Существование и единственность решения скалярной задачи дифракции на объемном неоднородном теле с кусочно-гладким показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968, 517.983

DOI 10.21685/2072-3040-2018-3-2

А. А. Цупак

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ОБЪЕМНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ С КУСОЧНО-ГЛАДКИМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - исследование разрешимости скалярной задачи дифракции монохроматической плоской волны объемным неоднородным телом, характеризующимся кусочно-гладким показателем преломления.

Материалы и методы. Задача рассеяния рассматривается в квазиклассической постановке; исследование разрешимости проводится с использованием метода интегральных уравнений.

Результаты. Рассмотрена квазиклассическая формулировка задачи рассеяния, доказана теорема единственности ее квазиклассического решения; задача дифракции сведена к интегральному уравнению Липпмана - Швингера; доказана эквивалентность интегрального уравнения и краевой задачи; доказаны непрерывная обратимость интегрального оператора и, как следствие, существование единственного решения задачи рассеяниями.

Выводы. Полученные результаты о разрешимости прямой задачи дифракции могут применяться для исследования обратных задач рассеяния.

Ключевые слова: задача дифракции, квазиклассическая постановка, слабосингулярные интегральные уравнения, существование и единственность решения.

A. A. Tsupak

PRESENCE AND UNICITY OF SOLUTION OF THE SCALAR PROBLEM OF DIFFRACTION BY A VOLUMETRIC INHOMOGENEOUS SOLID WITH A PIECE-WISE SMOOTH REFRACTIVE INDEX

Abstract.

Background. The aim of the present paper is investigation of the direct scalar problem of plane wave scattering by a volumetric inhomogeneous solid, characterized by piece-wise smooth refractive index.

Material and methods. The considered scattering problem is considered in the semiclassical formulation; the scattering problem is reduced to a weakly singular Fredholm integral equation of the second kind.

Results. The semiclassical formulation of the scattering problem is proposed; the uniqueness theorem is proved for the scattering problem in differential formulation;

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-01-00219 A.

© 2018 Цупак А. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

the original problem is reduced to the Lippmann-Schwinger integral equation; equivalency between the integral equation of the second kind and the boundary value problem is proved.

Conclusions. The obtained results on existence of a unique solution to the problem and its continuity obtained in the present article can be used for theoretical investigation of inverse problems of diffraction by compound volumetric obstacles.

Key words: diffraction problem, quasi-classical solutions, integral equations, existence and uniqueness of a solution.

Введение

В данной работе применен метод интегральных слабосингулярных уравнений для исследования скалярной задачи рассеяния акустической монохроматической волны на ограниченном препятствии, характеризующемся кусочно-гладким показателем преломления.

Настоящая работа является продолжением исследований скалярной задачи дифракции, проведенных в [1, 2]. Существенным отличием является рассмотрение рассеивателей Q , коэффициент преломления n(x) является не бесконечно дифференцируемой функцией во всей области неоднородности, а гладкой в подобластях Qj с Q, число которых предполагается конечным.

При этом допускается, что на границах dQj коэффициент преломления имеет разрыв первого рода. Такое предположение относительно свойств тела Q позволяет рассматривать задачу для существенно более широкого класса препятствий.

Исследование прямых задач дифракции имеет важное значение для исследования обратных задач восстановления неизвестного коэффициента преломления; такие задачи рассматривались в работе [3]. В отличие от [3], в данной статье рассматриваются препятствия произвольной формы, минимальные ограничения наложены и на форму подобластей Qj.

В первом разделе статьи формулируется строгая постановка краевой задачи дифракции и доказывается теорема единственности квазиклассического решения задачи дифракции.

Во втором разделе описано применение метода интегральных уравнений к исследованию задачи дифракции: приведен вывод системы интегральных уравнений, доказана теорема о непрерывной обратимости оператора уравнения Липпмана - Швингера в пространстве квадратично суммируемых функций. Последний результат вкупе с эквивалентностью краевой задачи системе интегральных уравнений влечет существование единственного решения исследуемой задачи рассеяния.

1. Квазиклассическая постановка краевой задачи дифракции. Единственность решения

Пусть Qj (j = 1,...,n ) - ограниченные непересекающиеся связные

открытые области в Ж3, а область Q такова, что Q = lUjQj. Граница dQj каждой из подобластей является кусочно-гладкой и образована конечным числом ориентированных поверхностей класса C. Будем предполагать, что

границы смежных подобластей сходятся под углами, отличными от нуля. Через E обозначим объединение ребер, расположенных и внутри области Q , и на ее границе. Введем обозначения:

Щ \ E, ЭQ' = ЭQ \ E.

3 —

Пространство Ж \ Q однородно и характеризуется волновым числом ke . Неоднородное тело Q характеризуется кусочно-гладкой функцией k(x), k(x) е C(Qj), имеющей в Qj ограниченные производные любого порядка.

В Ж выполняются условия Яе k(x) > 0 и 1т k(x)^0, при этом k(x) = ke > 0 вне Q .

Падающая волна, а также рассеянное и полное поле являются монохроматическими:

U0(x, t) = п0( x)e-Ш, Us (x, 0 = us (x)e-Ш, U (x, 0 = u ^)е-Ш.

Падающее поле считается известным. В данной работе будем

/ \ ike (x1a1 + x2а2+x3а3) рассматривать плоскую волну по(x) = e гК 11 22 3 , единичный вектор

T

(а^, а2, аз) задает направление падения волны.

Прямая задача рассеяния монохроматической волны по( x) на теле Q состоит в отыскании полного поля п = п (x) = по (x) + п, (x),

u е C~(3\ Q))П C2 Q )П Cl (

(1)

удовлетворяющего:

- уравнению Гельмгольца:

Au (x) + kj (x)u (x) = 0, x е Qj, Au (x) + kju(x) = 0, x е M3 \ Q;

(2) (3)

- условиям сопряжения (через п обозначен единичный вектор нормали к рассматриваемой поверхности):

[u ]|

= 0,

du

дП

9Q'

= 0, [u ]9Q =0

du

дП

= 0;

(4)

- условиям ограниченности энергии в произвольной конечной области:

пе н}ос(Ж3); (5)

- условиям излучения Зоммерфельда:

1 ^ дп, (1

us(r) = O| — |, = ikeus + o| при r := |x|

(6)

Определение 1. Решение и(х) задачи дифракции (2)-(6), удовлетворяющее условиям (1), называется квазиклассическим.

Ниже будет показано, что поставленная задача рассеяния имеет единственное решение. Точнее, верна

Теорема 1. Если 1т к(х) > 0 , то задача (2)-(6) имеет не более одного решения, удовлетворяющего условиям гладкости (1).

Доказательство. Покажем, что однородная краевая задача с ио = 0 может иметь лишь тривиальное решение и3 = и .

Введем открытый шар В с центром в начале координат такой, что В з Q . Введем ограниченную область Qn+l'.= В \ Q и неограниченную

3 —

область Qn+2 .= К \ В. Исходная задача дифракции для и3 сводится к задаче сопряжения в подобластях Qj (через V^ обозначим сужения функции и3 на подобласти Qj).

(А + к2 (x))vj (x) = 0, (A + kl)vj (x) = 0,

= ikeVn+2 + o ( -

dr ^ r

xe Qj (j = 1,...,n), x eQj (j = n + 1, n + 2),

Г ^

[us ][

dQ

= 0,

dus

"эЛ

= 0.

Щ

Применим первую формулу Грина

| (иАу + УиУу )) = | и

dv Эп'

V д¥

в ограниченных областях Qj (] = 1,..., п +1), полагая и = , V = V

j

j

J (vjAvj +1 Vvj |2 )dx = - J к2 (x) | vj |2 dx

+

Q,

Qj dv,

+ J IVVj |2 dx = J Vj"dn^ds, j = 1,...,n ,

Qj dQj

J ((Avj +1 Vvj |2 )dx = -ke2 J | vj |2 dx

+

Qj

Qj

(7)

(8)

+ J | Vvj |2 dx = J vj dVj

Q,

dn

j = n +1.

-у

Складывая все равенства в (9), получим с учетом (8).

(9)

к] (х) | V;12 ёх - к2е | |уи+1|2 ёх + =

е«+1 ;=12 ;

п+1 3

= X I V;^ = I5п+1 ^ 00)

г=1 -2■ -5

В последнем преобразовании равенства (10) учтена противоположная направленность векторов нормали к общим частям границ смежных областей. Из условий Зоммерфельда следует, что Уп+1 = 0 и Уп+] = 0 (подробное доказательство приведено в [1], в рассматриваемом случае рассуждения проводятся аналогично).

Докажем теперь, что решение тривиально внутри области неоднородности. Рассмотрим произвольную «внешнюю» подобласть 2;

(такую, что -2; п-2 = S ). Решение и (х) может быть представлено в интегральной форме (см. разд. 2):

и(х) = (х,у)(к2(у) -к2)и(у)ёу = X {О(х,у)(к2(у) -к2)и(у)ёу + 2 1ф;2к

+ I£(х,у)(к2(у) -к2)и(у)ёу = у(х) + ^(х), хе 2;.

Исследуем и (х) в достаточно малой окрестности и произвольной точки хо е Очевидно, у(х) е С(и). Представим м>(х) в виде

м>( х) = IО (х, у )(к 2(у) - к])и (у)с(у )ёу +

+ I О(х,у)(к2(у)-к2)и(у)(1 -с(у))ёу = ^(х) + ^(х), в;и' 0 а

где с(у) е С^ (и) - финитная непрерывная функция-срезка, тождественно

равная единице в Вг (х0) = и 'с и. Тогда ^ е С(и') в силу гладкости ядра

2 3

интегрального оператора. Для верно включение е С (Ж ), так как ^ -объемный потенциал с плотностью (к2 (у) - к] )и(у)с(у) е С°,а (Ж3) [4, с. 269]. Таким образом, имеем: и е

С 2(и'),

удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и равна нулю в и' \ 2. В силу принципа единственного продолжения [4, с. 273] получим и = 0 в и' и, следовательно, во всем параллелепипеде 2;. Перебирая все 2; и повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что и = 0 в 2. Теорема доказана.

2. Интегральное уравнение задачи дифракции

Для сведения краевой задачи дифракции к интегральному уравнению применим вторую формулу Грина

Эv Эи,

J(uAv - vAu)dV = J (udn - vdn)ds

dV

в областях 01,..^п+1, рассматривая в качестве и = и(у) полное поле, а в каче-

е'ке\х-У1

4п \ х - у \

стве V = G(х, у) функцию Грина уравнения Гельмгольца. G(х, у) = Получим

\ и (у) - °(х, У) = \ ((У)АС(х, у) - в(х, у)Ащ(у) ) =

Q,

= J [u(y)AG(x,y) -G(x,y)Au(y)-((y)AG(x,y) -G(x,y)A^(y))]dV =

Q,

= J [u(y)(-ke2G(x, y) -5(x - y)) + G(x, y)k2(y)u(y) - y)(-6(x - y))

Qj

dV =

Qj

k 2( y) - ke2

u (x) + J G (x, y)

J (us (y)dG(x,y)

u(y)dV + u0(x), xe Qj, j = 1,...,n; (11)

d - G( x, y) =

Qj

k 2( y) - k2e

J G (x, y)

f ( ( ) dG(x, y)

J (us(y)

u(y)dV, xё Qj j = 1,...,n;

dQn+1

d - G( x, y) ^ )ds =

= J [us (y)(-ke2G(x, y) -5(x - y)) + G(x, y)k2us (y)

Qn+1

dV =

= - us (x) = -u(x) + u0(x), x e Qn+1;

J (us(y)

dQn+1

-G(x,y)duy-)ds = 0, xё Qn+1.

(12)

(13)

(14)

Сложим равенства (11), (12) и (13), учитывая, что дQn+l = дQ иЭВ .

j(us (У)

dG(хУ) -G(х,y)МУ))^ =

ЭВ

Эп У

= - u

(х) + ¿J G( х, У) [k 2( У).

Эп У

u(y)dV + u0(x), хе Qj. j' = 1,...,n. (15)

j=6

Из условий на бесконечности для и3 и функции Грина выводим

п

{(х) = 2 jG(X,y)

j =1 Qj

k 2( У) - k2

u(y)dV + uo(х), хе Qj. j' = 1,...,n. (16)

Окончательно из определения кусочно-гладкой функции к(х) получим уравнение Липпмана - Швингера

и (х) - х, у) [к2 (у) - к2 ] и (у)^ = ы0(х), х е б (17)

6

и интегральное представление полного поля вне области неоднородности

u (х) = jG (х, у)

Q

k 2( У) - ke2

u(y)dV + u0(х), х е М3 \ Q.

(18)

3. Существование решения задачи дифракции

Будем рассматривать уравнение (17) в пространстве ¿2(6) • Замечание. Исследование уравнения в столь широком пространстве удобно в силу свойств слабосингулярного интегрального оператора

Ьи(х) := (х,у)[к2(у) - к2]и(у)ё¥ в ¿2(6).

б

22 Если и е ¿2(6), то [5, 6] Ь и е Н (6). Так как Н (6) вкладывается

компактно в ¿2 (6), то [7] интегральный оператор Ь компактен, а оператора (I-Ь) уравнения (17) и фредгольмов (с нулевым индексом).

Покажем теперь, что задача дифракции (1)—(6) эквивалентна системе интегральных уравнений (17)—(18).

Теорема 2. Пусть и(х) - квазиклассическое решение задачи рассеяния (1)-(6), тогда и(х) удовлетворяет системе интегральных уравнений (17)-(18). Обратно, пусть и е ¿2(6) - решение уравнения (17) при данном

^ 3 3

ио е С(Ж ), тогда решение и (х), продолженное в М \ 6 согласно формуле

(18), есть квазиклассическое решение задачи дифракции (1)-(6).

Доказательство. Необходимая часть теоремы установлена в ходе вывода системы интегральных уравнений, остается доказать ее достаточную часть.

1. Установим сначала, что для всякого решения системы интегральных уравнений выполнены условия (1) и (5), учитывая, что падающая волна задается бесконечно дифференцируемой функцией.

3 —

Так как в представлении u (x) = mq(x) + us (x) при x e М \ Q ядро интегрального оператора является бесконечно дифференцируемым, то u e C~(xe М3\ Q.).

Пусть u(x)e Li(Q) - решение уравнения (17) с заданной правой

частью u0 e C ~ (М3). Из свойств объемного потенциала [8] следует, что 2 3

u(x) e Hioc (М ), откуда и из теоремы вложения пространств Соболева

следует, что u( x) e Na (Q) - непрерывная по Гельдеру функция (0 <а< 1 / 2).

1 3

В силу уравнений (17)-(18) u e C (М ), так как u выражается через сумму объемных потенциалов с непрерывными плотностями [9]

k2(y) -к2е ]u(y)e Na(Qj).

22 Для u(x) e H (Qj) находим, что (A-1)u = (-kj -1)u в Qj. Из сильной

эллиптичности оператора (A-1) следует, что ue C(Qj) для всех j [7].

Таким образом, условие гладкости (1) и условие конечности энергии (5) проверены.

Покажем, что u(x) является решением уравнений (2) и (3). Из гладкости функции u в подобластях Qj, уравнения (17) и определения фундаментального решения G(x, y) следует, что при x e Qj

(A + k 2( x))u = (A + k2 )u( x) + (k 2( x)-ke2 )u( x) = = (A + ke )u0(x) + (A + ke )us (x) + (k( (x) - k^ )u(x) =

= 0 + £(A + k2) )G(x,y)[kj(y) -k2]u(y)dV + (k((x) -k2 )u(x) =

l=1 Qi

= -(kj (x) - kj )u (x) + (kj (x) - k2 )u (x) = 0.

В сделанных преобразованиях мы учли, что (A + k^ )G(x, y) = 0 при x e Qj и y e Qi (l Ф j). Аналогично получаем, что

(A + k2 )u(x) = 0, xe М3 \ Q.

Остается проверить условия излучения (6). Они имеют место в силу интегрального представления поля (18), гладкости ядра вне Q и условий Зоммерфельда для фундаментального решения уравнения Гельмгольца [9]. Теорема доказана.

Из теорем 1, 2 следует утверждение об обратимости оператора L. Теорема 3. Оператор L: L2 (Q) ^ L2 (Q) непрерывно обратим. Доказательство. Так как L является фредгольмовым в выбранном пространстве, то достаточно установить его инъективность. Пусть uo = 0, а u( х) - решение однородного уравнения (17). В силу теоремы эквивалентности получим, что u (х) - решение однородной задачи дифракции (1)-(6). В теореме 1 доказано, что такое решение может быть только тривиальным. Итак, однородное интегральное уравнение L u = 0 имеет только тривиальное решение u = 0. Теорема доказана.

Заключение

Рассмотрена скалярная задача рассеяния плоской монохроматической акустической волны на ограниченном объемном препятствии, показатель преломления которой - кусочно-гладкая функция. Доказаны теоремы о единственности решения краевой задачи, о существовании, единственности и гладкости решений системы интегральных уравнений рассматриваемой задачи дифракции. Полученные результаты могут быть использованы для теоретического обоснования численных методов решения задач дифракции, а также при исследовании обратных задач рассеяния методом интегральных уравнений.

Библиографический список

1. Цупак, А. А. О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.

2. Смирнов, Ю. Г. Метод интегральных уравнений в скалярной задаче дифракции на частично экранированном неоднородном теле / Ю. Г. Смирнов,

A. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 9. - С. 1234-1244.

3. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 3-17.

4. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2013. - 406 p.

5. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. - М. : МЦНМО, 2013. - 379 c.

6. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М. : Мир, 1980. - 664 с.

7. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. - М. : Мир, 1985. - 468 с.

8. Banjai, L. Boundary element methods / L. Banjai. - Zurich, 2007.

9. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики : учеб. для вузов /

B. С. Владимиров. - М. : Наука, 1981. - 512 с.

References

1. Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38.

2. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2015, vol. 51, no. 9, pp. 1234-1244.

3. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 3-17.

4. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013, 406 p.

5. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in areas with smooth and Lipschitz boundaries]. Moscow: MTsNMO, 2013, 379 p.

6. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii. Funktsional'nye prostranstva. Differentsial'nye oper-atory [The interpolation theory. Functional spaces. Differential operators]. Moscow: Mir, 1980, 664 p.

7. Teylor M. Psevdodifferentsial'nye operatory [Pseudodifferential operators]. Moscow: Mir, 1985, 468 p.

8. Banjai L. Boundary element methods. Zurich, 2007.

9. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoy fiziki: ucheb. dlya vuzov [Euations of mathematical physics: textbook for universities]. Moscow: Nauka, 1981, 512 p.

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.968, 517.983 Цупак, А. А.

Существование и единственность решения скалярной задачи дифракции на объемном неоднородном теле с кусочно-гладким показателем преломления / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). -С. 17-26. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-3-2.