Существование ненулевых периодических решений у особого класса систем дифференциальных уравнений с параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Т. Терёхин, О.В. Баева

УДК 517.925

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕНУЛЕВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ У ОСОБОГО КЛАССА СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПАРАМЕТРОМ

В настоящей работе рассматривается неавтономная нелинейная система дифференциальных уравнений с параметром. Изучается вопрос существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений, правая часть которой является Г-периодической функцией по независимой переменной и содержит параметр.

Отметим, что внимание исследователей к теории периодических решений обусловлено потребностью практики, поставившей перед учеными задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Несмотря на то, что теории периодических решений посвящено большое количество работ, разнообразие конкретных систем дифференциальных уравнений с параметром способствует развитию новых способов, позволяющих доказывать наличие у них периодических решений. Представляется существенным определение условий, при которых система дифференциальных уравнений имеет периодические решения, особенно в случае, когда матрица системы линейного приближения зависит от параметра, имеет комплексно-сопряженные собственные значения, действительная и мнимая, части которых при критическом значении параметра обращаются в нуль. При этом нельзя построить традиционным способом, рассмотренным в работах Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [4], Ю.Н. Бибикова [3], Б.П. Демидовича [7], оператор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую. Необходимы методы определения условий существования ненулевого периодического решения у таких систем при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.

1. Постановка задачи

Рассматривается неавтономная нелинейная система дифференциальных уравнений с параметром

|х = (А (А) + X (/,р, х,А,е)) х, (1.1) (1)

|р = ^(е) + Ф(/,р, х,А,е), (1.2)

удовлетворяющая условиям:

а) х е Rт, ре Rp , ее R,, Ае Rд, Rf - 5 -мерное векторное пространство;

б) ц(є)-Р -мерная вектор-функция, А(2)-тхт -матрица, определенные и непрерывные соответственно на множествах Е(80) = {ееRl:|є|<80} и Л(5о) = {ієR*:21 <8};

в) Ф^,ф,х,2,є)-р -мерная вектор-функция, X(^ф,X,2,є)-тхт -

матрица, определенные и непрерывные по совокупности переменных, Т -периодические по t на множестве М(80 ) = [0, Т]х Rp х Мо 8)хЛ{80)хЕ(8),

М0 (80) = {х є Rm : |Х < 80}, Т > 0,80 > 0 - некоторые постоянные числа;

г) на множестве М(80) выполнены неравенства:

||ф(^ф', х, 2', є') -Ф^,ф" , х,2" ,є" )|| < с1 (80) ф ' -ф"| + с2 (80) |2' - 2"| + с3 (80) |є' - є" | , где с1 (80 )^ 0, с2 (80 )^ 0, с3 (80 )^ 0 при 80 ^ 0,

||А (2)||< Я, ||х (^ф,х,2,є)||< L ,

||Х (t,ф ' ,х,2',є')-X (t,ф',х,2”,є’' )||< 11 (80)ф'-ф”| +12 (80 )|2 -2"|+13 (80)|є' - є"|, где 11 (80) ^ 0, 12 (80) ^ 0, 13 (80) ^ 0 при 80 ^ 0,

||А (2)- А (2" )||< г (80) 2 - 2"|, г (80 ) ^ 0 при 80 ^ 0,

причем Ф^ ,ф,0,2, є ) = 0, Х(^ф0,2,є) = 0, 1ітФ(^ф, х,2,є) = 0, 1ітХ^,ф, х,2,є) = 0 равномерно относительно і,ф,2,є на множестве [0,Т]хRp хЛ(80)хЕ(80);

д) на множестве Е(80) справедливо представление ^(є) = Вє+©(є), где В - р х І -матрица, вектор-функция ©(є) удовлетворяет условию Липшица по є с постоянной т (80), т (80) ^ 0 при 80 ^ 0 .

Ставится задача: определить условия, при которых система (1) будет иметь периодические решения.

Следует отметить, что система обыкновенных дифференциальных уравнений

у = В(у)у + /(t,у,у), (2)

где у, / - п -мерные вектор-функции, у = (2,є) - параметр, матрица В (у)

имеет комплексно-сопряженные собственные значения, в ряде случаев преобразуется в систему вида (1). Существует множество различных способов приведения системы (2) к системе (1). Эти способы рассмотрены в работах [3-5]. В частности, система (1) может быть получена из системы (2) введением полярной системы координат.

Пусть С (d0, k) - класс Г-периодических по t вектор-функций

определенных на сегменте [0, Т ], таких, что |Х ^ )||< d0, |Х(/)-Е(ґ )||<к|ґ -ґ\

для любых t',t" є [0,Т], ё0,к - некоторые положительные числа.

Определение 1. Пусть F(г)е С(d0,к). Под решением системы уравнений (1.2) при х = F(г), е е Е(^о),АеЛ(5о) будем понимать определенную и непрерывно-дифференцируемую на сегменте [а, Ь] вектор-функцию г^ рг, удовлетворяющую при любом г е [а,Ь] системе (1.2).

Для решения системы уравнений

р = ,и(е) + ф(г,р,F(г),А,е) , (3)

определенного на [a,Ь] , примем обозначение г ^ рг = рр (г,р0,А,е), где рр (0,р0, А,е) = р0 - начальное значение, р0 е Rр.

Пусть р* е Rр - произвольное, но фиксированное число. Из условия

г) следует, что при х = 0 и е = 0 решением системы уравнений (1.2) является вектор-функция г ^ р = 0 . Тогда на основании теоремы о единственности и непрерывной зависимости решения от начального значения и параметра существуют числа d, 8е (0,80] такие, что для любых |р0| < 8,

F (г)е С ^, к), ееЕ(8), АеЛ(8) система (1.2) имеет решение г ^рр =р(г,р +р),А,е), рр (0,р* +р0,А,е) = р +р0, определенное на сегменте [0,Т], непрерывное на множестве [0,Т]хRp хЛ(8)хЕ(8) и удовлетворяющее неравенству

рЕ (г,р* +р0,А,е)-р*| < 80 для любого г е[0,Т].

Далее для простоты рассуждений положим р* = 0 .

Для системы уравнений (1.2) ставится задача - определить условия, при которых решение г ^ рг = рр (г,р0,А,е) системы (1.2) является Г-периоди-ческим.

Лемма 1. Пусть р" = рЕ (г,р0,А',е'), р" = рЕ (г,р0,А,е" ) - решения системы уравнений (1.2). Тогда при любом г е[0, Т] и для любой фиксированной вектор-функции F (г) е С (d, к) выполнено неравенство

\\р" - р" | < Т, (8)1 А - А |+Т2 (8) |е' - е" |. (4)

Доказательство. Так как вектор-функция г ^ рг = рр (г,р0,А,е) является решением системы (1.2), то имеет место равенство р\ = ^(е)+Ф(г,рг,F(г),А,е).

г г

Интегрируя его, получим |р^ = |(р{е) + ф(^,р^,F(|),А,е)^|.

0 0

г

Поскольку рР (0,р0, А,е) = р0 , то рг = р0 +1(м(е) + ф(|,рi,F(!),А,е)^% .

Тогда согласно условиям г) и д) при любых Л,Л" еЛ(5) и е', е" е Е(5), при фиксированной е С (d, к) и любом (е [0, Т] имеет место неравенство

Цр'-р"|<}||ф(|,р|,р(I),Л',е') + л(е')-Ф(|, р" ,Р(|)Я”,е'" )-л(е'" )||d| <

0

<} (| Ф(|,р|, р (I) ,л',е' )-ф(|,р , р (I) ,Л'',е'' |+| |л(е')-л(е'' )|| )й".

0

Кроме того, ||л(е' )- /и(е'')|| = ||Ве' +©(е')- Ве" - ©(е")|| < (||В|| + т(5))|е' -е"|.

Возвращаясь к неравенству, получим:

Р -р"| < | (с (5)||р| -р"|| + с2 (5) |Я - Л”| + с3 (5) |е' -е"| + (|В|| + т(5)) |е' -е"|)d| <

0

Т

<| (С! (5)|\р"-р" || + с2 (5) Я - Л | + С3 (5) |е'-е" | + (||В|| + т(5)) |е'-е" |)d| =

0

Т

= Т [(С3 (5) + | |В|| +т(5)) |е'-е" |+ С2 (5)1 Л - Л" |] + | С1 (5)|\р[-р" р| .

0

Применяя лемму Гронуолла - Беллмана, имеем:

||ф-р" |< еС1(5)ТТ (с2 (5)| Л - Л" | + (с3 (5) + | |В|| +т(5)) |е'-е" |).

Пусть У1 (5) = еС1(5)ТТс2 (5), У2 (5) = еС1(5)ТТ(с3 (5) + ||В|| + т(5)).

Тогда ||ф -р" |<Т1 (5)| Л - Л' |+У2 (5) |е' - е" |.

Лемма доказана.

2. Некритические случаи

В предположении, что /Л (е) = Ве +©(е), проблема определения условий существования ненулевого Г-периодического решения системы (1.2) сводится к проблеме разрешимости системы уравнений вида

Т

(Ве +©(е))Т + {ф(/,ф„ Р (г) ,Л,е) dt = 0. (5)

0

Теорема 1. Если rangB = р и для системы уравнений (1.2) выполнены условия а)-г), то существуют числа 51, d такие, что для любой вектор-функции е С(d,к) и любого фиксированного вектора ЛеЛ(50) существует значение параметра ееЕ(51), при котором решение системы уравнений (1.2) t ^ ср( = фР (^р0,Л,е) является Г-периодическим.

Доказательство теоремы проводится методом сжатых отображений.

В основе доказательства теоремы о существовании ненулевого периодического решения системы уравнений (1) лежит теорема 2.

Теорема 2. [8] Пусть:

1) К и Л - замкнутые компактные множества некоторых линейных нормированных пространств, К - выпуклое множество;

2) на подмножестве множества К хЛ определен оператор Тл такой, что для любого х е К существует единственное Л е Л, удовлетворяющее включению Тлх е К ;

3) из того, что хп ^ х0, Л ^ Л0, уп = ТЛХП , уп ^ У0, следует У0 = ТЛ0 х0 .

Тогда существуют х* е К, Л еЛ, такие, что х* = Т * х*.

Л

Учитывая, что рр = рЕ (t,рo,Л,е)-Т -периодическое решение системы (1.2) для любой вектор-функции е С (d, к) при некотором значении параметра е, и подставляя их в систему (1.1), получим систему уравнений вида

у = [А (Л)+х (t,Фt, Р (t),Л,е)] У. (6)

Пусть Ур (t,рt,Я,е) - фундаментальная матрица решений системы (6), удовлетворяющая начальному условию Ур (0р, Л,е) = Е, Е - единичная матрица. Тогда решение уР (1,р,Я,е), уР (0,р,Я,е) = а системы (6) определится равенством

Уе (^ф, Л,е) = УЕ (^ф,Л,е)а , (7)

где а - некоторый постоянный вектор.

Для того чтобы решение УР ,Я,е) системы (6) для любой вектор-функции е (t) е С (d, к) было Г-периодическим, необходимо и достаточно выполнения условия

(Уе (Т,рТ, Л,е) -Е)а = 0 .

Следует отметить, что равенство (7) при любом фиксированном Л е Л(5) на множестве С(d,к) определяет оператор

Г(Л) : ЕО1 )^ Уе (t,Pt, Л,е) , который любой вектор-функции е (t) е С (d, к) ставит в соответствие вектор-функцию УЕ (1,р1 ,Я,е).

Теорема 3. [8] Неподвижные точки оператора Г(Л) являются Г-перио-дическими решениями системы дифференциальных уравнений (1.1), принадлежащими множеству С (d, к).

Заметим, что для фундаментальной матрицы решений системы (6) справедливо представление Уе (!р,Я,е) = У (1,Л) + Не (1,ф, ,Я,е), в котором У (!, Л) - фундаментальная матрица решений системы х = А (Л) х, У (0, Я) = Е,

матрица HF (t,q>t,2,е), HF (0, pt,2,е) = 0, является решением системы дифференциальных уравнений вида

HF (t,pt,2,s) = [А(2) + X(t,р,F(t),2,e)J-HF (t,pt,2,s) + X(t,p,F(t),2,е)-7(t,2) (8)

и определяется равенством

t

HF (t,q>,,2,е) = Yf (t,pt,2,e)JYf' (т,рт,2,е)Х(т,рт,F(т),2,е)7 (т,2)dr , (9)

0

причем limHF (t,q>t,2,е) = 0 равномерно относительно t е[0,T], |pt| < 50, 2 еЛ(5),е £ E(5), F(t) £ С(d,k).

Далее предполагается, что при любом достаточно малом значении параметра 2£Л(5) матрица А(2) имеет s действительных собственных

значений у, (2), l = 1,2,...,s, таких, что у, (0) = 0, l = 1,2,...,s и неособенным линейным преобразованием может быть сведена к матрице вида А(2) = diag{L(2),у1 (2),у2 (2),...,ys (2)}, где L(2)- матрица, причем фундаментальная матрица Yl (t, 2) системы у = L (2)у удовлетворяет неравенству det(ZL (T, 0) - E) ф 0 .

Установлено, что существует такая матрица QF (T,q>T,2,е), определитель которой отличен от нуля и не зависит от T,q>T,F(T),2,е [6] и что для любого вектора 2£Л(5), любой вектор-функции F (t) £ С (d, k) матрицу (Yf (T,q>T,2,е)-E)Qf (T,q>T,2,е) можно представить в виде матрицы, (m-s) элементов последнего столбца которой равны нулю, а остальные имеют вид exp (у, (2)T)-1 + ß‘F (T,q>T ,2,е), l = 1,2,..., s , lim ß‘F (T,q>T ,2,е) = 0 равномерно

относительно 2 £ Л(5), ££E(5). Поэтому число d > 0 можно выбрать так, что при любом d* < d и любых 2 £ Л(5) , е £ E(5) \ßlF (T,q>T,2,е)| < q < 1, q > 0 -некоторое число.

Тогда при условии, что вектор-функция у(2) = (у1 (2),у2 (2),...,ys (2)) предКИ)

12

ча определения условий существования ненулевого Г-периодического решения системы (6) для любой вектор-функции F (t) £ С(d, k) сводится к задаче определения условий разрешимости нелинейного уравнения

D2+ o(|2|)+0f (T,pT,2,е) = 0, (10)

ставлена в виде г(2) = /(°)+D2 +о(|2|), где D - sх q -матрица, lim j^1’ = 0, зада-

в котором фр (т,фт ,Г,е) = (1 - р1р (т,фт,Г,е)),..., -^1п(1 - рр (т,фтГ,е)^,

Итфр (Т,фт,Г,е) = 0.

Лемма 2. Пусть выполнено условие г). Тогда вектор-функция фр (т,фтГ,е) при фиксированном р ({) е С(ё,к) на множестве Л(5)хЕ(5)

удовлетворяет условию Липшица по переменным Г,е с постоянными Н1 (5),Н2 (5), где Н1 (5)^ 0,Н2 (5)^ 0 при 5 ^ 0.

Доказательство. Действительно, имеем

ф (т ,ф ,Г,е' )-ф‘р (т ,ф Г',е")|| = 1||1п (1 - рР (т ф ,Г,е'))- 1п (1 - рр (т ф ,Г,е" ))|| .

Используя разложение функции 1п (1 - х) в ряд в окрестности точки х = 0, получим:

||1п(1 - р1р (т,ср’т ,Г,е’))- 1п(1 - р1р (т,ср”т,Г, е"))|| =

ч р1 (тфГ,е')]2 [р1 (т,ф'тГе')]3 ,,

-рр (т,фТ,Г,е')-^ ^ п—... + рр (т,фф,Г,е" ) +

+ р (т,ф",Г',е'')]2 + [р (т,ф,Г'ет )]3 +

= 1 \р‘р (т,фт",Г,е'" )-р‘р (т,ф’ ,Г,е') +

^р'р (т,ф",Г,е")]2 [рр (т,ф",Г,е')]2 [рр (т,ф,Г,е")]3 [ррр (т,ф",Г,е')]3

+-------------------------------------------1-----------------------------------------Г ...

2 2 3 3

II ,, ,, ч рр (т,ф",Г",е") + рр (т,фТ,Г,е')

= ||(рр (т,ф,Г,е")- рр (т,ф'т,Г,е')) • [1 +ИрК Гт— 2 +

+ [рр (т,дф,Г,е")]2 + рр (т,ф",Г,е")р’р (т,ф",Г,е') + [ррр (т,ф",Г,е')]2 + ]

3 ..

<1 рр (т ф Г' ,е'' )- рр (т ,ф" Г',е' )||

1 + рр (т,ф"Г',е'') + рр (т,ф",Г,е') +

2 ...

Поскольку величина р‘р (т,фт ,Г,е) ограниченная (|рр (т,фт ,Г,е)| < q < 1), то ||1п(1-рр (т,фГ,е’))- 1п(1-рр (тфГ'е'))||<(1+ц(5))^||ррр (т,ф,Г,е')-рр (тффГ\е’')|| где ц (5) ^ 0 при 5 ^ 0.

Так как вектор-функция г ^ у = ур (/ф, Г,е) является решением системы

у = (А (Г)+Х ^ф" р (*)Г,е)) у = (А (Г)+Хр (г,ф,Г,е)) У,

то при любом г е [0, т] выполняется равенство

Ур (г,ф„Г,е) = (А(Г) + Хр (г,ф,Г,е))Ур (г,ф,,Г,е).

Интегрируя это равенство, запишем

2

3

Ур (г,ф,,Я,е) = а+|[А(Я) + Хр (т, фт,Я,е)]ур (т,фт,Я,е)ёт.

0

Пользуясь свойствами нормы и условием г), получим:

г

\ур (г,ф,,Я,е)| = а +1[А(Я) + Хр (т,фг,Я,е)]ур (тфЯе)ёт

0

г

< |а| +Л|А(Я) + Хр (т,фт,Г,е)||Ур (т,фт,Г,е)|ёт <

0

г

< |а| + |(||А (Я)|| + | |Хр (т,фт,Г,е)||)| Ур (т,фт,Г,е)| ёт <

0

т

< |а |+КЛ +1)|Ур (т ,фт,Я,е)|ёт.

0

Тогда по лемме Гронуолла - Беллмана имеем

|ур (г,ф,, Г,е)|< |а|е(к+1)т. (11)

Рассмотрим решения системы (6):

г

Ур (гф, Г е ) = а +|[ А (Я') + Хр (тфГ ,е )]ур (т,фт,Г,е') ёт,

0

г

уЕ (г,ф" Г,е") = а +|[А (Я) + Хр (тф ,Г,е")]ур (тфЯ",е")ёт.

0

Оценим их разность

||ур (г,ф", Г,е')-Ур (г,ф”,Г ,е" )|| = }[А (Г)+Хр (т,ф’",Г,е’ )]ур (т,фт,Г,е)ёт-

0

-|[ А (Я )+ Хр (тф , Я" ,е" )]ур (тф ,Я" ,е" ) ёт =

0

} (А (Г) ур (т,ф",Я',е')-А (Я'' ) ур (тф ,Я'' ,е'' ) +

0

+Хр (т,ф'т,Я',е')Ур (т,ф'т,Я',е')-Хр (т,ф’тЯ,е" )Ур (т,ф”т,Я”,е" ))ёт|| <

< Л А Я ) Ур (т,ф'т, Я',е')-А (Я" ) ур (тф Я ,е" )+Хр (т,фт,Я',е') Ур (т,ф'т,Я',е')-

0

-Хр (т,ф”тЯ,е" )Ур (тфЯ" ,е" )||ёт =

= } (| А (Я) ур (тф, Я',е')-А (Я') ур (тфЯ'',е'' )+ А (Я) ур (т,ф;,Я'',е'' )-А (Я'' ) ур (т,ф;,Я'',е'' )-

0

+Хр (т,фт,Я’,е’)Ур (т,фт,Я’,е’)-Хр (т,ф”,Г,е')Ур (тф ,Я" ,е" ) +

+Хр (тфтЯе') ур (т,фT' ,Я" ,е" )-Хр (тфт Я ,е" ) Ур (т,фT' ,Я" ,е" )|| )ёт =

= } (| А(Я)[ Ур (т,фт,Я',е')-Ур (т,ф;,Я''е'')] + Ур (т,ф;,Я'',е'')[А (Я)-А(Я'' )] + Хр {тф^Яе' )•

•[Ур (т,ф",Я,е')-Ур (т,ф”тЯ,е" )] + Ур (т ,ф",Я,е" )[Хр (т ,ф'т,Я,е)-Хр (т ,фт',Я",е)]||)ёт =

г

= | (||(А(Я) + Хр (тф ,Я’,е’ ))[ур (т,ф ,Я’,е’)-ур (тф"',Я''е'')] + ур (тф"',Я''е''){[А(Я')-А (Я'')] +

0

+[Хр (т,ф",Я',е')-Хр (тф"'Я,е" )]}||)ёт <

г

< | (|(А(Я) + Хр (т,ф" ,Я',е' ))|| •( ур (т,ф" ,Я',е') - ур (тф Я ,е” )| +| Ур ("ф Я ,е’ )| {Ца(Я) - А(Я" )|| +

0

+ ||Хр (т ,ф",Я’,е’)-Хр (т ф"Я,е" )||})ёт <

т

([(А(Я')| + ||(тф,Я,е '))|] '|Ур (т ,ф,Я,е')-Ур (т,ф",Я,е)| + |Ур (т Ф,Я",е'')|{|А(Я')- А(Я")|| +

0

+|Хр (т ,ф",Я,е')-Хр (т,ф"'Я',е")|})ёт .

Учитывая условие г) и неравенство (11), получим:

||ур (г,фг',Я',е')-Ур (г,ф'!,Я",е'')||< I([Л +1]|Ур (тф" ,Я',е')-Ур (тф",Я'',е'')|| +

0

+ а I е(Л+1)т {г (5) |Я - Я”| +11 (5)\ф" - ф"| +12 (5) Я - Я"| +13 (5) |е' - е"|})ёт .

Поскольку, согласно лемме 1, справедливо неравенство

ф" -ф" < Т1 (5)|Я - Я"| +У2 (5) |е' - е"|, то

||ур (г,фг',Я',е')-Ур (г,ф",Я",е'')||< I([Л +1]|Ур (" ,ф",Я',е')-Ур (" ,ф"" ,Я'' ,е'" )|| +

0

+1| е(Л+1)т{(г (5) +12 (5)) |Я' - Я" |+/ (5)(У1 (5) ¡Я - Я" |+У2 (5) |е'-е" |) +13 (5) |е'-е" })ёт =

= |([Л +1]|Ур (" ,ф",Я' ,е')-Ур (" ,ф"',Я'' ,е'' )|| +

0

+1|еЛ+1)т {(г (5) +12 (5) +11 (5)У1 (5))Я - Я"| + (11 (5)У2 (5) +13 (5))|е'-е"|}ёт . Применяя лемму Гронуолла - Беллмана, имеем ||ур (г,фг',Я,е')-ур (г,ф',Я" ,е" )|| < II те2(Л+1)т {ж1 (5)1 Я - Я| + N (5)|е' - е"}, где N. (5) = г(5)+ /2 (5) + / (5)У, (5), N2 (5) = / (5)У2 (5)+ /3 (5).

Обозначая || те2(я+1)TN1 (5) = Н1 (5), II те2Л+1)TN2 (5) = Н2 (5), запишем ||ур (гф, Я,е')-Ур (г ,ф',Я' ,е" )|| < н (5)1 Я - Я" 1 + ^2 (5)1 е' -е" |.

Тем самым убеждаемся, что решение системы (6) (и, следовательно, элементы матрицы Ур (г,ф,Я,е)) на множестве Л(5)хЕ(5) удовлетворяет

условию Липшица по переменным Я,е . Поскольку имеет место равенство (9), то при фиксированной вектор-функции р (г) еС(ё, k) элементы матрицы Нр (г,ф,Я,е) также на множестве Л(5)хЕ(5) удовлетворяют условию Липшица по переменным Я,е с постоянными 31 (5), 32 (5), 31 (5) ^ 0,52 (5) ^ 0 при 5 ^ 0, то есть выполняется неравенство

\p‘F (T,q>'T,X',e')- P‘F (T,р",Г',e'' )|| < 31 (5)|2' - Г |+32 (5)\s'-e"|.

В итоге получаем

||ln (1 - PF (T ,рр ,r,e’))- ln (1 - PF (T ,р" ,Г ,e" ))|| < (l + ^(5)){3 (5)\Г - Г \ + 32 (5)\e' -e" } =

= ц (5)| Г - Г | + u2 (5)\e'-e" |,

где u1 (5)^ 0,u2 (5)^ 0 при 5 ^ 0.

Таким образом,

\\фЕ (T ,р" Г',е' )-фЕ (T ,р" ,Г , e" )|| < 1{l>1 (5) |Г - Г | + o2 (5) |e' - e" } =

= H1 (5)| Г - Г |+ H 2 (5) |e'-e"}, в котором H1 (5) ^ 0, H2 (5) ^ 0 при 5 ^ 0 . Следовательно, вектор-функция фЕ (T,рт,!,e) удовлетворяет условию Липшица по переменным Г и e с постоянными H1 (5) ^ 0, H2 (5) ^ 0 при 5 ^ 0 . Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть:

1) система уравнений (1) удовлетворяет условиям а)-д);

2) в условии г) rangB = p ;

3) вектор-функция у (Г) представлено в виде у(Г) = D1 + о (|Г), где D -s х q -матрица, вектор-функция о (|Г) удовлетворяет условию Липшица по Г с постоянной p(5), p(5)^ 0 при 5 ^ 0;

4) rangD = s .

Тогда существуют число d > 0 и значение параметра v* = (l*,e*) такие,

что система уравнений (1) имеет ненулевое Г-периодическое решение из класса C (d, k).

Доказательство. Рассмотрим второе уравнение в системе (1). Для того чтобы решение р, = cpF (t,p0,l,e) системы (1.2) было Г-

периодическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

T

^(e)T + j®(t,pt,F(t),T,e)dt = 0 . (12)

0

Согласно условию г) и условию 2) теоремы, равенство (12) примет вид

1 t

e1 =-B^(B2e2 + " j [®(t,Pt, F (t) ,Ke)+®(e)]dt , (13)

T0

где B1 - неособенная p х p -матрица, B2 - p x(l - p) -матрица, e = colon (e1,e2), e1 - p -мерный вектор, e2 - (l - p) -мерный вектор.

Тогда по теореме 1 существуют числа ё > 0,51 > 0 такие, что для любой вектор-функции р (г) е С(ё,к) и любого фиксированного ЯеЛ(50) существует значение параметра е = (е1,е2)еЕ(51), где е1 - единственная

неподвижная точка оператора, определенного равенством (11) для фиксированного е2, при котором решение ф, = фр (г,ф0,Я,е) системы (1.2) является Г-периодическим.

Таким образом, определена вектор-функция е = Т(р,Я), являющаяся

неподвижной точкой оператора Г при фиксированном Я , то есть Ге = е . Меняя Я , будет меняться е . Следовательно, е - функция от Я .

Докажем, что е (Я) удовлетворяет условию Липшица по переменной Я . Действительно,

|е (Я )-е(Я2 ^ =|Г р (Я1 )е(Я1 )-Гр (Я2 )е(Я2 )\ =|Г р (Я1 )е(Я1 )-Г р (Я1 )е(Я2 ) +

+ Г р (Я1 ) е (Я2 )-Г р (Я2 ) е (Я2 )| <^1 '(л)- е (Я2 )|+^2 Я - Я2 | ,

или

|е (Я ) - ' (Я2 )| < ^1 |е (Г ) - ' (Я2 )| + ^2 Я - Я2 | .

Откуда получаем

|е(Я1 )-е(Я2 )\<~Г2~ |Я1 - Я2 I .

1 -цх

Фиксируем вектор-функцию р (г) из некоторого класса С (ё, к). Подставив решение ф = фр (г,ф0,Я,е) и вектор-функцию р (г) е С (ё, к) и вектор е(Я) в систему (1.1), получим систему (6), решением которой является вектор-функция ур (г,ф, Я,е), определенная равенством (7).

Для того чтобы вектор-функция ур (г,ф, Я,е) была Г-периодическим решением системы (6), достаточно, чтобы вектор Я удовлетворял равенству

£>Я+ о(|Я\)+фр (т,фт,Я,е(Я)) = 0. (14)

Так как по условию теоремы гangD = я, то для простоты рассуждений будем считать, что матрицу D можно представить в виде: D = [А1, Д2 ], det А1 ф 0. Матрица D размерности я х q, А1 - я х я, Д2 - я х ^ - я).

Пусть Я = со/опГ Я), где Г - я -мерный вектор, Я2 - q - я -мерный вектор. Тогда уравнение (14) примет вид

А' + А2Я2 + о (|Я|) + фр (т, фт ,Я,е (Я)) = 0 . (15)

Поскольку матрица А1 неособенная, то уравнение (15) можно представить в виде

Г = -А! (А2Я2 + о (|Г) + фр (т,фт, Я,е (Я))).

Определим оператор £ равенством

£Я1 = -(А1) 1(А2Я2 + о(IЯ|) + фр (т,фг,Я,е(Я))).

Докажем, что оператор £ имеет единственную неподвижную точку, то есть существует единственный вектор Г , такой, что £' = Г .

о (Я) _ , ,

Так как Цт ^ = 0 , то выберем такое число 51 > 0, что при всех Г < 51

я^° г

выполняется неравенство

51

Kl Я<:

31 д-11

Тогда для любого Я , такого, что Я < 8 справедливо неравенство

Цд-'о (I я|)||< 3^1. (16)

Из того, что Иш(Д2Л2) = 0, следует существование такого числа 8', что

Я < S' < и

Цд-'даЦ < ^ (17)

Обозначим Л1 (5) = {я: Я | < 5}.

Зафиксируем |Я21 < 5.

Согласно условию lim ß1 F (T ,рт, Л,е) = 0 равномерно относительно Л,

тогда число d выберем таким образом, что для любой вектор-функции F (t) e C (d, k) имеет место неравенство

Цд-Vf (т,р , Я,е(Я))|| < ,151. (18)

Учитывая неравенства (16)—(18) получим, что для любых Я, таких, что Я < 5, F (t)e C (d, k) и фиксированных |Л2| < 51

ря || = Цдг1 (о(| Я)+Д 2л2 + ФЕ (т, рт, л, s (л)))|| < Цд^о (| я |)||+1| дг1 д 2л2 ||+

+||Д1 1^f (т ,рт, я^(я))|| < 35 + 35 + 351 = 51.

Таким образом, для фиксированных |Л2| < 51 и для любой вектор-

функции F (t) e C (d,k) оператор S отображает множество Л1 (51) в себя.

Докажем, что оператор S является сжимающим на множестве Л1 (51) при фиксированных

F(t)e C(d,k) и |Я2| < 51.

Возьмем произвольным образом ЯГ" е Л1 (51). Пусть Г = colon(Я,Г*) , Г = colon (г"Г2) .

Согласно условию 3) теоремы и лемме 1 на множестве Л1 (51) справедливы неравенства:

||o (| Г|)-o (| Г |)||< p (5)1 Г - Г |, hF (T ,рт, X\e(X' ))-фг (T ,рт Г” ' ))||< H1 (5)| Г - Г |+ H 2 (5)\e(X’ )-e(X’' )| ] <

< H (5) |Л' - Г |+ H2 (8)-^-|Л' - Г|] = H1 (5) + H2 (8)-^- |Л' - Г| = H (5) |Л' - Г 1 -Лі I 1 -Лі)

Л_2_

-ЛІ

где р(8)^ 0, Н (8)^ 0 при 8 ^ 0.

Выберем число 8' таким образом, чтобы для любого 8 є (0,8'] имело место неравенство ||д-1||(р(8) + Н(8))<р < 1.

Тогда для любых Я Я єЛ1 (81) при фиксированных Р (') є С (d, k) и \Я\ < 81 выполняется неравенство

БЯ - БЯ <||Д-1|| •( Н (8) + р (8))-| Я - Я'||< Р\Я - Я || = р Я - Я , где р < 1. То есть оператор Б при фиксированных Р (<) є С (d, k) и Я| < 81 является сжимающим на множестве Л1 (81).

Таким образом, мы установили, что существуют числа 81 и d такие, что для любой фиксированной вектор-функции Р (') є С (d, k) и для любого фиксированного |Я2| < 81 оператор Б переводит замкнутое ограниченное выпуклое множество Л1 (81) в себя и является сжимающим оператором.

По теореме Банаха оператор Б имеет единственную неподвижную точку во множестве Л1 (81), являющуюся решением уравнения (10), то есть существует единственный вектор Я : |Я| < 81 такой, что БЯ = Я .

Это означает, что для любой вектор-функции Р (') є С (d,k) существует единственный вектор Я єЛ(81), Я = (Я, Я), где Я - единственная неподвижная точка оператора Б, координаты Я - фиксированные. При таком векторе т -й столбец матрицы (Гр (Т, рТ Я, є (Я)) - Е) • Qp (Т, рт Я,є (Я )) обращается в нуль.

Пусть с - т -мерный вектор, первые (т -1) -координаты которого равны нулю, а т -координата отлична от нуля. Тогда

(Гр (т, рТ Я, є (Я)) - Е) • Qp (т, рт, Я, е (Я)) с = 0.

Положив а = Qf (т,pT,l,e(X))c, получим, что выполняется равенство

(yf (т ,рт, X,e(X))-E )а = 0.

Следовательно, yF (t,Pt Д,e(Д)) = Yf (t,Pt Л^)^ QF (" ,Pt Лe(Д)) c - " -

периодическое решение системы (6). А так как c ф 0, то это решение является ненулевым.

Кроме того, функция yF (t,pt ,X,e(l)), где t е[0, T], |pt| < 50, ГеЛ(51), определяемая равенством (7), принадлежит множеству C (d, k). Действительно,

yF (t,Pt Д,e(Щ = Yf (t,Pt ,Г,e(Г))• Qf ("P" ,Г,e(Г))• c <

< ||Yf (t, Pt, Г, e (Г ))|| • | Qf (", PT, Г, e (Г))|| • |c|.

Поскольку величины Yf (t,Pt,l,e) и Qf (T,pt,!,e) ограниченные, то

Yf (t, Pt ,Г,e(Г))• Qf ("Pt , Г e (Г )| < Yf (t, Pt, Г e (Г))|| • | Qf (TPt , Г e (Г ))|| = P ,

где P = sup ||yf (t,Pt,Дe(л))||• supQf (t,pt,X,e(X))z\. Тогда

te[0,T ]H V V ''W |z| <1 I V V П I

yF (t, P,, Г, e (Г ))| < ||Yf (t, P,, Г, e (Г ))|| • |Qf (t, Pт, Г, e (Г ))|| • |c| < Pc .

Кроме того,

yF (t,Pt, l,e (l))|| < (|A (Г)||+ X (t,Pt, F(t),X,e(X)) )• yF (t,Pt,X,e (Г)|| < (R + L)Dc .

Следовательно, за счет выбора вектора c можно добиться выполнения неравенств Pc < d, (R + L) Pc < к .

По теореме Лагранжа о среднем значении имеем

yF (t ',Pt ,T,e (Г))- yF (t '' ,Pt,T,e (я))|< yF (t,Pt,T,e (Г))^ |t' -1"| < к\t' -1 "|,

что окончательно доказывает принадлежность функции yF (t,Pt Д,e(Д)) классу C (d, k).

Матрица X(t,Pt,F(t),д,e(д)) равномерно относительно t е[0,T]

и |pt| < 50 непрерывна на множестве C(d,k)хЛ(51), матрица а(Г) непрерывна на множестве Л(51). Поэтому оператор Г(Г), определенный равенством (7), непрерывен на множестве C (d, k )хЛ(51) и при любых

(F (t), Г, e (Г))е C (d, k)хЛ(51) Г(Г)F (t) = yF (t,pt Д,eД)) .

Таким образом, получаем, что существуют числа d > 0,51 > 0 такие, что на множестве C(d,k)хЛ(51) оператор Г(Г) непрерывен и для любой вектор-

функции F (t) е C (d, k) существует единственный вектор Д еЛ(51), удовлетворяющий соотношению г(Л)F(t) = yF (t,pt,X,e(X'j)e C(d,k). Тогда по теореме 2 существуют вектор-функция F*(t)е C (d, k) и вектор Г еЛ(51) такие, что F*(t) -неподвижная точка оператора г(л*) , то есть F*(t) = YF. (t,ptГ*. Так как

F* (t) = YF,(t,pt,T* ,e(l*))a, а = Q^ (",pr*,e(!*))• c ф 0, то по теореме 3 F* (t) - ненулевое Г-периодическое решение системы (1.1) при Г = Г.

В итоге получаем, что существует такое значение параметра

V» = (г* ,e*), где e* = e(2*), что F* (t) = Yp, (t,pt, Г ,e*)- Qp,(t,pt ,Г ,e*)- c — T -периодическое решение системы дифференциальных уравнений (1), то есть F* (t) — решение уравнения x = [A(Д)+X(t,p,x,1,e)]x, p = px (t,p0,1,e)

при v = v* . Теорема доказана.

3. Критические случаи

Предположим, что в условии д) вектор-функция ©(e) представлена равенством ©(e) = fk (e) + o(|e\k), где fk (e) — вектор-форма порядка k относительно вектора e , k > 2. Тогда уравнение (5) можно записать как

Be+ fk (e) + o(|^) + 8f (Pt,2,e) = 0, (19)

o (| e\k ) 1 "

где ^ | k ^ gF (Pt, 2,e) = " ÍФ(t, Pt, F (t) ,2,e) dt .

e^ el " 0

Пусть rangB = r1,0 < r1 < p . Элементарными преобразованиями системы (19) и заменой переменных e = pe , р > 0, e(|e| < <j1) , а1 > 1 система (19) сведется к системе вида

N(e) + O (рe|) + hF (p,pt ,Д, e) = 0, (20)

где N(e) = colon(B’e,f"(e)) — вектор-форма, B' — матрица, limO(p\e|) = 0 равномерно относительно e(|e| < <j1) , limhF (p,pt, Д, e) = 0.

Теорема 5. Если N(e)ф 0 при любом e(|e| = 1), то существует число d > 0 такое, что для любой вектор-функции F (t) е C (d, k), любого фиксированного вектора Д е Л(50) в любой окрестности точки e = 0 существует множество, для любой точки e которого решение t ^ pt = pF (t,p0,1,e) системы уравнений (1.2) не является Г-периодическим решением.

Доказательство. Пусть для любого e(|e| = 1) вектор-форма N(е)ф 0. Так как |N (e) - непрерывная вектор-функция на замкнутом и ограниченном множестве {e: |e| = l}, то по теореме Вейерштрасса существует число m > 0 такое, что для любого вектора e(\e\ = 1) |N(e) > m .

Поскольку limO(p\e|) = 0 равномерно относительно e(lei = 1), то суще-

p^0 VII/ II

ствует число p о > 0 такое, что для любых e е {e : |e| = l}, ре (0, ро] выполняется неравенство 0(Р e )< f.

Зафиксируем ~ < Р0 .

Согласно условию г) limФ(^р,х,Я,е) = 0 равномерно относительно

х^0 ' ^

t, ф, А, s . Тогда число d > 0 выберем таким образом, что для любой вектор-функции F (t) e C (d, k) справедливо

|äf (р, Фt,А, e)< f.

Следовательно, для любого e(|e| = 1), любой вектор-функции F (t) е C (d, k) и фиксированного ~ < Р0 имеет место неравенство

|N(e) + °(р|e|) + hF (p фt, А e) > |N(e) - |o(p|e|) - |hF (p фt, А e) > m - m - m = m > 0.

Это значит, что при любых F (t) е C (d, k), p = ~ на множестве {e: |e| = 1} нет ненулевых решений системы уравнений (20).

Таким образом установлено, что для любой вектор-функции F (t)е C (d,k) на множестве G = {s: s = ~e, |e| = 1, p < Р0} нет ненулевых

решений системы (19).

А это означает, что существует число d > 0 такое, что для любой вектор-функции F (t) е C (d, k), любого фиксированного вектора АеЛ(§ 0)

и любого вектора se G решение t ^ pt = pF (t,p0,X,s) системы (1.2) не является Г-периодическим решением. Теорема доказана.

Таким образом, необходимым условием существования Г-

периодического решения системы (1.2) является наличие такого вектора

e* (| e* | = 1), что N (e*) = 0 .

Если необходимое условие выполнено, то, раскладывая вектор-функцию f" (e) в окрестности точки e = e* по формуле Тейлора и вводя

замены переменных e - e* = z , |z| < CT2, a2 > 0 - некоторое число, получим

систему уравнений

Sz + ^Pj (e*,z) + O(p|z + e*|) + hF (p,q>t,2,z + e*) = 0 , (21)

j=2

в которой S = colon (B', D (e*)) - матрица, rangB' = r1, D (e*) - значение матрицы Якоби вектор-формы f" (e) в точке e*(|e* | = 1), Pj (e*, z) - вектор-форма порядка j относительно вектора z .

Теорема 6. Пусть:

1) система уравнений (1) удовлетворяет условиям а)-д);

2) в системе уравнений (21) rangS = p ;

3) выполнены условия 3) и 4) теоремы 4.

Тогда существуют число d > 0 и значение параметра v* = (2*,s*) такие,

что система уравнений (1) имеет ненулевое Г-периодическое решение из класса C (d, к).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4. Аналогично исследуется случай, когда rangB = 0 [1].

Далее пусть в системе (10) rangD = r2, 0 <r2 < s .

В этом случае предполагается, что вектор-функция у (2) представлена в виде

у(2) = D2+bk (2) + о(|2\к), (22)

где bk (2) - вектор-форма порядка k относительно вектора 2 , k > 2, lim v k ’ = 0.

2^> |2k

Элементарными преобразованиями системы

D2 + bk (2) + о(|2|к ')+фF (T,q>T,2,s) = 0 (23)

и заменой переменных 2 = pu , p > 0, |u| < а3, а3 > 1 - некоторое число, данная система (23) сведется к системе

P(u) + O(p |u|) + ф"Е (p,pT,u,s') = 0 , (24)

где P(u) = colon (д U, bk (u)) - вектор-форма, Д' - матрица, lim O (p\u| ) = 0 равномерно относительно u(|u| < ст3), Итф^ (p,pT,u,s) = 0.

Теорема 7. Если P(u)ф 0 при любом векторе u (|u| = 1), то существует число d > 0 такое, что при любой F (‘) 6 C (d, к) в любой окрестности точки 2 = 0 имеется множество, в котором нет ненулевых решений системы уравнений (23).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 5.

Таким образом, необходимое условие существования ненулевого решения уравнения (23) определяется наличием вектора u* (|u*| = 1) такого,

что P(u*) = 0 .

Разложив вектор-функцию b' (u) в окрестности точки u = u по формуле Тейлора, получим

к

bk(u) = D(b'k(u*))(u -u*) + XPj (u*,u -u*) ,

j=2

где D{b"k (u*)} - значение матрицы Якоби вектор-формы b' (u), вычисленное в точке u , pj (u*,u - u*) - вектор-форма порядка j относительно вектора u - u . Введем замену переменных u -u*= x, |x| < a4, a4 > 0 - некоторое число.

Тогда получим систему уравнений

к _

Lx + xPj (u*, x) + 0(px+ u*|) + Pf (ppt ,x + u*,s) = 0, (25)

j=2

в которой L = colon (д ', D (b'l (u*))) - матрица.

Теорема 8. Пусть:

1) для системы уравнений (1) выполнены условия а)-д);

2) в условии д) rangB = p ;

3) вектор-функция у(2) представлена в виде у(2) = D2+ bk (2) + o(2|k), где rangD = r < s , вектор-функция o (|2|k) удовлетворяет условию Липшица

по 2 с постоянной p(2), p(2)^0 при 5 ^0;

4) rangL = s .

Тогда существуют число d > 0 и значение параметра v = (2,s) такие,

что система уравнений (1) имеет ненулевое T -периодическое решение из класса C (d, k).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4.

Теорема 9. Пусть:

1) для системы уравнений (1) выполнены условия а)-д);

2) в системе уравнений (21) rangS = p ;

3) выполнены условия 3) и 4) теоремы 8.

Тогда существуют число d > 0 и значение параметра V = (2,s) такие,

что система уравнений (1) имеет ненулевое T -периодическое решение из класса C (d, k) .

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4.

Случай, когда rangD = 0, исследуется аналогично [2].

Замечание. Если в уравнении (1.2) ц(е) = 0 на множестве е(5) , то,

Т

предполагая, что ,F(?),2, е)# = 0 определяет функцию е = еЕ (Я,р0)

0

на множестве |2| < 8 , |р0| < 8, получим, что вышеизложенная теория остается справедливой.

Пример.

Рассмотрим систему вида

х = (^(х) + X (ґ, ф, х, X, є))х, ф = ц(є) + ф(ґ, ф, х, X, є),

(26)

в которой

1 + х

А(Х) =

4

0 2Хі — X 2 + ЗХ2 + Х3

0

0

х 2 — х з + 3X3 + 4X1X2

0

0

0

X — - ^ + 2^^ —X2 +X3

2

— 2

X (ґ, ф, х, X, є) =

х^- sinґ х-х2Єі х2хз (cosґ + sinф—) х^^

X4X2 cos ґ

х2 х3є 2

-хз (sin ґ + cos ф 2 ) х2 X2,Єl

2

є1 22

XlXз sinф— хзх4є— є2 х2х4 (cos ґ + ^ ф2 ) XзX'3є2

X2XlX4 cos ф2 х-х4є2 х^2 ^іпґ + sinф—) х^4Є2

ц(є) =

є1 +є 2

є- + є,

V 2 1 у

6 1 ( , ф(ґ, ф, х, X, є) =

XlXl (1 + ^ ґ) + х^2Є1 + хзх4є2 sinф1 х2X з (1 — sin ґ) + х^ 4Є 2 + х1х4є ^

ф2

причем ц(0) = 0, Ф(/,р,0,2, е ) = 0, X (?, ф,0, X, е) = 0.

Можно убедиться, что система (26) удовлетворяет условиям а)-д). Определим условия, при которых система (26) имеет ненулевое Т-периодическое решение.

Для вектор-функции ц(е) справедливо представление

ц(є) = Вє + ©(є) =

є1 +є2 є0 +є6

V 2 1 у

в котором В =

1 0 0 1

- неособенная матрица.

0

2

1

+

Матрица А(х) имеет вид А(х) = diag\ь(x), у1(х),у2 (х),у3 (х)|, где Ь(х) = 1+ Х4,

У1 (0), у 2 (0). У з (0) - нулевые собственные числа.

Для вектор-функции

У(х)

= | 2X1 — X2 + 5X2 + Xз,X2 —Xз + 3Xз + 4X1X2,Xl----X2 + 2XlX2 — Xз + Xl

выполняется равенство у(х) = DX + »(XI), в котором D --

Кроме того, y(х) = DX + ¿2 (X) + 00X121, где Ь2 (X) =

2 —10 0

0 1 —10

1 —1 0 0 2

( зх2 Л

зх2

2X1X 2 — X з

V 12 з у

rangD= 2 < з.

вектор-

форма 2-го порядка относительно вектора X.

Введем замену переменных X = ри, р > 0 .

Тогда, согласно теории пункта 3, получим матрицу р(и) = со1оПр*и, Ь2(и)),

2 -1 0 01. ,ч 2

, Ь~ (и) = 2и,и~ - и, .

0 1 -10 2У/ 12 3

Путем непосредственной проверки можно убедиться, что при

* * *

= 1 выполнены равенства D и = 0, Ь2 (и ) = 0.

где D =

и * =( 1,1,1,! V 2 4

Разложив вектор-функцию Ь2 (и) в окрестности точки

по фор-

муле Тейлора, имеем

D(u * )= [2 1 - 2 0] - значение матрицы Якоби вектор-формы Ь'2 (и), вы*

численное в точке и .

Ссылаясь на рассуждения пункта 3, получим Ь = со1оп[р*, D(u*)), то есть

L =

2 —10 0 0 1 —10

2 1 — 2 0

rangL = з

Таким образом, убеждаемся, что выполнены все условия теоремы 8, где rangB = 2, rangD = 2 < з и rangL = з . Следовательно, существует значение параметра V = (я, ё), при котором система (26) имеет ненулевое Т-периодическое решение.

*

и = и

1. Баева, О.В. Об условиях существования и отсутствия периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра // Информатика и прикладная математика : межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. ун-т. - Рязань, 2006. - С. 25-29.

2. Баева, О.В. Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром // Современные проблемы математики, механики, информатики : тез. докл. Международной научной конференции / Тул. гос. ун-т. - Тула, 2006. - С. 16-18.

3. Бибиков, Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1991. - 143 с.

4. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Физматиз, 1955. - 447 с.

5. Волков, Д.Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел // Вестник ЛГУ. - Сер. 1. - 1988. - Вып. 2. -№ 8. - С. 102-103.

6. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М. : ГИТТЛ, 1953. - 492 с.

7. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М. : Наука, 1967. - 472 с.

8. Терехин, М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1999. -№ 10 (449). - С. 37-42.