О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений спараметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 18-28

= МАТЕМАТИКА =

УДК 517.925

С.А. Ведьман

Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПАРАМЕТРОМ

Аннотация. Проблема существования периодического решения системы дифференциальных уравнений сведена к проблеме разрешимости операторного уравнения. Методом неподвижной точки определены условия существования решения операторного уравнения.

Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем в теории дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что системы дифференциальных уравнений моделируют различные процессы в физике, химии, экономике, биологии и других науках, которые могут развиваться циклически [1, 2].

Изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, среди которых отметим работы [3,4].

Цель данного исследования заключается в отыскании условий существования ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметрами.

Дана система дифференциальных уравнений

Ф (ж, Л, дг) = ж — а;оАж — а;оК (Л) х — шоС (ж, Л) — шоИ (ж, Л) —

— //Аж — ¡лК (Л) ж — [лС (ж, Л) — [лВ (ж, Л) = 0, (1)

в которой х £ Еп. X. /I параметры, Ер — р .мерное векторное пространство, а;о > 0 некоторое число, А, К (Л) — п х п—матрицы, С (ж, Л) — форма порядка 5 > 1 относительно переменных ж, Л, Б (ж, Л) — конечная сумма форм порядка более высокого, чем 5, относительно тех же переменных.

Введем следующие обозначения: |п| = шах {)</* |}. ||ф|| = шах \С}и\, и £ Ер.

г М=$Д

С}- матрица, А(6о) = {Л £ : |А| £0}, 3(6о) = {/1 £ Е\ : \(л\ ^ £0}, 6о > 0

некоторое число, N - множество всех натуральных чисел, А о - множество всех неотрицательных целых чисел.

Рассмотрим множество Мп всех тригонометрических рядов вида х =

ОО

(I{) + ак COS kt + Ък sin kt, где f/(). г/д.. Ък — n .мерные векторы (коэффици-

к=1

енты ряда). Ряд с нулевыми коэффициентами, назовем нулевым элементом множества М„.

Определение 1. Элемент множества х{) £ Мп назовем 2тг периодическим решением системы (1) при некотором A £ А(^'о). [i £ S (д'о). если R (х(). A, /i) — нулевой элемент множества Мп.

Оператор В определим равенством Вх = х — lúqAx.

Определение 2. Ненулевой элемент х{) £ Мп назовем собственным элементом оператора В, если существует действительное число 7, при котором Вх о — Vo — нулевой элемент множества Мп. А число 7 назовем собственным значением оператора В, соответствующим собственному элементу х{).

Заметим, что согласно определению нулевого элемента множества Мп

/со \

при любом к £ N система Вх = z I = r() + ('k cos kt + dk sin kt £ Mn 1

V k=1 J

эквивалентна следующей системе уравнений:

-uj0Aa0 = с0, -и0Аак + кЕЪк = ск, -кЕак - и0АЪк = dk.

Положим L(k) = (colon (— lüqА, кЕ) , colon (—кЕ,—шоА)), при к = О

L (0) = lüq А.

Можно показать, что необходимым условием существования ненулевого периодического решения системы (1) является существование такого положительного cüo, при котором оператор В имеет нулевое собственное значение, что равносильно условию (let L(k) = 0 при некотором натуральном к. Далее предполагаем ujо таким, что у оператора В существует нулевое собственное значение.

Обозначим W = {A*i. /.'2..... kq} множество всех целых неотрицательных корней уравнения (let L (к) = 0. Без потери общности можно считать, что при любом к £ IV матрица L (к) представлена в жордановой форме.

Пусть kj £ W. Для определенности положим, что kj ф 0. Так как (let L (kj) = 0, то кетL (kj) — непустое множество. Следовательно, справедливо представление Е2п = Ej(BEj(BEj, где Е{- = kerL (kj). E‘j — инвариантное относительно преобразования L (kj) х = z пространство, Ej таково, что любой ненулевой z £ Ej удовлетворяет условию z ф Ej 0£■?.Предположим, что rangL(kj) = 2n — r¿, 0 < < ‘In. Следовательно, Е{- содержит

линейно независимых векторов (aj,6j), v = 1. . образующих базис про-

странства к4]. Пусть векторы (у/J. vj). <т = 1. тсоставляют базис пространства Ej. В силу предположения относительно матрицы L (kj) базисные векторы пространств Е{-. Ej, Ej можно выбрать попарно ортогональными независимо от того, какому из пространств они принадлежат. При любом V £ {1,2,вектор (üj , bj) определяет собственный элемент /ij = aj cos кjt + Щ sinkjt оператора В, при этом aj, Щ выбираем таким образом, чтобы \\hj\\ = |aj| + |/?j| = 1. При любом а £ {1.2..... ш;} вектор (y/J. vj) определяет элемент gj = v/J cos к¡t + vj sin kjt множества Mn.

Пространство, образованное элементом Щ, обозначим символом Wfo, а пространство, образованное элементом gj, - символом

q Vj q nij

Пусть Wo = EE Wi = E E W'2 таково, что Mn(h) =

j= \ !/=\ j=lcr = l

Wo 0 W\ 0 W‘2. Тогда любой элемент x £ Mn (/i) можно единственным образом представить в виде

q r,j q rrij

x = Px + Y/Y, ft", м щ + Y Y & (*) sí -

j= 1 v = 1 j= 1 rr= 1

где Px — оператор проектирования пространства Mn (1\) в пространство I V 2• Со) (ж)? í\j (х) ^ линейные функционалы, определенные соответственно

2тг 2тг

равенствами £g - (х) = !_ J xh'jdt, (х) = !_ J xgjdt, под произведением ко" о ^ о

эффициентов рядов понимаем скалярное произведение векторов. Непосредственным вычислением устанавливаем, что для любого элемента х £ I V 2 •

Í0J М = 0= «Í, М = 0-

Для удобства записей все собственные элементы оператора В пронумеруем в порядке h i ./?2•• • • -hт.- а элементы gj— в порядке д\ J/2-- ■ ■ -gt■ Положим

2тг 2тг

(х) = ¿ f xhjdt, f]j (x) = ¿ f xgjdt, £ (x) = (£i (x), f2 (x),..., (ж)),

о о

Г)(X) = = (г]1 (х) ,772 (х), ...,щ (ж)), при любых V £ {1, 2, ..., Г j}, j £

{1, 2,..., q}, СГ е {1,2, ...,mj}.

Следовательно, задача поиска элемента х £ Мп (1\). удовлетворяющего равенству R(x,\,fi) = 0, равносильна задаче поиска элемента х £ Мп (1\). удовлетворяющего равенствам

P(R(x,X,fj,)) = 0, ^j (R(x,X,fi)) =0, Cij (R(x,\,fj,)) = 0 (2)

при любых V £ {1, 2, •.., г j}, j £ {1, 2,..., q}, а £ {1, 2,..., mj}.

Решение системы (2) будем искать в виде

т I

х (а, (3) = Рх (а, іі) + ^ + ^2 &і9і'

где а = (п 1. о2 -.... п.т). (3 = (/?1,/?2, •••, А) - постоянные векторы, подлежащие определению, нормы которых задаются соответственно равенствами

т I

1Н1 = Е N1, \\Й\ = Е 1А1-

г=1 г=1

С помощью принципа сжатых отображений можно показать существование решения уравнения Р (К (х (а, ¡3), А, ¡л)) = 0. Тогда для того, чтобы х (а,/3) было решением системы (1) необходимо и достаточно, чтобы векторы а и /3 удовлетворяли операторным уравнениям £ (Я (Рх (А, //) , А, //)) = 0, г) (Я (Рх (А, дг), А, дг)) = 0.

Ввиду линейности операторов £, // имеем

£(В(Рх(а,(3) +J(aJ(3))) +£(/(«, А А, ¿¿)) = 0, (3)

г](В(Рх(а, (3) + 3(а, /?))) + г?(/(о, (3, А, ¿г)) = 0, (4)

где /(а, (3, А,¿г) = - [(а;0 + д)К(А)ж(а, /3) /3) + (а;0 +^)С(ж(а, /3), А) +

т I

+ (а;0 + ^)Б(х(а,/3), А)], J(a,fЗ) = £ а*/г* + XI (31д1.

1=1 ¿=1

Исследуем каждое слагаемое уравнения (3) в отдельности:

С (В (Рх (а, /3)) + .7 (а, /?))=£ (5 (Р® (а, /?)) +

т I \ ^

= £(ВРх (а,/?)) +

м ^ ^ °іі^і ^

¿=1 г=1 /

/ т

/

+ч в (Е “•а 11 + ^

т

С (-В-Рж (а, /?)) + М ^ оцВЬц + М ^ ¡ЗіВді .

чг=1 / \г=1

Из свойств операторов £, Б, Р следует, что Рх(а,/3) Є IV2• Значит, ВРх (а, /3) Є 11*2• Отсюда £ (ВРх (а, /3)) = 0.

Для любого і Є {1.2..... ш} И{ является собственным элементом оператора В. соответствующим нулевому собственному значению. Следовательно,

т

¡¡(Т,а.ВЫ) =£(0) = 0.

г=1

I

Таким образом, £(В(Рх(а, (3) + J(a, /?))) = £(Х /3{Вд^. Положим

г=1

йЕ^гВд1)=М1(3.

г=1

Рассмотрим второе слагаемое £(/(о.. 3. А. //)):

£(/(а,/?, А, ¿г)) = -С[(^о + м)-К'(А)ж(а,^) +

+ /?) + (а;0 + ¿¿)(7(ж(а, /?), А) + (а;0 + ^)В(х(а, /3), А)] =

= -ШшоК(\)х(а,{3) + +£([лАх(а,{3)) + ^К(а, /?)) +

+ Ш^о + ¿¿)С(ж(а, /?))) + £((а;о + ^)В(х(а, /3))). (5)

Исследуем каждый член суммы (5) в отдельности. Из принятых обозначений и линейности оператора £ следует, что

т I

£(ш0К(\)х(а,(3)) = ш0£(К(\)(Рх(а,(3) + Аз»))

г=1 г=1

/ / т I

= ш0((К(Л)(Рф,/3))+и0( К(Х) + Е^))

\ \г=1 г=1

Так как К(Х)Рх(а, /3) £ то £ (^Г(А)Рж(о;,/?)) = 0.

Учитывая £(ж) = (^(ж), ^(ж),..., Ст(ж)), получим, что каждому значению координаты ^(х) при любом ] £ {1, 2,..., т} соответствует следующая

оценка выражения а;о£ ^К(Х) ^ ^ ^ Аш^ : ПРИ ./ = 1 из равенства

2тг

£з(х) = 2к I ХЩ^ и попарной ортогональности базисных векторов про-ж о

странств Но и IV \ получаем

/ ТП

при j = 2 имеем

/ т I

' ГЧ9і

¿¿о

27Г

\г=1 г=1

2?Г 7 m I

( К (Л) ( aiki = ¿1 ßidi J h2dt

0 \г=1 г=1 /

о;о

27Г

/ (Е *' (Л) ^ ,I2 j + (Е &К (Л) Л2 j л

2тт

= ^«2 у (А- (А) ft2, ft2) (А).

О

Продолжая аналогично, на шаге i = т получим

uaU ( К (А) ( jr (А).

г=1 г=1 ’^Г

2тг

Отсюда £ (ш$К (Л) х (а, /?)) = (Л) й, где

“ = ^ (Л) = (yiW.Жт(А)) .

Так как £ (Рж (а, /?)) = 0, то ^(ßAx (а, ß)) = (J (а;,/?)),

||£ (¿¿Аж (а, ß))\\ ^ Oi (/i), где lim Oi(/i) = 0.

/i—»-0

Аналогично, £ (/lÄ” (Л) x (A, /?)) = (К (Л) J (a, /?)), ||£ (ßK (Л) x (a, ß))|| ^ Oi (fi).

Преобразуем £ ((a;o + //) С (x (a,ß), Л) ). Ввиду линейности функционала £ получим

С((о;0 + /х)С(ж(а,/?),А)) = (о;0 + /i)£C( J(a, ß), Л) +

+С(х(а, ß), Л) - С( J(a, ß), А) =

= (ш0 + ß) UC(J(a, /?), Л)) + £№(«, /3), Л) - С(J(a, /?), Л))] .

Из ТОГО, ЧТО ||£(ж)|

2тг

-1

2тг

^ (2тг) f ||ж|| \\h\\ dt = ||ж| о

(2тг) f xhdt

о

а также из условия Липшица, получаем следующую оценку выражения HC((u>0 + д)С(ж (а,/?) , А)) II:

Ш(ш0 + fj,)C(x(a,ß),\))\\ =

= || Ц, + м)К(С7( J(a, ß), А)) + £(C(x(at ß), А) - C(J(a, ß), А))] <

< (cj0 + ß)\\C(J(a,ß), A)|| + (cj0 + aOIIC(x(a,ß)) - C(J(a,ß), A)|| <

iC (а?о + fi)qo£s 1[||«|| + ||/?|| + ——-—(||а|| + ||/?||)] <

1-7

1

< 2д0(а;0 + /л)---£s < оф8 ),

1-7

где до > 0 — некоторое число, 7 < 1. Откуда получим

U((u>0 + р) С(х(а,/3), А))|| < oi (е8-1) .

Аналогично устанавливается, что ||£ ((а;о + р) D (х (а, ¡3), А))|| < о\ (es_1). Таким образом, £ (/ (а, /?, А, ¡л)) = —Кг (А) а + Oi (р) + о\ (£s_1). Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде

Мф - Кг (А) а + Ог (р) + ог (г5“1) = 0. (6)

Непосредственным вычислением устанавливается, что г)(В(Рх(а, ¡3) + J(a,f3))) = Ц = М2(3, г?(/(о, (3, А, ¡л)) = -К2(\)/3 + 02(р) +

o2(£s_1), где К2 (А) = сНад (i^i(A), К2(Х), ..., 1^(А)), К{ = f (К (\)д{,д{)Ш,

i = {l,2,...,l}J = ^/3.

Поэтому уравнение (4) примет вид

М2/3 - К2(А)/? + О2{р) + о2(е‘-1) = 0. (7)

Положим М = colon(Mi,M2), К(А) = со1оп(—Кг(\),—К2(\)), 7 =

colon(a, ¡3), О (¡л) = colon (Oi(/i), 02(р)), o(£s_1) = colon (01 (£s_1) , o2 (es_1)). Тогда системы уравнений (6) и (7) запишем так:

М/3 + A'(A)i + б(/л) + ofe-1) = 0, (8)

где М — (т + 1) х I — матрица.

Таким образом, задача нахождения решения уравнения (1) свелась к задаче разрешимости уравнения (8).

Предположим, что rangili = г. 0 < г ^ I. Введем замену (3 = Н/Зо, где Н —

I х (7 — г) — матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения системы М(3 = 0. В частности, при г = 0 3 = 0.

Уравнение (8) примет вид

К (А) 7 + б (р) + о (е8-1) = 0. (9)

Пусть

К (А) = К\ (А) + О (|А|), (10)

S _

где Кг (А) = ((dij, А))™.=п15 (aij, А) = ]Г а^Хк, = (а^., а?.,..., afj). Заменой

к=1

переменных 7 = ре, () > 0. с = (г А. г л), о = реа, (3q = pef3 систему (9)

можно свести к системе

К (А) ре + б (¡л) + о (£s-1) = 0. (11)

Непосредственным вычислением можно убедиться, что существует матрица К* (е), удовлетворяющая равенству^ (А) е = К* (е) А. Систему (11) можно записать так:

К* (е) А + + °-^---------^ = 0. (12)

Р Р

Пусть т + I < s, Е = {е : |е| = 1}.

Теорема 1. Если существует вектор е* £ Е такой, что rang К* (е*) = т + I, то система (1) имеет ненулевое 2тт-периодическое решение.

Доказательство. Так как rang К* (е*) = m+l, то К* (е*) А можно представить следующим образом: К* (е*) А = К| (е*) Х\ +К| (е*) А2, где К| (е*) —

(m + l) х (m + I)-матрица, det Щ (е*) ф 0, Щ (е*) - (т + I) х (s - (т + I))-

матрица. Тогда система (12) примет вид

KJ (е*) Ai + Щ (е*) А2 + = 0.

Р Р

Отсюда

А! = - (к; (е*))-1 (к; (е*) а2 + ^ + °(£а)

р р

Оператор Г (а. 3. А. //) определим равенством Г (а,/?, А,у) Ai =

(к; (е*))“1 к; (е*) а2 + (к; (е*))-1 + (к; (е*))-1

Р Р

т m

Так как ||а|| = ^ \аі\і аі = Реіі то IMI = Р \ег\■ Отсюда — ограни-

г=1 г=1

ш р

тывая условие Липшица, получим, что

ченная величина. Аналогично, 11 является ограниченной величиной. Учи-

^11 ~t~ \\Р\\ + т~^— (11^11 + 11/^11) 1-7

(||а|| + 11/^11)

1-7

Следовательно, Иж^а,/3)И — величина

________ ограниченная.

Положим є = р, тогда lim

р—»0

б(р

lim 5(р8 х) = 0. Так как р->о 4 '

lim (К* (е*))-р—»0

о

{р8-1)

р

0,

то существует д > 0 такое, что при любом р < д.

(к; (е*))-1«^-1)

следовательно,

< Е < -^3^3'

Фиксируем р = р* < S. Из того, что lim (К| (е*)) 1 °^ = 0, существует

р—»0 р

Si > 0 такое, что при \р\ < 5%

-і ОМ

р*

<

S

Так как lim (Щ (е*)) К| (г*) Х‘2 = 0, ТО существует ¿2 Є (0. такое, Л2—

что при |Л2| < 32 (К| (е*))-1 К| (е*) Л2 < §.

Таким образом, существует такое д > 0. что для р = р* и любых фиксированных р (\р\ < #і), Л2 (|Л2| < #2), при любом Лі

(Аі є Л* = {Ai : I Ai І <<У})||Г(а,/?,Л,/и)Аі|| < S.

Так как оператор Г (а, ß, А, р) непрерывен по построению, то по теоре-

ме Боля-Брауэра [5] на множестве А* существует по крайней мере одна неподвижная точка оператора Г (а, ß, А, р).

Следовательно, для р = р* и при фиксированных р* (\p 'f | < ді). А|

(|А|| < 62) существует Х[ (А[ Є А*) такое, что

г(а;,//>*)а; = а;.

Учитывая, что существует r:i

e*a,e*ß 1, удовлетворяющее равенствам

а* = р*е*, ßq = p*e*ß, ß* = Hßо, найдем векторы а*

2тг

IÜQ

о.*. ß *

2тг о*

IÜQ

ß'

тп I

определяющие решение х (а* ,/?*)= Рх (а* ,/?*) + ^ ^ А*Ш системы

i=1 i=1

(1) с периодом со = соо + р*. Теорема доказана.

Заметим, что непосредственно из определения ()(//). о(£'4) следует ()(//) = О* (р)~>. д(ен 1) = 0*(е)7 при 5 > 2. Тогда уравнение (9) можно записать так:

+ 0*{р) + 0*{е))^ = 0.

Пусть Н(X. /1.е) = А'(А) + О*(//) + 0*(е). Элемент (А. //. ¿) матрицы #(А. //. ¿) = (/?г/ (А. //. ¿)) определяется равенством /г(А. //. ¿) =

Для того, чтобы система уравнений Н (А, ¡л, е) 7 = 0 имела ненулевое решение достаточно, чтобы хотя бы один из столбцов матрицы Н (А. //. ¿) был равным нулю. Приравняем нулю элементы последнего столбца матрицы Н(X. //. ¿). Получим систему

ДА + О (/л) + О (г) = 0, (13)

в которой с учетом равенства (10) ДА = (к^, А)т.^8, Нт О (¡л) = 0,

3 ¿Ц—)-0

Нт О(е) = 0.

е-чО 4 '

Теорема 2. Если т + I ^ в, гапдН = т + I, то система (1) имеет ненулевое 2тт—периодическое решение.

Доказательство. Так как гапдН = т + I. т + I ^ я. Положим, что минор матрицы Я порядка т + 1 и отличный от нуля расположен в первых т + I столбцах матрицы К. Тогда система (13) примет вид

Л1А1 + _Й2 (А2) + О (/1) + О (е) = 0,

в которой К = (/?!. /?2)- (1е1 Н1 Ф 0. А = (Ах, А2), Х% — т + ¿-вектор. Откуда

А! = - (Я!)-1 (Я2 (А2) + О (ц) + О (£)) .

Оператор Г(А2.//.¿) определим равенством

Г(А2, м, е)Х1 = - ((Я1Г1 я2 (А2) + (Я!)-1 о (м) + (Я1Г1 о (£)).

Доказательство существования неподвижной точки оператора !'(А2- //- ¿) аналогично доказательству существования неподвижной точки оператора Г (а. 3. X. //) теоремы 1. Следовательно, существуют £* (|£*| < 3), ц* (|д*| < (Ух), А| (|А|| < 62), А| (А| е А*) такие, что

г(А5,/л*,е*) а; = а;.

Тогда последний столбец матрицы Н (А|, /л*,е*) равен нулю. Отсюда решение системы (9) есть вектор, все координаты которого нули, кроме последней ¡3^ ф 0. Что и определяет существование ненулевого периодического решения системы (1) вида

ж = Рх +^ди

где а* = (0,0,..., 0), (3* = (0, 0,.... 3{). ¡31 ф 0. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В. Амелькин. -М.: Наука, 1987.

2. Марри Даю. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии / Дж. Марри.

- М.: Мир, 1983.

3. Терехин М. Т. Ненулевые периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных / М.Т. Терехин // Дифференциальные уравнения. -2003. -Т.39. -С.1645-1653.

4. Моисеев Д. С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений / Д.С. Моисеев // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -2004. -№ 8. -С.57-62.

5. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник. - М.: Высш.школа, 1982.

Поступило 20.04.2008