CC BY
7Заметим, что коэффициенты ао,а\,а2 данного ОДУ недифференцируемы в точках t = mir,
т = 0,1,....
Идея получения простейшей системы ОДУ (4) вместо ОДУ третьего порядка (1) заимствована
из методов расщепления операторов Г. И. Марчука [7], а идея введения некоторой весовой функции типа Wk для исследования устойчивости решений ОДУ с последействием — из монографии
H.H. Красовского [8, с. 199].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
2. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.
3. Искандаров С. О методе сведения к системе для линейного вольтеррова интегродифференциального уравнения второго порядка // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. Вып. 35. Бишкек: Илим, 2006. 31-35.
4. Искандаров С. Метод нестандартного сведения к системе и экспоненциальная устойчивость линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 6. 898-899.
5. Ведь Ю.А., Пахыров 3. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегродифференци-альных уравнений // Исследования по интегродифференциальным уравнениям в Киргизии. Вып. 9. Фрунзе: Илим, 1973. 68-103.
6. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегродиф-ференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерры. Бишкек: Илим, 2002.
7. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
8. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
Поступила в редакцию 07.07.2016
УДК 517.926
ОБ ОТСУТСТВИИ СВОЙСТВА ОСТАТОЧНОСТИ У ПОЛНЫХ ГИПЕРЧАСТОТ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
А. X. Сташ1
Установлено, что полные гиперчастоты, рассматриваемые как функционалы на множестве решений линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с непрерывными ограниченными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (т.е. могут меняться при изменении решения на конечном отрезке).
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решения, нули функции, характеристическая частота, полная частота.
It is found that complete hyper-frequencies regarded as functional on the set of solutions to linear homogeneous third order differential equations with continuous bounded on the semi-line coefficients are not residual (i.e. can be changed when changing solution on a finite interval).
Key words: linear differential equation, oscillation of solution, zeroes of function, characteristic frequency, complete frequency.
Ляпуновские характеристики колеблемости дифференциальных уравнений и систем впервые были введены И.Н. Сергеевым в работах fl-З]. Круг рассматриваемых характеристик постепенно расширялся, и к настоящему времени сложились их следующие разновидности:
1 Сташ Айдамир Хазретович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математнчекого анализа и методики преподавания математики ф-та математики и компьютерных наук Адыгейского гос. ун-та (АГУ), e-mail: aidamir.stasMlgmail.com.
1) частоты пулей, смен знака (строгих и нестрогих), корней и гиперкорне б;
2) верхние и нижние частоты (точные в случае их совпадения);
3) скалярные, а также полные и вект,орны,е частоты (абсолютные в случае их совпадения).
Важным свойством ляпуновских характеристик, призванным облегчить их исследование, является остаточность [4], т.е. инвариантность относительно изменения решения на любом конечном участке полуоси времени. Свойство остаточности на множестве решений линейных однородных дифференциальных уравнений произвольного порядка сначала для скалярных частот строгих смен знаков и нулей было установлено И. Н. Сергеевым в работе [1, лемма 8] (аналогично доказывается и остаточность частот корней). Впоследствии тем же методом в работе [5] было проведено доказательство остаточности полных и векторных частот нулей на множестве решений линейных однородных уравнений (это же доказательство проходит и для частот строгих смен знаков и корней). Векторные гиперчастоты любых решений, как оказалось [3], всегда совпадают с их показателями блуждаемо-сти, которые являются остаточными.
Далее, для решений линейных однородных уравнений первого порядка все характеристики колеблемости равны нулю, так как эти решения попросту не имеют нулей, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние (как и все нижние) частоты равны между собой, поскольку нули его решений чередуются и в принципе не могут быть кратными [6]. Следовательно, на множестве решений уравнений первого и второго порядка наблюдается остаточность всех характеристик колеблемости.
Что касается остаточности полных частот гиперкорней для множества решений линейного однородного уравнения порядка не ниже третьего, то о них ничего не было известно. Им и посвящена настоящая работа.
Для заданного натурального п обозначим через £п множество линейных однородных уравнений п-то порядка
у<га> + a\(t)y(n~1^ + ... + an-i(t)y + an(t)y = 0, t € R+ = [0; oo),
с ограниченной непрерывной строкой коэффициентов а = (а\,... ,ап) : R+ —> Rra (каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Кроме того, обозначим через 5*(а) множество всех ненулевых решений у: R+ —>■ R уравнения а € £п и положим
Sn= [J S*(a).
«е£п
Определение 1 [2, 3]. Для решения у € 5* (а) какого-либо уравнения а € £п, чисел t > s ^ 0 и вектора m = (rrii,..., mn) € Rra обозначим через v*(y,m,t) количество гиперкорней скалярного произведения
(фу(т),т) = ггцу(т) + т2у(т) + ... + тпу{п~1)(т) (фу = (у,у,..., у(га_1)))
на промежутке (s,t\, где в процессе подсчета этого количества:
a) каждый некратный корень берется ровно один раз;
b) любой кратный корень берется бесконечно много раз независимо от его фактической кратности (другими словами, как только хотя бы в одной точке г € (s, t] выполнены одновременно оба равенства
(фу(т0),т) = (фу(т0),т) = 0,
так сразу величина v*(y,m,t,s) считается равной оо, а в противном случае она равна числу нулей функции (фу,т) на промежутке (s,t]).
Определение 2 [2, 3]. Каждому решению у € (а) уравнения а € £п поставим в соответствие верхнюю (нижниюю) полную част,от,у гиперкорней, или полную гиперчастоту
_ 71" / 71" \
а*(у) = inf lim —v*(y,m,t,0) а* (у) = inf lim —v*(y,m,t,0) .
Определение 3 [4]. Для заданных множеств М и F = {/ : R+ —>■ М} назовем функционал Л: F —> R остаточным, если для любых функций f,g € F, удовлетворяющих хотя бы при одном ¿о € R+ условию f(t) = g(t), t ^ ¿о, имеет место равенство А(/) = Х(д).
Теорема. Каждый из функционалов а*, а*: S3, —> R не является остаточным.
Доказательство. Выберем уравнение а € £3 вида У + у = 0 с фундаментальной системой решений
sint, 1, eos t, (1)
определитель Вронского которой удовлетворяет неравенству
sin t 1 eos t eos t 0 — sin t — sint 0 — cosí
= sin2 t + eos2 t = 1 > 0, t €
По выбранной системе из трех функций
2/i= sin 3í, у2 = e_í(cosí + 1), j/3 = cos3t с положительным определителем Вронского
sin3t е í(cosí + l) cos3t 3cos31 — e_í (cosí + sin t + 1) —3 sin 3t —9 sin 3t e_í(2siní + l) -9cos31
= e_í(6siní + 27cosí + 30) ^ 3e_í(10 -восстановим линейное однородное уравнение b (£ £п вида
> 0, t €
1
A(í)
V i 2/2 Уз У У\ У2 Уз у Ш У2 Уз У
VI У2 Уз У
(2)
решениями которого они являются (см. [7]). Раскладывая определитель по элементам последнего столбца, убеждаемся, что коэффициенты построенного уравнения являются ограниченными функциями на
Выберем такие числа ¿1 и ¿25 что 7Г < ¿1 < ¿2- В соответствии с теоремой 3 из работы [8] построим на участке уравнение с € £3 (с гладкими коэффициентами), переводящее набор
(1) решений, заданных на отрезке [0, ¿1], в набор (2) решений, заданных на луче [¿2,00): слева от отрезка уравнение с совпадает с уравнением а, а справа — с уравнением Ь. Здесь первое
решение начального набора переходит в первое решение конечного набора, второе — во второе, а третье — в третье. Обозначим полученные кусочно составленные решения этого уравнения через ¿1,22,23 соответственно.
Рассмотрим два решения г = г\ — рр-гг + -гз € (с), у = у\ — ррУг + Уз € (Ъ), совпадающие друг с другом на луче [¿2, оо). Для вектора т\ = (9, 0,1) имеем представления
(ipy(t),mi) = —e_í(2sint + 9eost + 10) <0, Í6 9
(3)
. , , . . í 8 sin t + 8 eos t — (ipz(t),m 1) = ¿
{{ipy{t),mi),
í€[o,íi];
t € [Í2, 00).
Отсюда, с одной стороны, в силу неравенства (3)
v*(y, mi,t, 0) = V*(у, mi,t, 0) = 0,
откуда
&*(у) = &*(у) = 0.
(4)
С другой стороны, в силу равенств {фх^/А),т\) = (фг(тт/4), т\) = 0 имеем и*(г, ¿1, 0) = оо. Для любого вектора т -Ц т\ при £ ^ ¿2 получаем
(ipz(t),m) = А\ sin(3t + 3¿i) + Аге cos(í + ¿2) + Азе , A1.A2.A3eR, Ai ф 0
где 3^1, — вспомогательные углы, поэтому начиная с некоторого достаточно большого значения ¿з(т) на любом промежутке длины 7Г будет иметь ровно 3 нуля. Кроме того, согласно теореме 2 из [3], найдется вектор т2 -Ц тп\, для которого при любом £ € М+ выполнено неравенство т2, 0) < оо. Следовательно, имеем
7Г
7Г
a*(z) = inf ( lim — v*(z, rri, t?,(m), 0) + lim — v*(z, m, t, ¿з(т))) = lim —
m£l™ Vi—>oo t
i—> oo t
TT
i—> oo t
3(i + ii -i3(rn))
7Г
= 3,
где [«] — целая часть числа в. Для нижних полных гиперчастот решения г справедливы аналогичные равенства, поэтому имеет место цепочка равенств
a*(z) =ä*(z) =3.
(5)
Несовпадение друг с другом величин (4) и (5) означает, что рассматриваемые частоты не являются остаточными. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. II.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.
2. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № И. 1577.
3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сб. 2013. 204, № 1. 119-138.
4. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. Семинара им. II.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. 111-166.
5. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). 9-17. URL: http://vestnik.adygnet.ru.
6. Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 21-26.
7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений М.: Едиториал УРСС, 2004.
8. Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 25-33.
Поступила в редакцию 07.06.2016
УДК 517.518.36
СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ СЛАБЫХ ЖАДНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СЛОВАРЯМ
А. С. Орлова1
В работе изучается скорость сходимости слабого ортогонального жадного алгоритма на подпространстве Iх С (2 в случае ортогонального словаря. Показано, что общие результаты о скорости сходимости слабых ортогональных жадных приближений в этом случае могут быть значительно уточнены. Кроме того, установлено, что полученное уточнение асимптотически неулучшаемо.
Ключевые слова: слабый ортогональный жадный алгоритм, ортогональная система, скорость сходимости.
Convergence rate of weak orthogonal greedy algorithm is studied for the subspace tl С i72 and orthogonal dictionaries. It is shown that general results on convergence rate of weak
1 Орлова Анастасия Сергеевна — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasia-orlovalQya.ru.
