CC BY
72. Макаров A.B. Описание всех минимальных классов в частично упорядоченном множестве С\ всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику // Вестн.
Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 65-66. 3. Яблонский C.B. Функциональные построения в /г-значной логике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51.
4. Яблонский C.B., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.
5. Zhuk D.N. The cardinality of the set of all clones containing a given minimal clone on three elements // Algebra Univers. 2012. 68. 295-320.
УДК 517.926
ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КОНТИНУАЛЬНЫМ СПЕКТРОМ ПОКАЗАТЕЛЯ БЛУЖДАЕМОСТИ
Е. М. Шишлянников1
Построена линейная однородная двумерная дифференциальная система с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами, у которой множество всех значений показателя блуждаемости различных решений содержит целый отрезок числовой прямой.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, блуждаемость решения, характеристические показатели, эргодическая теорема.
Some linear homogeneous two-dimensional differential system with piecewise continuous bounded coefficients is constructed, and its set of wanderability indicator values of different solutions contains a segment of the number line.
Key words: differential equation, linear system, wanderability of solution, characteristic exponents, ergodic theorem.
Ляпуновские характеристики блуждаемости решений дифференциальных систем впервые были введены И. Н. Сергеевым в работе [1]. В его же работе [2] установлено, что спектр показателя блуждаемости любой системы с постоянными коэффициентами совпадает со спектром модулей мнимых частей собственных значений ее матрицы, а спектр скорости блуждания некоторой системы четвертого порядка содержит целый отрезок.
Для аналогичных же ляпуновских характеристик колеблемости (частот Сергеева [3]) решений дифференциальных систем с помощью эргодической теоремы в [4] доказано, что спектр некоторого линейного автономного дифференциального уравнения четвертого порядка содержит целый отрезок. В работе [5] этот факт установлен для неавтономного дифференциального уравнения третьего порядка, а в [6] — для двумерной дифференциальной системы. В настоящей работе последний результат перенесен на показатель блуждаемости.
Обозначим через М2 множество линейных систем z = A(t)z, z € R2, t € R+ = [0, oo), с кусочно-непрерывными матричными функциями А : R+ —>■ EndR2 (отождествляемыми с самими системами; в R2 фиксирован базис; EndR2 и Aut R2 — соответственно все и все невырожденные линейные операторы из R2 в себя). Через 5(A) обозначим множество всех ненулевых решений системы
Определение. Для произвольной кусочно-гладкой (т.е. непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой), нигде не равной нулю функции z : R+ —> R2 обозначим через ф и г > 0 такие кусочно-гладкие функции, что z(t) = (r(t) cos <j){t), r(t) sin </>(t)), t € R+, 0(0) € [0,2-/г), и назовем показателем блуждаемости вектор-функции z величину (если предел в ней существует)
5-142.
Поступила в редакцию
16.03.2016
А € М2.
t
p(z) = inf u(Lz), где u(z) = lim -7(z,t)
Le Aut
1
0
1 Шишлянников Евгений Михайлович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
shieugeQgmail. com.
Спектром показателя блуждаемости системы А £ Л42 назовем следующее множество: ЯрД-А) = {P(z)\zeS(A)}.
Геометрический смысл введенных величин описан в [2]. В настоящей работе доказана следующая основная
Теорема. Существует система А € Л42, спектр показателя блуждаемости которой содержит, некоторый отрезок числовой прям,ой. Доказательству теоремы предшествует
Лемма. Пусть кусочно-гладкая функция z задана на отрезке [0, 21] и нигде не равна нулю. Если выполнены, условия
1) z(I + t) = z(I-t), te [0,/];
2) ф(1)-ф(0)^тт,
то имеет место следующее неравенство:
inf 7(Lz, 21) ^ 2тг,
LeAutR2
которое при дополнительных условиях
3) <j)(t) ^ 0, t € [0,/] (почти всюду)]
4) 0(0) > 0, ф{1) < Зтг/2
обращается в равенство, а если выполнены, условия 1, 3 и условия 2') ф(1)-ф(0)<тт; 4') ф(0) < тг/2, ф(1) > тг; то справедливо следующее равенство:
inf 7(Lz, 21) = 0.
LeAutR2
Доказательство. Для произвольного L € AutR2 обозначим Lz = z' = {г' cos ф', г' sin ф'). 1. Если выполнены условия 1 и 2, то для некоторого Л € (0,1] имеем равенство ф(А) = ф(0) + ir, поэтому
z(X) = -kz(0), k = ^> 0, z'(X) = L(-kz(0)) = -kLz(0) = -kz'{0),
откуда при некотором т € Z заключаем, что ф'(Х) = ф'(0)+тт+2ттт, и получаем первое утверждение леммы
j(Lz,2I) = [Х\ф'(т)\с1т+ Г Х\ф'(т)\с1т+ Г \ф'(т)\с!т Jo J A J2I-X
^ 2
[Х ф'(т) (1т /о
= 2|тг + 2ттг| ^2тг.
2. Если выполнены условия 1-4, то 0 < ф(0) < ф(1) < 37Г/2, ir ^ Ф(1) ~ Ф(0) < 37Г/2, и, обозначив
/10\ ( cos(0(O) - 1 /п) sin(0(O) - 1 /п) \
J^n = ^п-ГЧы ^п = 1 п »,2 I ) rín = 1 ... . . ... i
ч0 п2) ' п \-8т(ф(0) - 1 /п) cosO(0) - 1 /п)) ' при достаточно больших п € N и L = Ln имеем
/(О, = G,. ад0) = Г(0)С„ ет - m - IZ) =r(0) (Ä) • <»6 (0- ^
m = но ' * < m - m+1/n < €
i
, i -rx m , ., , n2 sinfW /) — ¿>(0) + 1/n) n2 sin(l/n)
/) = J I0'(r)| <ir = - ^(0) = , + arctg COS(;;V-»(0) + 1/,V - "S^P
0
2тг < inf 7(Lz, 21) < lim 7(Lraz, 2J) = 2 (V + - - = 2тг,
LeAutR2 rn-oo V 2 2/
откуда вытекает второе утверждение леммы.
3. Если выполнены условия 1, 2', 3 и 4', то, рассуждая, как в п. 2, получаем цепочку
0 < inf 7(Lz, 21) < lim 7(Lra2, 21) = 2 (тг - J - Л = 0,
LeAutR2 rn-oo V 2 2J
из которой вытекает третье утверждение леммы. Лемма доказана. Доказательство теоремы. Для любого решения z обозначим
z\t) = z{{i-l)J + t), te[0,J\] 7i= inf 7 {Lz\J), teN;
LeAutR2
1WJ] \t/J]J 1 [t/J] 1 1 m
k(z) = lim - > 7i = lim -- lim . , , т > 7» = — lim — >7»
v > t^oo t ^ ' t-> oc i i^oo i/JJ ^ 11 J m—>oo rn^ ' i=1 L ' J i=l i=l
(если предел существует).
1. Построим фундаментальную систему решений 21,22. Пусть / = 2, J = 21 = 4, ео € (0,2], а число р ^ 3 — корень уравнения — (р2 — 6р + 1)/4 = ео (его левая часть при р ^ 3 убывает от 2 до —оо). Функции (x\,yi) и (a?25 2/2)5 линейные на отрезках [0,1], [1,/] и принимающие на их последовательных концах значения (0,1), (—2р, 1), (—2р, —р) и соответственно (1, 0), (1,1), (1,1), симметрично продолжим на отрезок [I, J] (см. свойство 1 леммы) и J-периодически на полупрямую R+.
Фиксируем г] € (ео,р) и w > 0 {ш/2тт ^ Q). При каждом г = 0,1,... функция / симметрична на [Ji, J(i + 1)], равна нулю на [Ji, Ji + 1] и линейно возрастает на [Ji + 1, Ji + I] от нуля до значения fi = i]0i/(2n) ^ 0, где 0i = {ш/{2п)}2п. Тогда при каждом t € М+ векторы z\(t) = (x\(t) + /(t), yi(t)) и 22(t) = (x2(t),U2(t)) линейно независимы, так как
0i(i) е [|,тг) , 02(i)e[o,^], tc[Ji,Ji + 1];
0i(i)e
7Г p
, 7Г + arctg ;
С
2"' ' —°2p-r,\ - L2,7r + l)' ^ = 1' + + 4
поэтому функции 2i и 22 служат решениями некоторой двумерной ограниченной системы (с матрицей А = ZZ~l, где Z = (21,22)).
2. Пусть число с' > Со = (р + 1)/2 таково, что е(с') = г/, где функция е(с) = с2 — с(р + 1) + 2р возрастает при с > со от ео = е(со) до оо, тогда е(с) < г] при с € [со, с), с = min(c',p).
Вычислим £;(2i+C22). Для любого г € N функция z% линейно соединяет точки (с, 1), (—2р+с, 1+с) и (—2р + с + /г, —р + с), лежащие строго в I, II и III четвертях фазовой плоскости (так как 0 < с < р), поэтому удовлетворяет условиям 3, 4 и 4' леммы. Условие 1 следует из построения решений, а условие 2 равносильно неравенству fi ^ е(с), поскольку знак величины
04/) -ф\0) - тг = arctg _ - arctg -
zp -f- с -+- Ji с
совпадает со знаком величины
р-с 1 fi- е(с)
2р с fi с с(2р -с- fi)' Пусть Хс — характеристическая функция множества
Мс = |б> € [О, 27г) I ^ е(с)| , /хс = jf
Тогда, применяя лемму и эргодическую теорему (см., например, [7, §7.7]), получаем цепочку
,/ ч 1 , 1 1 , 1 /лч 2тг Дс 2тт ( е(с)\
k{z) = - lim - VЪ = - lim - VXe{вг)2тт = — ^ = — 1 - — , j m-xx> m ' J «i—s-oo m ' J 2тт J \ п /
i= 1 г=1 \ I /
в которой последнее выражение непрерывно и убывает по с € [со, с), а значит, его значения заполняют некоторый отрезок.
3. Докажем равенство р(г) = к(г). Во-первых, для р(г) справедлива оценка снизу
м-п
p(z) = inf lim -7(Lz,t) ^ inf lim -7 ( Lz
LsAut R2 t—кэо t LsAutR2 t—кэо t *
)1 _ .
^ lim - V inf 7(Lz\J) = k(z).
" t->00 t LeAutR2 ,V ' W
г=1
Во-вторых, для координаты фп функции Ln(z) и некоторого С > 0 при всех t € М+ верна оценка 4>n{t)| < С, а значит, и оценка 7(Lraz[i/Jl+1, (i/J}J) ^ CJ, поэтому верна цепочка равенств
ß(Lnz) = lim j7(Lnz,t) =
t—> 00 j
[t/j]
1
1 17 J 1 / f / 1 \ 1 1 = lim-^7(UJ)+lim -7 UW, 7И = 7 Ит -^7(Lra/,J).
i^oo t ' i^oo t V I J I / J 00 Ш '
i=l 4 ^ ^ 7 i=l
Обозначив 7raj = ^f(Lnzl, J), будем иметь оценку J|/i(Lraz) - = (а) Если фг{1) — 0(0) 7Г, то, вычисляя величину 7ni как в лемме, имеем 17т - 7г| = 2
^ III ^ III
lim — V" 7rai - lim — V" 7^
m—)•00 ш *—' nn-oo ш *—'
i=l i=l
^ lim — У^|Тт-7г|-
i=l
- + arctg п2МФУ)- т + Уп) _ arctg n2sin(l/n) _ ^
^ 2
cos(ф%1) - 0(0) + 1 /n)
n2 sin(37T/2 - 0(0) + 1 /n) n2 sin(l/n)
arctg----—7-- . .—-—■—г— — arctg
cos(l/n)
<
cos(3vr/2 - 0(0) + 1/n) (b) Если фг{1) — 0(0) < 7Г — 1 /л/п, то получим
п2 Sin(7T — 1/л/п + 1 /п)
cos(l/п)
= ап —> 0, п —> оо.
|7m - li\ = Ini ^ 2
7г + arctg ■
— arctg
п2 sin(l/n)
= bn —> 0, n —> 00.
COs(7T — 1/л/та + 1/n) COs(l/n)
(с) Если TT - l/л/п ^ 0'(/) - 0(0) < 7Г, TO |7ы - 7i| = Jni ^ |2(7Г + TT/2 - 0)1 = 37Г. Пусть
Mcra = {e I 7Г + 0(0) - l/v7« < тт + ф(в) < TT + 0(0)} , ф(в) = arctg
-p + С
—2J9 + с + г?6>/(2тг)'
тогда
1 1 l \
lim — У |тni - 7i| ^ lim — man + mbn + Xcn(0i)3vr = ara + bn + 37r/ic
тчоо ш ^—' m—5-00 m i ^—' I
i= 1
nn-oo Ш
i=l
Функция ^(0) непрерывна и монотонна, причем
[0(0) - 1/v^, 0(0)) С £ , 0(0) - (0(0) - 1/v^ -»• о, —>■ 0, п ^ оо,
2' 2J
а значит, верно следующее (дающее недостающую оценку для p(z) сверху) равенство:
lim |ß(Lnz) — k{z) | = 0.
п—>оо
Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность И. Н. Сергееву за ценную помощь при подготовке статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, №6. 902.
2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, №1. 149-172.
3. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. II.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.
4. Горицкий А.Ю. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. 48, №4. 479-486.
5. Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48, №11. 1571-1572.
6. Сташ А.Х. Существование двумерной линейной системы с континуальными спектрами полных и векторных частот // Дифференц. уравнения. 2014. 50, №11. 1-2.
7. Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Академия, 2013.
Поступила в редакцию 04.05.2016
УДК 511
ОБ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Р. В. Почеревин1
Найдена асимптотика числа решений системы трех диофантовых уравнений аддитивного типа при числе переменных, равном 6. Каждое аддитивное слагаемое в этих уравнениях представляет собой простейшую форму, степень которой по каждой переменной не превосходит 1.
Ключевые слова: аддитивные задачи теории чисел, асимптотика числа решений системы диофантовых уравнений.
An asymptotics for number of solutions of system of three Diophantine equations of the additive type in six variables was found. The each additive summand of these equations represents the simplest form of which degree in each variable does not exceed 1.
Key words: additive problems of the number theory, asymptotics for the number of solutions to a system of Diophantine equations.
1. Введение. Xva Локеп fl] нашел асимптотическую формулу числа решений при N —> оо.
Теорема 1. Пусть r'(N) — число решений следующей системы уравнений:
(х1+х2+хз = у1 + у2+уз, xj+xl + xj ^ N] \Х\ + х1 + Х1 = У1 + У1 + У1, vl + yl + vl^N.
Тогда при N —> оо мм имеем,
r'(N) ~ Щ^-т In N.
В. Н. Чубариков [2] поставил задачу найти асимптотику для многомерного аналога. В настоящей работе доказывается следующее утверждение для числа решений многомерной аддитивной задачи.
1 Почеревин Роман Владимирович — студ. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pocherevin-romanQrambler.ru.
