны 1. Так как р = 0, то по предположению, последовательность pk = N(fk(р)) сходится к р' при k ^ ж. Причём так как звезда является типом заполнения из Ti, из сохранения типов Ti следует, что для любого патурального к среди минимальных заполнений псевдометрики fk(р) и, следовательно, псевдометрики pk будут заполнения типа звезда. Применяя к последовательности (pkутверждение 17, получаем, что среди минимальных заполнений для псевдометрики р' есть заполнение типа звезда. □
Утверждение 18. Для преобразования f псевдометрик, сохраняющего типы Т0(п) минимальных заполнений, не может существовать предельной псевдометрики р, что для любой псевдометрики р = 0 последовательность рк = N(fk(р)) сходится к р при k ^ ж.
Доказательство. Для любых различных a,b g M = {1,... ,п} при п ^ 3 рассмотрим два соединяющих M дерева Ga и Сь без внутренних вершин, где в Ga все вершины соединены с вершиной a, а в Сь — с вершиной Ь. Весовые функции ша и шь, тождественно равные 1 на этих деревьях, порождают метрики ра и р^ на M, и, по утверждению 2, взвешенные деревья (Ga, ша) и (Сь, шь) являются минимальными заполнениями для раи рь- Эти типы принадлежат Т0(п) \ Т^п). Пусть предел р существует, тогда, так как по следствию 5 некоторая звезда с весами ш\,..., шп является минимальным заполнением для р', то р аддитивно и
Pij = шг + ш3. (1)
Из сохранения типов минимальных заполнений для ра и рь следует существование минимальных заполнений типов Ga и Сь для р', а из аддитивности р следует, что вместе с некоторыми весами, Ga и Сь являются порождающими деревьями. Для г G {a, b} обозначим через Xi ж yi два различных элемента из M, отличных от г. Из того, что Ga — порождающее дерево для р', следует, что рХаУа = раХа + р'ауа- Выражая расстояния из последнего равенства по формуле (1), получаем шХа + шУа = ша + шХа + ша + шУа, отсюда ша = 0. Аналогично получается, что шь = 0, поэтому раЬ = ша + ша = 0. В силу того, что последнее равенство верно
для любых различных a,b G M = {1,... ,п}, сумма расстояний между различными точками
р
1. □
тора псевдометрики. По теореме 1, оно сохраняет типы Т1 минимальных заполнений. Последовательность рк = N( fk (р)) имеет вид:
р
N (f х (р)) =_р + (1,...,1)k_=_k + (1,..., 1_
U (р)) k\(1,..., 1)|i + Т,г<3ргз ил + рц.
|(1,..., 1)\l + k
Как мм видим,, числит,ель этой дроби стремится к (1,..., 1), а знаменатель к \(1,..., 1)\1 при k ^ ж, поэтому р^ = ^''г) ; т'0 есть предельной метрикой является, правиль-
ный симплекс с равной 1 суммой координат,.
4.3. Преобразования псевдометрик, задаваемые домножением вектора псевдометрики на диагонализируемую матрицу
Замечание 9. Пусть Р — произвольная обратимая матрица. Запишем, матрицу Р в блочной форме: Р = (v 1,..., vm), где (v 1,..., vm) — последовательность векторов столбцов матрицы Р. Тогда для любых Х1,..., Хт G Ш и любого р G Rm выполнено
P diag(Xi,...,Xm)P-1р =
m
= (v 1,..., vm)(Xi(P -1p)i,..., Xm(P -1p)m)T = X3 (P -1p)3v3,
3=1
в частности, p = PEP 1p = ^7=1 (P 1 p)jVj. Для любого 1 ^ i ^ m выполняется
m
Уг = ^ (P -1p)jVj + (P-1Р)гУг,
3=1, j=i
то есть
т
о= Е (р+ ((р-1 ^ - iH
3 = 1, j=i
Так как матрица Р — обратимая, то её столбцы линейно независимы, поэтому из последнего равенства следует,, что (Р-1р) j = 0 для любого j = г, а, (Р-1 p)i = 1. Из этого вытекает, что Рdiag(A1 ,...,Хт)Р-1Vi = XiVi, то ееть Vi является собственным вектором матрицы Р diag(A1,..., Хт)Р-1, соответствующим собственном у значению Xi.
Определение 9. Пусть А — диагонализируемая матрица, наибольшее по модулю собственное значение Хтах которой положительно и имеет кратность 1, а линейное пространство V, натянутое на остальные собственные векторы, не содержит ненулевых псевдометрик. Тогда, для, некоторой обратимой матрицы Р = (v]_,..., vm), где (v1,..., vm) — последовательность векторов столбцов матрицы Р и некоторых Х1,...,Хт £ R выполнено А = Р diag(Ab...,A т)Р 1. По замечанию 9, для любого 1 ^ г ^ т выполняется Av% = XiV%.
Теорема 8. Пусть преобразование псевдом,ет,ри,к задаётся домножением вектора псевдометрики на матрицу А вида 9. Тогда если это преобразование псевдом,ет,рик сохраняет, типы минимальных заполнений, то для ненулевого собственного вектора р', соответствующего значению Хтах, вектор N(р') ^ псевдометрика, для любой псевдометрики р = 0 последовательность N(Апр) сходится к N(р') и среди минимальных заполн,ений, для N(р') есть заполнение типа звезда.
Доказательство. Так как А сохраняет типы минимальных заполнений, то и А = — А сохраняет типы минимальных заполнений. Пусть г таково, что Xi = Хтах, тогдa Vi = ар1 для некоторого а = 0. Заметим, что
А" = Рdiag ((У. . . ()") Р-
Лта.х / \ Лтах J J
и так как по замечанию 9 выполнено р = ^1(Р 1р), то пространство V определяется как V = {р : (Р-1р)г = 0}.
Далее, для любой псевдометрики р с учётом замечания 9 получаем
Х-\ \ ( Хт \ \ 1
lim А"р = lim Р diag(( " ,...,( т^Л Р-1р =
\ \Хтах/ \Хтах) J
(diag (lim ,..., lim Y)) P-1p
V Хтах/ V хтах J J J
Хтах ) \ X.
= Р <11щ(0, 0,1, 0,..., 0)Р-1р = (Р-1р)г Уг = а(Р-1рУр'.
Пусть р = 0. Так как то предположению р /V, то (Р-1р)г = 0. Поэтому
предел Ап р по-
следовательности псевдометрик является ненулевой псевдометрикой а(Р-1р)гр'. Тогда N(р') — также псевдометрика и N (Апр) = N Апр) = N (а(Р-1р)гр1) = N(р') в
силу непрерывности N в точке а(Р-1 р)гр' ■ Таким образом, для любой псевдометрики р = 0 последовательность N(Апр) = N(Апр) сходится к N(р'). Применяя следствие 5, получаем, что среди минимальных заполнений для N(р') есть заполнение типа звезда. □
Теорема 9. Пусть преобразование псевдометрик из Мт задаётся, домножением вектора псевдометрики на, матрицу А вида, 9 с двум,я, собственными числам,и Хтах > Хтгп
> 0. Тогда
если для, ненулевого собственного вектора V, соответствующего значению Хтах, нормированный вектор р' = N (у) — псевдометрика и среди минимальных заполнений для р' есть заполнение типа звезда, то это преобразование псевдометрик переводит любую псевдометрику в псевдометрику и сохраняет, типы Т1 минимальных заполнений.
Доказательство. Пусть г таково, что Xi = Хтах, тогда Vi = ар для некоторого а = 0.
лт
Для ненулевой псевдометрики р положим и = j=i(P 1р)зг!з ш х = (Р 1 р)га, тогда по
замечанию 9,
т т
Р = ^2(Р-1р)№ = ^ (Р~ХР)з%)з + (Р~Хр)^ар = и + хР'.
3 = 1 3 = 1,3 =
По определению, и € V. Покажем, что х > 0. Если и = 0, то так как для р выполнено Рv = ^г<] хрц = х,тох > 0. Если и = 0, то в силу выпуклости множества псевдометрик, для любого А € [0,1] линейная комбинация Ар+(1 — А)р' является псевдометрикой. Подставляя выражение для р, получаем, что А(и + хр) + (1 — А)р = Аи + (1 + А(х — 1))р' является псевдометрикой. Заметим, что ^^ € (0,1] при х ^ 0. Поэтому при А = ^^ эта линейная комбинация является псевдометрикой и принимает значение Аи. Так как А > 0 и и = 0, то Аи €V — ненулевая псевдометрика, что противоречит условию на V. Итак, мы показали, что х > 0.
Матрица А сохраняет типы минимальных заполнений тогда и только тогда, когда А = сохраняет типы минимальных заполнений. Вычислим образ р при заданном матрицей
^тгп
А преобразовании:
Атах 1 1 \ 1
Ар = Р diagf 1,..., 1, ^, 1,..., 1)Р-1р =
^ Л'т.гп. '
р(е + diag (0,..., 0- 1, 0,..., 0))Р-1 р
\ ХтОП '
= р + Р diag (0,..., 0, ^^ - 1, 0,..., 0)Р-1р =
. (Хтах л \ f 1 ч / Хтах л \ f 1 ч / / Хтах \ /
= р+[ х--1)(Р р)%У% = р + ( х--1)(Р р)%ар = р + ( х--1)хP,
^ xmin ' ^ xmin ' ^ xmin '
П гл ^ n Хтах п (Хтах \ /
где третье равенство вытекает из замечания 9. !ак как х > 0 и —--1 > 0, то I —--1 ¡хр
xmin ^ xmin '
— псевдометрика, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда. Тогда Ар — псевдометрика и по утверждению 14, для любого минимального заполнения для р типа из Т\ среди минимальных заполнений для Ар есть заполнение того же типа. То есть преобразование, заданное матрицей А, а следователь но и А, сохраняет все типы Т минимальных заполнений. □
Теорема 10. Пусть преобразование псевдометрик из Rm задаётся домножением вектора псевдометрики на, матрицу А вида, 9 с двум,я собственными числам,и Хтах > Xmin >0 Тогда, для, ненулевого собственного вектора v, соответствующего значению Хтах, нормированный вектор р = N(v) — псевдометрика, и среди минимальных заполнений для р есть заполнение типа звезда, если и только если это преобразование псевдометрик переводит
Т
Т
р
р
соответствующего значению Хтах, нормированный вектор р = N(v) — псевдометрика и среди
ч
Т1
□
Замечание 10. Пусть преобразование псевдометрик из Мт задаётся матрицей N равной сумме положительной скалярной матрицы ХЕ и матрицы В с одинаковым,и строками (Ь1,..., Ьт) из неотрицательных элементов. Положим V = (1, !,..., 1)Т. Тогда матрица N является матрицей вида 9 с двумя собственными Числами Хтах > Хтгп > 0, Причём V ЯвЛЯется собственным вектором, соответствующим значению Хтах.
Доказательство. Положим Хтах = X + ^ Ь^ а Хтп = X, легко видеть, что они удовлетворяют условию Хтах > Хтгп > 0. Заметим что для любого вектора х выполнено
Nx = Хх + b
iXiV,
отсюда
Nv = Xv + ^ hv ={х + ^ b^v = Хт
то есть v является собственным вектором, соответствующим значению Хтах. Пусть вектор х принадлежит гиперплоскости V, ортогональной вектору (Ь1,..., Ьт)Т, тогда ^^biXi = 0 и, следовательно Nx = Хх = Хтгпх, то есть V является собственным подпространством с числом Хтт■ Остаётся заметить, что для любой ненулевой псевдометрики р выполнено ^^ bipi > 0 по определению Л, то есть р £ V, что и требовалось доказать. □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819-836.
2. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении. Матем. сб., 2012, т. 203, N 5, с. 65-118.
3. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. Ижевск, ИКИ, с. 1-424.
4. Ivanov А.О., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. Steiner Froblem and Its Generalizations. CRC Press, 1994
5. Липатов С.Ю., Функции, не меняющие типы минимальных заполнений, Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2015, 42-45
6. S. Yu Lipatov. Metrics transformations preserving the types of one-dimensional minimal fillings. Filomat, 33(4):1081—1089, 2019.
7. Рублева О.В. Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения, Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ., 2012. №2. 8-11. (Moscow Univ. Math. Bull., 67:2 (2012), 52-54).
8. З.Н.Овсянников, От,крыт,oe семейство множеств, для которых минимальное заполнение не единственно, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 153-156.
9. И. Л. Лаут, 3. Н. Овсянников Вид минимальных разветвлённых геодезических в нормированном простра, нет ее определяет, норму , Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 67-77.
10. В. А. Мищенко Оценки отношения Штейнера-Громова римановых многообразий, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 119-124.
11. 3. Н. Овсянников Отношения Штейнера, Штейнера-Громова и суботношения Штейне-ра для пространства компактов в евклидовой плоскости с расстоянием Хаусдорфа, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 157-165.
12. 3. Н. Овсянников Суботношение Штейнера для пяти точек на плоскости и четырёх точек в пространстве, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 167-179.
13. А.С.Пахомова, Критерий непрерывности отношений типа Штейнера в пространстве Громова Хаусдорфа, Матем. заметки, 96:1 (2014), 126-137 [Mathematical Notes, 96:1 (2014), 130-139].
14. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема Плато // Успехи математических наук. — 1992. — Т. 47, № 2.
15. A.Ivanov, and A.Tuzhilin, Minimal fillings of finite metric spaces: The state of the art, Contemporary Mathematics, 625 (2014), 9-35.
16. Одномерные минимальные заполнения, с ребрами отрицательного веса / А. Иванов, 3. Овсянников, Н. Стрелкова, А. Тужилин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. — 2012. — № 5. — С. 3-8.
17. Формула веса минимального заполнения, конечного метрического пространства А. Ю. Еремин Матем. сб., 2013, 204:9, 51-72
18. D. Z. Du, F. К. Hwang, A proof of Gilbert-Pollak Conjecture on the Steiner ratio, Algorithmica, 7 (1992), 121-135. Матем. сб., 2013, 204:9, 51-72
19. M. Gromov, Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., 18:1 (1983), 1-147.
20. Д.Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов, Курс метрической геометрии, Ин-т компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2004, 512 с.
REFERENCES
1. Banks, W.D., Conflitti, A. k, Shparlinski, I.E. 2002, "Character sums over integers with
2. A.O. Ivanov, A. A. Tuzhilin. 2012, "One-Dimensional Gromov Minimal Filling Problem," Matem. Sbornik, 203 (5), 65 (2012) [Sbornik: Math., 203 (5), 677 (2012)].
3. A.O. Ivanov, A. A. Tuzhilin, 2003, Extreme Networks Theory (IKI, Izhevsk, fin Russian]).
4. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. 1994, Minimal Networks. Steiner Problem, and Its Generalizations. CRC Press
5. S. Yu. Lipatov, 2015, "The functions that do not change types of minimal fillings", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh,., no. 6, 42-45; Moscow University Mat,h,em,at,i,cs Bulletin, 70:6 (2015), 267-269
6. S. Yu Lipatov, 2019. "Metrics transformations preserving the types of one-dimensional minimal fillings". Filomat, 33(4):1081-1089.
7. О. V. Rubleva, 2012. "The Additivitv Criterion for Finite Metric Spaces and Minimal Fillings," Vestnik Most Un-ta, Matern., Mekh., № 2, 8 (2012) [Moscow Univ. Math. Bull, 67 (2), 52 (2012)].
8. Z. N. Ovsvannikov, 2013. "An Open Family of Sets That Have Several Minimal Fillings," Fundam. i Prikl. Matem., 18 (2), 153 (2013) [J. of Math. Sei., 203 (6), 855 (2014)].
9. I. L. Laut, Z.N. Ovsvannikov, 2013. "The Type of Minimal Branching Geodesies Defines the Norm in a Normed Space," Fundam. i Prikl Matem,., 18 (2), 67 (2013) [J. of Math. Sei., 203 (6), 799 (2014)].
10. V. A. Mishchenko, 2013. "Estimates for the Steiner-Gromov Ratio of Riemannian Manifolds," Fundam,. i Prikl Matem., 18 (2), 119 (2013) [J. of Math. Sei., 203 (6), 833 (2014)].
11. Z. N. Ovsvannikov, 2013. "The Steiner and Gromov-Steiner Ratios and Steiner Subratio in the Space of Compacta in the Euclidean Plane with Hausdorff Distance," Fundam. i Prikl Matem,., 18 (2), 157 (2013) [J. of Math. Sei, 203 (6), 858 (2014)].
12. Z. N. Ovsvannikov, 2013. "The Steiner Subratio of Five Points on a Plane and Four Points in Three-Dimensional Space," Fundam,. i Prikl Matem., 18 (2), 167 (2013) [J. of Math. Sei., 203 (6), 864 (2014)].
13. A.S. Pakhomova, 2014. "A Continuity Criterion for Steiner-Type Ratios in the Gromov-Hausdorff Space," Matem. Zametki, 96 (1), 126 (2014) [Math. Notes, 96 (1), 130 (2014)]
14. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A., 1992, "The geometry of minimal networks and the one-dimensional Plateau problem", Uspekhi Mat. Nauk. T. 47, No. 2.
15. A. Ivanov, A. Tuzhilin, 2014. "Minimal Fillings of Finite Metric Spaces, The State of the Art", in Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics, ed. O. Musin and A. Bark, series Contemporary Mathematics, v. 625 (AMS Press, RI, 2014) pp. 9-35.
16. A.O. Ivanov, Z.N. Ovsvannikov, N. P. Strelkova, A.A. Tuzhilin, 2012. "One-Dimensional Minimal Fillings with Negative Edge Weights," Vestnik Mosk. Un-ta, Matem,. Mekhan., № 5, 3 (2012) [Moscow Univ. Math,. Bull, 67 (5-6), 189 (2012)].
17. A. Yu. Eremin, 2013. "A Formula for the Weight of a Minimal Filling of a Finite Metric Space," Matem. Sbornik, 204 (9), 51 (2013) [Sbornik: Math., 204 (9), 1285 (2013)].
18. D. Z. Du, F. К. Hwang, 1992 A proof of Gilbert-Pollak Conjecture on the Steiner ratio, Algorithmica, 7 (1992), 121-135.
19. M. Gromov, 1983. Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., 18:1 (1983), 1-147.
20. D. Burago, Yu. D. Burago, S. Ivanov, 2004. A Course in Metric Geometry, Institute of Computer Research, Moscow-Izhevsk, 512 p.
Получено 20.09.2021 г.
Принято в печать 21.12.2021 г.
