CC BY
8Краткие сообщения
УДК 519.95
СЧЕТНОСТЬ ЧИСЛА ЗАМКНУТЫХ НАДКЛАССОВ
НЕКОТОРЫХ МИНИМАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ С% ВСЕХ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, КОТОРЫЕ МОЖНО ГОМОМОРФНО ОТОБРАЗИТЬ НА ДВУЗНАЧНУЮ
ЛОГИКУ
А. В. Макаров1, В. В. Макаров2
Доказана счетность числа надклассов некоторых минимальных классов в частично упорядоченном множестве С\ всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику.
Ключевые слова: трехзначная логика, замкнутый класс, частично упорядоченное множество, гомоморфизм, минимальный класс.
The following theorem is proved: the set of closed classes containing some minimal classes in the partly ordered set C\ of closed classes in the three-valued logic that may be mapped homomorphically onto the two-valued logic is countable.
Key words: three-valued logic, closed class, partially ordered set, homomorphism, minimal
class.
Все необходимые определения можно найти во введении к статье [1] первого автора. В работе [1] также доказано, что в частично упорядоченном множестве (далее ч.у.м.) С^ всех тех замкнутых классов трехзначной логики фз, которые можно отобразить на двузначную логику существует лишь конечное число минимальных элементов, каждый из которых имеет базис из одной функции двух переменных. В работе [2] описаны все минимальные классы в ч.у.м. Их оказалось 15.
(аоо 0-01 0-02 \
аю ац я>12 задает функцию <р(х, у) соотношением <р(х, у) = аху.
«20 Й21 0-22/
В настоящей работе доказана следующая
Теорема. Мощность множества замкнутых классов, содержащих каждый из следующих трех минимальных классов, счетна. Один из этих трех классов (обозначим его ^^{Ох)) порожден следующей функцией ф(х\,х2):
0
002 ^0 0 2,
Остальные два класса получаются изоморфными отображениями этого класса, порождаемыми перестановками циклической группы Аз третьего порядка.
Доказательство теоремы. Пусть г (ж) = ^(ж,®). Тогда
/0 0 2\ /012\ /0 0 2^
Ф(г(х1),х2) =10 2, ф(хъ г(ж2)) = 002, ^(жь ж2) = ф(г(хг), г(х2)) =012 \0 0 2/ \0 0 2/ 4002,
/0 0 2\ /10 2>
Ф(Ф(Х1,Х2),Х2) = Я(Х1,Х2) =102, <3^(Х1),Х2) = 002 | = С(Ж1,Ж2),
V10 2/ \ 1 0 2>
1 Макаров Алексей Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vvniavmmakarovQyandex.ru.
2Макаров Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информатики ф-та общей подготовки МИРЭА, e-mail: vvmavmmakarovQyandex.ru.
/0 0 2\ /0 0 2\
F{Q{xl,x2),G{xl,x2)) = 002 = Я(жь х2), Н{хъ г(х2)) = 002 .
\1 02/ \0 1 2/
Таким образом, из функции ф(х\,х2) получаются все функции следующего вида:
{1, если х\ = 7, х2 = 5]
2, если х2 = 2; где 7 € {0; 1; 2}, ö € {0; 1}.
0 в остальных случаях,
Покажем, что, используя функции ф-уз(х\,х2), мы получим все функции f из класса Tg 0 П U£01,821 такие, что J-oi(f) € 0\ (определения замкнутых классов см. в работе [3], там же дано определение гомоморфизма J-01 класса Us01г£2 на двузначную логику фг)- Сначала получим все функции f(xi,x2) € J-qi(0\). Определение замкнутых классов двузначной логики дано в работе [4] (в этой работе 0\ обозначает замкнутый класс всех селекторных функций).
Пусть а = (сх\, а2) — все наборы, на которых f (xi,x2) принимает значение 1 , а\ € {0,1, 2}, а2 € {0,1} (не ограничивая общности, мы считаем, что J-oi(f) = e|(a?i,х2), где е^ж^жг) = х2 селекторная функция). Сначала получим все функции
f(xi,x2) = _max (ipaia2(xi,x2)),
a,f(a) = 1
где функция max(a;i, х2,..., хт), т ^ 2, определятся рекуррентно:
/012\
max(a;i, х2) = i(ift(xi, х2)) = 112 , тах(ж1, х2, хз) = тах(тах(ж1, х2), Хз),
VI12/
и т.д. Теперь получим все функции <75 (ж i,..., хп), п ^ 3, такие, что существует единственный набор (а\,..., ап), на котором эта функция принимает значение 1, причем ап ф 2, а на всех наборах, таких, что ап = 2, функция gä(x\,..., хп) равна 2 (т.е. функция gs(xi,..., хп) при гомоморфизме Foi отображается в селектор e™(xi,..., хп)). Можно проверить, что д%( Х\,... ,хп) =
га—1) %п) ■ ■ •)))• Из фуНКЦИЙ да(х\, . . . , Хп) С ПОМОЩЬЮ фуНКЦИЙ
тах(ж1, х2,..., хт), т ^ 2, получаем любую функцию д(Х\,..., хп) € Fqi(0\).
Таким образом, показано, что гомоморфный прообраз класса 0\ при гомоморфизме имеет базис из одной функции ф(х\,х2). Приведенное выше доказательство демонстрирует технику доказательства теоремы, сформулированной в статье [2]. Аналогично можно доказать, что в качестве базиса класса J-qi(0\) можно взять любую из следующих трех функций:
/1 0 2\ /102\ /102\ 002 , 002 , 002 . \1 02/ \0 1 2/ V112/
В частности, из функции ф(х\, х2) можно получить полупроекцию (semiprojection) S4 (определение полупроекции дано в работе [5], там же доказано, что над минимальным клоном, порожденным этой полупроекцией, располагается счетное число замкнутых классов трехзначной логики). Поэтому над классом J-q^(0\) располагается не более чем счетное число замкнутых классов трехзначной логики. В работе [1, гл. 2, § 2] приведено бесконечное семейство замкнутых классов *ВР, которые отображаются на двузначную логику. Система замкнутых классов, порожденных замыканием следующих множеств функций: *ВР U J-Qi(Oi),p ^ 2, является примером бесконечного множества замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику. Следовательно, теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макаров A.B. О гомоморфизмах функциональных систем многозначных логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Наука, 1992. 5-29.
2. Макаров A.B. Описание всех минимальных классов в частично упорядоченном множестве С\ всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику // Вестн.
Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 65-66. 3. Яблонский C.B. Функциональные построения в /г-значной логике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51.
4. Яблонский C.B., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.
5. Zhuk D.N. The cardinality of the set of all clones containing a given minimal clone on three elements // Algebra Univers. 2012. 68. 295-320.
УДК 517.926
ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КОНТИНУАЛЬНЫМ СПЕКТРОМ ПОКАЗАТЕЛЯ БЛУЖДАЕМОСТИ
Е. М. Шишлянников1
Построена линейная однородная двумерная дифференциальная система с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами, у которой множество всех значений показателя блуждаемости различных решений содержит целый отрезок числовой прямой.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, блуждаемость решения, характеристические показатели, эргодическая теорема.
Some linear homogeneous two-dimensional differential system with piecewise continuous bounded coefficients is constructed, and its set of wanderability indicator values of different solutions contains a segment of the number line.
Key words: differential equation, linear system, wanderability of solution, characteristic exponents, ergodic theorem.
Ляиуиовские характеристики блуждаемости решений дифференциальных систем впервые были введены И. Н. Сергеевым в работе [1]. В его же работе [2] установлено, что спектр показателя блуждаемости любой системы с постоянными коэффициентами совпадает со спектром модулей мнимых частей собственных значений ее матрицы, а спектр скорости блуждания некоторой системы четвертого порядка содержит целый отрезок.
Для аналогичных же ляпуновских характеристик колеблемости (частот Сергеева [3]) решений дифференциальных систем с помощью эргодической теоремы в [4] доказано, что спектр некоторого линейного автономного дифференциального уравнения четвертого порядка содержит целый отрезок. В работе [5] этот факт установлен для неавтономного дифференциального уравнения третьего порядка, а в [6] — для двумерной дифференциальной системы. В настоящей работе последний результат перенесен на показатель блуждаемости.
Обозначим через М2 множество линейных систем z = A(t)z, z € R2, t € R+ = [0, oo), с кусочно-непрерывными матричными функциями А : R+ —>■ EndR2 (отождествляемыми с самими системами; в R2 фиксирован базис; EndR2 и Aut R2 — соответственно все и все невырожденные линейные операторы из R2 в себя). Через 5(A) обозначим множество всех ненулевых решений системы
Определение. Для произвольной кусочно-гладкой (т.е. непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой), нигде не равной нулю функции z : R+ —> R2 обозначим через ф и г > 0 такие кусочно-гладкие функции, что z(t) = (r(t) cos </>(t), r(t) sin </>(t)), t € R+, 0(0) € [0,2-/г), и назовем показателем блуждаем,ости вектор-функции z величину (если предел в ней существует)
5-142.
Поступила в редакцию
16.03.2016
А € М2.
t
p(z) = inf u(Lz), где u(z) = lim -7(z,t)
Le Aut
1
0
1 Шишлянников Евгений Михайлович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
shieugeQgmail. com.
