Сходимость метода коллокаций для интегрального уравнения Липпмана - Швингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.4

DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-8

А. А. Цупак

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА - ШВИНГЕРА1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - доказательство сходимости метода коллокаций для интегральных уравнений типа Липпмана - Швингера.

Материалы и методы. Применяются понятия /»-сходимости в банаховых пространствах, собственной сходимости операторов, а также элементы теории фредгольмовых интегральных операторов.

Результаты. Сформулирован метод коллокаций для интегральных уравнений Фредгольма второго рода в ограниченных двух- и трехмерных областях; доказана сходимость метода коллокаций для интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций; установлена равномерная сходимость приближенных решений к точным решениям уравнений.

Выводы. Полученные результаты позволят обосновать применимость метода коллокаций для интегральных уравнений, возникающих в теории дифракции.

Ключевые слова: слабосингулярные интегральные уравнения, метод кол-локаций, равномерная сходимость.

A. A. Tsupak

CONVERGENCE OF THE COLLOCATION METHOD FOR THE INTEGRAL LIPPMANN - SCHWINGER EQUATION

Abstract.

Background. The aim of this work is to prove the convergence of the collocation method for Lippmann-Schwinger integral equations.

Material and methods. The concepts of p-convergence in Banach spaces were used, the proper convergence of operators was implied, as well as elements of the theory of Fredholm integral operators.

Results. The collocation method is formulated for the Fredholm integral equations of the second kind in bounded two- and three-dimensional domains; the convergence of the collocation method for integral equations in the space of continuous functions is proved; the uniform convergence of approximate solutions to exact solutions of the equations is established.

Conclusions. The results obtained make it possible to substantiate the applicability of the collocation method for integral equations arising in the diffraction theory.

Keywords: diffraction problem, quasi-classical solutions, integral equations, existence and uniqueness of a solution.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-01-00219 A.

© Цупак А. А., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Введение

Метод коллокаций - один из самых распространенных методов решения интегральных и интегродифференциальных уравнений (ИДУ), возникающих в том числе в задачах дифракции акустических и электромагнитных волн.

Обоснование метода коллокаций для таких уравнений чрезвычайно затруднительно. Это связано прежде всего с тем, что однозначная разрешимость ИДУ чаще всего доказывается в пространствах типа ^ или пространствах Соболева, в которых значение функции в точке не определено. Кроме того, для формулировки метода коллокаций как проекционного метода необходимо, чтобы пространства приближенных решений (Хп) являлись подпространствами исходного пространства (X), в котором рассматривается решаемое уравнение.

От этих недостатков свободен метод Галеркина, также являющийся эффективным методом численного решения ИДУ. Его обоснованию посвящено множество работ (стоит прежде всего отметить фундаментальную работу [1]), в том числе и несколько статей автора [2-4]. Однако метод Галеркина требует больших вычислительных затрат. Это связано с необходимостью заполнения матриц высокого порядка, элементами которых являются многомерные слабосингулярные интегралы. В связи с этим обоснование метода коллокаций является особенно актуальным.

Одной из пионерских работ в этой области стала статья [5], в которой были введены понятия ^-сходимости последовательностей в банаховых (В-) пространствах, ^-компактности множеств и собственной сходимости операторов, действующих в В- пространствах.

В работе [6] метод коллокаций был обоснован для многомерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода в случае, когда сетка в методе коллокаций (набор конечных элементов - носителей финитных базисных функций) является равномерной; также в этой работе получена оценка скорости сходимости численного метода. В данной работе получен результат, отчасти схожий с [5].

Важным отличием предлагаемого результата является отказ от равномерности сетки: такое ограничение в ряде прикладных задач (например, обратных задач дифракции) является существенным и зачастую неприемлемым. При дискретизации задачи и введении разбиения области решения задачи на непересекающиеся подобласти мы лишь требуем, чтобы параметр разбиения (максимум диаметров подобластей) стремился к нулю при возрастании числа элементов разбиения. Кроме того, не вводится никаких существенных ограничений на форму подобластей - носителей кусочно-постоянных базисных функций, и не накладывается никаких ограничений на выбор узлов кол-локаций.

Таким образом, при наиболее общих предположениях относительно способа дискретизации в методе коллокации доказывается сходимость этого метода.

В последнем параграфе статьи формулируется теорема о сходимости метода коллокаций для интегральных уравнений, возникающих в задачах дифракции акустических волн на неоднородном препятствии, расположенном

2 3

в М или М . Известные свойства решений этих уравнений позволяют не только доказать сходимость метода коллокаций, но и установить равномерную сходимость приближенных решений во всей области решения задачи.

1. ^-сходимость и связанные с ней понятия

В этом параграфе приводятся сведения из работы [5], необходимые для доказательства основного результата.

Пусть X, Хп - некоторые банаховы пространства над полем С , а операторы рп : X Ч Хп (п е N) удовлетворяют следующим условиям:

V 1Ы1п :=|Рп4Х 1х11Х ' п

хех п

V V ||рп (ах + а'х') -арп (х) -арп (х')\\ Ч 0, п (1)

х,х'еХ а,а'еС п

Последовательность хп е Хп называется р-сходящейся к х е Х Р

(обозначается

хп ^ х ), если

||хп - рпх||п Ч 0' п (2)

Множество точек хп е Хп называется р-компактным, если всякая его последовательность содержит подпоследовательность, р-сходящуюся к некоторому элементу х е Х.

Пусть оператор Ь действует из В -пространства Х в У. Рассмотрим последовательности пространств Хп, Уп, а также операторов Ьп : Хп Ч Уп и Чп : У Ч Уп (чп удовлетворяют (1)). Рассмотрим уравнения

Ьх = у, (3)

Ьпхп = уп, (4)

Ч

предполагая, что уп Ч у. Потребуем также, чтобы области определения операторов удовлетворяли условию близости:

р

х е Ввш(Ь) ^ 3 хп Чх. (5)

хпеВот( Ьп )

Последовательность операторов Ьп называется сходящейся к оператору Ь (Ьп Ч Ь ), если

р Ч

V (хп Чх) ^ (Ьпхп ЧЬх). (6)

хпеБот( Ьп)

Последовательность операторов {Ьп} будем называть собственно

р

сходящейся к оператору Ь (Ьп ЧЬ), если Ьп Ч Ь и

V ({Ьпхп } - д-компактна) ^ ({хп } - ^-компактна). (7)

хпеОот( Ьп ):|| хп ||п <сотг Нам понадобится следующий результат [5].

Теорема 1. Пусть Ь и Ьп - линейные операторы, причем Ь непрерывно обратим, а Ьп - фредгольмовы операторы. Тогда уравнения (4) однозначно разрешимы для всех п е М, начиная с некоторого щ е М, причем решения хп этих уравнений ^-сходятся к единственному решению х уравнения (3).

2. Сходимость метода коллокаций для интегральных уравнений типа Липпмана - Швингера

Пусть й с Шт - ограниченная (возможно, многосвязная) область с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим интегральное уравнение

Ьы(0 = (I - А)и(0 = ы(0 -1 К(г,s)u(s)ds = /(0, ге (8)

й

Ядро К (5, г) интегрального оператора имеет вид

К(5, г) = -Р^, ае (0, т -1), (9)

- г|а

причем функция р(5, г) ограничена и абсолютно интегрируема по 5 на й .

Будем предполагать, что оператор Ь действует в пространстве непрерывных функций в замкнутой области й : X = У = С (й). Так как

и е С(й), то [7] Аи е С1(й). Следовательно А : X ^ X компактный, а Ь: X ^ X фредгольмов оператор.

Для всякого п е N определим разбиение о = оп (й) на конечное число подобластей

° = {йк сй :й = икйк й = 0 (/ * 7)} (10)

и совокупность тп = тп (й) отмеченных точек

Тп (й) = {<к е йк }, (11)

выбираемых произвольно в йк.

Введем следующее ограничение на параметр разбиения:

'к(оп) = тах diam(Qk) ^ 0, п (12)

1<к <п

В качестве Xn будем рассматривать пространства кусочно-постоянных функций с равномерной метрикой:

Xn = МО: 2{г) = £скпХк(0 = )Хк(г)}, (13)

к=1 к=1

llzlL = max | z(t) |;

11 "An teQ

здесь Xk (t) - характеристические функции множеств Qk. Операторы pn : X ^ Xn определим по формуле

n

V Xe X PnX(t) = 2 x(tn )Xk (t). (14)

k=1

Операторы pn линейны, ограничены, удовлетворяют условиям (1), причем

llPnll HIPn\X^Xn =1 Pnxn = xn VxneXn • (15)

Из равномерной непрерывности функций x e X на компакте Q следует утверждение.

Утверждение 1. Пусть разбиения on удовлетворяют условию (12). Тогда при произвольном определении Tn верно

max | Pnx(t) - x(t) 0, n (16)

teQ

Замечание. Дальше будет использоваться единое обозначение | || для нормы в пространствах X, Xn.

Сформулируем метод коллокаций. Пусть cn - произвольное разбиение с набором Tn отмеченных точек . Будем искать приближенные решения xn e Xn уравнения (9) в виде линейной комбинации

xn (t) = itc"kX k (t) = ixn (tnk )X n (t) k=1 k=1

кусочно-постоянных базисных функций Xkk (t) с неизвестными коэффициентами c^-. Метод коллокаций состоит в приравнивании левой и правой частей уравнения (9) в точках tkn :

Lxn (tn) = y(tn), k = 1,...,n. (17)

Систему (17) перепишем в терминах операторов pn : X ^ Xn :

PnLxn (t) = Pny(t), t e Q. (18)

Уравнение (18) эквивалентно системе (17), так как равенство двух непрерывных функций u, v в точке t^ равносильно равенству сужений на подобласть Qn функций pnu, pnv и, следовательно, тождеству pnu = pnv

в Q.

Введем оператор Ln := pnL, действующий из Xn в себя. Очевидно, что Dom(L) = X, Dom(Ln) = Xn, причем области определения операторов удовлетворяют условию близости.

Замечание 2. Всюду ниже мы будем использовать единый символ A для обозначения интегрального оператора (см. уравнение (9)), действующего из X или из Xn. Так как даже в случае Dom(A) = Xn будем иметь [7]

Codom(A) = C^(Q). Следовательно, оператор A : Xn ^ X будет компактным. Можно также рассматривать A как ограниченный оператор с областями определения X u Xn и aX + PXn (а,ве С).

Лемма 1. Операторы Ln сходятся к оператору L.

Доказательство. Пусть xn е Xn p-сходятся к xе X, т.е. ||xn - pnx|| ^ 0 при n Требуется показать, что Lnxn е Xn сходятся к Lxе X, т.е.

||Lnxn - pnLx|| ^ 0 при n Имеем

||Lnxn - pnLx\\ < IIxn - pnx|| pnAxn - pnAx\ <

< o(1) +|pn I -1|Axn - Ax|| < o(1) +11(Axn - Apnx) + (Apnx - Ax)\\ <

<o(1) +|A||-(xn -pn^|+||pnx-4) = o(1). (19)

В последнем равенстве мы использовали ограниченность интеграль-

p

ного оператора A, условие теоремы (xn ^ x) и свойство операторов pn из утверждения 2. □

Лемма 2. Операторы Ln собственно сходятся к оператору L. Доказательство. Достаточно показать, что если последовательность норм ||xn || ограничена постоянной с > 0, а последовательность образов Lnxn е Xn является p-компактной, то и {xn} есть p-компактная последовательность.

Так как ||xn || < с, то для всех n верно

n

max | У сПхП (t) |< с ^ max | спк |< с. (20)

tеQ k=1 1<k<n

Исследуем последовательность образов Axn. Она равномерно ограничена,

Vn max | Axn (t) |< с max I* | S) | ds < q. tеQ U=qQ |t - s |

Кроме того, она равностепенно непрерывна в X, так как для любого £>0 найдется 5> 0 так, что при всех t', t" :| t' -t" |<5 и всех xn верно

| Axn ^') - Axn ^') |< с| ', 5) - G(t• |/ф)| ds < С1е.

Q

Для получения последней оценки можно представить Q объединением областей В1 = В25 (t") э / и В2 = Q \ В. Тогда интеграл по компакту В2 будет мал в силу равномерной непрерывности G(t, 5) на В2 X Q, интеграл по В1 - в силу достаточно малого объема шара.

Таким образом, последовательность {Ахп} предкомпактна в Х и найдется элемент у е Х и подпоследовательность {Ахп'}, которая равномерно сходится к у'. Но тогда

р

Ап'хп' = рп'Ахп' ЧУ' , п (2 1)

По предположению последовательность Ьпхп является р-компактной. Следовательно, из последовательности Ьп'хп' (п принимает те же значения, что и в (21)) можно выделить подпоследовательность Ьп'хп' и найти элемент у' е Х такие, что

р

Ьп'хп' Чуп (22)

Из (21) следует также, что

р

рп'Ахп' Чу', п' (23)

Учитывая два последних предельных соотношения, заключаем, что

р

хп' = Ап'хп" + Ьп'хп' Чу' + у'е Х, п (24)

Таким образом, последовательность {хп} р-компактна. □

Итак, фредгольмовы операторы Ьп , действующие в конечномерных пространствах, собственно сходятся к фредгольмову оператору Ь. Если Ь еще и непрерывно обратим, то [5] верна

Лемма 3. При всех п > по приближенные уравнения (18) однозначно разрешимы, причем

р -1

хп Чх = Ь у, п (25)

3. Сходимость метода коллокаций для интегральных уравнений в задачах дифракции акустических волн

Рассмотрим интегральное уравнение (8) в случаях т = 2,3 , предполагая, что G(5, t) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца

в Мт [7].

G(s,t) =i

l-^H<0)(ko\s -1|), m = 2,

eik0\s-t\ (26)

m = 3.

4п \ s -1 \

Такие уравнения возникают в прямых и обратных задачах рассеяния монохроматических акустических волн неоднородными препятствиями [8-11].

Порядок особенности ядер (26) интегральных операторов позволяет применить все описанные выше результаты. Кроме того, уравнения вида (8) с ядрами (26) являются инъективными (доказательство основано на эквивалентности (8) краевым задачам дифракции и однозначной разрешимости последних [12-15]). Таким образом, операторы L непрерывно обратимы в C (Q) и мы приходим к следующему результату.

Теорема 2. При каждом n е N, начиная с некоторого n0, уравнения (17) метода коллокаций имеют единственное решение xn, причем xn равномерно сходятся к точному решению x интегрального уравнения (9).

Доказательство. Разрешимость приближенных уравнений доказана выше; остается установить сходимость приближенных решений к точному. Имеем

max | xn (t) - x(t) |< max | xn (t) - pnx(t) | + t t

+max | pnx(t) - x(t) 0, n (27)

t

Первое слагаемое стремится к нулю в силу леммы 3, а второе - в силу утверждения 2. □

Заключение

Применение понятий ^-сходмости и собственной сходимости операторов в 5-пространствах позволило доказать сходимость метода коллокаций для слабосингулярных интегральных уравнений второго рода, возникающих в скалярных прямых и обратных задачах дифракции.

Библиографический список

1. Kress, R. Linear integral equations / R. Kress. - Berlin : Springer-Verlag, 1989.

2. Деревянчук, Е. Д. Метод Галеркина решения скалярной задачи рассеяния препятствием сложной формы / Е. Д. Деревянчук, Е. Ю. Смолькин, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 4 (32). - С. 57-68.

3. Медведик, М. Ю. Скалярная задача дифракции плоской волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 8. - С. 84-96.

4. Смирнов, Ю. Г. Метод интегральных уравнений в скалярной задаче дифракции на системе, состоящей из «мягкого» и «жесткого» экранов и неоднородного тела /

Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 9. -С. 1164-1174.

5. Вайникко, Г. М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений / Г. М. Вайникко, О. О. Карма // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1974. - Т. 14, № 4. -

C. 828-837.

6. Вайникко, Г. М. Кусочно-постоянная аппроксимация решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1991. - Т. 31, № 6. - С. 832-849.

7. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -Москва, 1971.

8. Abubakar, A. The diagonalized contrast source approach: an inversion method beyond the Born approximation / A. Abubakar, T. M. Habashy, P. M. van den Berg, and

D. Gisolf // Inverse Problems. - 2005. - Vol. 21. - P. 685.

9. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2013.

10. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 3-17.

11. Смирнов, Ю. Г. Двухмерная скалярная обратная задача дифракции на неоднородном препятствии с кусочно-непрерывным показателем преломления / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 3-16.

12. Цупак, А. А. О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2014. - № 1 (29). - С. 30-38.

13. Смирнов, Ю . Г . Метод интегральных уравнений в скалярной задаче дифракции на частично экранированном неоднородном теле / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 9. - С. 12341244.

14. Цупак А. А. Существование и единственность решения задачи дифракции акустической волны на объемном неоднородном теле, содержащем мягкий экран / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 61-71.

15. Цупак, А . А. Существование и единственность решения скалярной задачи дифракции на объемном неоднородном теле с кусочно-гладким показателем преломления / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 17-26.

References

1. Kress R. Linear integral equations. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

2. Derevyanchuk E. D., Smolkin E. YU., TSupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 57-68. [In Russian]

3. Medvedik M. YU., Smirnov YU. G., TSupak A. A. ZHurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2014, vol. 54, no. 8, pp. 84-96. [In Russian]

4. Smirnov YU. G., TSupak A. A. Differentsial'nyye uravneniya [Differential equations]. 2014, vol. 50, no. 9, pp. 1164-1174. [In Russian]

5. Vaynikko G. M., Karma O. O. ZHurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1974, vol. 14, no. 4, pp. 828-837. [In Russian]

6. Vaynikko G. M. ZHurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1991, vol. 31, no. 6, pp. 832-849. [In Russian]

7. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, 1971. [In Russian]

8. Abubakar A., Habashy T. M., van den Berg P. M., Gisolf D. Inverse Problems. 2005, vol. 21, p. 685.

9. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013.

10. Evstigneyev R. O., Medvedik M. YU., Smirnov YU. G., TSupak A. A. Izvestiya vys-shikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 3-17. [In Russian]

11. Smirnov YU. G., TSupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 3 (47), pp. 3-16. [In Russian]

12. TSupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38. [In Russian]

13. Smirnov YU. G., TSupak A. A. Differentsial'nyye uravneniya [Differential equations]. 2015, vol. 51, no. 9, pp. 1234-1244. [In Russian]

14. TSupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 61-71. [In Russian]

15. TSupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 3 (47), pp. 17-26. [In Russian]

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 519.642.4 Цупак, А. А.

Сходимость метода коллокаций для интегрального уравнения Липпмана - Швингера / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 4 (48). -С. 84-93. - DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-8.