Существование и единственность решения задачи дифракции акустической волны на объемном неоднородном теле, содержащем мягкий экран Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4

А. А. Цупак

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА ОБЪЕМНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ, СОДЕРЖАЩЕМ МЯГКИЙ ЭКРАН1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое исследование скалярной задачи рассеяния плоской волны препятствием сложной формы, состоящим из объемного тела и расположенного внутри этого тела бесконечно тонкого акустически мягкого экрана.

Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке. Краевая задача сводится к системе слабосингулярных интегральных уравнений, для исследования которой применяются элементы теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем.

Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции, доказана теорема о единственности ее квазиклассического решения. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, установлена эквивалентность интегральных уравнений краевой задаче, доказана непрерывная обратимость оператора системы интегральных уравнений.

Выводы. Получены важные результаты о разрешимости рассматриваемой задачи дифракции, которые могут быть использованы при обосновании численных методов ее приближенного решения.

Ключевые слова: задача дифракции, квазиклассические решения, интегральные уравнения, пространства Соболева, псевдодифференциальные операторы.

A. A. Tsupak

EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTION OF THE PROBLEM OF ACOUSTIC WAVE DIFFRACTION ON A SOLID HETEROGENEOUS BODY CONTAINING A SOFT SCREEN

Abstract.

Background. The aim of this work is to theoretically study the scalar problem of plane wave scattering by an obstacle of a complex shape; the obstacle is a heterge-neous body containing an infinitely thin acoustically soft screen.

Material and methods. The problem is considered in the quasiclassical formulation; the original boundary value problem is reduced to a system of weakly singular integral equations; the properties of the system are studied using pseudodifferential operators on manifolds with boundary.

Results. The author has proposed a quasiclassical formulation of the diffraction problem; proved the theorem on uniqueness of the quasi-classical solution to the boundary value problem; the boundary value problem has been reduced to a system of integral equations; equivalence of two statements of the problem has been proved, as well as invertibility of the matrix integral operator.

1 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-1100344).

Physical and mathematical sciences. Mathematics

61

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Conclusions. The researcher has obtained important results on uniqueness, existence, and continuity of the quasiclassical solution to the diffraction problem; these results can be used for validation of numerical methods for approximate solving of the diffraction problem.

Key words: diffraction problem, quasiclassical solutions, integral equations, Sobolev spaces, pseudodifferential operators.

1. Постановка краевой задачи

Пусть Q - ограниченная область с кусочно-гладкой границей, а А -связная ориентируемая незамкнутая поверхность класса Cв Ж3, причем AcQ и dQ П А = 0. Край дА := А \ А поверхности А - гладкая кривая

класса Cбез точек самопересечения; дА§ := ^ (х)- трубчатые

хе дА

окрестности края экрана. Предполагаем, что А - акустически мягкий экран [1] с определенным заранее полем внешних нормалей n .

Предполагаем, что область Q акустически неоднородна и

характеризуется функцией k(х) е C(Q \ А); свободное пространство Ж3 \ Q однородно с волновым числом ke (вне тела полагаем k(х) = ke); всюду в Ж3 \ А выполняются условия Re k (х )>0 и Im k (х )^0. Ниже используются

обозначения: Mc := Ж3 \M, un := —.

dn

Задача дифракции плоской волны

Uo(х) = e

ike (ох! +Рх2 +^3)

х е Ж3,

на теле с включенным экраном состоит в определении полного поля u = u( х),

и е C2 (Q \ А)!^2 ((Q)с)П C1 ((А)с) П C((дА8)с), (1)

S>0

удовлетворяющего уравнению Гельмгольца вне экрана и границы тела

Ли (х) + k2( х )и( х) = 0, х е(Q иА) , условиям сопряжения на границе dQ тела

краевым условиям Дирихле во внутренних точках экрана А

и| А =0,

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства

и е Hoc(Ж3)

(2)

(3)

(4)

(5)

62

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

и условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля us := и — Hq на бесконечности

^uL = ikeus + о | 1 | при Imke = 0;

dr l r )

us (r) = O I-1 I при Im ke >0; r := Ixl

(6)

Определение 1. Решение u(x) задачи (2)-(6), удовлетворяющее условиям (1), будем называть квазиклассическим.

2. Единственность решения краевой задачи Теорема 1. При Imk(x) > 0 неоднородная краевая задача (2)-(6) имеет не более одного решения.

Доказательство. Достаточно установить тривиальность решения однородной краевой задачи с условием us Q =0 для рассеянного поля.

Пусть B з Q - шар достаточно большого радиуса. Дополним экран Q до произвольной кусочно-гладкой связной замкнутой ориентируемой поверхности dVi, охватывающей область V такую, что V с Q и

dQ П V = 0. Определим области V2 := Q \ V , V3 := B \ Q и V4 := (B)с.

Краевую задачу для us сведем к задаче сопряжения в областях V :

vi := Us V , (А + k2(x))vi(x) = 0, x eVj (i = 1,2), vi := Us\v} , (А +kl)vi(x) = 0, xsV} (i = 3,4),

dv4 (1

—^ = ikev4 + о

r ^ +°°,

(7)

dr у r

vi(x)= v2(x), xe dVi, vi,n(x)= —v2,n(x), xеЭ^ \Q. vi( x)= v2( x ) = 0, x eQ,

v2(x)= v3(x), x e dQ, v2,n(x)= —v3,n(x), x edQ, v3(x)= v4(x), xe dB, v3 n(x)= —v4 n(x), xe dB.

Применим в ограниченных областях V] (i = i,2,3) формулу Грина J (uAv + VuVv )dV = J uvnds (обоснование см. в [2]), полагая и = vi,v = v^ :

(8)

V

dV

J (v}Avt +1 Vv} |2)dx = — Jk2(x) | vt |2 dx + J | Vvt |2 dx = J vtvt nds, i = 1,2,

Vi V V dVi

J (viAvi + | Vvi |2 )dx = —ke J | vi |2 dx + J | Vvi |2 dx = J vivi,nds, i = 3. (9)

dV

Physical and mathematical sciences. Mathematics

63

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Сложим все равенства в (9), учитывая условия (8):

3

¥ := - J k 2( x) | v |2 dx - J к 2( x) | V2 |2 dx - к2 J | V3 |2 dx = ^ J VjVj nds =

V

Vo

Vo

i=1 dVt

f ^

= - J Vivi,nds - J V2V2,nds + J v2v2,nds

dv1\ й ^ dv1\ й dQ

f \

J v3v3,nds + J v3v3,nds = J v4v4,nds-

dQ dB J dB

(10)

Применяя лемму Реллиха, условия излучения и условия сопряжения на границах подобластей, получим последовательно: V4 = 0 , V3 = 0 и V2 = 0 (подробное доказательство приведено в [2] для случая непересекающихся тел и экранов, в рассматриваемом случае рассуждения проводятся аналогично). Из последнего тождества следует, что us (x) = 0: можно выбрать область Vi сколь угодно малого объема и получить условие vi( x) = 0 в точках, сколь угодно близких к й. Теорема доказана.

3. Интегральные уравнения задачи дифракции

Будем искать решение задачи в виде

u = U0 + Ui + U2, (11)

где U0 - падающее поле; ui - поле, рассеянное экраном й в свободном пространстве:

ui(x) = Jg(r)ф(у)dsy, x e (й)с, (12)

й

eiker

где G(r) =-----, r =| x - у |; ф - неизвестная поверхностная плотность.

4nr

Вне экранов выполняется уравнение Гельмгольца для u0 + ui:

(A + k^u +ui)(x) = 0, xe (й)с. (13)

Перепишем уравнение (2) в виде

(A + k2)u(x) = F(x), xe (Q ий)с, (14)

где F (x ):= -k( x)u( x), k( x ) = (k2( x) - k2).

Тогда получим уравнение для u2 :

(A + ke2)u2(x) = F(x), xe (dQ)c . (15)

64

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Решение этого уравнения может быть представлено в виде [3]

«2(х) = fk( У )G( r )u( y )dy. (16)

Q

Рассматривая равенства (11), (12) и (16) в области Q, а также используя краевые условия (4) на Q, получим систему интегральных уравнений:

u(х) - fk(y)G(r)u(y)dy - fG(г)ф(y)dsy = u0 (х), х е Q \ Q,

Q а

- fk( y )G( r )u( y )dy - fG( r )ф( y )dsy = u0( x), x ей. (17)

Q а

Продолжение полного поля вне Q определим согласно (11):

u(х) = uo(х) + fG(r)ф(y)dSy + f£(y)G(r)u(y)dy, х е (Q)c. (18)

а Q

Перепишем систему интегральных уравнений в операторном виде:

L((u,ф)Т) = (uo Q,uo Iq)T. (19)

Здесь матричный оператор L системы имеет вид

I - A

K21

-K12

S

(20)

операторы A, S и Kj определяются согласно системе (17) как композиции

операторов типа потенциала, операторов следа и операторов сужения на один из рассматриваемых рассеивателей.

Введем обозначения для операторов типа потенциала:

Kou(х) = fk(y)G(r)u(y)dsy, хе Ж3,

Q

К1ф(х) = fG(r)ф(y)dsy, х е (Q)с. (21)

Q

Оператор следа на некоторой замкнутой гладкой поверхности Г (в частности такой, что Гэй) определяется в смысле распределений согласно [4]:

Yo : u ^ You := u|Г : Hsloc(Ж3) ^ Hs-1/2(Г). (22)

Так как для ф допустимо продолжение нулем (пространство для ф выбирается ниже) на произвольную замкнутую поверхность Г эй, то определение К1 в форме (21) корректно: в [4] предполагается, что ф задана на замкнутой поверхности; операторы продолжения нулем в работе не

Physical and mathematical sciences. Mathematics

65

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

вводятся. Обозначим также через Oj и Oq операторы сужения с Г на П и из

3

Ш на Q соответственно. Таким образом, компоненты матричного оператора L определяются согласно следующим равенствам:

Аи:= ^^, Ki2^.= Оо^,

Klxu:= OiYqKq, Sф= OiYqKi, (23)

Введенный матричный оператор будем рассматривать как псевдодифференциальный оператор, действующий в пространствах Соболева на многообразиях с краем (см. [5, 6]):

L:= L2 (Q) хH-1/2 (П) ^ L2 (Q) xH1/2 (П),

где H-1/2(П) = {фе H-1/2(Г): supp фсП) и H 1/2(П) = {ф|П : фе H 1/2(Г)}.

Определение 2. Решением системы интегральных уравнений (17) будем называть пару функций (и, ф), где и - полное значение поля в Q , а ф - плотность поверхностного потенциала на П в выбранных пространствах.

4. Существование и гладкость решения системы интегральных уравнений

Покажем, что решение системы интегральных уравнений удовлетворяет условиям гладкости (1), если падающее поле бесконечно дифференцируемо.

Теорема 2. Пусть Uq е C(Ж3) и система интегральных уравнений (17)

имеет решение (и,ф)е L2Q)хH-1/2 (П1). Тогда решение и(x), продолженное вне Q согласно (18), удовлетворяет условиям (1) и (5).

Доказательство. 1. Пусть Uq е C(Ж3). Рассмотрим представление и(x) = Uq (x) + U1(x) + U2(x) при x е (Q)c. Так как ядра всех интегральных

операторов в этом случае бесконечно дифференцируемы, то ut е C((Q)с). Рассмотрим решение u(x) интегрального уравнения в произвольной открытой подобласти Q'с Q такой, что Q'nQ = 0 и dist(dQ, dQ')>0. Тогда из первого уравнения системы получим, что Ли = f, причем

f е L2(Q'). Из эллиптичности оператора Л следует, что и е C(Q') и,

следовательно, ие C(Q). Таким, образом проверено и даже усилено первое включение в (1).

2. Теперь докажем, что и е C1 ((П)с). С учетом установленного ранее достаточно показать, что для всякой точки xq е dQ при некотором е >0 верно ие C1 (£е(xq)).

Фиксируем произвольную точку xq е dQ и параметр

л

d = dist(xo,Q)>0. Определим сглаживающую функцию с(у)е C(Ж3) так,

66

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

чтобы c(у) = 1 при | y - х0|< £ = d / 4 и c(у) = 0 при | у - х0 |> 2е, в этом случае supp c пП = 0. Рассмотрим в Bd (Хо) равенство

и = Uo + Ui + KqU = Uo + Ui + KoU) + Koui + K0U2 (24)

и исследуем гладкость всех слагаемых в правой части (24).

^ 13

Имеем: U),ui e C(Bd (Х))); K)U) e C1(Ж3) как объемный потенциал с гладкой в Q плотностью k(у)щ(у) [3, с. 396]. Для К)Щ (i = 1,2) рассмотрим разложения

К0Щ (x) = Jg( х, у )k (у )Ui (y)dy = J G( x, y)k (у )щ (у )c( у )dу +

Q Q nB2e(x0)

+ J G (x, у )к (у )Ui (у )(1 - с( у ))dy =: 1ц( х) +1^( х). (25)

Q\B£(х0)

При всех x e B£/2[Х0] ядра интегралов Ii 2 бесконечно дифференцируемы, поэтому Ii 2(x)e C(B£/2[Х0]). Так как (Q пB2£[Х0]) пП = 0 и,

следовательно, u e C(Q п B2£ [ Х0]), то 1ц e C1( Ж3). Так как решение

3 2 3

u e L2Q), то его продолжение нулем E0U e L^(Ж ); тогда [7] U2 e Hioc(Ж ).

2

В частности, можем записать, что U2 e H (Q п B2£ (Х0)), откуда

0 а

U2 e C ’ (QпB2£[Х0]) при всех ae (0,1/2] [6, с. 409] и, следовательно, 12,1 e C1(Ж3).

Окончательно имеем ue C1(B£/2[Х0]).

3. Проверим условие (5). Запишем вне экранов представление u(x)

в виде

u(x) = U0(x) + Kqu(х) + К1ф(x), x e (П)с,

и рассмотрим замыкание П до произвольной гладкой замкнутой поверхности M. Так как плотность фeH-1/2 |П1), то ее продолжение нулем на M

—1/2

принадлежит пространству H (M). Из свойств оператора К1 [4, с. 615]

1 3

следует, что K^eHloc (Ж ). Учитывая гладкость падающего поля и свойства

1 3

объемного потенциала, окончательно получим u e Hioc (Ж ).

4. Проверим условие непрерывности вне края экрана.

Покажем сначала, что во внутренних точках экрана П плотность ф

непрерывна. Пусть Х0 eH \ дП, определим d := dist (Х0, дП), £ := d /4, ю:=ПпB£/2(Х0) и V := Q пB2£(Х0). Перепишем второе уравнение системы (17) в виде

^ = и0,П + K21u.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

67

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Очевидно, что C(П). Исследуем гладкость K21U на П. Выше

показано, что и е H1(Q); из представления решения и уравнения на экране

1/2

П следует, что для и выполнено (в смысле следов из H ) условие Дирихле и|п =0. Построим сглаживающую функцию c(у) (как в п. 2 доказательства) и рассмотрим разложение

Kou( x)= J G( x, у )k( у )u( у )c( у )dy +

Q пБ2е(x0)

+ J G(x,у)k(у)u(у)(1 -c(у)^у =: Ii(x) + ^(x). (26)

Q \ B£ (x0)

Как и раньше, получим I2 е C(Бе/2[xo]). Так как функция kuc

принадлежит классу H 1(Q пБ2е(xo)) и имеет нулевые данные Коши на dV,

~ 13

то [5] ее продолжение нулем Eokuc принадлежит Hcomp (Ж ). В силу свойств

3 3

ньютонова потенциала [7] получим, что I1 е Hioc(Ж ). Тогда

3 3 5/2

Kyu е Hioc(Ж ), K21u е H (П). Рассматривая теперь S как сужение эллиптического псевдодифференциального оператора порядка -1 на ю,

3/2

получим [8, с. 72], что фе Hioc (ю), откуда и следует непрерывность ф

0 а

в достаточно малой окрестности точки x0; точнее, фе C ’ (ю) при всех ае (0,1/2].

Докажем, что в каждой внутренней точке экрана П функция u непрерывна. Фиксируем x е П1, полагая е = d /4. Определим сглаживающую функцию на экране q(у) е C(П1) так, чтобы q(у) = 1 при | у - x |< е и c(у) = 0 при | у - x |> 2е. Представим u1 в виде

u1( x)= J G( r)cl(y)фl(y)dSy + J G (r)(1 - cl(y))фl(y)dsy = I1(x) + I2(x).

П1 П1\ Бе (x)

Оба слагаемых непрерывны в точке x , так как I2 - интеграл с гладким в Бе (x) ядром, I1 - потенциал простого слоя с непрерывной (вплоть до края

экрана) плотностью [3, с. 399]. Итак, u е QC((ЭП§)c). Теорема доказана.

S>0

Из теоремы 2 следует

Теорема 3. Краевая задача (1)-(5) эквивалентна системе интегральных уравнений (17) с гладкой правой частью. Точнее, если u(x) является квазиклассическим решением краевой задачи, то (u, ф) удовлетворяет

системе (17). Обратно, если пара (u,ф)е L2Q)хH (П) является

решением системы (17) при u0 е C(Ж3), то функция u(x), продолженная по формуле (18), является квазиклассическим решением задачи дифракции.

68

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Доказательство. Необходимая часть следует из вывода системы интегральных уравнений и свойств потенциалов; докажем достаточную

часть. Покажем сначала, что u(x) удовлетворяет в (dQ иП)с уравнению

Гельмгольца. Из гладкости и в Q \ Q и определения U2 получим при

x е Q \ Q.:

(А + k2 (x ))u = (A + k2)u( x) + (k2 (x) -k^)u( x) =

= (A + k^)u2(x) + (k 2(x )-k2)u(x) = 0.

При всех x е (Q)c уравнение (A + k^)u(x) = 0 выполняется в силу гладкости продолжения решения вне области неоднородности и по определению фундаментального решения уравнения Гельмгольца.

Из непрерывной дифференцируемости решения вне экранов вытекают условия сопряжения (3).

Покажем, что выполняется условие Дирихле на экране u |q =0. Оно вытекает из представления u = щ + щ + u2 и второго уравнения системы (17) на Q при условии непрерывности поверхностного потенциала ui по переменной x; оно выполняется (см. п. 4 доказательства теоремы 2) во всех точках экрана, не лежащих на его границе.

Условия излучения (4) выполняются в силу свойств фундаментального решения G на бесконечности и гладкости u вне Q. Теорема доказана.

Перейдем к доказательству теоремы об обратимости матричного оператора системы интегральных уравнений.

Теорема 4. Оператор L: L^(Q)х#—1/2 (П)^ L^(Q) хН1/2 (Q) непрерывно обратим.

Доказательство. Докажем сначала, что оператор L является фредгольмовым в выбранных пространствах (под фредгольмовым

оператором мы подразумеваем нетеров оператор с нулевым индексом).

Представим L в виде

L := Li -L2

(I — A

0 "

^1,

( 0

V K21

K12

0

\

/

Фредгольмовость L1 установлена в [9]. Покажем, что операторы Kj компактны в выбранных пространствах.

~ —1/2 —

Рассмотрим сначала оператор K12. Пусть плотность фе H (П),

тогда ее продолжение нулем ф' на замкнутую гладкую поверхность M

принадлежит пространству H—1/2(M). Следовательно, К^'е Н}ос(Ж3)) [4, с. 615], т.е. ^К^'е Н 1(Q). Из компактности вложения Н 1(Q)

в Н 0(Q ) = Lq(Q) [5, с. 74] следует компактность отображения

К12: Н—1/2(П) ^ L2(Q).

Physical and mathematical sciences. Mathematics

69

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Докажем компактность оператора К^\, представляющего собой композицию слабосингулярного интегрального оператора Kq, оператора следа Yq и оператора сужения Oj на «мягкий» экран Q. Имеем: Kq -

псевдодифференциальный оператор порядка -2, действующий из

0 2 3

L2(Q) = H (Q) в Hioc(Ж ). Оператор следа действует непрерывно из

2 3 3/2

Hfoc(ж ) в H (dV) (здесь V - произвольная ограниченная область

3/2

с гладкой границей dV dA.) Сужение Yq KqU е H (dV) на Q есть

3/2

по определению элемент пространства H (Qj), которое компактно

1/2

вкладывается [5, с. 41, 79]. Итак, К21 : L^(Q) ^ H (Q) компактен.

Итак, L2 компактен, а L фредгольмов в указанных пространствах

Соболева. Докажем инъективность L.

Пусть Uq = 0, тогда из теоремы об эквивалентности при гладком Uq интегрального уравнения (17) краевой задаче и утверждения о единственности решения последней следует, что уравнение L(u, ф) = 0 имеет лишь тривиальное решение. Теорема доказана.

Заключение

Рассмотрена задача дифракции акустической волны на сложном препятствии. Применение теории потенциала и псевдодифференциальных операторов позволило доказать важные утверждения о существовании, единственности и гладкости решений краевой задачи и системы интегральных уравнений задачи дифракции. Доказанные теоремы играют существенную роль для численного исследования поставленной задачи дифракции. Доказанное фактически утверждение об эллиптичности матричного оператора системы позволит обосновать применимость метода Галеркина.

Список литературы

3

1. Stephan, E. P. Boundary integral equations for screen problems in Ж / E. P. Stephan // Integral equations and potential theory. - 1987. - Vol. 10. - P. 236-257.

2. Цуп ак, А. А. О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.

3. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М., 1981. - 512 с.

4. Costabel, M. Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results / M. Costabel // SIAM Journal of Mathematical Analysis. - 1988. - Vol. 19, № 3. -P. 613-626.

5. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. - М. : МЦНМО, 2013. - 380 с.

6. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М. : Мир, 1980. - 664 с.

7. Banjai, L. Boundary element methods / L. Banjai. - Zurich, 2007.

70

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

8. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. - М., 1985. -468 с.

9. Смирнов, Ю. Г. Метод интегральных уравнений в скалярной задаче дифракции на системе, состоящей из «мягкого» и «жесткого» экранов и неоднородного тела / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 9. - С. 1164-1174.

References

1. Stephan E. P. Integral equations and potential theory. 1987, vol. 10, pp. 236-257.

2. Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38.

3. Vladimirov V. S. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Mathematical physics equations]. Moscow, 1981, 512 p.

4. Costabel M. SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1988, vol. 19, no. 3, pp. 613626.

5. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, generalizations thereof and elliptic problems in areas with smooth and Lipschitz boundaries]. Moscow: MTsNMO, 2013, 380 p.

6. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii. Funktsional’nye prostranstva. Differentsial’nye operatory [Interpolation theory. Functional spaces. Differential operators]. Moscow: Mir, 1980, 664 p.

7. Banjai L. Boundary element methods. Zurich, 2007.

8. Teylor M. Psevdodifferentsial’nye operatory [Pseudodifferential operators]. Moscow, 1985, 468 p.

9. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Differentsial’nye uravneniya [Differential equations]. 2014, vol. 50, no. 9, pp. 1164-1174.

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: altsupak@yandex.ru

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4 Цупак, А. А.

Существование и единственность решения задачи дифракции акустической волны на объемном неоднородном теле, содержащем мягкий экран / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 61-71.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

71