CC BY
26
УДК 512.83
М.Т. Терехин, И.С. Потапова
УСЛОВИЯ ПРИВЕДЕНИЯ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Исследуется проблема преобразования матрицы с переменными коэффициентами. Предложен метод построения матрицы, которая с помощью постоянной неособенной матрицы может быть преобразована в диагональную.
транспонированная матрица, алгебраическое дополнение, скалярное произведение, задача Коши.
При исследовании свойств решений систем линейных дифференциальных уравнений существенную роль играет наличие явного представления функциональной матрицы линейной однородной системы. С этой целью интерес представляет проблема существования методов приведения матрицы к диагональному виду. В статье с использованием методики исследования этой проблемы, предложенной в работе [1], рассматриваются условия преобразования матрицы к диагональному виду.
Пусть дана постоянная матрица A = (а^ )П и п -мерные постоянные векторы Ак , ¡ик, к = 1,п, определенные равенствами Ак = со1оп(А\), А^,--- ДпР) ,
Векторы А,А2,...,Ап выберем так, чтобы матрица Л = (А,А2, —,Ап)
Или, что все равии, (лк¡ик) — (Л ¡ии , л ¡ил ¡л1п ).
© Терехин М.Т., Потапова И.С., 2014
/л}, ¡л2,..., ¡лп , чтобы выполнялись равенства
олжны быть векторы
П
(1)
при p Ф к, при p — к,
где ((к, Ар) - скалярное произведение векторов цк ,Ар , ск - некоторое число, но такое, что возможно существование натурального числа т , 1 < т < п , при котором ск Ф 0, если 1 < к < т, ск = 0, если т < к < п .
Из равенства (1) следует, что
а
а
^А-к)..(к)а =^Т А(к)..(к1 Л11 /-*11 ?и21 /__(/121 Л*11 з
к=1 к=1
2 = 1 А(:)М(к), ^ = 1 А2к)(1(2к),
к=1 к=1
А(к)() а = ^ Ак),,(к1
А1 (1п , а2п ХА21 (1п ,
^Ак ),,( к)
Ап1 (11
к=1
а = ^ Ак),,(к)
ап 2 X Ап1 (12
к=1
а = Х А*1^*)
пп / 1 п1 г^1п
(3)
(4)
(5)
к=1
к=1
к=1
Из систем (3), (4) и (5) получим соответственно
((1к) =
() =■
(1 =
И1п ¿й л
¿е^А, А2,. • •, Ак-1, а1, Ак+1, • -, Ап 1
det Л
¿е^А, А2,. • •, Ак-1, а2 , Ак+1, _ -, Ап 1
det Л
det(А, А2,. • •, Ак-1, ап, Ак+1, • -, Ап 1
(6)
(7)
(8)
где к = 1, п , ак = (а1к , а2к ,•••, апк 1 .
Следовательно, равенства (6), (7) и (8) определяют векторы (, (2, _, (П , удовлетворяющие равенству (1).
Векторы (, (2, _, (п определим так, чтобы выполнялось равенство (2). С этой целью составим следующие системы уравнений:
((1, А) = X(к1 А = с , ((1, А1 = X(1(1)Ак2) = 0, ..., ((1, Ап) = X(1(1)Ак1) = 0; (9)
к =1
к=1
к=1
((2, А1 = X= 0,((2, А = X(^Ак^1 = С2 ,^,((1, Ап 1 = £ (111Ак1) = 0;.. ^ (101
к=1 к=1 к=1
((,А1) = Х(ПА = 0, ((п,А2) = Х= 0, ..., (,Ап 1 = Х(^1) = ^,; (П)
к=1 к=1 к=1
с = (с1, с2, , СП ) — некоторый ненулевой постоянный вектор.
Символом Лг;1к) обозначим алгебраическое дополнение элемента матрицы Лг (Л — транспонированная матрица по отношению к матрице Л ).
Из системы (9) находим
( = — с1Л1(1), (8=— с1Лт211), ..., (}=— С1ЛТП11). (121
det Л 1 11 ^12 det Л 1 21 И1П det Л 1 П1 1 '
Из системы (10) следует, что
(2)= 1 с Лт( 2) (2)= 1 с Лт(2) (2)= 1 с Лт(2) (13)
Ач1 , , Л 21 *11 ’ А*12 , , Л ^ 21 ! •••! Ачп , , * *п1 • V1-5/
det Л det Л det Л
Из системы (11) получим
—с лт1п) , (2п)
¿ее Л П 11 12 ¿ее Л П 21 ^ ‘ 1П ¿ее Л
(п) =__________1_____с Лт( п) (п) = 1 с Лт( п) (п) =_________1____С Лт( п) (141
Ач1 , , ■ '■'П1 *11 ’ Ач2 , , А ‘П 21 ’ * * * ’ АЧп , , А и^Уп1 ■ V1 V
Тогда, учитывая равенства (6), (7), (8), (12), (13) и (14), будем иметь при любых к = 1, П, г = 1, П
..{к) = ¿^(А| А _ Ак-1агАк+2 _ Ап1 (к) = 1 с лт(к)
( = ¿ее Л ’ ( = ¿ее Л С Л1 ■
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть векторы А1,А2,_,\ такие, что матрица Л неособенная, с = (с1, с2,_, СП) — ненулевой вектор. Тогда, для того чтобы выполнялись
равенства (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы при любых к = 1, П, г = 1, П выполнялись равенства
Ск Лт1к) = А _Ак-1агАк+2 _А ),
Ск Лтг1к ) = ) ¿ее Л.
(15)
Заметим, что из выполнимости равенств (9), (10) и (11) следует, что вектор
С = ( (1,А1 ), (( А2 ((п А )) .
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда справедливо равенство АЛ = ЛС, где С = dгag[((, А ((2, А2), _, ((П ,АП)].
Доказательство. Методом вычисления устанавливаем, что при любых
к =1П (Ак(к)Л =(0П к-1, Ак((к,Ак),0П к+11, 0П к-1,0П Пк+1 — матрицы с нулевыми элементами. Следовательно, с одной стороны,
П
АЛ = I Ак (кЛ = [А1((,А1),А2((2,А2),_,К ,А )], с другой стоPоны, учи-
к=1
тывая, что Ак ((к ,Ак) = со1оп(А\ , А^1, _, А(к) )((к, Ак), получим АЛ = ЛС . Теорема доказана.
Теорема 2 может оказаться полезной при нахождении решений линейной системы дифференциальных уравнений.
Отметим, что если т < п, то вектор с определяется равенством с = (( д , Я ),(Д2, Я), • • •,(Дт,Ят),0,0,...,0), матрица С - равенством
Пример 1. Пусть дана матрица А = [со1оп(-3,-8,-6), со1оп(0,1,0), со1оп(4, 8,7)]. Ставится задача: определить
векторы А,А2,А3, (, д2, д3 так, чтобы выполнялось равенство
Д,Яу) - скалярное произведение векторов Ді, Я;-.
Задачу будем решать, предположив, что матрица Л = (Я, Я, Я ) известная и определяется равенством Л = [со/оп(1,2,1),со/оп(2,4,3),со/оп(0,3,0)], det Л = -3.
Для определения векторов Д1, Д2, Д3, удовлетворяющих равенству (17), требуется найти решение систем уравнений вида
п-т
-Л (Яд) + (Л-2Д2) ^ (ЯДХ
(16)
в котором при любом І = 1,3, Я = С0/0П(Я^, Я^Я?), Д = Дп), Д^, Дз)), при
условии, что
ирм і = у, ирм І Ф у,
(17)
(Д, Я) = д(1 + 2 д£ + д^ = С1,
(д,Я) = 2Д« + 4д£ + 3Д» = 0,
(Д, Я) = 3д£ = 0;
(Д2, Я ) = Дп2) + 2 д42) + Д1(з2) = 0, (Д2,Я2) = 2Д1(12) + 4Д1(22) + Д = C2, (д2,Яз) = Зд42) = 0;
(Дз, Я ) = Д(3) + 2 Д1(23) + Д1(з3) = 0, (ДзЛ) = 2д(3) + 4Д1(23) + 3Д1(33) = 0,
(д3,Я3) = 3 Д12 = С3'
(18)
(19)
Основной матрицей систем (18), (19) и (20) является транспонированная по отношению к матрице Л матрица Лт , det Лт = —3 . Предположив, что С = с3 = 1, с2 = 3, устанавливаем: решением системы (18) является вектор д = (3,0,—2), решением системы (19) - вектор ц2 = (—3,0,3), решением системы (20) - вектор ¡и3 = (— 2/3,1/3,0) .
Путем непосредственного вычисления можно установить, что равенство
(16) выполняется, если учесть, что (Яд) = [co/on(3,6,3), colon(0,0,0), co/on(—2,—4,—2)],
(Я2Д) = [co/on(—6,—12,—9),co/on(0,0,0), co/on(6,12,9)],
(Яд) = [co/on(0,—2,0), co/on(0,1,0), co/on(0,0,0)].
Убедимся, что АЛ = ЛС , где C = diag[(^l, Я ), ( д, Я), (Д , Я)],
( д, Я ) = 1, (дД2) = 3, (д, Я) = 1. Действительно, учитывая равенство (16), получим
АЛ = [(Яд) + (Яд2)+ (Aj^3)][co/on (1,2,1), co/on (2,4,3), co/on (0,3,0)] = [co/on (1,2,1), co/on(0,0,0), co/on(0,0,0)] + [co/on(0,0,0), co/on(6,12,9), co/on(0,0,0)] + [co/on(0,0,0), co/on(0,0,0), co/on(0,3,0)] = [co/on(1,2,1), co/on(6,12,9), co/on(0,3,0)].
Кроме того, учитывая, что С = diag(1,3,1) , получим ЛС = [co/on(1, 2,1), co/on(6,12,9), co/on(0,3,0)], то есть АЛ = ЛС .
Исследуем проблему существования невырожденного преобразования матрицы с переменными элементами в диагональную матрицу.
Пусть дана матрица A(t), определенная на сегменте [a, b].
Определение. Множество Wn = j(Як д ) : к = 1, n, i = 1, n| назовем множеством согласованных матриц, если (д, Як ) Ф 0, к = 1, n,
(д, Я ) = 0, к = 1, n, i = 1, n, к Ф i.
Из теоремы 1 следует, что если det Лф 0, то для того, чтобы Wn было множеством согласованных матриц, необходимо и достаточно, чтобы при любых к = 1, n , i = 1, n для любых векторов Як и д выполнялись равенства (15). Справедлива следующая теорема.
Теорема 3[1]. Если det Л Ф 0 и матрицу A(t) можно представить равен-
m ----
ством A(t) = Х (Я дк ) fk (t), в котором m < n , при любом к = 1, m матрица
к=1
(Я дк) е Wm, /к (t) - известная функция, определенная на сегменте [a, b], то при любом t е [a, b] справедливо равенство A(t)Л = ЛС(t), где
с о) = йад( д, я )А (t), (М2, Л )/2 (tX—,(мт ,К )/ш ОX рА.-^ •
п— т
Доказательство. Действительно (см. доказательство теоремы 2), с одной сгороты, при любом к = ^ т (Лкдк )А/к (t) = (0п1—', Лк (дк, Лк )/к (tХ0™+1).
т
Следовательно, А(I )А = 2 (ЯкМк ) А/к (I) = [ Л (М, Я )Л(> ),Л М Л) АО),...,
к=1
Лт (Мт , Лт ) ' ' /т ^ХОД.^.
п—т
С другой стороны, учитывая, что при любом к = 1, т Як (мк ,Лк )/к (I) = = со1оп(Я1), Я,-••, Л)(МкЛк)/к(I), получим справедливость равенства А(1 )А = АС (I) • Теорема доказана.
Из проведенных рассуждений следует, что любая пара (А, с(1)), в которой А - неособенная п х п -матрица, с(1) = (с1 /1 (I), с2/2 (I),..., сп/п (I)), при любом . = 1, п с1 - произвольное, но фиксированное число, fi (I) - произвольная, но фиксированная функция, заданная на сегменте [а, Ь], определяет матрицу А(I), которая может быть преобразована в диагональную. В частности, если для любого . = 1,п , /(I) = 1 на сегменте [а,Ь], то пара (А,с), с = (с1,с2,...,сп)
определяет постоянную матрицу, которая может быть преобразована в диагональную.
Пример 2. Пусть задана пара (А, с(1)), в которой А = [со1оп(1,1/2,1/3), со1оп(1,1,1 / 3), со1оп(—3,0,1)], с^) = (1,—2(! +1/ 212 ),0) . Очевидно, что Л = со1оп(1,1/2,1/3), Л = со1оп(1,1,1/3), Л = со1оп(—3,0,1) . Векторы
М1 = (М11 , М12 , М13 ), М1 = (М11 , М12 , М13 ), М1 = (М11 , М12 , М13 ) определим
согласно равенствам
(М1, Л) = М1(1)+12 м12) + >3 мТ = 1,
(М1, Л) = М? + Ми + М1Т = 0, (21)
(мl, Л3) = —3м1(11) + М<\ъ = 0;
(М2, Л ) = М1(12) + 12 М1(22) + ^3 М1(32) = 0,
(М2 , Л2) = М1(2) + М1(22) + 13 М1(32) = —2, (22)
(М2 , Л3) = —3М1(2) + М1(32) = 0
(цА) = Д3) +12 Д2 + >3 Д3 = о,
(ц, А) = Д3 + д(23) + ^3 д1з3) = 0, (23)
(ц, А) = — 3 + ц(з) = о.
Разрешая системы (21), (22) и (23), получим, что ц1 = (1,—2,3), д2 = (1,—4,3) , д3 = (0,0,0). Множество W2 (множество согласованных матриц A1, A2) определим равенствами: A1 = (Ац) = [colon(1,1/2,1/3), colon(—2, — 1, — 2/3), colon(3, 3/2,1)],
A2 = (Ад2) = [colon(1,1,1/3), colon(—4,—4, — 4/3), colon(3,3,1)]. Матрица A3 = (Ад3) - нулевая.
1 2 1 2 Матрицу A(t) зададим так: A(t) = A1 + A2(t + — t ) = [colon(t + — t +1,
1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 4 2
t н— t н—, — t н— t н—), colon(—2t — 4t — 2, — 2t — 4t — 1,-----1-----1-----),
2 2 3 6 3 3 3 3
3 2 3 2 3 1 2
colon(3t н— t + 3, 3t н— t н—, t н— t +1].
2 2 2 2
Определив матрицу C (t) согласно равенству 12
C(t) = diag(1,—2(t + — t ),0) , с помощью вычисления устанавливаем, что
A(t)A = AC(t) . Действительно, с одной стороны,
12
A(t)Л = АЦ\Л + А2ц2A(t +—t ) = А (1,0,0) + А (0,—2,0)(t +
1т 11 т т21т
+ — t ) = [colon(1, —, —), colon(—2t — t ,—2t — t ,—— t — — t ), colon(0,0,0)].
С другой стороны,
AC(t) = [colon(1,1, 1),colon(1,1,1),colon(—3,0,1)]diag(1,—2(t +112), 0) =
1 1 2 1 [colon(1,—,—), colon(—2t — t ,—2t — t , — — t — — t ), colon(0,0,0)], то есть
A(t)A = AC(t) при любом t.
Найдем решение задачи Коши системы x = A(t)x, в которой A(t) - матрица, определенная в рассматриваемом примере. Систему X = A(t)x путем замены переменных y = Ax преобразуем в систему y = C(t)y , решение y (t) (У(0) = Р) которой определится равенством y(t) = Y(t)Р ,
, -(I2+^3)
У(I) = [со1оп(е ,0,0), со1оп(0, е 3 ,0), со1оп(0,0,1)],
У (I)- фундаментальная матрица, У (0) = Е, Е - единичная матрица. Тогда решение х^) системы Х(!) = А(I)х запишется как x(I) = А—У(I)( .
11 3 1
Учитывая А1 = [со1оп(1,—,—), со1оп(—2,2,0), со1оп(3,—,—)] и пола-
2 6 2 2
—1 —1 1 —(12 +1I3) 1 I:
гая ( = Аа , получим х(!) = А У(I)Аа = А [со1оп(е ,—е 3 ,—), со1оп(е ,
—(12 +113) 1 ( е 3 , —), со1оп(—3е ,0,1)]а . Определив матрицу X( I) равенством
—1 , -(I2+1I3) 1 , -(I2+1^) 1
X(I) =А У(0А = [со1оп(е — е 3 +1, — —е + е 3 — — ,0), со1оп(е —
—(I2 +1!3) 1 , -(I2 +1!3) 1 3 3
— 2е 3 +1, — —е + 2е 3 — —, 0),со1оп(—3 + 3,—ег — —,1)], получим, что
х( I) = X( !)а (X(0) = Е) - решение задачи Коши системы х( I) = А^)х .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ретюнских, Н.В. [Текст] Критерий приведения матрицы А(ї) к диагональному или треугольному виду с помощью постоянной матрицы // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2002. - № 6. - С. 72-76.
REFERENCES
1. Retunskih, N.V. Criteria of matrix reduction to diagonal or triangular form by means of a constant matrix// Izvestia Akademii Estesvennih nauk [Bulletin of Russian Academy of Natural Sciences]. Differential equations. - 2002. - №6. - P.72-76.
M.T. Teryokhin, I.S. Potapova
THE CONDITIONS OF REDUCION THE MATRIX TO DIAGONAL FORM
It is investigated the problem of transformation of matrix with variable elements. It is proposed the method of construction of matrix, which maybe transformated into of matrix by means of constant non-singular matrix.
transposed a matrix, algebraical adjunct, scalar product, problem of Coshy.
МАТЕМАТИКА
