Двумерные дифференциальные системы с произвольными конечными спектрами показателя блуждаемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926

ДВУМЕРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОНЕЧНЫМИ СПЕКТРАМИ ПОКАЗАТЕЛЯ БЛУЖДАЕМОСТИ

Е. М. Шишлянников1

Строится двумерная линейная однородная дифференциальная система с кусочпо-пе-прерывными ограниченными коэффициентами, у которой множество всех значений показателя блуждаемости на различных решениях состоит из нуля и наперед заданного конечного множества положительных чисел, причем все эти значения являются существенными.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, блуждаемость решения, характеристические показатели.

We construct a two-dimensional linear homogeneous differential system with piecewise continuous bounded coefficients whose set of ail wanderability indicator values at various solutions consiste of zéro and previously given finite set of positive numbers, and ail those values are essential.

Key words: differential équation, linear system, wanderability of solution, characteristic exponents.

Показатель блуждаемости решений дифференциальных систем, впервые определенный в работе [1], представляет собой характеристику ляпуновского типа, которая совпадает с угловой скоростью решения, но при этом не зависит от выбора базиса в фазовом пространстве.

В работе [2] показано, что спектр (множество значений на различных решениях) показателя блуждаемости любой автопомпой системы совпадает с множеством модулей всех мнимых частей собственных значений ее матрицы. Отсюда, в частности, следует, что спектр любой двумерной действительной автономной системы состоит ровно из одного значения.

Как выяснилось [3], в спектре показателя блуждаемости неавтономной двумерной системы с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами может целиком содержаться некоторый отрезок числовой прямой. В продолжение этого исследования в настоящей работе доказано, что спектр показателя блуждаемости системы из того же класса может состоять также из любого конечного числа наперед заданных неотрицательных значений (включая нуль), причем существенных и в метрическом, и в топологическом смыслах.

Фиксировав в R2 базис, для произвольной функции z € РС1^, R2) (непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой, Е — либо отрезок вида [0, Т], либо полуось R+ = [0, оо), К2 = R2\{0}) однозначно определим функцию фх : Е —> R следующими соотношениями:

фг(0)€[0,2тг), |z(i)|(cos^(i),sin^(i))T = z(t), t € Е, ф2£С(Е),

и, заметив, что из включения z € РС1(_Б, R2) следует включение фх € РС1(_Б), для любого t € Е положим

7Сz,t)= f\Ur)\dr. (1)

J о

Определение 1. Обозначим через D(p) множество функций z € PC1(R+,R2), для которых имеет место равенство p(z) = p(z), где

p(z) = inf lim -7(Lz,t), p(z) = inf lim -7(Lz,t)

, y ' LgAut R2 t^ôo t LgAut R2 i—s-oo t ,J

(здесь AutR2 — множество всех невырожденных линейных операторов из R2 в себя), при этом саму величину p(z) = p(z) = p(z) назовем показателем блуждаемости функции z.

1 Шишлянников Евгений Михайлович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

shieugeQgmail .com.

Для любой линейной системы

z = A{t)z, ге!2, t£ М+, (2)

с кусочно-непрерывной ограниченной матричной функцией А : R+ —> М2х2 (отождествляемой с самой системой) обозначим через 5(A) множество всех ее ненулевых решений. Пусть ЛЛ2р — множество всех таких систем А, удовлетворяющих дополнительно включению 5(A) С D(p) и для каждого решения z € 5(A) при некотором г? > 0 оценкам

г] < \z(t)\ < 1 /г?, i€M+. (3)

Определение 2. Спектром показателя блуждаемости системы А € Л4р назовем множество

S\>p{A) = {p{z)\zzS{A)},

причем значение а € Spp(A) назовем существенным, если подмножество

Рд\а) = {¿(О) | z € S(A), p(z) = а) С R2

имеет положительную меру и заполняет некоторое открытое множество (возможно, с точностью до множества первой категории Бэра, т.е. счетного объединения нигде не плотных подмножеств), а через ess Sp/3(A) обозначим множество всех существенных значений системы А. В настоящей работе доказана следующая основная

Теорема. Для любого конечного множества S С (0, оо) существует система А € A42 (периодическаяесли все числа из множества S соизмеримы), удовлетворяющая равенствам

Spр(А) = ess Spр(А) = S U {0}.

Доказательству теоремы предпошлем несколько вспомогательных обозначений и лемм. Для любых чисел Т > 0, а € [0,2тт) и ö € (0, тг/2] обозначим через Го = Го(Т, а, 5) и Ti = Ti(T, а;) множества, состоящие из всех функций ( € РС1([0,Т],R2), удовлетворяющих условиям:

1) 0(0) = а, где ф =

2) функция ф не убывает на отрезке [0, Q] (Q = Т/4), причем ф{0) — а ^ 7Г, и монотонна на отрезке [Q,H] (Я = Г/2);

3) при каждом t € (0, Н] верно равенство ф(Н + t) = ф(Н — t), а также условиям:

40) при каждом t € [0, Н] верно включение ф(Ь) — а € [0,7Г — (для множества Го);

41) 7Г ^ ф{Н) — а ^ 3-/г/2 (для множества Ti).

Для любой функции z € PC1(R+,R2) и для любых чисел г € N и Т > 0 определим функцию с = с^ G PC1([0sT']5R2) равенствами

&\t) = z((i-l)T + t), t € [0, Т].

Лемма 1. Если для чисел а € [0,1], Т > 0, (х € [0, 27г); ö € (0, 7г/2]; последовательности чисел U € {0,1}, г € N, и функции z € PC1(R+,R2) имеют место соотношения

^ т

lim — J" Ii = а, С GTk, г € N, т—юо ш z—'

г=1

то z € D(p) и верно равенство p(z) = 2атт/Т.

Доказательство. 1. Для любой функции ( £ Ti и любого оператора L € AutR2 докажем неравенство

Поскольку функция ф непрерывна и удовлетворяет левому неравенству условия 4\, найдется такой момент t € (0, Н], что ф(Ь) = а + 7Г, поэтому при некотором к > 0 имеем

at) = -km, с'(t) = bat) = L(-kao)) = -кщо) = -лечо),

8 ВМУ, математика, механика, №5

где = откуда следует, что при некотором т € Ъ верно равенство

Ф(> 0) = Ф(> (0) + 7Г + 2ттг. (4)

Используя условие 3 и равенство (4), выведем требуемое утверждение

7(Ц,Т)= [*\фс,(т)\<1т+ Г \фс1{т)\йт+ Г \фс/(т)\с1т>2 Jo Jt JT-t

rt

ф^ (r) (It

= 2|тг + 2ттг| ^ 2тг.

2. Для чисел а, 5 и произвольного е > 0 построим такой оператор V е AutR2, что для любой функции ( € Го верна оценка

а для любой функции ( € Ti — оценка

7(Ь'С,Т) ^ 2тг + е.

Положим

Ln = SnR, (х'^У = R(, ф' = фщ, (x",y")T = Ln С, ф" = фЬпс, »6N,

где

Sn=(l0), Ф^а-5/2.

\0 пJ у—sin гр COS Ц)J

А. Если ( € Ti, то из условий 1 и 4i и определений операторов R и Sn следуют соотношения

ф'{0) = ф{0) -ф = ¿/2, ф'(Н) = </>(#) - а + 5/2 € [тг + 5/2, Зтг/2 + ¿/2] С (тг, Зтг/2 + тг/4];

0"(О)<е(О,7г/2), ф"{Н) € (-/г, 2-/г); </>"(0) = arctg = arctg ^^ = arctg(ntg(5/2));

,л, тт\ , х"(Н) . х'(Н) . \R((H)\cos ф'(Н)

ф"(Н) = Зтг/2 - arctg = Зтг/2 - arctg —= Зтг/2 - arctg 1 ¿ V 1 . J =

у (Н) пу {Н) п\Щ(Н)\ётф'(Н)

= Зтг/2 - arctg(ctg(0'(#))/n) ^ Зтг/2 + arctg(ctg(тг/4)/п) = Зтг/2 + arctg(l/n),

а из условия 2 и левого неравенства условия А\ следует, что функция ф нестрого возрастает и на отрезке [Q,H], Из геометрических свойств операторов R и Sn для почти всех t € [0, Н] получим неравенства ф"(Ь) ^ 0, а из них и условия 3 — цепочку

т

7(Ln(,T) = J \ф"(т)\<1т = 2{ф"{Н) - ф"{0)) < 2(Зтг/2 + arctg(l/n) - arctg(ntg(5/2))) = ап. о

Б. Если ( € Го, то, рассуждая как в п. 2, А, из условий 1-3 и 4о получим

ф'(0) = 5/2, ф'{Я)=ф{Я)-а + 5/2^[5/2,ж-5/2], ф'{Н) € [5/2, тг - 5/2];

j(Ln(,T) = 2(|ф"{Я) - </>"(0)1 + \ф"(Н) - ф"{Я)\) < 8arctg = 8axctg(ctg(5/2)/n) = Ъп.

пу{ 0)

Числа ап и Ъп не зависят от функции поэтому из равенств

lim ап = 2тг, lim bn = 0

п—>оо п—>оо

следует утверждение п. 2.

3. Используя результат п. 1, для произвольного оператора L € AutR2 получим цепочку неравенств, а затем выведем оценку снизу

[t/T] [t/T]

l(Lz, t) >

i= 1 i= 1

1 , T\t/T] ,1^,1 2 a

lim -7(L2, t) ^ — • lim —---lim —— > 2irk = - • 1 • 2тгa = — тг.

i-S-oo i i-s-oo i i-s-oo л 1 1

г=1

Из результата п. 2 также получим цепочку неравенств и оценку сверху

[t/T] [t/T]

7(L'z, i) < £ T) + 7(L'([t/T]+1, T) < £ (2тг/г + e) + 2ТГ + e,

i=l i=l

Ш \rf(L'z, t) . Шп M ■ Шп ^ + + 0 = | ■ 1 ■ (2vra + = f vr +

из которой в совокупности с оценками снизу и определениями величин p(z) и p(z) следует цепочка

2 а 1 _ 1 _ 1 2а е

^ r lnf — = Я*) < = r inf „9 lim -7(Lz,t) < lim -j(L'z,t) < — тг + -.

i LsAutR2 t—too t LeAutR2i^°oi t^oo t 1 1

Число в сколь угодно мало, поэтому верно двойное равенство p(z) = p(z) = 2атт/Т, а значит, 2 € D(p) и p(z) = 2ак/Т. Лемма 1 доказана.

Для произвольных функций 21,22 € РС(Я, R2) обозначим через (21,22) матричную функцию размера 2x2, столбцы которой являются координатами функций z\ и 22 соответственно.

Лемма 2. Для любых чисел Г > 0 н 1 < с" < с+ существуют такие функции С, С' € РС1([0,Т],R2), число е > 0 и функция d : R\C —> (0,7г/2]; где С = [с~,с+], для которых верны следующие три утверждения:

(i) верны равенства

С(0) = С(Т) = (1,0), С'(0)=С/(Т) = (0,1);

(ii) при всех t € [0, Т] справедлива оценка

det(C(t),C'(i))

(in) имеет место включение С € Го(Т, 0, тт/2), и для любого с € R верно одно из включений

сС + С' G iTo(T,ac,d(c)), если ceR\C; _

С + С G\ri(T,ac), если с € С, «е - vr/2 arctgc.

Доказательство. 1. Определим функции на [0, Т]. Пусть функция £ на отрезке [0, Q] линейно соединяет точки £(0) = (1,0), C(Q) = (1,1), а функция на отрезках [0, Q] и [Q,H] — точки С'(0) = (0,1), С'(,Q) = {~xi 1)) С'{Н) = (—х, —у), где ж = с~с+ и у = с~ +с+ — 1. Положим для всех t € (Q, Н], C(t) = (1,1) и для всех t € (0, Н]

C(H + t) = c(H-t), c'(H + t) = c'(H-t)

и заметим, что верно утверждение (i). 2. Из соотношений

</>c(i) € [0,тг/4], 0C/(i) € [тг/2,тг/2 + arctgc], 0C/(i) - </>c(i) € [тг/4,тг/2 + arctgz], i€[0,Q]; <f>c(t) = тг/4, 0C/(i) € [тг/2,7г+ arctg(3//a;)], 0C/(i) - </>C(i) € [тг/4, Зтг/4 + arctgfo/a:)], i€[Q,tf]; c~ — 1 < (c~ — l)c+, c" + c+ - 1 < c"c+, у < x, y/x < 1

выводим утверждение (и):

det(C(í),C'(í)) = IC(í)IIC'(í)l sin(0c/(í) - фс(1)) te [0, Т],

где

е = min{sin(7r/2 + arctg ж),sin(37r/4 + arctgy/ж)} > 0.

3. Первое соотношение из утверждения (iii) следует из построения функции (вп. 1. При каждом с € К проверим для функции ( = cQ + С' выполнение общих для множеств Ti(T, ас) и Го(Т, ас, d{c)) условий 1-3.

А. Условие 1 получим из равенства ("(0) = (с, 1), которое следует из утверждения (i), а условие 3 — из построения функций £ и в п. 1.

Б. Вектор-функция = ( линейна на отрезках [0, Q] и [Q,H], поэтому функция ф на

этих отрезках монотонна и верно неравенство |ф{0) — otc\ ^ я"- Точки ("(0) и ((Q) = (с — х, с + 1) при с < 0 лежат в левой полуплоскости, причем y^(Q) < 0), а при с ^ 0 эти точки лежат в верхней полуплоскости и x^(Q) < поэтому в обоих случаях верно неравенство ас < ф{0), т.е. функция

ф не убывает на [0, Q], а значит, выполнено условие 2.

4. Осталось проверить условие 4о при с € К \ С и условие А\ при с € С.

А. Если с € (—оо, у), то точка ((H) = (с — х,с — у) лежит строго в III четверти, откуда получим

ф(Н) G (тг, Зтг/2) (5)

и, учитывая, что точки ((Q) и ((H) лежат в левой полуплоскости и что y^{Q) > у^{Н), выведем неравенство ф{0) < ф(Н), а из него и условия 2 — соотношения

фф(=[ас,ф(Н)], t € [0, Я]. (6)

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Если с € (—оо, 0], то из (5) и неравенств ас ^ 7г/2, х > у следует оценка

. ,тт. Зтт х — С Зтт 7Г 7Г

ф{Н) -ас = — ~ arctg —- — -

а из нее и включений (6) — условие 4о при d(c) = 7г/4.

Случай 2. Если с € (0,у), то из (5) и равенства ас = arctg 1/с следует, что

у — с 1

ф(Н) — ас = 7г + arctg--arctg - = тг — d(c), (7)

где

,, . 1 у — с

а(с) = arctg--arctg-,

с х — с

причем знак величины d(c) совпадает со знаком величины

D(c) = -- У~С = °2 ~с(У + 1)+х = (с-с~)(с-с+) с х — с с(х — с) с(х — с)

При с € (0,2/) \ С верно неравенство D(c) > 0, поэтому из (7) и (6) следует условие 4о, а при с € С С (0, у) имеем D(c) ^ 0, значит, из (7) вытекает левое неравенство условия А\, а правое неравенство этого условия следует из включения (5) и того, что ас > 0.

Б. Если с € [у, оо), то точки ((Q) и ((Н) лежат в верхней полуплоскости, поэтому верны неравенства ф{0),ф{Н) ^ 7Г, а из неравенства xq{H) < ж^(0) следует, что ас < ф(Н). Теперь из условия 2 для любого t € [0, Н] получаем цепочку

oic < 0(í) < maх{ф(<2),ф(Н)} < тг,

из которой в совокупности с условием 3 вытекает, что для функции ( выполнено условие 4о при d(c) = ас, а значит, верно утверждение (iii). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если для функций Z\,Z2 € PC1(R+,R2), чисел e,b > 0, подмножества S С [0, оо) и семейства {Са | а € ¿>} непересекающихся отрезков положительной длины, верны условия:

(a) |2i(í)|, \z2(t)I, |ii(í)|, |i2(í)| < b для всех t € M+;

(b) det(zi(í), z2(t)) ^ e для всех t € M+;

(c) Z = {czi +z2|cGR}U {zi} С D(p), {p{z) | z GZ} = S;

(d) для любого а € S при с € Са верно равенство p{cz\ + z2) = а,

то существует система А € М2р, для, которой имеют место равенства Spp(A) = ess Spp(A) = S. Доказательство. 1. Пусть

Z = (zi,z2), A = ZZ~\ (8)

тогда из условий (а), (Ь), равенства Z~l = /det Z (Zadi — транспонированная матрица алгебраических дополнений к матрице Z) и соотношений z\,z2 € PC1(R+,R2) следует, что равенства (8) корректно определяют систему А с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами.

2. Покажем, что решения системы А удовлетворяют оценкам (3).

A. Матричная функция Z — это решение матричного уравнения Z = AZ, поэтому каждый из ее столбцов является решением уравнения (2), т.е. zi,z2 € 5(A), причем из условия (Ь) следует, что векторы Z\(t) и z2(t) линейно независимы при каждом t € К+, а значит, функции z\ и z2 образуют фундаментальную систему решений. Следовательно, верно равенство 5(A) = {az\+bz2 \ (а, Ъ) € М^}, из которого вытекает, что любое решение z € S(A) пред ставимо в виде

z = kz, keR\{ 0}, ze2. (9)

Б. Из условия (а) получим, что функция z ограничена. При любом с € К из условия (Ь) и равенства det(^i, z2) = det(^i, cz\ + z2) следует, что

det(^i, cz\ + z2) ^ e. (10)

Если z = Z\, то из условий (а) и (b), а если z = cz\ + z2, то из условия (а) и оценки (10), рассуждая от противного, получим, что функция z отделена от нуля.

B. Из п. 2, Б следует, что при некотором г? > 0 справедливы оценки (3), а из них и представления (9) вытекает утверждение п. 2.

3. Из (9) и определения (1) следует, что для любых момента t € Ми оператора L € AutR2 верно равенство 7(Lz,t) = 7(Lz,t), поэтому из условия (с) получим, что z € D(p), p(z) = p(z) и Sp p(A) = S.

Из условия (d) для любого значения а € S выведем цепочку

Pa1 (a) D {¿(О) | z = k{cZl + z2), с € Са, к > 0} = {k{czi(0) + z2(0)) | с € Ca, к > 0} = Q.

Векторы 2i(0) и £2(0) линейно независимы, следовательно, множество {cz\(0) + £2(0) | с € Са} является отрезком, лежащим на прямой, не проходящей через точку (0,0), а значит, множество Q — это внутренняя область некоторого ненулевого угла, поэтому имеет положительную меру и содержит некоторое открытое подмножество, откуда вытекает равенство Sp/3(A) = ess Sp/3(A). Лемма 3 доказана.

Доказательство теоремы. Пусть задано множество S = {ai,..., ак}, К € N, и а\ = maxS*. 1. Построим вектор-функции z\,z2 € PC1(R+,R2) в несколько этапов.

А. Для каждого k = 1,..., К и каждого j € N определим число Л (к, j) следующими формулами:

а'к = —, Mk,j) = [ja'k] - [(j - 1 К].

а, 1

Число Л(k,j) — целое и неотрицательное, причем из неравенства а'к ^ 1 и цепочки

Kk,j) = ja'k - {ja'k} ~ (Ü - 1К - {(j ~ l)afc}) = а'к ~ b'afc} + Ш - l)a'k}

следует, что Л(k,j) < 2, поэтому верны соотношения

\{k,j) е {0,1}, k = i,...,K, jen. (11)

Б. Фиксируем значения

1 < с{ < с{ < . . . < Ск < с^

и для каждого к по набору из чисел Т = 2ж / (Ка\), ск и ск, применяя лемму 2, построим функции Ск'С'к? ^к и значение ек.

В. Пусть для каждого г е [о, т]

Со(^) = (1,0), Со(^) = (о, 1)-

Для каждого г € N обозначим через ji € N и € {1,..., К} такие числа, что верно равенство г = — 1 )К + йг (однозначно определяющее числа ji и А^), и положим

*(г) = кг ■ Х(кг,п), С5г = Ся{г)> С5г = С(г)- (12)

Из соотношений (11) следует, что я(г) € {0,1,...,!^}, поэтому формулы (12) корректно задают функции и ¿2, а из утверждения (¿) леммы 2 следует, что функции и ¿2 еще и непрерывны, а значит, ¿1, ¿2 € РС1(К+, К2). Функции х\ и ¿2 построены из конечного числа непрерывных элементов, поэтому при некотором Ь > 0 удовлетворяют условию (а) леммы 3, а из утверждения (и) леммы 2 и равенства ёе1;(Со) Со) = 1 следует условие (Ь) леммы 3 при е = шш{1, е\,..., ек}•

2. Если элементы множества Б соизмеримы, то для каждого к = 1,..., К число а'к рационально, а значит, при некоторых рк,дк € N верно равенство а'к = Рк/Як, откуда для любого ] € N находим

Щ,Э + Як) = Ю + Чк)а'к] ~ Ю + Чк~ 1 )а'к] = \Рк+за'к] ~ [Рк + (] ~ 1 К] = А(к^), т.е. последовательность (А(/г,^))^1 имеет период дк, поэтому функции и ¿2 имеют период С,) = КТЦК=1дк.

3. Докажем равенства

ак, сеСк = [ск,с

P(Zl) = о, р(С,1+,2) = |0; ceCoER^iCfc. (13)

А. Для любой функции z € Z, опираясь на формулы (12) и утверждение (iii) леммы 2, для любого г € N определим тип функции Q в каждом из следующих трех случаев.

Случай 1. Если z = z\, то из равенства (г = Ся(г) получим соотношение Ç € Го(Т, 0, 7г/2).

Случай 2. Если z = cz\ + 22, то имеет место равенство (г = cÇx^ + С'я{{)1 пРичем) когда с € Со, определены значения d\(c),... ,с1к(с), поэтому при 5 = min{di(c),...,йк{с)} верно соотношение с G Го (Г, ас, 5).

Случай 3. Если z = cz\ + 22 и с € Ck, k = 1,..., К, то при 5 = min dk(c) и а = ас получим

{l,...,K}\{k}

^ ЖЛ. (14)

Б. В случаях 1 и 2 функция z удовлетворяет условиям леммы 1 при U = 0, г € N, и а = 0, поэтому p(z) = 0, а в случае 3 последовательность (Ii) определена равенствами из (14), а значение а получим из следующих цепочек:

m n jK n m

= k + A = J2Hk,j) + A = [nalk\ + A, где n = [m/K], Д= J] 1г ^ 1,

г= 1 j=H=(j-i)K+l j= 1 г=пК+1

1 v"\ 1 nii 1 1

a = lim — У^ k = — ■ lim -- lim -— + 0 = — • 1 • a'k,

m->oo m —' к m—s-00 m m->oo n К

i= 1

откуда вытекает, что p(z) = 2a'kir/KT = ak, a значит, верны равенства (13).

4. Из (13) следует, что для функций Z\, 22 выполнены условия (с) и (d) леммы 3, а утверждение теоремы следует из леммы 3, п. 2 настоящего доказательства и равенств (8). Теорема доказана.

Автор выражает глубокую благодарность И. И. Сергееву за полезные советы и замечания, повлиявшие, в частности, на настоящую работу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 6. 902.

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 1. 149-172.

3. Шишлянников Е.М. Пример дифференциальной системы с континуальным спектром показателя блуждаемости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 64-68.

Поступила в редакцию 23.12.2016

УДК 515.124, 515.126.4, 512.562

ПОРЯДОК БРОНДСТЕДА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ КАРИСТИ

Т.Н. Фоменко1

Представлены теоремы о неподвижных точках и точках совпадения отображений упорядоченных множеств, а также их метрические аналоги, обобщающие известную теорему о неподвижной точке Каристи.

Ключевые слова: неподвижная точка, точка совпадения, порядок Брондстеда.

Fixed point and coincidence theorems for mappings of ordered sets, as well as their metric counterparts generalizing the well-known Caristi's fixed point theorem are presented.

Key words: fixed point, coincidence point, Brondsted order.

Работа посвящена проблеме существования неподвижных точек и точек совпадения многозначных отображений метрических пространств. Некоторые метрические теоремы о неподвижных точках и совпадениях выводятся из соответствующих теорем для упорядоченных множеств. Классическими результатами о неподвижных точках в упорядоченных множествах являются теорема Кнас-тера-Тарского [1, гл. 18; 2], ее обобщение на многозначный случай P.E. Смитсона (R. Е. Smithson) [3], а также теорема о неподвижной точке Е. Цермело (Е. Zermelo) [4, 5] (см. также [1, гл. 18]). Как показано в [1, гл. 18], из теорем Смитсона и Цермело разными способами выводится известная метрическая теорема Надлера (S. В. Nadler, Jr.) [6] о неподвижной точке многозначного отображения. Для такой редукции применяется переход от метрики к некоторому порядку, определяемому заданной метрикой. Например, при выводе теоремы Надлера из теоремы Смитсона в [1, гл. 18] используется частичный порядок, предложенный И. Экеландом (I. Ekeland) [7], Р. ДеМарром (R. DeMarr) [8], Е. Бишопом (Е. Bishop) и P.P. Фелпсом (R. R. Phelps) [9]. Для вывода той же теоремы Надлера из теоремы Цермело в [1, гл. 18] (см. также [10]) используется частичный порядок, предложенный А. Брондстедом (A. Br0ndsted) [11] (см. также [1, гл. 18]). Известная теорема о неподвижной точке Дж. Каристи (J. Caristi) [12] выводится в [1, гл. 18] этим способом из усиленного варианта теоремы Цермело [10] (см. также [1, гл. 18, теорема 3.13]).

В работах [13, 14] получены теоремы об общих неподвижных точках и точках совпадения семейств многозначных отображений упорядоченных множеств, обобщающие, в частности, теорему Смитсона [3]. В настоящей работе представлена теорема (теорема 1) о существовании точки совпадения двух многозначных отображений упорядоченных множеств, обобщающая соответствующий результат [13, 14]. В отличие от [13, 14] и некоторых других работ на многозначные отображения не накладываются условия типа накрываемости или изотонности. Требуется лишь наличие специальных цепей, обладающих нижними границами с определенными свойствами. В качестве метрического аналога теоремы 1 получена теорема (теорема 2) о совпадениях двух многозначных отображений метрических пространств. Переход от упорядоченных множеств к метрическим пространствам осуществляется с помощью введения частичного порядка Брондстеда [11]. В частном случае одного отображения метрического пространства в себя получается теорема (теорема 3), обобщающая теорему Каристи. Отметим, что теорема Каристи не следует из таких же метрических аналогов соответствующих теорем [13, 14] о неподвижных точках и совпадениях отображений.

1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex.ru.