Ненулевые периодические решения одной нелинейной системы дифференциальных уравнений Матье Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Т. Терёхин

НЕНУЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЬЕ

Исследуется проблема существования ненулевых периодических решений нелинейной системы Матье. Доказаны теоремы существования и отсутствия периодических решений в достаточно малой окрестности нулевого решения.

периодические решения, система Матье, оператор, неподвижная точка, ранг матрицы, вектор-форма, матрица Якоби.

Рассмотрим систему уравнений Матье вида

- = -(Х + ц cos 2t) (pk (х, y).

d 2 x

dt2

d2 (1)

—2у = -(Х + M cos 2t) Yk (x, У)

в которой X и и - параметры функции, pk (x, y), щ (x, y) - формы порядка k относительно x, y,k > 2 .

Системы вида (1) возникают при изучении движения ионов в электрическом поле [1]. Математические проблемы системы типа (1) изучались в работах [2].

В статье ставится задача: определить условия существования ненулевого v п -периодического решения системы (1), v - некоторое натуральное число.

Заменой переменных x = Х1, Х1 = x2 , Х1 = Х2 y = x3, x3 = X4 , x3 = x4 сис-

тему (1) можно свести к системе

x1 = x2,

x2 = -(x + и COS 2t) Pk (x1, x3 ), (2)

x3 = x4, x4 = -(X + и cos2t) щ (x1, x3).

Систему (2) запишем в векторной форме

x = Ax + (X + и cos 21) Fk (x ), (3)

в которой х = colon(xi,x2,х3,х4), Fk (х) = colon (0, - ф (хьх3), 0, - yk (хьх3)),

А = [colon(0,0,0,0), colon(1,0,0,0), colon(0,0,0,0), colon(0,0,1,0)].

Система первого приближения системы (3) имеет вид

x1 = x2 , x2 = 0, x3 = x4 , x4 = 0. (4)

Фундаментальная матрица X(t) системы (4) определяется равенством X(t) = colon(1,0,0,0), colon(t,1,0,0), colon(0,0,1,0) colon(0,0,t,1,), Х(0) = Е,

Е - единичная матрица, X _1(t) = [colon (1,0,0,0), colori— t, 1,0,0), coloAf), 0,1,0),

colored, 0, -1,1) ].

Из определения системы (3) следует, что система (3) удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров.

Введем следующие обозначения: |x| = max{|xt | }, ||В|| = sup Bx |, B - матрица,

' |x| <1

W (50 )={ze E1: |a|< 50 }, л(5 )={Яе E1: lX < 50 }, m(50 ) = {ue E1: И < 50 },

Es - s -мерное векторное пространство, у = (a,X,и), 50 > 0 - некоторое число, n1,n = |r1,n1 +1,...,n}, n1, n - натуральные числа.

Непосредственно вычислением устанавливаем, что x = 0 - решение системы (3). Следовательно, существует такое число 5 е (0,50 J, что при любых (a,X, u)eW(5)хЛ(5)хM(5) система (3) имеет решение x(t,a,X, и), x(0,a,X,и) = а, определенное на сегменте [0,vnJ, непрерывное и удовлетворяющее неравенству |x(t, а, X, и) | < 50 на множестве [0, v п Jx W(5)хЛ(5)х M(5) . Заметим, что lim Fk (x)/Ixl = 0 .

x^0

Пусть s > 0 - некоторое число. Тогда существует число 51 е (0,50 J, такое, что при любом x (|x| < 51) | F(x) | < s |x|. Кроме того, на множестве 51 < |x| < 50 функция Fk (x)/|x| непрерывна и, следовательно, ограничена. Поэтому существует такое число M0 > 0 , что при любом x (51 < |x| < 50 ) выполняется неравенство Fk(x)/|x| <M0. Следовательно, положив M1 = maxM0,s}, получим, что

Fk (x VI xl < М\ при любом x (| x| < 50 ).

t

Заметим, что x(t, у) = a + S[Ax({,r) + (x + и cos 2£) Fk (x (§, y))Jd|. Отсюда

0

lx(t, r} < \a\ +1 [|| A|| r)+((X + uUm 1 | r)\~\d%.

0

По лемме Гронуолла — Беллмана [3] получаем |x(t,у) < |а| exp(||A|| + 250M)vn . Следовательно, lim x(t,y) = 0 равномерно относительно (t,X,и)е [0,vnJxл(5)хM(5),

a^0

|x(t,r)/И ограничено на множестве [0^п]х W(5)хл(5)хM(5).

Решение системы (3) можно представить равенством x (t, у)= X(t)a +

t

+ X (t )J X "№ + и cos2r)Fk(x(т,a,X,u))dт .

0

1 ' t

Так как lim—-X(t)[Xч(т)(Я + u cos2z)Fk(x(z, y))dz = limX(t)JX4(z) x

y—0 \y\ J y——0 J

К I 0 0

/ >Fk (x(z,y)) |x(t, y) \a\ r

x (X + u cos 2z) —| / \i —|—|—T~{dt = 0 равномерно относительно t e [0, vn\, |x(t,y)| \a\ |y|

то x(t, y) = X(t)a + o( |y| ). Следовательно, решение системы (3) можно записать как

x(t,y) = X(t)а + X(t)J X4 )(X + u cos2^)x Fk(X(%)a)d% + o(yk+') . Отсюда

0

при t = vn получим x(v n, y) = X (vn)a + XF*(a) + uFk"(a) + o(\y\k+1), где

vn vn

Fk*(a) = X(vn) JX-1(t) xFk(X(t)a)dt, Fl*(a) = X(vn) JX_1(t)cos2tF|(X(t)a)dt.

V Л

л)

о

Таким образом, для того чтобы х(^, у) было ненулевым уж-периодическим решением системы (3), необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор у (а Ф 0), удовлетворяющий равенству

(у) + о(| у|Ш )= 0, (5)

La+ Yk+1 (у) + ^ \у\ }= a

в котором L = X (v п) - E , Yk+1 (Г) = X Fk (a) + и Fk* (a).

Непосредственно вычислением устанавливаем, что rang L = 2 . Для определенности предположим, что минор порядка 2, отличный от нуля, расположен на первых двух строках матрицы L .

Тогда, полагая Yk+1 (у) = colon ^Fk+1 (у), Fk+1 (y)J, Fk+1 (y), Fk+1 (у) - вектор-функции второго порядка, систему (5) представим в виде

L1 a + Fk+i (У) + oi (| у\k+l) = 0,

= i \ (6)

Fk+1 (У) + °2 (|у k+^ = °

где L, - 2 х 4 -матрица, rang L, = 2, при любом і є {l, 2} lim oi (\y\k 1) \y\k+1 = 0 .

1 1 y^.0 '' ' //II

Систему (6) заменой переменных у = р l, р > 0 (a = р la ), 111 ^ A,

A > 1 - некоторое число, можно свести к системе

L 2І + р Fk+1 (l) + О1 (р,III) = 0,

= / ч (7)

Fk+1 (/) + O2 (р, |/|) = 0,

в которой L2

L2 = L colon (0, 0), colon (0, 0)].

Теорема 1. Если при любом l (| 11 = 1) colon^L2 l, Fk+1 (l)J Ф 0 , то существует окрестность точки у = 0, в которой нет ненулевых решений системы (6).

Доказательство. Из непрерывности функции colon ^L2 l, Fk+1 (l)j на множестве {l Ill='} следует существование числа m > 0, удовлетворяющего неравенству colon [ L21, Fk+1 (l)] > m при любом l (| l | = 1 ). Из того,

что lim Ip2Fk+1 (/) + 01 (p, 1/1)) = 0, lim O2 (p, \l I) = 0 равномерно отно-

p—0 ' VII// p — 0 v 1 I'

сительно l (| l| = 1 ), следует существование числа p* > 0 такого, что p2 Fk+1(l) + O(P,/I)< m/3, O (p, |l|)|< m/3 при любом p e (0, p*\. Следовательно, при любом y e I y : y = p /, pe( 0, p \, |/| = 1 } |<colon (l2/, Fk+1 (/ )) +

+ co/on (p2 Fk+1 (/), 0) + co/on (O1 (p, j / j), O2 > m/3 . Теорема доказана.

Замечание 1. Если точка / (| / | = 1) такова, что co/on (l2 /, Fk+1 (/ Ф 0,

то аналогично можно доказать, что в любой окрестности точки y = 0 существует множество, в котором нет ненулевого решения системы (6).

-1—г * I * I

Пусть существует точка / I / = 11, удовлетворяющая равенству

co/on ^L2 /*, Fk+1 (/* )j = 0 .

Тогда систему (7) можно записать как

L 2v + O* (p,/ j)= 0,

+§ p. (/ •, v)+о •• (p, 1 /| )=A (8)

i=2

где v = / - /*, d(/*) - значение матрицы Якоби вектор-функции Fk+1 (/) в точке

/*, P. (/*,v) - вектор-форма порядка . относительно v , limO*(p,I/I ) =

p—0 11

= limO**(p, / )= 0 равномерно относительно / (| /1 < A ).

p—0 mi/

Теорема 2. Если rang co/on (l^, d(/*))= 4, /a Ф 0, то существует окрестность точки y = 0, в которой система (6) имеет ненулевое решение, система (2) имеет ненулевое v n -периодическое решение в окрестности нулевого решения.

Доказательство. Для определенности положим, что минор 4-го порядка матрицы (l2 , d(i*)), отличный от нуля, расположен на первых четырех столбцах этой матрицы. Следовательно, colon (l2,d(i* ))v = M1v1 + M2v2, detM1 Ф 0,

k+1 / \

M2 - 4 x 2-матрица, v = (v1 v2 ). Выражение ^ P (l *, v) представим равенством

! 2

i=2

k+1

«--r-1 / \

2 Pi (/^ v) = Q1 (v1 ) + Q2 (v1, v2 ) , lim Q1 (v1 У |v11 = 0 lim Q2 (v1, v2 ) = 0 равно-

.=2 vj— 0 v2 —0

мерно относительно v1 ( |v1 I < 1 + a) .

Система (8) примет вид M1v1 + M2v2 + co/on ( 0, Q1 (v1))+co/on (0, Q2 (v1, v2 ))+ + co/on O* (p, I / |) , O** (p,| / |))= 0. Оператор Г определим равенством Г v1 = = —M11(M2v2 + co/on ( 0, Q1(v!))+co/on (0, Q2 (v^ v2 ))+ co/on (o (p,| /1), O (p,| /1)).

Из того, что lim co/on (0, Q1 (v1))/|v 11 = 0 , следует существование такого

v1—0

числа S1 e (0, S\ , что при любом v1 ( < S1) M1 1 co/on (0, 01 (v1)) < S1/4 . Учи-

тывая, что lim M—^M2v2 = 0, lim M1—1 co/on (0, Q2 (v1, v2)) = 0 равномерно от-

v2 —0 , v2—0

носительно v1 ( |v1 I < S1), lim M—lco/on (о* (p, | /1), O** (p, | /1))= 0 равномерно

p—0

относительно / (| /| < a), число S2e(0, S\ выберем так, чтобы при любых v2 ( v2 I < S2), p e(0, S2 \ выполнялись неравенства |m—1M2v2 < S1 /4 , M—^co/on(0, Q2(v1,v2)) < S1y/4, M—^co/on(o*(p,/),O**(p,/)) <S^4. Следовательно, при любых фиксированных v2 ( v2 | < S2), pe(0,S2 \ и любом v1 (|v1 |< S1) |rv1 |< S1. Из определения оператора Г следует его непрерывность на множестве : |v1 |< S1}. Поэтому существует точка v1 (|v1 |< S1),

удовлетворяющая равенству rv1 = v1.

*1*1*/о1 *

Фиксируем v2 \v2 <S2), p e(0,S2 \. Тогда существует точка v1

1* \ * *

v1 < S11, такая, что rv1 = v1 . Решение системы (6) определится равенством

* *~ у j* * * / * * \ */*.* *\ j* п

y = p / , в котором / = / + v , v = v1,v2 I, y = a , X , u ). Так как /a Ф 0,

то числа S1, S2 можно выбрать так, чтобы выполнилось неравенство a* Ф 0. Это значит, что при таком выборе чисел Sb S2, y* - ненулевое решение систе-

-Hi

t, a , X , и I — ненулевое v п -периодическое решение системы (2). Теорема доказана.

Предположим, что rang colon (l2,d(i* ))= r и 2 < r < 4. Для определенности положим, что r = 2 . Тогда элементарными преобразованиями систему (8)

можно свести к системе

L2v + О* ( р, \11)= 0,

£р(/»+ О-(р,|/| )= 0. (9:

г=2

Пусть число у е 2, k +1 таково, что Ру (/ , V)# 0 при любом г < у Р (/ *, V)= 0 . Система (9) примет вид

L2v + О* ( р, 11)= 0,

Р(1 ^ v)+о (И1)+ О1** (р, I11)=0.

Заменой переменных V = Р1 т систему (10) сведем к системе L2т + — О* ( р, 11)= 0,

(10)

Pj (l *, v)+ O (p, |r| ) + ^j Of (p, \l\)= 0. P1

(11)

Теорема 3. Если при любом т (| т | = 1 ) colon (l2 т, Pj (l , т))ф 0, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, в котором нет ненулевых решений системы (6).

Доказательство в основном аналогично доказательству теоремы 1. Отличие состоит в том, что после определения необходимой оценки величины

O (Рь| т |) p1 следует зафиксировать.

Пусть существует такая точка т*( т* = 1 ), что colon (l2 т*, Pj (l ,т ))= 0 . Тогда систему (11) можно представить в виде

L2z + — O* ( p, |l |) = 0,

P1 j (12) D1 M ) z+Z Pi z)+O (Pl, M)+—j O1** (p, ll I )=0,

/=2 Pi

* I * I /—

в которой z = т — т , D1 и I - значение матрицы Якоби вектор-функции Pj (l ,т ), р (г*,z) - вектор-форма порядка i относительно z .

Теорема 4. Если rang colon (l2 , D1 (M ))= 4, l* Ф 0, то существует окрестность точки у = 0, в которой система (6) имеет ненулевое решение, система (2) имеет ненулевое v п -периодическое решение.

Доказательство в основном аналогично доказательству теоремы 2. Отличие состоит в том, что после определения необходимой оценки величины

O (Pb M) p1 следует зафиксировать.

Если rang colon (l2 , D1 (г* ))= r, r < 4 , то процесс поиска условий существования (или отсутствия) решения системы (6) продолжается. Процесс будет закончен, как только будет получена система уравнений, для которой справедлива одна из теорем типа 3 или 4 либо процесс продолжается неограниченно. Поставленная задача в этом случае неразрешима предложенным методом.

Замечание 2. В системе (9) при любом i е 1, k +1 Pi (l*, v)= = colon (p(1)(/*, v), P(2)(/*, v)). Может оказаться, что существуют числа j1 е 2, k +1 , j е 2, k +1 , удовлетворяющие условиям j1 Ф j2, pj^ (l *, v)# 0,

P/s) (l *, v)= 0 при любом i < js, s е {l, 2}. Система (9) примет вид

's '

ч* і

L2V + О* ( р, \l |)= 0,

P^v)+ О,Й'')+ O” ( p, |l |)= 0, p„_(v)+ oJ2 (vj1)+ o;;(p, 11)=0.

Тогда теорема 3 остается справедливой, если условие «colon (L2 т, Pj (l*, т))ф 0 » заменить условием « colon (L2 т, Pj (/*, т), Pj (l *,т) ф 0».

Если определить D1 (т*) согласно равенству Dj (г* ) = colon (D1(1) (г* ), Dj(2) (г* ) ), при любом s є{1,2} D(s) (т*) - значение матрицы Якоби функции

Pj (l ,т), то теорема 4 остается справедливой.

Пример 1.

Рассмотрим систему

d—X = - (Х + м cos 2t)Re [(х + і у)2 ],

d2 (13)

d2 у

dt

= - (Х + м cos 2t)Re [і (x + і у)2 ].

Заменой переменных х = хь Х1 = Х2, х 1 = Х2, у = Х3, Х3 = х4, х3 = х4 система (13) сведется к системе

х1 = х2,

x2 = — (X + и Cos 2t) (xf — x32 ^ (14)

x3 = x4, .x4 = (X + и cos 2t) 2 x1 x3.

Как установлено выше, решение x(t,a,X,и) системы (14) можно представить равенством x(t,a,X,и) = X(t)a + o(|у|). Тогда решение системы (14)

t

можно записать в виде x(t, a, X, и) = X(t)jX—1 (т)F(t, a, X, и)dr, в котором

o

F(t, a, X, и) = colon (0, — (X + и cos 2т) (x2 (г, a, X, и) — x32 (г, a, X, и)), 0, 2(X + ucos2m) х x1(r,a,X,и) x3(r,a,X,и)), x1(t,y) = a1 +a2t+o(y),

X2(t, Г) = a2+ o(r) , x3(t,r) =a3+a4t + o(r) , X4(t, r)=a4+ o(r) .

Следовательно, для того чтобы x(t, у) было v п -периодическим решением системы (14), необходимо и достаточно, чтобы вектор a , числа X, и удовлетворяли равенству

v п

L a + X(уп)|X— (t)F(t, у)dt = 0, (15)

0

L = X(уп) — E .

v п

Для удобства записей положим a^)= jX_1 (t)F(t, у)dt, a(j')=(a1 (у),

0

a2 (у), a3 (у), a4 (у)). Следовательно, a1 (у)= jt (a + ucos2t)(x12 (t, у) — x| (t, у))dt,

{2 VP ы3\! b ы4

0

V Я V я

a2(j) = j (X + и cos 2t) (x! (t, у) — x32 (t, у)) dt, a3^)=—2 j t (X + и cos 2t) x1 (t, у^ (t, у) dt,

0 0 v п

a4(r) = 2 j (X + и cos 2t) x1 (t, r)xз (t, у) dt.

0

Непосредственно вычислением устанавливаем, что

а (у) = 1 x(a2-a32)v2 я2 + 2X(aja2-a3a4)v3 я3 + ^(a^-a 2 )^4 я4 + м x(aja2-a3a4)vi +

+ 3 м(«22 -«4 )^2 я я + o (у\3), a2 (у) = -Х (a12 -a32 )vk - X(a1a2-a3a4 )v2 я2-

- 1 l(a2-a42)v3 я3-1 м x («2 -a42|уж + o(|у3), a3(у) = -[Xa«3 v2 я + 3x(a1a4 +a2a3)v3 я3+

+ Xa2a4 v4 я4 + м (a1a4 + a2a3jv я + 3M a2a4 v2 я2] + o(|у3) a4 (у) = 2Х a1a3 v я +

+ X(a1a4 + a2a3)v2 я2 + 2Xa2a4v3 я3 + мa2a4vя + o(y|3).

Систему (15) запишем в виде

L a + colon (ах (у) + v я a2 (у), a2 (у), a3 (у) + v я a4 (у), a4 (у)) = 0 . (16)

Элементарными преобразованиями систему (16) можно свести к системе

L* a + colon (a1 (у) + v я a2 (у), a3 (у) + v я а4 (у), а2 (у), а4 (у)) = 0 , (17)

в которой L*= [colon (0,0,0,0), colon (v я, 0,0,0), colon(0,0,0,0), colon (0, v я, 0,0)]. Систему (17) можно записать следующим образом:

L(1) у + F1 (у)+ °1 (|у\3 )= 0

I \ (18)

F2 (у)+ o2 (|у\3 )= 0,

2

где L(11) = [colon (0,0), colon (уя,0), colon (0,0), colon (0, vя), colon (0,0), colon (0,0)]

I3 (у) + v^4 (у)) - o (Iу 3 L F2 (у) = colon (a 2

р(у) = Ыш(а1 (у) + Vлa2(у), аз(у) + Vлa4(у)) - о(|у|3),F2(у) = сЫт (а2(у), а4(у))-о((у)3), F1(у), F2(у) - вектор-формы порядка 3 относительно у .

Заменой переменных у = р1,р > 0, (аг = р1{), г е {1,2,3, 4}, Л = р/5, ^ = р16, I е Е6, I < А систему (18) сведем к системе

L1(1) l + О(р,l) + О(р,| 11)= 0

F2(l) + О(р,| 11) = 0.

(19)

yl 1 + О I р i/i 1 — 0

Можно убедиться (см. Замечание 1), что если существует вектор

lo ( lo = 1), удовлетворяющий неравенству colon (l((1)l o, F2 (lo))ф 0, то в любой

окрестности точки у = 0 имеется множество, в котором нет ненулевых решений

системы (19). Такой точкой lo , в частности, является точка lo = (1,1,0,0,1,1).

Поэтому необходимым условием существования ненулевого решения системы (19) и, следовательно, ненулевого v п -периодического решения системы (14) в достаточно малой окрестности нулевого решения x = 0 яв-

* / * \

ляется существование вектора l I l = 11, удовлетворяющего равенству colon (l((1)l*, F2 (l* ))= 0.

Заметим, что равенство L® l = 0 выполняется тогда и только тогда, когда

l2 = l4 = 0 . При l = (l1 , 0, ¿3,0, l5, l6 ) вектор-функция F2 (l) принимает вид F2(l)= colon [—15(/j —132)v^,21113 /5гп]. Для определения величин l1, l3 , l5,

l6, удовлетворяющих равенству colon [—15 х (l^ —132 )v п, 2111315 v п] = 0, имеем систему уравнений

l5 (l22 —132 )= 0, l1l3l5 = 0. (20)

Следовательно, решениями уравнения colon (l^l, F2 (l)) = 0 являются векторы, удовлетворяющие системе (20), то есть векторы е1 =(1,0,1,0,0, l6),

е2 = (1,0,0,0,0,l6), е3 = (0,0,1,0,0,l6), е4 =(1,0,l3, 0,0,l6), e5 = (l1,0,1,0,0,l6),

e6 =(0,0,0,0,1,l6), 1^1 < 1, |l3| < 1, \ l6\< 1.

*1

Рассмотрим сначала случай, когда l = l .

Систему (19) можно представить в виде

L(1) v + O(p,l )= 0,

A(/')v + ZP"(r,v)+ O(p,\ 11)= 0, (21)

в которой O1 (p, /I )= O(p,/) + 0(p, / ), lim O^p, / ) = 0 равномерно относитель-

p—0

но / ( /1 < a) D1 ( *) - значение матрицы Якоби вектор-функции F2 (/) в точке /*, Р/1 (*, v) - вектор-форма порядка i относительно v, v = / - / , vj = ^ ^

при любом j e 1, 6 .

Непосредственно вычислением устанавливаем, что D1 (/ * ) = = \co/on (0, 0), co/on(0, 0), co/on(0, 0), co/on(0,0), co/on(0,2v n), co/on(0, 0)\, P2(1)(/*,s)= co/on (p2(11)(/*, v) ,P^(/*, v)), Р2(1(/*, v)= —2vnv1v5 — vn/6v22—v2n2v2v5 +

+ 2vnv3v5+ vn/6v42 +v2n2v4v5, P2(21)(/*,v) = 2vnv1v5+ v2n2 xv2 v5+ vnv3v5+

2 2

+v n v4v5+vnv2v4.

Систему (21) перестановкой третьей и четвертой строк можно свести к системе

v + colon (0,0, p2 (l*, v) + Oj (|v|2) + Oj (p, |l| )) = 0,

L1 v + colon (0,0, P2(2j) (l", v) + o,

PS' (l *• v)+o2 (l v2)+O' (p, l),

^2 - 1^»^,» ,, ,K /-,0,0), colon (0,0,0), colon (0,v

в которой L® = \co/on (0,0,0), co/on (v n,0,0),co/on (0,0,0), co/on (0,v n,0), co/on (0,0,vn) , co/on (0,0,0 )\, lim o. (|v|2 )/ |v|2 = 0, i e{l,2}, lim O* (p,| / |) = 0,

v—0 M I // I I p—0 v I I'

lim O* (p, I /1) = 0 равномерно относительно / (I /1 < a), rang zl1) = 3 . p—0

Заменой переменных v = p^, p1 > 0, v. = p1ii при любом i e 1, 6 систему (22) преобразуем в систему

(23)

41 т+О1 (р1,| т)+—О* (р, Ц )=0, р1

Р<1> ( *,т)+ О2 (р„| т ) + -^ О" (р, II )= 0,

р1

где Нт О у (р1 |т |)= 0 равномерно относительно т (|т| < А), 1 е{1,2}.

Й1 ^0

Можно убедиться, что только при т* = (1,0,1,0,0, т6 ), т*2 = (1,0, т3, 0,0, т6 ), т*з = (гь0,1,0,0, т6), т*4 = (0,0,0,0,0,1), |т| < 1, |т3| <1, co/on(L(21)т1*l.,Р2(11)(/*,т1*у.)) = 0,

1 е 14 .

Пусть т* = т* = (1,0,1,0,0, Т6 ). Тогда систему (23) можно представить как

41 2+О1 (р1,| т)+—о* (р, и )=0, р1

А т*1)г + б211) (и^, г )+ О2 (р1а| т )'+ -у О* (P, И ) = 0,

р1

где D1 (т*) - значение матрицы Якоби формы Р^1 (*,т) в точке т = т-*!, г = т - т*1, zi = ті - т- ц, і є 1, 6 , Q21 (V*, 2) - форма 2-го порядка относительно z . Непосредственно вычислением устанавливаем, что Dl (т*) - нулевая матри-

0(11)/ * ^ о 2,0 ,2 2 2,2 2 22

2 ;V , г) = -2уп2х2ъ-уп22 + 2ук2ъ25+у п 24 + у п 2а2ъ-у п 2225.

В результате преобразований матрица 1^2 не изменилась, форма О211 (V*, 2 ) по своей структуре совпала с формой Р^ (*,т).

Пусть т* = т1*2 = (1,0,12,0,0, т6 ). Тогда систему (23) можно записать в виде

L®z + O1 (pj, I a| ) + — O* (p, |/|) = 0,

Pl (24)

A (Т12 ) z + ö212) ^ z )+ O2 (Pl\ A)+^2 O * (P, l )=0,

pl

7* \ *

, A I в точке A = A

12 :

в которой D1 (т1*2 ) - значение матрицы Якоби формы Р^1 (/ *,т)

* * - /-л(12) і * і і

2 = т - т12, 2і = т - т12і, і є 1,6, 22 V , 2 ^ - форма 2-го порядка относительно 2 . Непосредственно вычислением устанавливаем, что D1 (г*) = (0,0,0,0,у п,0),

0212) (V•, 2 )= ОГ (V•, 2 ).

Операцией сложения строк систему (24) можно свести к системе

2 + О1 (р1,1 ті ) + — О1* (р, II ) = 0,

Р1

О'12> (V •, 2)+о2 (Р1,| т)+О •• (р,щ )=0.

Р1

В результате преобразований матрица Р(21) не изменилась, форма О212) (V*, 2 ) по своей структуре совпала с формой Р^1 (/ *,т).

К аналогичному результату приходим, рассматривая случаи: a = а

13 :

***

А — Алл , А — А

14 > 1 -‘16-

Продолжая этот процесс далее, приходим к выводу, что при Г = Iі проблема существования ненулевого уж-периодического решения системы (14) предложенным методом неразрешима.

Рассмотрим случай I* = 12 = (1,0,0,0,0, ^ ) . Систему (19) можно записать как

L v + Oj(p,|/| )= 0,

D, (/')v + LPc>(r, v)+ 0( p,\/1)= 0, (25)

i=2

в которой lim 01 (p, /j) = 0 , lim O (p, | /1) = 0 равномерно относительно / (I /I < a),

p—0 p—0

D2 (*) - значение матрицы Якоби вектор-функции F2 (/) в точке / *, Рf2 (/*, v) -

вектор-форма порядка i относительно v , v = / — / *, v. = /. — /. , i e 1, 6 .

Непосредственно вычислением устанавливаем, что D2(/*)= \co/on (0,0), co/on (0,0), co/on (0,0), co/on (— vn,0), co/on (0,0)\, P.111 (/', v)= co/on (P2(12) (/', v), P322> (/v)) ,

P2(12)(lv)= -2vjt v1v5 - vn l6 v; - v2n2v2v5 + vn l6 v42

* l 2 2 v I = vn vv + v n v~vA + vn v~vA

P(2)(l* v)-............. ............

1 22 к ’ / 3 p 5 ' y r 2 r 4

Систему (25) запишем в виде

42) v + colon (0,0,P2(12) (/*, v))+ O1 ( v|2 )+ Oj* (p, |/| ) = 0,

P2(22) (l *, v)+ O2 ( v| 22+ O * ( p,| l |)= 0, (26)

где L(22) = \co/on(0,0,0),co/on(vn,0,0), co/on(0,0,0), co/on(0,vn,0), co/on(0,0, — vn), co/on(0,0,0)\, rangL(22) = 3, lim0t(v|2)= 0 при любом i e {l,2}, lim O* (p,| /1)= 0,

v—0 ' 17 p —0

lim 01 ( p, I /1)= 0 равномерно относительно / (| /I < a) .

p—0

Заменой переменных v = p1r, p1 > 0, v = pjx, i e 1, 6 систему (26) преобразуем в систему

Lfr + O1 (p1,| г| ) + — O* (p,/j )= 0,

p1 (27)

*

2(22) (l^, a)+ O1 (pi^ A ) + “У O* (P,И ) = 0, pi

в которой lim O. (p1,| г I )= 0 равномерно относительно т (I г |< a), i e {1,2}.

p —0

* * ... * * Можно убедиться, что только при Т = Т 12 = (1,0,0,0,0,/6), Т = Т 22 =

= (1,0,1,0,0,/6), Т* = Т*23 = Т* = Т*44 = (0,0,0,0,0,1), co/on (l(22)t*, P2(22) (/*,г))= 0.

**

Пусть г = Г21. Тогда систему (27) можно представить как

L2) z + Oj (pi, I A ) + — Oj* (p, \l\ ) = 0, pi

D1(2) A*j)z + Q221) (v\ z)+ O2 (pi,|A )■+ O (P, l ) = 0,

pi

(28)

где 42) (г2*1) - значение матрицы Якоби формы Р^2 (и*,т) в точке т*1,

* * ^(21)/ * \ 1

г = т-т21, =тг -т21г, г е 1,6, Q2 \у , г) - форма 2-го порядка относительно г .

Непосредственно вычислением устанавливаем, что 42) (т2*1) - нулевая

матрица, 0^21)(у*,г)=уяг3г5 +у2ж2 г4г5 +ут2г4.

* *

При т = т22 систему (28) можно представить в виде

L(22) z + Oj (pi, I A ) + — Oj* (p, |l| ) = 0,

pi (29)

Di(2) A*2 ) z + Q222) (v ^, z) + O2 (pi,| A )'+ -y O (P, l ) = 0, pi

где D[2) (t2*2) - значение матрицы Якоби формы P^2 (/*,т) в точке т*2,

* * --- хл(22м * і і

z = т-т22, Z =т -Т22і , i ^1,6, 22 v , zj - форма 2-го порядка относительно z . Непосредственно вычислением устанавливаем, что D1(2) (г**2 )= (0,0,0,0^я,0),

ранг матрицы colon(¿2, D1(2)(т2*2)) равен 3, gi,22)(v*,z)= vяzзz5 +v2я2 z4z5 +vяz2z4.

Операцией сложения строк систему (29) можно свести к системе, структурно совпадающей с системой (28).

* * * *

Следовательно, как при т = Т21, так и при т =Т22 получаем систему уравнений

L(22) z + Oj (pj,I A ) + — O * (p, |l| ) = 0,

pi

Q2 (v^, z) + O2 (pi^l A )'+ “yO** (P, Щ ) = 0

pi

в которой lim Oj(pi,| А )= 0 равномерно относительно l (|/| < А), j е{1,2},

Pl^0

lim O* (p, |l|) = 0, lim O** (p, |/| ) = 0 равномерно относительно l (|l| < а) , Q2 (v*, z) =

p^ö p^0

2 2

= vn z3 z 5 + V n z 4 z5 +vn z 2 z5 .

В результате преобразований матрица І22) не изменялась, форма О2 (V*, 2) по структуре совпала с формой Р2(2) (/ *, V).

**

Аналогичный результат получим при исследовании случаев т = т2з, ** т = т24 .

* 2

Продолжая этот процесс далее, приходим к выводу, что при I = I проблема существования ненулевого уп -периодического решения системы (14) предложенным методом неразрешима.

Пусть I * = 13 = (0,0,1,0,0,16 ). Система (19) примет вид

L((i) v + Oj (p, \l\ )= 0,

Dj(3) (* )v + ZP(3) (l*, v)+O (p, 11 j) = 0, (30)

i=2

в которой lim O1 (p, l) = lim O (p, 111) = 0 равномерно относительно l (lll < а) ,

p^0 p^0

A(3) (l*) - значение матрицы Якоби вектор-функции F2 (l) в точке l *, Pf3 (l*, v) -

вектор-форма порядка г относительно у , у = / -/ , уг = /г - /г , г е 1,6 .

Непосредственно вычислением устанавливаем, что Д(3)(/*)= [со/оп(0,0), со/оп(0,0), со/оп(0,0), со/оп(0,0), со1оп(у п,0), со/оп(0,0)],

Р2(3) (Л у)= со/оП(Р2?) (Л у), Р2(23) (Л у)), Р2(13) (Л у)=-^16у22 + 2у^у3у5 + у +

+ у^/6у^ , Р2(23) (/ *, у )= 2у жу1у5 + уж/6 у2у4 +у2^2у2у5 .

Систему (30) запишем в виде

L((3) v + colon (0,0, P2(3} (l *, v))+ O1 ( v|2 )+ O* (p, |l|) = 0,

p2:3)(l*,v)+ O2(v|2)+ O* (p,| 11)= 0, (31)

где Lj3) = [colon(0,0,0), colon(y л,0,0), colon(0,0,0), colon(0, v л,0), co/on(0,0, vtz),

colon(0,0,0)], rangL(3) = 3.

Заменой переменных v = pa, p1 > 0, vi = pAj при любом i e 1, 6 систему (31) преобразуем в систему

l(3)а + O1 (p1,| А ) + — O* (p, |l| ) = 0,

i \ p1 1 (32)

P:(23) (l*, a)+ O2 (p, | А ) + — O** (p, |l|) = 0,

p1

в которой lim O1 (p1,| А )= 0, lim O2 (p1,| А )= 0 равномерно относительно

p1^° p1^0

а (А <а), lim O**(p,lll )= 0 равномерно относительно l (lll < а) .

p^0

Можно убедиться, что только при А* =А*1 =(ишд 6), а' =а*2 =(1,0,0,0,0, l„ ),

А* =А-*3 = (°,°,l,°,°, ), а* = а*4 = (°,°,°,°,°, l6) colon^A", P™ (Г,а))= 0.

Далее методика исследования системы (32) совпадает с методикой исследования системы (27).

В результате проведенных исследований приходим к выводу, что при

l* = l3 проблема существования ненулевого v л -периодического решения сис-

темы (14) предложенным методом неразрешима.

К аналогичному выводу приходим при рассмотрении каждого из случаев

l* =l4, l * =l5, l* =l6.

Итак, приходим к следующему заключению: задача определения условий существования vn -периодического решения системы (14) оказалась неразрешимой предложенным выше методом.

Но если в первом уравнении системы (13) положить Л = Л, во втором — положить Л = 7^2 и предположить, что Л Ф 7^2, то непосредственным вычислением и с учетом того, что y = (а!,«2,а3, a 4, Л , Я2 , ц), l = (А, I2,13,14,15,1б, I7 ), получим систему (21), в которой при l* =(1,0,12,0,0,0,l7), |l7| < 1, colon(L1(f), Dx(*)) = \colon (0,0,0,0), colon (vn,0,0,0), colon (0,0,0,0), colon (0,vn,0,0),

colon^0,0,- — vn,0^j, colon(0,0,0, vn),colon(0,0, 0,0)], mngcolon{b1 (l ),D1 (l ))= 4.

По теореме 2 измененная система (14) имеет ненулевое vn -периодическое решение.

Снова рассмотрим систему (1).

Учитывая, что x1(t,a,7, ц) = a1 +a2t + o(| y|), х2 (t,a,7, ц) = а2 + o(| y|),

х3(t,а,Л,ц) = а3 + a4t + o(|у|), x4(t,a,7,ц) = а4 + o(|у), получим: (pk(x1(t,a,Л,ц),

хз(t, a, Л, Ц)) = Vk (al, a3) + Z (a)tJ + Vk (a3,a4)tk + o(yk ), Vk (x1 (t,a, Л,ц)

j=1

j=1

Тогда, полагая F*(t, a, Л,ц) = colon(0,-(7 + yucos2t)vk (x1(t,a,7,^), x3(t,a,7, ц)),

v n

0,- (Л + цотИ) Vk (x1 (t,a,ЛЦ x3(t,a,ЛЦ))), b(y)= JX4(t)f*(t, a, Л, ^)dt,

0

b(y)=(b1 (y\b2 (y\b3 (y\b4 (y)), для определения условий существования vn -периодического решения получим систему вида

L*a + colon (b1 (y) + v n b2 (y), b3 (y) + v n b4 (y), b2 (y), b4 (y)) = 0, (33)

в которой L*=\colon(0,0,0,0), colon(vn ,0,0,0), colon(0,0,0,0), colon(0, vn,0,0)].

(34)

Систему (33) можно представить следующим образом

L1 У + S1 у) = 0,

S 2 (у)= 0,

где L1 = [colon(0,0) colon(v л,0) colon(0,0), colon(0, V л) colon(0,0), colon(0,0)],

S1 (у) = co/on[bi (у) + v л b2 (у), b3 (у) + v л b4 (у)], S2 (y) = colon (b2 (у), b4 (у)) .

Заменой переменных у = pl, p> 0, ai = plt, i є 1, 4 , A = pl5, ^ = pl6,

l є E6, 111 < A, система (34) преобразуется в систему

L11 + O(p, l ) = 0,

V Л

j (І5 +16 cos 2t p (Xi(t, y), X3 (t, у)) dt = 0,

0

v л

j(/5 + Л6 cos 2tV (xi(t, у), X3 (t, y))dt = 0,

и, следовательно, в систему

Li l + o(p,| l| )= 0,

s 21 (l)+o(p,| l| )=0,

S 22 (l)+ O(p,| l| )= 0,

в которой S 21 (l )= /5

k-1

Pk (/ь 13 \л + Z Pkj (l) j=1

(v л)j+1

j +1

+ pk (l 2 , 14 )

/ V

{ул)

k +1

k + 1

+

+

16 j cos 21

k-1

Pk (/i, l3 )+ Z Vkj (/ )tj + Pk (/ 2 , l4 ) t

j =1 k - 1

S 22 (l ) = 15 [P k (l 1 , 13 )v + Z V k j (l )

j = 1

(v Л )j +1 ( , )(V л

. , + V k (l 2, 14 )

j + 1

dt + O(p, j / |)= 0 ,

k+1

(v л )

k + 1

Vл k-1

l6 j cos 2t[Vk (/i, l3 ) + Z Vkj (l)tJ + Vk (/2 , l4 )t

0 j=1

dt + o(p, j 11)= 0 .

Теорема 5. Пусть существует точка (xo, Jo М0,0) , max{|xoI, \yo\ j= 1,

удовлетворяющая равенствам

oo

Pk(xo Jo ) = V k(xo Jo ) = °. Тогда

если

dPk (xo , Jo ) dVk (xo , Jo ) dPk (xo , Jo ) dVk (xo , Jo )

Ф 0, то система (2) име-

dx cJ cJ dx

ет ненулевое уж-периодическое решение в окрестности нулевого решения.

k

k

Доказательство. Так как каждое из слагаемых форм ф к] (/ ), ¥к; (/) содержит либо /2, либо 14, то при / * =(/*,0, /3,0,1,1), /* = хо, /3* = уо, со/оп(Ь1/ 21 (/*), ^22 (/*))= 0 . Непосредственно вычислением устанавливаем, что

значение матрицы Якоби вектор-формы ео/оп^ *21(1), S *22 (/)) в точке / * опре-

гдфк (/;, /;) еук (/*. к)Л

а /1 ’ д /1

деляется равенством D(l*)

(

colon

colon

colon (a32, a42),

8(Pk^)’l), colon (a34,a44) , colon (a35, a45 ),colon (a36 , a46 )],

8 l3 8 l3 I

где atj - известные числа. Следовательно, матрица colon \l1, d(i *)] имеет вид

colon \Lj,d(/*)] = \co/on (0,0 8Pk(/,l 3), 8Vk(li,l 3)A|co lon(vn,0,a32,a42) ,

colon

^00Р;,i*3) Vi*,/*3)^

, , c i3 , c l3 у

, colon (0, v л, a34, a44), colon (0,0,a35, a45),

colon (0,0, ^ «46 )].

Согласно условиям теоремы rang colon^,D1 (l*))= 4. Справедливость теоремы следует из теоремы 2. Теорема доказана.

Пример 2.

Рассмотрим систему (1), в которой Pk(x, у) = 2x2 - xy - у 2, Vk(x,у) = = 3у2 - 2xy - x2. Система (2) примет вид

x1 = x2 ,

x2 = - (Я + л cos2t)(2x12 - x1 x3 - x32),

x3 = x4,

x4 = - (Я + л cos2t)(3x32 - 2x1 x3 - x12) .

Определим условия, при которых система (35) имеет ненулевое ул-перио-дическое решение в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Как установлено выше, решение системы (35) можно представить равенством х(,а, Л, /и)= х()а + о(|у|). Тогда решение системы (35) запишем в виде х(,а, Л, /и)= х()а + X ()[х 1 (т)р**(т,, в котором

F**(T,y) = colon (0, - (Я + ц cos 2t)(2 x,2 (t,y) - x1 (t,y)x3 (t,y) - x32 (t,y )),0, -

- (Я + ц cos 2t) x (3x3 (t,y) - 2x (t,y) x3 (t,y) - x12 (t,y) x! (t, y) = a! + a2t + o(\y\)),

x2 (t ,y) = a 2 + o(\y ^ , x3 (t ,y)= a3 + a 4t + o(\y\), x4 (t ,y)= a4 + o(\y\) .

Следовательно, для того чтобы x (t, y) было v n -периодическим решением системы (36), необходимо и достаточно, чтобы вектор y удовлетворял равенству

vn

La + X (vn) J X _1 (t) F ** (t,y)dt = 0, (36)

0

L = X(vn)-E .

vn

Для удобства записей положим c(y)= JX_1 (t)F** (t, y)dt, c(y) = (c1 (y),

0

c2 W c 3 y), c4 y)) .

Следовательно,

c1 (y)= J t (Л + ц cos 2t)(2 xf (t, y) - x1 (t, y)x3 (t, y) - x% (t, y)) dt,

0

vn

c2 (y) = - J (Л + ц cos 2t) (2 x2 (t, y) - x1 (t, y)x3 (t, y) - x32 (t, y)) dt,

0

vn

c3 (y) = J t (Л + ц cos 2t) (3x32 y) - 2x1 y)x3 y) - x2 y))dt,

0

vn

c4(y) = - J (Л+ц cos2t)(3x32 (t,y) - 2x1 (t,y)x3 (t,y) - xf (t,y))dt.

0

При любом j e 1,4 функцию cj (y) определим согласно равенству cj (y)= c j y) +o( ly 3), lim o(y 3 У|y3 = 0. Непосредственно вычислением

2 2

устанавливаем, что cj(y)= Л (2ax2 - axa3 - a32)v ^ + Л(4axa2 -

1 4 4

- aa3 - a1a4 - 2a3a4) 3v3 n 3 + Л (2a22 - a2a4 - a2 )— + ц (4a1a

- a1a4 - 2a3a4)^vn + ^(2a2 - a2a4 - a2) 4v 2 n 2 , c2(y) = -A(2af - a1a3 - a32) x

x vn - Л(4a1a2- a1a4- a2a3- 2a3a4 ---Л (2 a |- a2a4-a | )v n

-р (2 а | -а 2 а 4-а 4 ) — vn , с* (у) = Я (з а32 - 2а—а3 - а— )V П + Я (б а3а4 - 2а2а3

2 2

3 3 4 4

-2аА - 2а,а, )Vn + (3а= - 2а2а4 - а2 + ^3«. - 2а5а3 - 2аА -

-2а—а2 )—V n + ц (3 а2- 2а2а4-а| )~v2 n2, с* (у) = -X(3а32 - 2а—а3 - а—2) х

x v n - 7 (6aa4 - 2a2a3 - 2a1a3) ^ - 7 (3a42 - 2a2a4 - a= ^ -

- ц (3a2- 2a 2a 4-a I ) ~vn .

Систему (36) запишем в виде

L a + colon (cj (y) +v n c\(y ), cj (y ), cj (y ) + v n cj (y ), c4 (y ))+ o(\y\3 )= 0. (37)

Элементарными преобразованиями систему (37) можно свести к системе

L a + colon{c* (y) + v n c\(y), cj (y) + v n c4 (y), cj (y), c4 (y))+ o(y |3 )= 0 , (38)

в которой L*= \colon (0,0,0,0), colon (vn ,0,0,0), colon(0,0,0,0), colon (0, vn ,0,0)] и, следовательно, к системе

L1 y + S1 y)+o1(y 3 )= 0,

(\ (39)

y 3 )=0,

где L = \colon (0,0), colon (vn ,0), colon (0,0), colon (0, vn ), colon (0,0), colon (0,0)],

S1y) = colon (cj y) + v n cj y), c3 y) + v n c j (y)), S2 y)= colon (cj y),c j ^ S1y) , S 2 (y) - вектор-формы порядка 3 относительно y .

Заменой переменных y = pl, p> 0, ai = plt, i e 1, 4 , Я = pl5, ц = pl6,

l e E6, j l j < A, система (39) сведена к системе

L1+O1 (p, |i| )= 0,

5 2 (i)+o2 (p,\i\)= 0,

(40)

lim Ol (p, 1/1 )= lim O2 (p, 1/1 )= 0.

p^ö p^ö

Согласно теории, изложенной выше, необходимым условием существования ненулевого решения системы (40) и, следовательно, ненулевого уж-перио-дического решения системы (36) в достаточно малой окрестности решения x = 0

* / * \

является существование вектора /I/ = II, удовлетворяющего равенству

colon (bll*, Dl (l *)) = 0 .

Так как L1l = 0 при l2 = /4 = 0, то при l =(/1,0,/3,0,l5,/6) вектор-форма S2 (l) примет вид S2 (l )= colon[-15 (2 /1 - l1l3 -l| )vn, -15 (3l| - 2l1l3 -112 )vn . Для определения величин /1, /3, /5, І6, удовлетворяющих равенству

colon [-15 (2112 - l1l3 - l| ),-/5 (3 l| - 2 l1l3 -11)] = 0, имеем систему уравнений /5(2 /12 -/1/3 -/32)= 0, /5(3/32 - 2/1/3 -1\)= 0.

Следовательно, решениями уравнения colon (L1/, S 2 (l )) = 0 являются векторы l1 = (l1,0,l3,0,l5,l6), l1 = l3, 0 < 11 < 1, 0 < |l5| < 1, 0 < |l6| < 1;

l2 = (l1,0, і3,0,0, l6), l1 = l3, 0 < 11 < 1, 0 < |l6| < 1; l3= (l1,0, і3,0,0, l6), 0 < Ц < 1,

0 < \l3\< 1, l1 * l3, 0 < |l6| < 1; l4 = (0,0,0,0,l5,l6), 0 < |l5| < 1, 0 < \l6\< 1.

Рассмотрим случай l * = l1. Для определенности положим /1 = /3 = /5 = 1. Систему (40) можно представить в виде

L1 v + 01 (p, |/| ) = о,

Y(/*)v +ZRi (l\v)+ O2 (p,|l|)= о, (41)

lim O— (p, I/I)= lim O2 (p, I/I)= 0 равномерно относительно I (| /I < a) , Y(/*) - зна-

p^-0 p^-0

чение матрицы Якоби вектор-функции S2 (/) в точке / *, Ri (/*, v) - вектор-форма

* * порядка i относительно v , v = / - / , при любом j е j, 6 Vj = /j -/j .

Непосредственно вычислением устанавливаем, что y(/ * )= [co/on(-3vTT ,4vn ),

colon [- V 2,2Л 2 ], colon v ,-4v), colon [ 3vn 2, - 2vn 2 Л colon (0,0),

co/on(0,0)], rang co/on(L—,Y(/*)) = 4 . Тогда по теореме 2 система (39) имеет ненулевое решение в окрестности точки у = 0, система (36) имеет ненулевое V n -периодическое решение в окрестности нулевого решения.

Методом неподвижной точки убеждаемся, что система (41) имеет решение, то есть существуют числа 8 > 0 р > 0 и вектор V (|VI < 8), удовлетворяющие системе (41). Тогда решением системы (39) будет вектор у , определенный равенством у = р* (/* + v ). Учитывая, что /* = (l,0,1,0,1,/6 ), число 8 > 0 выберем

так, что будут выполнены неравенства у = (а,Л,и)ф 0 и а = р*/а Ф 0. Следовательно, система (36) имеет ненулевое Vп -периодическое решение х(.,а,Л,и).

Аналогично, как и в примере 1, можно убедиться, что проблема существования ненулевого V п -периодического решения в достаточно малой окрестности нулевого решения х = 0 система (36) неразрешима предложенным в вышеизложенной теории методом, если в качестве вектора / * взять любой из векторов /2, /3 (случай / * = /4 тривиальный).

Отметим следующее. Рассматриваемые в работе функции являются формами. Следовательно, если форма обращается в нуль в точке и(| и \ = 1), то она обращается в нуль и в точке ^ и при любом ^ > 0 . Можно убедиться, что результаты исследований, полученные как при ^ = 1 , так и при ^ Ф 1 , совпадают. Поэтому для простоты записей рассматриваются только такие нули и Ф 0 формы, которые удовлетворяют равенству и = 1.

1. Конёнков Н.В., Корольков А.Н., Черняк Е.Я., Махмудов М.Н. Квадрупольный фильтр масс с импульсным питанием // Масс-Спектрометрия. 2005. Вып. 2/3. С. 199-208.

2. Арнольд В.И. Замечания о теории возмущений для задачи типа Матье // Успехи математических наук. 1983. Т. 38, вып. 4/232. С. 189-203 ; Каудерер Г. Нелинейная механика. М. : ИЛ, 1961. 777 с. ; Мак-Лахан Н.В. Теория и приближения функций Матье. М. : ИЛ, 1953 ; Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М. : Мир, 1966. 229 с. ; Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложение. М. : Наука, 1972. 718 с.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. С. 108.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд, В.И. Замечания о теории возмущений для задачи типа Матье [Текст] / В.И. Арнольд // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38, вып. 4/232. - С. 189-203.

2. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] / Б.П. Демидович. - М. : Наука, 1967. - 472 с.

3. Каудерер, Г. Нелинейная механика [Текст] / Г. Каудерер. - М. : ИЛ, 1961. - 777 с.

4. Конёнков, Н.В. Квадрупольный фильтр масс с импульсным питанием [Текст] / Н.В. Конёнков [и др.] // Масс-Спектрометрия. - 2005. - Вып. 2/3. - С. 199-208.

5. Мак-Лахан, Н.В. Теория и приближения функций Матье [Текст] / Н.В. Мак-Лахан. - М. : ИЛ, 1953.

6. Терёхин, М.Т. Ненулевые периодические решения уравнения Матье [Текст] / М.Т. Терёхин, Е.С. Потапова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2008. -№ 13. - С. 132-137.

7. Хейл, Дж. Колебания в нелинейных системах [Текст] / Дж. Хейл. - М. : Мир, 1966. - 229 с.

8. Якубович, В.А Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложение [Текст] / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. - М. : Наука, 1972. - 718 с.