CC BY
19
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968, 517.983.37
DOI 10.21685/2072-3040-2018-3-1
Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак
ДВУХМЕРНАЯ СКАЛЯРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА НЕОДНОРОДНОМ ПРЕПЯТСТВИИ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое исследование обратной двухмерной скалярной задачи дифракции на неоднородном препятствии, характеризующемся кусочно-непрерывным показателем преломления.
Материалы и методы. Исходная краевая задача в квазиклассической постановке сводится к системе интегральных уравнений, для исследования которой применяются элементы теории потенциала и преобразования Фурье.
Результаты. Предложена интегральная формулировка обратной задачи дифракции, установлена единственность решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в классе кусочно-постоянных функций; разработан двухшаговый метод решения обратной задачи дифракции.
Выводы. Полученные результаты могут быть использованы для решения двухмерных задач ближнепольной томографии.
Ключевые слова: двумерная обратная задача дифракции, восстановление кусочно-непрерывного показателя преломления, интегральные уравнения, единственность решения.
Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak
THE TWO-DIMENSIONAL INVERSE SCALAR PROBLEM
OF DIFFRACTION BY AN INHOMOGENEOUS OBSTACLE
WITH A PIECEWISE CONTINUOUS REFRACTIVE INDEX
Abstract.
Background. The aim of this work is theoretical study of the two-dimensional inverse scalar problem of diffraction by an inhomogeneous obstacle characterized with a piecewise continuous refractive index.
Material and methods. The original boundary value problem in the quasiclassi-cal formulation is reduced to a system of integral equations; the properties of the latter system are studied using potential theory and Fourier transform.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-01-00219 A.
© 2018 Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Results. The integral formulation of the inverse diffraction problem is proposed; uniqueness of a piecewise constant solution to the Fredholm integral equation of the first type is established; novel two-step method for solving the inverse problem is proposed.
Conclusions. the proposed method and obtained results can be applied for solving two-dimensional problems of near-field tomography.
Key words: two-dimensional inverse scattering problem, reconstruction of piecewise continuous refractive index, integral equations, uniqueness of solutions.
Введение
В работе описано применение двухшагового метода для решения двухмерной задачи восстановления коэффициента преломления неоднородного препятствия P акустической монохроматической волны.
Постановка обратных задач дифракции в двухмерном пространстве является актуальной и рассматривалась как российскими, так и зарубежными авторами [1-3].
Одним из наиболее распространенных подходов к решению таких задач является метод минимизации некоторых функционалов, возникающих при дискретизации гиперболических систем дифференциальных уравнений во временной области методом конечных разностей или конечных элементов. Такой подход зачастую включает регуляризацию по Тихонову минимизируемых функционалов и итерационные процедуры, требующие выбора хорошего начального приближения [4-6].
В настоящей работе для решения обратной задачи применяется принципиально иной подход, основанный на применении метода линейных интегральных уравнений (ИУ). Впервые такой метод был применен авторами в [7] и получил название двухшагового метода решения обратной задачи восстановления неизвестного коэффициента преломления.
Как и в [7], в настоящей работе постановка обратной задачи дается в интегральной формулировке. Поэтому важным является доказательство эквивалентности используемой системы ИУ и исходной краевой задачи дифракции, исследование существования, единственности и гладкости решения ИУ. Этому исследованию посвящен первый раздел статьи.
Во втором разделе дается постановка обратной задачи, описывается двухшаговый метод ее решения. Суть метода состоит в решении линейного ИУ первого рода относительно тока
J ( x) = (k 2( x) - k0 )u ( x),
( u( x) - полное поле; k0 - заданное волновое число свободного пространства; k ( x) - искомое волновое число неоднородного рассеивателя) с последующим явным вычислением k ( x) по найденному J ( x) и известным значениям поля в области P.
Решение ИУ первого рода в общем случае неединственно. Однако можно показать, что решение единственно в классе кусочно-постоянных функций; в работе приводятся достаточные условия однозначной разрешимости такого ИУ.
1. Прямая задача дифракции
2
В двухмерном пространстве Ж , заполненном однородной средой, рассмотрим скалярную задачу дифракции монохроматической волны с круговой частотой ю и скоростью распространения c.
В качестве рассеивателя рассмотрим прямоугольник
P = {х = (хьх2):а1 < x1 < 1ц, a2 < X2 < ¿2).
Ь - ал Ь2 - а2
Введем узлы Х1 у = ал + —-/'1, Х2 у = а2 + —-— ¡2 и разобьем Р на
п '2 п
прямоугольники П/ / ={х: х^ / < хк < х^ / +1}, 0 < ¡к < п -1. Через Ер и Ер
12 > к ' к
обозначим объединение соответственно вершин и сторон прямоугольников ПI (здесь и далее I = (¡1/2) - мультииндекс) и введем обозначения:
ЭП'7 = П1 \ ЕР, дР' = Р \ ЕР, Р'' = Р \ ЕР.
Введем кусочно-постоянные функции:
I1, х еПi2,
х) = |с, х^ . (1)
I ' ¡1 ¡2
Будем предполагать, что область Р неоднородна и характеризуется кусочно-гельдеровой функцией к(х) = п(х)ко= к1 (х) при х еП1, причем
функции к1 (х) являются непрерывными по Гельдеру: к1 е С0,а (П1), ко = ю / с. Определим функцию к(х) при каждом х е Р" равенством
к (х) = ^к-1 (х)%! (х). В точках сторон дП I функцию к (х) можно I
доопределить по непрерывности с любой стороны дП I.
Падающая волна (поле источника), а также рассеянное и полное поле предполагаются гармонически зависящими от времени:
ио (х, X) = Ыое~Ш, и5 (х, X) = и5е~Ш, и(х, X) = ио (х, X) + и5 (х, X),
поэтому задача дифракции сводится к отысканию комплексной амплитуды и(х) полного поля.
Пусть Е(х) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца
(А + к(2) Е (х) = -5( х)
в двухмерном пространстве. Известно [8, с. 204], что Е(х) =-^н01)(ко | х |) -
функция Ханкеля первого рода.
В качестве падающей волны рассмотрим поле точечного источника, полагая
ио(х) = ;^н(1)(ко | х - хо|), хо й Р. (2)
2
(А + ^о)мо( x) = —5( x — Xo) и удовлетворяет условиям излучения
Такое поле является решением уравнения Гельмгольца
^)и0( x) = Зоммерфельда
и0 = O (г—1/2), ^ - ik0u = о (г—1/2), г =| x И
Будем искать решение u(x) прямой задачи дифракции, удовлетворяющее:
- условиям гладкости:
uе С1(Ж2 \{х0})Р|С2(ПI)рС~(2 \(Ри); (3)
I
- уравнению Гельмгольца:
(а + ^(x))и(x) = 0, xеП/;
(А + ko2 (x) )и (х) = — 8(х — х0), X еК2\ (Р); (4)
- условиям сопряжения на линиях разрыва коэффициента преломления:
ди
И ЭП 7 = 0,
Эп
= 0; (5)
ЭП'7
- условиям конечности энергии:
и е н}ос (Ж2\{Х0}); (6)
- условиям излучения на бесконечности:
и = о (г—1/2), - 'V = о (г—1/2), г =| х И (7)
Определение 1. Решение задачи (4)-(7), удовлетворяющее условиям гладкости (3), называется квазиклассическим решением прямой задачи дифракции в дифференциальной постановке.
Теорема 1. При 1т k(х) > 0 задача (4)-(7) имеет не более одного квазиклассического решения.
Доказательство. Достаточно показать, что однородная краевая задача
(при и0 = 0 в Ж ) для рассеянного поля и3 = и может иметь лишь тождественно равное нулю решение.
1. Проверка тривиальности решения вне области неоднородности, опирающаяся на применении леммы Реллиха [9, с. 88], проводится аналогично трехмерному случаю [10].
2. Докажем теперь, что и0 = 0 в Р. Рассмотрим произвольный
замкнутый прямоугольник П/, такой что ЭП/ пЭР = S ^0. Решение и(х) может быть представлено в интегральной форме:
и(х) = ^(х,у)(к2(у) -к0 )и(у)4у = ^ | в(х,у)(к2(у) -к0 )и(у)ф + Р JфIПJ
+ | б(х, у) (((у) - к0 )и (у)оу = у(х) + ^(х), х еП I. (8)
ПI
Исследуем и (х) в достаточно малой окрестности и произвольной точки хо е S , лежащей на границе прямоугольника ПI (и содержит и точки
области неоднородности Р, и точки свободного от рассеивателя 2 —
пространства \ Р). Так как ядра интегральных операторов бесконечно дифференцируемы при J ФI, то у(х) е С(и). В силу условий гладкости (3) и представления (8) имеем
w(х) е С2(и \ 5) п С1(и) п Н2(и). (9)
Так как в и пП! функция w(х) удовлетворяет уравнению
(Д + к2(х))w(х) = 0 с коэффициентом к2(х)е Са(йпП 1), то [11, с. 227]
верно включение w(х) е С2,а (и), а так как на 5 функция w(х) имеем гладкие начальные данные
w \б = и 5 15 = 15 е С~ (5),
то w(х) е С2,а (и и 5).
2
Таким образом, решение и е С" (и) почти всюду удовлетворяет
уравнению Гельмгольца с кусочно-гельдеровым, в общем случае разрывным, и ограниченным в и коэффициентом к(х). Следовательно, и = 0
в окрестности и. Так как в ПI верно | Ди (х)|<у |и(х)| с некоторым коэффициентом у >0, то в силу принципа единственного продолжения [2, с. 273] имеем и = 0 во всем прямоугольнике ПI. Перебирая все ПI и повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что и = 0 в Р. Теорема доказана.
Задача (4)-(7) может быть сведена [7] к системе интегральных уравнений:
и(х) -1(к2(у) - ко )(х,у)и(у)йу = х), х е Р, (10)
Р
и(х) = и0(х) +1(к2(у)-к0)(х,у)и(у)ёу, хе Ж2\(Ри(х0>). (11)
Р
В исследуемой задаче G(х,у) = — к0 | х - у |) - фундаментальное
^ Г,(1)< •Лъ
решение уравнения Гельмгольца (A + £q)G(x, у) = —S(x — y) в двухмерном пространстве, удовлетворяющее условию излучения Зоммерфельда.
Определение 2. Система уравнений (10), (11) представляет собой интегральную постановку прямой задачи дифракции.
Следуя [7], будем исследовать уравнения (10) в пространстве ^(Р). Докажем теорему об эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи дифракции.
Теорема 2. Если и (х) является квазиклассическим решением задачи (3)-(7), то и(х) удовлетворяет уравнениям (10), (11). Обратно, если и е ^(Р) - решение уравнения (10), то функция и(х), продолженная по
формуле (11) в М , является квазиклассическим решением задачи (3)-(7).
Доказательство. Необходимая часть теоремы следует из вывода
системы интегральных уравнений; остается доказать ее достаточную часть.
2
1. Покажем сначала, что продолженное в М решение и( х) интегрального уравнения (10) удовлетворяет условиям гладкости (3).
Так как по определению щ е С~(ж2\{х0}), а ядро интегрального
оператора в представлении (11) бесконечно дифференцируемо при х й Р, то
ие С~(ж2\(Ри{х0})).
2 а —
Так как и е ^(Р), то и е Н (Р). Тогда [12, р. 74] имеем и е С (Р) с показателем 0< а <1. Представим интегральный оператор А с выделенной особенностью ядра при | х _ у 0:
Au(x) = 2 Jln | x -y | j(y)dy + jg(x,y) j(y)dy = Ix(x) +12(x),
P P
2 2
где функция /(у) = (£ (у) - ^)и (У) кусочно-непрерывна и ограничена в Р,
^ 12 _В
а g(х,у) е С(РXР). В силу последнего /2 е С (Ж ). Так как 1п(г) = о(г р)
при любом в >0 и г ^ 0, то
Il(x) = - J|x-y|-P ji(y)dy, n t
21
' Р
где _/!(у) абсолютно интегрируема и ограничена в Р. Следовательно
12 1/2 \ [8, с. 25] /1 е С (Ж ). Таким образом, и е С ( \{х0}), откуда следует и
условие конечности энергии и е Н1ос (ж2 \{х0}).
2
Остается показать, что и е С (П /) для всех I. Запишем равенство для и согласно (11):
и (х) = | ((у) _ £о )(х, у)и (у)оу + ^(х) = у(х) + ^(х), х еП/, ПI
причем w е C(Пj). Исследуем гладкость v(x). Выше показано, что 2 1 —
v е H (Пj) n C (ПI). Из определения функции v(x) следует, что она почти
всюду удовлетворяет уравнению Гельмгольца (А + kj (x))v(x) = 0, причем
можно считать, что kj (x) е Cа(П1). Тогда в силу теоремы 12.1 [11, с. 227]
имеет место включение v е C2,а (Пj).
2. Пусть u - решение уравнения (10) с заданной выше правой частью. Из представления (11), определения uo и ядра G(x, y) интегрального оператора вытекает, что u удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению Гельмгольца в областях Пj :
(A + k0)u(x) = (A + k0)(x) + (A + k0) ) (kf(y)-k0)g(x,y)u(y)dy +
П j
+(a + ko2) j (k/(y)-ko2)G(x,y)u(y)dy = 0 + (ko2 -kj(x))u(x) + 0, xеПj, J ф j П j
а также вне области неоднородности:
(A + k(2 )u (x) = -5( x-x0), x е!2\P. Г 2 2
Рассеянное поле us (x) = I (k (y) - k0)G(x,y)u(y)dy удовлетворяет
P
условиям (7) по определению G(x, y), а условия сопряжения выполняются
1 2
в силу доказанного в теореме 1 включения u е C (Ж \ {x0}). Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 вытекает утверждение об обратимости оператора интегрального уравнения. Теорема 3. Оператор
(j - A): L2(P) ^ L2(P)
непрерывно обратим.
2
Доказательство. Для всякого u е L2(P) имеем Au е
H (P). Из
20
компактности вложения H (P) в H (P) следует компактность оператора A: L2(P) ^ L2(P).
Пусть u0 = 0, тогда из теорем 1, 2 следует, что уравнение (j - A)u = 0 имеет лишь тривиальное решение. Таким образом, оператор (j - A): P) ^ L2(P) фредгольмов и инъективен. Следовательно, он непрерывно обратим. Теорема доказана.
2. Задача восстановления коэффициента преломления
2
Рассмотрим в Ж неоднородный прямоугольник Р с неизвестным показателем преломления п(х). Полагаем, что на Р определена сетка узлов
X;; и разбиение совокупностью прямоугольников П/, а п(х) и
' к
к(х) = п(х)к0 - кусочно-гельдеровы функции, причем всюду в Р выполнено
условие |к(х) |> к > к0.
Рассмотрим некоторую ограниченную область В такую, что В п Р = 0. Предполагаем, что в точках х е В известны значения полного поля
и(х, t) = и0 (х, t) + из (х, t), из (х, t) = и5в_гШ
на фиксированной частоте ю. Падающая волна имеет вид
и0( х, t ) = и0( х )в~ш, где и00( х) = ;н01)( к0 | х _ х0 |), а х0 й Р и В.
При постановке обратной задачи дифракции используется система интегральных уравнений (10), (11), связывающих поле и(х) и функцию к(х).
Требуется восстановить неизвестную функцию к(х) в области Р по значениям полного поля и(х) в точках области В из равенства
|(к2(у) _ ко)£(х, у)и (у)ёу = и (х) _ х), х е В, Р
с учетом уравнения в области неоднородности
и(х) _ |(к2(у) _(х,у)и(у)ёу = х), хе Р.
Р
Введем в Р функцию 3(х) = (к2(у) _ к^ )и(х). Двухшаговый метод,
предложенный в [7], состоит в следующем:
- считая известными падающее поле и0(х) и полное поле и(х) в области В, находим «ток» 3 в области Р из линейного уравнения:
(х,у)3(у)йу = и(х) _ и0(х) = и8 (х), хе В; (12)
Р
- вычисляем явно значения к(х) в точках х е Р из уравнения:
2 3(х) 2 _ |С(х,у)3(у^у = и0(х), хе Р. (13)
к 2( х) _ к02 Р
Можно показать, что интегральное уравнение (12) не является однозначно разрешимым при любых к0. Ниже будет установлена единственность решения уравнения (12) в классе кусочно-постоянных функций:
3 (х) = 1XI (х),
I
где JI - неизвестные постоянные; XI (х) определены формулой (1).
Докажем теорему о единственности решения уравнения (12) в классе кусочно-постоянных функций.
2
Теорема 4. При заданном разбиении области P на n прямоугольников Пj уравнение
Jg(x, y) J(y)dy = us (x), x e D, D n P = 0, us e C~ (D), (14)
P
имеет не более одного кусочно-постоянного решения J ( x), если
4п2 n4
ko > , I = min{|b -ai|,|b2 -02 |}. (15)
Доказательство. Рассмотрим однородное уравнение
Jg(x, y) J(y)dy = 0, x e D.
P
Введем обозначение для потенциала
v(x) = Jg(x, y) J(y)dy, x e Ж2, (16)
P
1 2
и отметим некоторые его важные свойства. Так как v(x) e C (Ж ) (проверка аналогична доказательству теоремы 2), то для всех I выполнены условия сопряжения:
vbn I = г = °.
2
Кроме того, v e C (П j ) и выполнено неоднородное уравнение Гельмгольца:
(À + ko)v( x) = -Jj, x enf.
Вне P имеем (À + k?)v(x) = 0 и v e C~ (Ж2 \ P). Так как в D с Ж2 \ P
2 —
функция v тривиальна, то v = 0 и всюду в Ж \ P согласно принципу
1 2
единственного продолжения. Из v(x) e C (Ж ) следует, что
v |dP = |V=0. (17)
on
— i (2)
Рассмотрим фундаментальное решение G(x,y) = -—H0 (k | x - y |)
уравнения Гельмгольца. Применим вторую формулу Грина к функциям v, G в областях Пj, учитывая однородные краевые условия (17) и условия сопряжения на дП j :
0= J (v(y)dn G(x,y)- G(x,y)dn v(y))dsy =
dP П П
= £ | Му)АуО(х, у) _ 0(х, у)АуУ(у))ёу = _у(х) + £JI 10(х, у)ёу, х е П^ I ПI I П
Здесь номер !0 произволен. Следовательно, верно равенство
у(х) = 0х, у)3(у)ёу, х е Р. Р
Вычитая последнее из (16), получим
w(х) = х,у)3(у)йу = 0, хе Р,
Р
где 00(х,у) = 0(х,у) _0(х,у) = ; 3о(kоl х _у |) - аналитическая функция,
удовлетворяющая однородному уравнению Гельмгольца, а для w(х) допустимо повторное дифференцирование под знаком интеграла. Следовательно,
22
w(х) удовлетворяет уравнению (А + к0)w(х) = 0 в М .
В силу принципа единственного продолжения из w = 0 в Р заключаем, что w = 0 в Ж2. Тогда и преобразование Фурье Fw = 0 в Ж2.
Введем параметры к; = (Ь _а;)/п и прямоугольник П0 =[а1,а1 + й^х[а2,а2 + к2]. Все конечные элементы на Р определим через сдвиги П0 на подходящий вектор:
ПI = Пг1г2 = П0 + г12 , гЩ = ^ = (;1к1, ;2к2 X 0 ^ ;к < пк. Тогда для w( х) имеет место представление
w(x) = £JI | Gо(| х _у |)<ях = £11 | Gо(| х _у _ ^ |)^х.
^ По +г, I П0
Вычислим преобразование Фурье для w с учетом последнего. Так как F(Оо(| х |))(^) = FG(| х |) _ FG(|х|) = 1
--= -2Ц(|-£о2)),
2 _ , П V I
то
|^2|-ko2 + i0 |^2|-ko2 -/0
Fw = £jJiF(Godx - ri |) *Xo( x)) = Fxo(^)FGo(^)£Jieiri * = I I
(e-ih& - l)(e-i^2 -1)
= (2п)-2 ^-Л-• (-2/я8(| ^ |-ko))-)ieiri .
S1S2 r
Следовательно, остается проверить линейную независимость системы функций ена круге радиуса к0 с центром в нуле. Для этого установим невырожденность соответствующей матрицы Грама Г.
Обозначим через 5п-1 единичные сферы в Жп (п > 2). Будем использовать независимость интегралов по сфере вида ^ /(ю-^)а^ от
Sn—1
юе Sn 1 и представлением [13, с. 214]
j /(ю-^ =|Sn—2 | j/(t)(1 — t2)(n—3)/2dt,
?n—1 —1
-1
причем | 50 |= 2 в интересующем нас случае п = 2. Вычислим элементы матрицы Грама:
Гя, = к0 |е'к0(Г-rI'^= к0 |е'^''^= 51 51
1
= к0 |е'^= 2к0 |e''kо|rII'|х (1 - X2)-1/2 с1х.
51 -1
При I ФI', применяя формулу (3.753.1) [14], получим
ГII - = 4к0 1 со§(к0 | ГИ '|х) ^ =
j cos^oiw) dt = 2nk0 Jo(kok// '|).
0 V1 — t2
0
Таким образом,
Г ' = |2пк0./0(к0| Гц'|), Т- Ф Т-
11' [ 2пк0, I = I'.
Представим Г виде Г = 2пк0 (I + Г), где I - единичная матрица, и покажем, что из условия (15) следует оценка нормы
||Г Щ = тахУ| ГII' |<1, 1 I'
влекущая невырожденность матрицы Грама.
Фиксируем номер строки I' = (0,0) и положим к = тт{Й1,к2} , тогда
1 (п,п) к-1/2
У | Г™' |< у-1-= у -к0-<
Ш' Й'кГц' |1/2 ('1,';)=(0Д)(('1к1)2 + ('2к2)2)1/4
< (кк0)-1/2 у < (кк0)-1/2[1+2// *] <
('1,'2)=(0,1) ('1 + '2) 11|х |
2
, п , 4-1/2 2п 3/2 .. 2п , -1/2 п , ,
если выполнено условие (15). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что решение обратной задачи дифракции для случая кусочно-постоянных токов 3 единственно в силу однозначности представления к (х) равенством (13).
1. Еремин, Ю. А. О некоторых прямых и обратных задачах дифракции (Дополнение к кн.: Д. Колтон, Р. Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния) / Ю. А. Еремин, Е. В. Захаров. - М. : Мир, 1987. - С. 290-309.
2. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2013. - 406 p.
3. Cakoni, F. Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory / F. Cakoni, D. Colton. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2006. - 277 p.
4. Bakushinsky, A. B. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems / A. B. Bakushinsky, M. Yu. Kokurin. - New York : Springer, 2004. - 298 p.
5. Beilina, L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems / L. Beilina, M. Klibanov. - New York : Springer, 2012. - 407 p.
6. Kabanikhin, S. I. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems / S. I. Kabanikhin, A. D. Satybaev, M. A. Shishlenin. - Utrecht : VSP, 2004. -180 p.
7. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 3-17.
8. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1981. - 512 c.
9. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 312 c.
10. Цупак, А. А. О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.
11. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - М. : Наука, 1964. - 538 с.
12. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. - М. : МЦНМО, 2013. - 379 с.
13. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Натте-рер. - М. : Мир, 1990 - 288 с.
14. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Физматгиз, 1963. - 1100 с.
1. Eremin Yu. A., Zakharov E. V. O nekotorykh pryamykh i obratnykh zadachakh difrak-tsii (Dopolnenie k kn.: D. Kolton, R. Kress. Metody integral'nykh uravneniy v teorii ras-seyaniya) [On some direct and reverse diffraction problems (Supplement to the book by
Библиографический список
References
D. Kolton, R. Kress. Methods of integral equations in the scattering theory)]. Moscow: Mir, 1987, pp. 290-309.
2. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013, 406 p.
3. Cakoni F., Colton D. Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2006, 277 p.
4. Bakushinsky A. B., Kokurin M. Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. New York: Springer, 2004, 298 p.
5. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012, 407 p.
6. Kabanikhin S. I., Satybaev A. D., Shishlenin M. A. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems. Utrecht: VSP, 2004, 180 p.
7. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [ University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 3-17.
8. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1981, 512 p.
9. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya [Methods of integral equations in the scattering theory]. Moscow: Mir, 1987, 312 p.
10. Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38.
11. Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya elliptich-eskogo tipa [Linear and quasilinear elliptic equations]. Moscow: Nauka, 1964, 538 p.
12. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in areas with smooth and Lipschitz boundaries]. Moscow: MTsNMO, 2013, 379 p.
13. Natterer F. Matematicheskie aspekty komp'yuternoy tomografii [Mathematical aspects of computed tomography]. Moscow: Mir, 1990, 288 p.
14. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Fizmatgiz, 1963, 1100 p.
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.968, 517.983.37 Смирнов, Ю. Г.
Двухмерная скалярная обратная задача дифракции на неоднородном препятствии с кусочно-непрерывным показателем преломления /
Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). -С. 3-16. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-3-1.
