CC BY
33
УДК 517.3, 519.6
М. Ю. Медведик
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ РЕЗОНАТОРЕ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации. Получены численные результаты.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.
Abstract. The article considers electromagnetic field diffraction on a dielectric body located in a rectangular resonator. The problem is reduced to volume singular integral equation on the body. The article reviews a numerical collocation method for solving the equation. The authors present formulas of matrix coefficients for the collocation method and introduce numerical results.
Key words: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations, numerical method.
Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P = {x: 0 < xi < a, 0 < x2 < b, 0 < x3 < c} - резонатор с идеально проводящей поверхностью dP . В резонаторе расположено объемное тело Q (Q с P - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной 3 X 3-тензорной функцией диэлектрической проницаемости е(x). Компоненты е(x) являются ограниченными функциями в области Q , обратный тензор е 1 (x) существует в Q , и его компоненты также ограниченны в Q [1-3].
Граница dQ области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, dQ n dP = 0 . Вне Q среда изотропна и однородна с постоянными ео (> 0), Ц0 (> 0).
Требуется определить электромагнитное поле E, H е Lq loc (P) (и, следовательно, E, H е Lq (Q)), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависимостью вида exp(-/rot), где ю - круговая частота. Источник стороннего поля - электрический ток jE е Lq loc (P) с компактным носителем в волноводе P . В области P с R стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:
I rot H = -iroeE + jfi
(1)
[rotE = /ЮЦ0Н, xе P.
Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:
Et IdP = °.
iiTjdP = 0. (2)
Из соотношений (1), (2) для поля E следует интегродифференциальное уравнение [3]
- - 2 г * (£ (V) 'Л -
E(x) = E0 (x) + k0 JGE (r) -^-1 E(v)dy +
Q
+graddiv J Ge (r) Q
e(y) e0
-1
E(y)dy, x є Q.
(3)
Компоненты диагонального тензора Грина Ge = diag
E , GE
имеют вид, представленный в [3].
Для применения численного метода [4, 5] проинтегрируем компоненты тензора Грина по параллелепипеду
nte*3 = |(xb x2, x3): »1 - h~ - *1 + 1 »2 - ^ - Z2 + 1, *3 - ^ - Z3 + 1J и обозначим их через G\, G2, G3 , тогда
Л™ (Х3 )
^ n=1 m=1 n ' т 'Уйот
cos
(nX“ )• sin (mX2 )x
x sin (П1Н2 (i'2 + 0,5)) • sin ^™2H jj • cos ((( + 0,5)) sin )nHH“ jj +
I 2H1 ^ flom (x3) •( X ) • / H ( ■ I 0 5\) • fm H j
^—2“ I--------------2-----sin (mX2 )• sin (mH 2 (i2 + 0,5)) • sin I — H2 I;
^ m=1 m •У0m
g2 = 4II-
"2 = 5 ^ ^ ^nm ( 3) .sin(nX“ )• cos(mX2)x
^ n=1 m=1 n • m 'Уnm
xsin(nH“ (i“ + 0.5) sin f2H jj • cos(mH2 (i'2 + 0,5)sin f“HH2jj+
I 'I Л2п0 (2Х3) •sin (nXi )• sin (nHi (ii + 0,5))) I nHij;
^ n=1 n •Yn0
/пт ( х3 )
п п=1 т=1 п ' т 'Упт
н
эт (пХх) • эт (тХ2 )х
хэт(пН1 (/'1 + 0,5)-этI п—1 1эт(тН2 (/'2 + 0,5))пI т
Н 2
Здесь
ПХ1
пИ2
и ’*1 =-, 12 =~Г~, Н1 =------------,н 2 = и
Ь а Ь а Ь
пх^ лу
пУ2
пИ^
Х1 =—^,Х2 =-^,1 =^, 12 = ^,Н1 = ^,Н2 = а
Х1 = х2 = j2h2, У1 = КК У 2 = /2 И2 , У пт =
-2 ' эЬ (уптх3 )' ^
\2 г \2
пп 1 Г пт 1 ,2
— I +1 -г-1 - %;
а У I Ь I
$т (х3 ) =
~пт 'с)
х3 < /3И3
2 ' эЬ (у пт ~- х3 )) Г У пт (х3 + /3И3 ) ) ^ Г У пт (х3 - /3И3 )1
(упт ' с) \
2 ' (уптх3 ) Г
(упт 'с)
I у пт I с
■3И3 + И3 + х3
х
хэЬ
(х3 - /3И3 - И3 )
1
, И3/3 < х3 <~3 + 1)И3;
/ У
2 '(у пт '~-х3 ))
(упт 'с)
■ 7 и3 IV Г и3
■3И3 + у! I У пт —
х3 >~3 + 1)'И3;
Аот (х3 ) = 4 ' /о0т (х3 ); /00 (х3 ) = 4 ' /п°0 (х3 );
*/п1т ( х3 )
-4'СЬ ~"тх3 ) 'Л1-У И31 сН
л / \ ЬП | * пт ^ I 'Л1
(Упт ' с) I 2 У
4 ' сЬ ~пт ~- х3 )) зЬ Г х3 - НИ,
У пт |с - /3И3 - у У У, х3 < /3И3;
Л
(Упт ' с ) 4 ' сЬ (уптх3 ) ( Упт ' с )
Л
(
х3 - /3И3 - И3
сЬ
х
х3 + /3И3
Л
хсЬ
2с - х3 - /3И3 - И3
И3/3 < х3 <~3 + 1)И3;
4сЬ ~ ~'~- х3 »'ЗЬIУ „„Л 1 сЬ Г
(Упт ' с)
У пт | /3И3 + у | , х3 >~3 + 1)И3.
Результаты дифференцирования функций G\, G2, G3 и вычисление вторых производных представлены в [6]. Уравнение (3) решается методом коллокации.
Метод коллокации
Для уравнения Лф = f (ф, f е X) с линейным ограниченным оператором Л: X — X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение фи е Xn определяется из уравнения РпЛфп = Pnf . Здесь фи е Xn (Xn есть п -мерное подпространство пространства X), Pn : X — Xn - оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.
Разобьем область Q на элементарные подобласти Qi с кусочногладкими границами dQj так, чтобы выполнялись условия Qi n Qj = 0
при i Ф j и Q = U Qj . Выберем в каждой подобласти Qj точку (узел) колло-i
i [1,х е Qi
кации х . Рассмотрим базисные функции V; = \ . Пусть подпростран-
I0,х Й Qi
ства Xn являются линейными оболочками базисных функций:
Xn = span{v/, ..., vn}. Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие аппроксимации
Ухе X lim inf ||х - х|| = 0.
n——^ хеКГ1
Проектор Pn : X — Xn определим так: (Pnф)(х) = ф(х1), х е Qi. Заметим, что при таком определении проектора не определены значения функций (P^)(х) при х е dQi, но это не будет важно, так как в нашем случае X = Ь2 . Уравнение PnЛфn = Pnf эквивалентно следующему:
( Лфп )(х}) = f (х}), j = 1,..., n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации ба-
n
зисных функций: фп = 2 c^v^ . Подставив это представление в схему метода
к=1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов Ск :
2 Ск (Avk)(х) = f (х), j = 1, ., n.
к=1
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы решения интегрального уравнения методом коллокации [4-8]. Будем формулировать метод для инте-
(-1 ^
гродифференциального уравнения (3). Предположим, что тензор
V
е0
V
обратим в Q , а компоненты тензора
функциями.
Введя обозначения
е(х)
V е0 У
-1
являются ограниченными
V
е(х)
V е0 J
-I
J =
Ф)
V е0 J
-I
E.
перейдем к следующему уравнению:
AJ = |(x)J(x) -k0 J Ge (x, y) J(y)dy -
Q
-grad div J Ge (x, y) J(y)dy = J0(x), x e Q .
Q
(4)
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3
2 V (X) - *01 ¿Е (х, .у) /1 (у)ф -1=1 <2
divx JGe(x,y)J(y)dy = E01 (x), l = 1,2,3.
x Q
(5)
— 12 3
Определим компоненты приближенного решения ,1п = (/п, /п, /п) следующим образом:
п п п
А = 2 ак/к(х) = 2 ьк/к (х), А=2 с*^(х),
k=i
k=i
k=i
где fk - базисные функции-«ступеньки».
Ниже проводится построение функций fk . Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x: öi < xi < ö2, ¿1 < x2 < ¿2, С < x3 < c2). Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:
Пklm = {x : x1,k < x1 < x1,k+1, x2,l < xl < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1} ,
a2 - b2 - ¿1 c2 - c1
x1,k = a1 + —----1 k, x2, l = ¿1 + —--11, x3, m = c1 + —---1 m,
И И и
где k, l, m = 0,..., и -1.
Запишем формулы для fkm , i = 1,2,3 :
1, x e П
klm,
0, x ?П
klm .
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходи-
3
мому условию аппроксимации в ^ X Ь2 X ^ .
Применим метод коллокации для параллелепипеда Q (рис. 1). Для этого произведем последовательный перебор всех точек коллокации для каждого из носителей. Используя проинтегрированные компоненты функции Грина 12 3
и значение их вторых производных, вычислим значение матричных элементов. Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно представить в блочной форме:
1а 1а 2 ІА 3 Вл
А22 А23 В2
А 3 А32 А33 В3 )
б
Рис. 1. Тело Q , разбитое на элементарные параллелепипеды ПИт Элементы В£ и Л^1 определяются из следующих соотношений:
в£=4 (х); (6)
4г = ) - з^о21 ок (х], у) /I (у)ау -
Q
-^ 11Т°1 (Ху, У)/1 (У)Ф, (7)
ОХк •> ОХ1
к Q 1
где координаты точки коллокации
Х = (х-1,xi2,Х3), Х1 = (1 + 0,5) х-2 = (2 + 0.5) х-3 = (з + 0,5)й3 , к, I = 1,2,3; -1, -2, -3, У1, У2, У3 = 0,..., п -1.
Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием сетки, находим значения поля внутри фигуры. Используя субиерархический метод, можно вычислить значение поля на фигурах сложной формы [9-19].
Численные результаты
Представлены результаты расчета поля внутри куба, целиком заполняющего резонатор (рис. 2-5). Размер сетки фигуры 8^8x8. Диэлектрическая проницаемость материала 1,2. Волновое число kо = 1,5 .
Рис. 2. Падающее поле направлено вдоль первой координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты
Рис. 3. Падающее поле направлено вдоль первой координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль первой координаты
Рис. 4. Падающее поле направлено вдоль второй координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты
Рис. 5. Значение падающего поля равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты
Список литературы
1. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998.
2. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996.
3. Смирнов, Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 12. - С. 2252-2267.
4. Смирнов, Ю. Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3. - С. 71-87.
5. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -
2009. - № 4. - С. 54-69.
6. Медведик М. Ю. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2. - С. 28-40.
7. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.
8. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 9. - С. 1587-1597.
9. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Серия «Естественные науки». - 2004. -№ 5. - С. 5-19.
10. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. -Т. 6. - С. 99-108.
11. Антонов, А. В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007.- № 4. -С. 60-67.
12. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53, № 4. - С. 441-446.
13. Медведик, М. Ю. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Мед-ведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № I. - С. 87-99.
14. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод для решения псевдодифференци-ального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009.- № 3. - С. 59-70.
15. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -
2009. - № 4. - С. 48-53.
16. Медведик, М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -
2010. - № I. - С. 2-13.
17. Медведик, М. Ю. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 32-43.
1S. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе I Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.
19. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольной формы I М. Ю. Медведик II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 3. - С. SS-94.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.3, 519.6 Медведик, М. Ю.
Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 22-31.
