CC BY
7ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. № 1
63
УДК 511
СУММИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА ПО ЧИСЛАМ ВИДА p - 1
Д. В. Горяшин
1. Введение. Рассмотрим задачу о нахождении асимптотической формулы для суммы
5 = £ ф - 1),
p^x
где ^(и) — функция Эйлера. Эта задача может быть решена методом, обобщающим подход Е. Титчмарша к сумме £ т(p — 1) (проблема делителей Титчмарша), с использованием теорем Бруна-Титчмарша и
p^x
Бомбьери-Виноградова об оценке числа n(x; m, l) простых чисел в арифметической прогрессии mu + l:
2\пх Wx)' P(P- 1)
С другой стороны, к асимптотической формуле для суммы S можно прийти, используя вместо сложных теорем о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях простую теорему об асимптотике суммы значений функции Эйлера по арифметической прогрессии. В данной работе реализуется этот подход. Более того, получающаяся этим методом асимптотика оказывается точнее, чем в первом случае: подобно асимптотическому закону распределения простых чисел, сумма S лучше приближается интегральным логарифмом от x2 (который, по сути, дает асимптотическое разложение для S по обратным
степеням 1пж), и при этом оценка остаточного члена оказывается порядка ж2е-с1п3/б £х = о ^lnA> ж^ Для
всех N > 0, е > 0.
Отметим также, что абсолютно аналогичные рассуждения приводят к асимптотической формуле и в случае суммы ^ a(p — 1), где и(и) — сумма делителей числа и.
p^x
2. Асимптотика вспомогательной суммы. Рассмотрим сумму
Si = £ V(u — 1)Л(и)= У <р(и)Л(и + 1),
где известная функция Мангольдта Л(и) = ) Р Р ' Найдем асимптотику суммы Si (из нее
0 иначе.
будет следовать асимптотика и для суммы S). Так как Л(и) = — ^ l(d) ln d при всех и ^ 1, то
d\n
Si = £ ^(и)Л(и + 1) = — £ у(и) £ I(d)lnd = — £ i(d) ln d £ у(и). (1)
n^x-1 n^x-1 d\n+1 d^x n^x-1
n=-1 (mod d)
Теорема [1, гл. IV, п. 4.2]. Пусть k целое, k ^ 2; b целое; (k,b) = c. Справедлива оценка
3 k тг/ 1
п2 ^>2 (k) V V,
m=b (mod k) p\c
m^N
где tf2 (k) = k2 Yi ( 1 —т ) • Константа в сим,воле О абсолютная. p\k Р '
Применяя эту теорему к внутренней сумме в правой части (1), получаем следующее утверждение.
64
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. № 1
Лемма 1. Справедлива оценка
\ inf гЛ —
п2 P2(d)
n^x-1 n=— 1 (mod d)
причем константа в символе O абсолютная.
Применим утверждение леммы 1 к правой части равенства (1):
5*1 = — ^¡j,(d) Ind ^ (р(п) = — —тг У^ dß(d)\nd ^ ^ | \QCi
d<x n^x-1 п d<x ^2( )
d^x
(2)
n=-1 (mod d)
Справедлива следующая
Лемма 2. Существует постоянная Сз > 0, такая, что для любого е > 0 имеет место асимптотическая формула
у^щф^ / 1пз/5-£ x с2 = ттл__-_
ып) С2+иУе )' С2 1Ц1 (р-1)(Р2-1)
Доказательство леммы проводится методом комплексного интегрирования с использованием формулы Перрона и современной границы нулей дзета-функции [2, гл. VI, § 2].
Таким образом, с учетом утверждения леммы 2 формулу (2) можно записать в виде
Sl = + ° (х2е~СЗ 1п3/б +0 Ixlnx Kd) In d
3с2™2 , ^ /"™2„-с31п3/Б-£
° I I X Ш X
й^х
Оценим сумму в последнем остатке. Для этого воспользуемся оценкой
Е ^) = о
xe-c41
где С4 > 0 — постоянная (см. [2, гл. VI]); применяя к указанной сумме в (2) формулу суммирования Абеля [3, гл. 8, § 2], найдем
Е 1п й = О (хе-СА ы*'Ъ-е х 1п х^.
d^x
Итак, окончательно для суммы S1 получаем асимптотическую формулу
Sl = ^х2 + 0 (х2е~с* 1п3/б~£ х)+0 (х2е~с* ^ * In2 х) = ^х2 + 0 (Ve"^^ , Ж ^ ос, (3)
где с = min(c3, причем константу ^ можно записать в виде
3с2 1 рт / 1 \ / 1 \ 1 ^ / 1 \ 1
П = i1-
п2 2 11 V p2)\ (p - 1)(p2 - 1)7 2 11 V p(p - 1)
p
3. Асимптотика суммы 5. Выведем асимптотическую формулу для суммы 5 = ^ ^(р — 1) из
р^х
асимптотики (3) суммы 51. С одной стороны, применяя формулу суммирования Абеля, получаем
х / \
Л(п) 1 „ [ I ^ . 1и. .1 &
Ь = £ *<»- ч^ = + / £ - тп)
n^x з/2 \ n^t
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. № 1
65
x / x \
7Г2 111 Ж V )+ 7Г2 J ln2i+ I J \пН J
3/2 3/2 '
x
= ClLi(x2)+o(x2e-cln3/5~£^ , где Li(z) = /
2
С другой стороны, = Еп^^^-^тё = ¥>(Р - 1) + - !) = 5 + О (х I In ж) , так
к>2 V 7
з
как ^1р(рк — 1) ^ рк и Е ^ р^СжИпх. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению. Теорема. Для любого е > 0 справедлива асимптотическая формула
Б = У ф - 1) = С1 Ы(х2) + О (х2в-с 1п3/Б-£ х) , х ^те,
р^х
где П(х)=/&, С1=п(1-^ту).
список литературы
1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.
2. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд., испр. М.: УРСС, 2004.
3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2003.
Поступила в редакцию 06.06.2008
УДК 511+003.26
ОБ УЯЗВИМОСТИ ОДНОГО КРИПТОГРАФИЧЕСКОГО ПРОТОКОЛА
Д. В. Копьев
В заметке изучаются возможности атаки и обмана для игрока, начинающего игру в известном криптографическом протоколе, называемом "Ментальный покер" [1]. Ранее была описана иная возможность атаки на протокол [2].
Пусть имеются два игрока A и B и три карты а, в и 7, необходимо раздать карты следующим образом: игроки A и B получают по одной карте и одна карта отправляется в прикуп. При этом соблюдаются следующие условия:
1) каждый игрок может получить любую из трех карт а, в и 7 с равными вероятностями;
2) каждый игрок знает только свою карту;
3) в случае спора можно пригласить судью и выяснить, кто прав, а кто виноват;
4) при раздаче карт никто не знает, кому какая карта досталась (хотя раздача происходит по открытой линии связи и наблюдатель E может записать все передаваемые сообщения).
Участники выбирают некоторое большое простое число p и три случайных числа а1,в1 и 71, которыми кодируются карты а, в и 7 соответственно, причем эта информация известна всем. Затем игрок A выбирает случайным образом число са, взаимно простое с p— 1, и строит такое число dA, что CAdA = 1 (modp— 1). Игрок B также аналогичным образом строит пару чисел Св и ds, такую, что свds = 1 (modp — 1). Эти числа каждый игрок держит в секрете.
После этого начинается собственно сама раздача.
Ш!аг 1. Игрок A вычисляет ui = аЦл (mod p), щ = в1А (mod p), U3 = Y\A (mod p) и высылает их игроку B, предварительно перемешав их случайным образом.
