Сравнение численных методов решения интегродиффренциального уравнения электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.3

Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Е. Ю. Смолькин

СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРОДИФФРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Интерес к задачам дифракции вызван активным развитием радиоэлектронной аппаратуры и техники. В данной работе исследуется задача дифракции для тела, расположенного в свободном пространстве. Данная задача представлена в виде объемных сингулярных интегральных уравнений. В работе производится сравнительный анализ численных результатов решений объемного сингулярного интегрального уравнения тремя проекционными методами: методами Галеркина и методом коллокации.

Материалы и методы. Задача дифракции электромагнитного поля на неоднородном диэлектрическом теле, расположенном в свободном пространстве, сводится к методу объемных сингулярных интегральных уравнений. Для решения задачи используются два различных проекционных метода: метод Галеркина, с переносом производной на одну базисную функцию и функцию ядра, а также с переносом производной на базисные функции, и метод коллокации.

Результаты. Представлены численные результаты решения методом Га-леркина двумя способами, первым способом было решено уравнение с переносом производной на базисные функции, вторым способом - с переносом на одну базисную и на функцию ядра. Также представлены численные результаты решения методом коллокации.

Выводы. Представлены результаты решения объемного сингулярного интегрального уравнения различными численными методами. Произведено сравнение эффективности методов для одинаковых случаев размерности сетки разбиения.

Ключевые слова: объемное сингулярное интегральное уравнение, интегральное уравнение, краевая задача, метод Галеркина, метод коллокации, численные методы.

R. O. Evstigneev, M. Yu. Medvedik, E. Yu. Smol'kin

COMPARISON OF NUMERICAL METHODS FOR SOLVING INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATION OF ELECTROMAGNETIC FIELD

Abstract.

Background. The interest in diffraction problems for bodies, located in free space, is caused by rapid development of electronic equipment and applications. In

1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ грант № 2 1102.2014/К и РФФИ грант № 16-31-00344.

this paper the problem of diffraction on a body, located in free space, is studied. This problem is reduced to volume singular integral equations. The comparative analysis of numerical solutions obtained by three projection methods is presented.

Materials and methods. The problem is reduced to the volume singular integral equation. Two different methods to solve the equation are used: the Galerkin method with transferring of derivatives on one basis function and the kernel's function or on the basis functions only, and the method of collocations.

Results. Numerical results obtained by the different methods are presented.

Conclusions. The solutions of a singular integral equation by different numerical methods are presented. The authors compared the efficacy of the methods used for the same grid dimension of the partition net.

Keywords: volume singular integral equation, integral equation, boundary value problem, Galerkin method, collocation method, numerical methods.

Введение

Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве. Данная тематика является одной из самых актуальных и изучаемых проблем электродинамики. Рассматриваемая задача, за исключением редких случаев, не решается аналитически, поэтому необходимо разрабатывать численные (приближенные) методы решения таких задач на телах сложной формы с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости. Для тел, размеры которых значительно меньше или значительно больше длины волны, возможно применение асимптотических методов. Однако в «резонансном» случае, когда размеры тела сравнимы с длиной волны, применение асимптотических методов невозможно. Известные конечно-разностные подходы не дают хороших результатов. Встречаются принципиальные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция области приводит к появлению неконтролируемой погрешности, причем размеры области для уменьшения погрешности должны быть достаточно велики.

В качестве альтернативного метода решения задач в неограниченных областях применяется метод объемных интегральных уравнений. В этом случае задача сводится к объемному интегральному уравнению в области неоднородности, которая по размерам существенно (на порядки) меньше области решения задачи в случае применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов. В работе [1] было представлено объемное сингулярное интегральное уравнение относительно вектора электрического поля, описывающее трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических рассеивателях. К достоинству данного уравнения следует отнести простоту и универсальность учета неоднородности любого типа, т.е. анизотропии и возможность выбора геометрии приемлемой формы. Аналогичная задача для прямоугольного волновода была рассмотрена в работах [2-4].

1. Постановка прямой задачи

Рассмотрим следующую задачу дифракции [5]. Пусть в декартовой системе координат расположено объемное тело Q, характеризующееся постоянной магнитной ц проницаемостью и диэлектрической проницаемостью

е(х), x = (xi,Х2,Х3). Граница dQ области Q кусочно-гладкая. Точнее пред-

№ 1 (37), 2016 Физико-математические науки. Математика

положим, что для каждой точки границы x е дQ существует окрестность 5(x) е R . В свободном пространстве среда изотропна и однородна. На тело падает поле E0, распространяемое по гармоническому закону (рис. 1).

E0

ш

с

г (x) Q

Рис. 1. Дифракция электромагнитной волны на неоднородном теле

Необходимо найти значение поля E внутри тела Q . Данная задача описывается системой уравнений Максвелла:

•0

с краевыми условиями

rot H = "юг E + jE rot E = iw|i0H

Et IdQ = 0 Hv IdQ = 0.

(1)

(2)

Рассматриваемая задача сводится к объемному интегральному уравнению на теле:

E(x) = E0(x) + k2 fG(x,y)(-llE(y)dy +

I г0

Q

+graddiv f G(x,y) | -1 |E(y )dy:

Q ^ £0 ^

(3)

где x = (Xl, X2, xз), E(x) - поле внутри тела; ^ - волновое число;

N"1

x) =

- функция, характеризующая диэлектрическую проница-

Ф) _ 1

. е0

емость тела. Электромагнитное поле можно представить в виде

4-1

(

E (x) =

e(x) " 1

е0 .

J (x).

Данное интегральное уравнение описывает поведение электромагнитной волны внутри неоднородного тела, расположенного в свободном пространстве.

Будем рассматривать уравнение (3) в пространстве ¿2 ^) [6].

2. Метод Галеркина

Для решения интегрального уравнения (3) будем использовать проекционный метод Галеркина. Применение проекционного метода сводится к решению конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим «-мерное подпространство Уп е V . Проведем аппроксимацию элементов у элементами уп еVn . Методом Бубнова - Галеркина [7] находим уп из системы уравнений

(Ьуп, V= (/, V. (4)

Эти уравнения определяют конечномерный оператор Ьп : V« ^ V« . VП - антидвойственное пространство к Vn .

В общем случае можно ожидать сходимость метода Галеркина только тогда, когда подпространства Vn предельно плотно в V :

М ||у-ф|V ^ 0, п

для всех ф е X . Эту оценку также называют свойством аппроксимации.

Рассмотрим тело Q, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда: Q = {х : а < х < ^2, Ь < Х2 < ¿2, с < Х3 < С2}. Построим в теле Q равномерную прямоугольную сетку (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная сетка

Объем любого параллелепипеда Правен Vol . Для введения базисной функции (рис. 3) определим ее носитель Прт, р = (1,2,3), как

П£1т = {х : х1,^-1 < Х1 < х1,^+ь х2,1 < х2 < х2,1+1, х3,т < х3 < х3,т+1},

а2 - ; 7 ¿2 - ¿»1 , С2 - С

х1к = а1 +—-1 к, х21 = ¿1 + —-11, х3т = С1 + —-1 т,

п п п

где к = 1,...,п -1, I, т = 0,...,п / 2 -1. Носители в других направлениях определяются аналогично. Базисные функции Умт определим следующим образом:

Vklm

1 j \xp xp,klm , x e ПР'

klm'

0 x ¿nPlm,

(5)

где hp = xp,k " xpkk-1.

Z

rY

X

Рис. 3. Носители базисных функций

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в V.

При решении уравнения (3) одним из методов возникает блочная матрица вида

Г ¿11 ¿12 ¿13 B1

¿21 ¿22 ¿23 B2

{L31 ¿32 ¿33 B3 )

Полученная матрица имеет блочно-теплицеву форму [8]. Каждый блок матрицы решается на различных направлениях интегрирования и различного рода пересечения носителей. Рассмотрим подробнее, как находятся элементы матрицы в каждом блоке.

Решая уравнение (3) методом Галеркина, приходим к следующей форме:

г ^

(е0 (у),V, (у)) = ((х(х),V, (у))-^02 10(х,у)у, (Х)Р(Х)ёх,V, (у)

IQ

- graddiv

f G(x,y)vi (x) J(x)dx,Vj (y)

Q

; i, j = 1,...,n .

(6)

Первым способом реализации метода Галеркина является перенос производной на базисные функции. Во всех диагональных блоках матрицы, где 1 = j , матричные элементы рассчитываются по формуле

= | ^(х (х Н (у +к0 II ° (x, У К (х К (у )^У _

Пг пП j

П П j

- jj G (x, у )dxvj (x )~d~Vi (y )dxdy ■ (7)

пn j x y

В остальных блоках матрицы элементы рассчитываются по следующей формуле:

Lij = ko j j G(x,y)vj (x)vi (y)dxdy - j j G(x,y)yvj (x)dXvi (y)dxdy • (8)

П n j П n; y x

Второй способ реализации метода Галеркина заключается в переброске производных на базисную функцию и ядро:

Lij = j ^(x)vj (x)vi (y)dy +ko jj G(x.У)vj (x)vi (у)dxdy +

П nn; Пг П;

+jj dxG (x' y )Vj (x )yVi (y )dxdy • (9)

п п j x y

Процедура учета особенности представлена в [9]. Правая часть матричного уравнения задается формулой

Bj = j f (x)vj (x)dx .

Q

3. Метод коллокации

Метод коллокации для приближенного решения уравнения

Ly = f (10)

состоит в нахождении приближенного решения из конечномерного подпространства посредством приравнивания значений функций в левой и правой частях уравнения (10) в конечном числе точек, называемых точками коллокации. Точнее, пусть Y = C (G) и L : X ^ Y - линейный ограниченный оператор. Пусть Xn с X и Yn с Y - последовательности подпространств таких, что dimYn = dimXn = n . Выберем n точек xi...xn в области G так, чтобы подпространство Yn однозначно определялось по этим точкам. Тогда метод коллокации решения уравнения (3) состоит в нахождении приближенного решения ф е Xn, удовлетворяющего уравнениям

(L9n )(xj) = f (xj) j = 1...n. (11)

Пусть Xn = span{u1...un} - линейная оболочка элементов Uj (базисных функций). Выразим элемент фп в виде линейной комбинации:

n

Фп = Z Ykuk . k=1

Тогда метод коллокации (11) эквивалентен системе линейных алгебраических уравнений:

п

X ^ (1ик )(х] ) = /(х- )' - = 1-п . к=1

Методом коллокаций будем решать интегральное уравнение (3). На диагональных блоках на совпадающих направлениях будет решаться уравнение вида

и- =^(х)у- (х)у{ (х) + к2 | в (х,у )у- (у )у{ (хУх +

"у

п

+ ^ д^О(х'У ^ (у)дхУ' (х)* ' (12)

п- х х

на остальных блоках:

2 г г д д

1у = ко ] О(х'уК (у) (х)х + ] дхО(х'у(У(х)^х. (13) п - п - х х

Метод коллокаций имеет преимущество в скорости вычислений за счет уменьшения количества используемых интегралов в блоках.

4. Сравнение методов и численные результаты

Данные задачи были решены на расчетной сетке размером 7*7*7 при точности интегрирования 128 точек на носитель. Данная задача требует высокой производительности вычислительной техники, поэтому эффективнее подобные задачи решать с использованием суперкомпьютеров.

На рис. 4 представлено решение интегрального уравнения (3) методом Галеркина с переносом производной на базисные функции.

Рис. 4. Решение уравнения (3) методом Галеркина с переносом производной на базисные функции

На рис. 5 представлено решение интегрального уравнения (3) методом коллокации. На рис. 6 представлено решение интегрального уравнения (3) методом Галеркина с переносом производной на одну базисную функцию и ядро.

□ 0,125-0,15

■ 0,1-0,125

□ 0,075-0,1

□ 0,05-0,075

■ 0,025-0,05

□ 0-0,025

Рис. 5. Решение уравнения (3) методом коллокации

□ 0,125-0,15

■ 0,1-0,125

□ 0,075-0,1

□ 0,05-0,075

■ 0,025-0,05

□ 0-0,025

Рис. 6. Решение уравнения (3) методом Галеркина с переносом производной на одну базисную функцию и ядро

Представленные результаты, полученные различными численными методами, имеют незначительные отличия. Более быстрым является метод кол-локации, так как количество интегралов, которое необходимо вычислить, вдвое меньше, чем в методе Галеркина. Поэтому на больших сетках для экономии времени вычислений можно использовать метод коллокации. Но на сетках незначительного размера для достижения необходимой точности лучше использовать метод Галеркина, так как он более устойчив к погрешностям вычислений.

Список литературы

1. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998.

2. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 4 (12). - С. 54-69.

3. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

4. Деревянчук, Е. Д. Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико--математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 20-29.

5. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики : моногр. / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

6. Смирнов, Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 12. - С. 2264-2279.

7. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress // Applied Mathematical Sciences. -New York : Springer-Verlag, 1989. - Vol. 82.

8. Тыртышников, Е. Е. Методы численного анализа / Е. Е. Тыртышников. - М. : Академия, 2007. - 320 с.

9. Медведик, М. Ю. Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. -2012. - Т. 13. - C. 87-97.

References

1. Samokhin A. B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom rasseyanii [Integral equations and iteration methods in electromagnetic scattering]. Moscow: Radio i svyaz, 1998.

2. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 54-69.

3. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2008, no. 2, pp. 2-14.

4. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 20-29.

5. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki: monogr. [Mathematica methods for electrodynamics problems research: monograph]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009, 268 p.

6. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2004, vol. 44, no. 12, pp. 2264-2279.

7. Kress R. Applied Mathematical Sciences. New York: Springer-Verlag, 1989, vol. 82.

8. Tyrtyshnikov E. E. Metody chislennogo analiza [Methods of numerical analysis]. Moscow: Akademiya, 2007, 320 p.

9. Medvedik M. Yu. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Computing methods and programming]. 2012, vol. 13, pp. 87-97.

Евстигнеев Роман Олегович Evstigneev Roman Olegovich

аспирант, Пензенский государственный Postgraduate student, Penza State

университет (Россия, г. Пенза, University (40 Krasnaya street,

ул. Красная, 40) Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Смолькин Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Medvedik Mikhail Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, junior researcher, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.3 Евстигнеев, Р. О.

Сравнение численных методов решения интегродиффренциально-го уравнения электромагнитного поля / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Е. Ю. Смолькин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 (37). - С. 3-12.