CC BY
0
Научная статья УДК 519.634
doi: 10.18522/1026-2237-2024-3-25-33
СТРУЙНЫЙ ЭФФЕКТ ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КАВЕРНЫ ОТ СИСТЕМЫ ИМПУЛЬСИВНЫХ ДАВЛЕНИЙ
Михаил Викторович Норкин
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия [email protected]
Аннотация. Рассматривается плоская задача о возникновении присоединенной каверны, обусловленной внезапным действием импульсивных давлений в некоторый начальный момент времени. Предполагается, что эти давления распределены на верхней части границы неподвижного кругового цилиндра, погруженного в жидкость. Течение жидкости в начальный момент времени и первоначальная зона отрыва находятся на основе решения задачи с односторонними ограничениями. В следующие моменты времени образуется присоединенная каверна, форма которой определяется на основе решения динамической задачи теории потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами. Главными неизвестными в ней являются потенциал скоростей, форма каверны, динамика точек отрыва и возмущение внешней свободной границы жидкости. Требуется изучить поставленную задачу на малых временах, уделив основное внимание поведению внутренней свободной границы жидкости вблизи точек отрыва. При исследовании данной задачи важную роль играет давление в каверне, которое создается искусственным путем. В случае небольших давлений внутренняя свободная граница жидкости вблизи точки отрыва расположена по разные стороны от этой точки. При этом концевая часть каверны напоминает струйку газа, направленную вдоль границы цилиндра в сторону жидкости.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, круговой цилиндр, импульсивные давления, присоединенная каверна, внутренняя свободная граница, малые времена, асимптотика, динамика точек отрыва, число кавитации
Для цитирования: Норкин М.В. Струйный эффект при возникновении присоединенной каверны от системы импульсивных давлений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 3. С. 25-33.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
JET EFFECT WHEN AN ATTACHED CAVITY ARISES FROM A SYSTEM OF PULSE PRESSURE
Mikhail V. Norkin
Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia norkinmi@mail. ru
Abstract. We consider the plane problem of the emergence of an attached cavity caused by the sudden action of impulsive pressures at some initial time. It is assumed that these pressures are distributed on the upper part of the boundary of a stationary circular cylinder immersed in liquid. A problem with unilateral constraints is formulated, on the basis of which the flow of liquid at the initial moment of time and the initial zone of separation of liquid particles are determined. At the next moments of time, an attached cavity is formed, the shape of which is determined based on the solution of the dynamic initial-boundary value problem of the theory ofpotential flows
© Норкин М.В., 2024
of an ideal incompressible fluid with free boundaries. The main unknowns in it are the velocity potential, the shape of the cavity, the dynamics of the separation points, and the perturbation of the external free boundary of the liquid. It is required to study the posed problem at short times, focusing on the behavior of the internal free boundary of the liquid near the separation points. When studying this problem, pressure in the cavern, which is created artificially, plays an important role. At low pressures, the internal free boundary of the liquid near the separation point is located on opposite sides of this point. In this case, the end part of the cavity resembles a stream of gas directed along the boundary of the cylinder towards the liquid.
Keywords: ideal incompressible fluid, circular cylinder, impulsive pressures, attached cavity, internal free boundary, small times, asymptotics, dynamics of separation points, cavitation number
For citation: Norkin M.V. Jet Effect When an Attached Cavity Arises from a System of Pulse Pressure. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(3):25-33. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
При резко нестационарном взаимодействии твердых тел с жидкостью во многих случаях происходит отрыв частиц жидкости от поверхности тела и образуется присоединенная каверна [1]. Асимптотический анализ таких задач на малых временах показывает, что внутренняя свободная граница жидкости вблизи точки отрыва не всегда расположена по одну сторону от этой точки. Так, например, при исследовании динамических задач удара решения типа пограничного слоя строились только при больших числах Фруда (порядка единицы и выше), где внутренняя свободная граница находилась по одну сторону от каждой точки отрыва [2-5]. При этом отмечалось, что при уменьшении числа Фруда возникает такое критическое значение этого параметра, при котором внутренняя свободная граница пересекает поверхность тела под прямым углом. Естественно предположить, что при дальнейшем уменьшении числа Фруда небольшая часть свободной границы окажется по другую сторону от точки отрыва. Однако этот случай не был подробно исследован.
В настоящей работе описанная ситуация изучается на примере задачи, в которой кавитация является следствием внезапного действия импульсивных давлений, распределенных вдоль верхней части границы неподвижного кругового цилиндра, погруженного в жидкость. Предполагается, что импульсивные давления пропорциональны ординатам точек границы цилиндра. В результате действия таких давлений вначале образуется первоначальная зона отрыва частиц жидкости на поверхности цилиндра, а затем начинает формироваться присоединенная каверна, ограниченная внутренней свободной границей жидкости и поверхностью тела. На форму каверны вблизи точки отрыва существенное влияние оказывает давление газа в каверне, которое создается искусственным путем. При больших давлениях в каверне точки отрыва движутся в разные стороны. При этом внутренняя свободная граница находится по одну сторону от данной точки (свободная граница подходит к точке отрыва по касательной, не опережая ее). При уменьшении давления в каверне вначале возникает прямой угол, а затем наблюдается переход небольшой части свободной границы по другую сторону от точки отрыва. При этом часть каверны, расположенная с другой стороны от точки отрыва, напоминает струйку газа, направленную вдоль границы тела в сторону жидкости. Важно отметить, что на достаточно малых временах указанный струйный эффект исчезает и свободная граница вблизи точки отрыва ведет себя как квадратный корень из отклонения угловой координаты этой точки (возникает прямой угол). Таким образом, струйный эффект проявляет себя только в следующем приближении по времени. По этой причине во многих случаях он оказывается весьма незначительным при малых временах.
Аналогичная ситуация имеет место в задачах удара плавающего тела (при малых числах Фруда или небольших давлениях в каверне). Интересно отметить, что при малых временах наличие прямого угла в задачах удара подтверждается экспериментально [6]. Кавитационные струи возникают во многих задачах. В частности, отметим задачу удара волны о стену с образованием воздушной каверны [7]. Общие принципы кавитационных течений при взаимодействии твердых тел с жидкостью изложены в [8, 9].
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Постановка задачи
Рассматривается неподвижный круговой цилиндр, полностью погруженный в идеальную несжимаемую тяжелую жидкость. Предполагается, что в некоторый начальный момент времени на верхней части границы тела действует внезапно приложенная система импульсивных давлений. В результате этого возникает отрыв жидкости от тела и образуется присоединенная каверна. Требуется изучить динамику каверны на малых временах, уделив основное внимание построению решений типа пограничного слоя вблизи точек отрыва. Течение жидкости, возникающее из состояния покоя в результате действия системы импульсивных давлений, будет потенциальным. Причем потенциал скоростей Ф = Ф(х) определяется на основе решения динамической смешанной краевой задачи теории потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами (рис. 1) [1-5].
ЛФ = 0, Я еО(0, — = 0, ДеЗД), дп
<5Ф
+ 0,5(ф)2 + у-Н-0,5х = О, dt
ReSu(t ),
г _2 + ReSl2(t ), dr дв дв dt
^ + 0,5(УФ)2+ Ç{x,t) = 0, RsS2(t), dt
ду дх дх dt УФ-> 0, R ->оо, Ф(х,у,0) = Фх,у), ^,0) — О, #(x,0) = 0,
АФ0 = 0, RR еП(0); Ф0 = 0, у = Н, <9ФП
(1)
дп
дФ, дп
— 0, ДеЯп(0); Ф0 < ~Pt, R еа,
0 > 0, Ф00 =-Pt, *eSi2(0),
(2) (3)
Рис. 1. Постановка задачи. Форма присоединенной
каверны при % = -3. Согласование регулярных погранслойных решений с внешним разложением / Fig. 1. Formulation of the problem. The shape of the
attached cavity at % = -3. Coordination of regular boundary layer solutions with external decomposition
(4)
УФ0 -> 0, R
•00.
(5)
t —
t, X — ¿^x,
Математическая постановка задачи (1)-(5) формулируется в безразмерных переменных, которые вводятся с помощью соотношений (штрихами помечаются размерные величины)
а ' у' = ау, Ф' = а-у^^Ф, р' = р^ар, где а - радиус цилиндра; g - ускорение
где
силы тяжести; р - плотность жидкости; р - давление.
Характерным физическим параметром задачи является число кавитации % = 2-
Pga
ра - атмосферное давление; рс - давление в каверне.
В статье также используются следующие обозначения: О(^) - область течения жидкости; Sп(t) -часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; Sl2(t) - внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); S2(t) - внешняя свободная поверхность (у = Н - ее невозмущенный уровень); 77 = ц(в,1), Е, = £(х,1) - возмущения внутренней и внешней свободных границ жидкости; = еу - импульсивное давление; г,в - полярные координаты; Я - радиус-вектор с координатами (ху).
На внутренней и внешней свободных границах Я = 1 + 77(0,£), у = Н + Е,(х^) задаются динамические и кинематические условия. В точках пересечения внутренней свободной границы
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
жидкости с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутты - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.
Потенциал скоростей Ф0 и первоначальная зона отрыва 5"12(0) находятся на основе решения задачи с односторонними ограничениями, которая формулируется по аналогии с классической моделью удара с отрывом [1]. В такой постановке начальная зона отрыва частиц жидкости 5"12(0) оказывается уже, чем область задания импульсивных давлений ^12(0) ^ ст . Здесь через ст обозначена часть смоченной поверности тела ^11(0), примыкающая к зоне отрыва 5"12(0), где не происходит отрыва частиц жидкости. В силу неизвестности зоны отрыва задача (2)-(5) является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами. Условие типа неравенства в (3) означает, что в зоне ст действующие со стороны тела аналогичные давления не превышают импульсивные давления, возникающие в жидкости. Неравенство в (4) говорит о том, что жидкие частицы на этой части границы могут двигаться только в сторону жидкости. Обратим внимание на свойство регулярности решения задачи с односторонними ограничениями, состоящее в непрерывности первых производных потенциала Ф0 в каждой точке отрыва. Отсюда следует выполнение условия Кутты - Жуковского в главном асимптотическом приближении по времени.
Асимптотический анализ при малых временах
Далее кратко приведены основные этапы построения начальной асимптотики решения задачи (1)-(5). Здесь так же, как и в [3-5], разложения основных физических величин по малому времени проводятся не для исходной, а для преобразованной задачи. С этой целью задача (1)-(5) записывается в полярных координатах и делается следующая замена переменной по угловой
п 20
координате: а =-— [0-0s1(t)]+0s1, где 0s1 (t), n-0s1(t) - угловые координаты точек
п- 20S1(t)
отрыва в момент времени t, а 0Л, п - 0s1 - в начальный момент времени.
Решение преобразованной задачи разыскивается в виде асимптотических разложений по малому времени:
(p = ф0(a, r) + tP(a, г) +... , (6)
Z = tZo(a) +12Z(a) +... , (7)
£ = t£o(x) +12^( x) +... , (g)
0s1(t) = 01 + C1t + ... , где введены обозначения: p(a, r, t) = Ф(0(а, t), r, t), Z(a, t) = n(0(a, t), t).
Главное приближение в (6) определяется на основе решения задачи с односторонними ограничениями (2)-(5), где положено x = r cos a, y = r sin a . После подстановки такого проекта решения в преобразованную задачу осуществляется стандартная процедура переноса краевых условий с возмущенных участков границы области на их первоначально невозмущенный уровень. Затем приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого времени. В результате для определения функций p0), p возникают смешанные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в первоначально невозмущенной области Q(0). Задача для уравнения Пуассона сводится к задаче для уравнения Лапласа при помощи подстановки, предложенной в [4]:
p= cp (a--} + u, c =--, Au = 0, R eQ(0), — = 0, R e S11(0),
da ^ 2 J п - 20s1 dn
if) У
u = -0,5(Vp0)2 - y + H + 0,5x, R e S12(0), u =-0,5 p , y = H, Vu ^ 0, R ^<x>.
I д J
Обратим внимание на то, что функция u не зависит от коэффициента Су. Он определяется из условия регулярности функции щ вблизи точки отрыва. Рассуждая здесь так же, как и в [2-5], придем к следующим равенствам:
су = -—, a = lim ^ 01 - а , а2 = lim ~~ л/^л - а. ау а^-вА-о да а^-вл-о да
На этом заканчивается первый этап построения асимптотики на малых временах, состоящий в определении потенциала скоростей и динамики точек отрыва. Отметим, что полученное решение должно удовлетворять условию Кутты - Жуковского в точках отрыва и условию положительности давления на смоченной поверхности тела. Первое из этих условий выполняется в силу выбора коэффициента q, а также на основании регулярности решения задачи с односторонними ограничениями. Второе условие проверяется уже после определения потенциала скоростей. Для наиболее интересных случаев, которые характеризуются тем, что внутренняя свободная граница расположена по разные стороны от точки отрыва, давление на смоченной поверхности тела оказывается выше, чем давление в каверне (в расчетах давление в каверне равно атмосферному давлению). При увеличении давления в каверне эта ситуация меняется. Однако и в этом случае давление на поверхности тела остается положительным в широком диапазоне изменения характерных величин.
Второй этап построения асимптотики состоит в определении форм свободных границ жидкости. В рассматриваемом асимптотическом приближении эти этапы разделяются. Для коэффициентов асимптотических разложений (7), (8) справедливы формулы (ха = r cos а , уа = r sin а)
#о(*а) = ^, = 0,5^, Сс(а) = ^0
дУа дУа дг
д% I2 д%
2 г ^ "1 я„. Г я„ Л2 я2.
дгда
2(ci + c(a-esl))
да
ди дг
\
дг ) да2 дг
где производные вычисляются при уа = H и r = 1.
Решения типа пограничного слоя
Анализ формулы (7) показывает, что при а ^9s1 + 0 функция Z (а) ведет себя как
const (а -0i)-0,5. Следовательно, вблизи первой точки отрыва разложение (7) неприменимо. В этом случае необходимо построить решение, эффективное вблизи этой точки (решение типа пограничного слоя), и согласовать его с внешним разложением (7). Вначале проведем рассуждения в предположении, что граница каверны находится по одну сторону от точки отрыва. Рассмотрим преобразованное кинематическое уравнение внутренней свободной границы жидкости
= -2 дву2 + dz dz(двт1 дв
дг да да\да J dt да\ да) dt
Подставляя (6) в это уравнение, используя асимптотические формулы, эффективные при малых значениях а - es1 или при малых t (последняя формула)
дф0 П I ъ Z3 Л др> а дв дв
ва-в1, а^вл + 0, - s cos в,ь — ~Ci; ---1
дг да дt да
приведем рассматриваемое уравнение к виду
f (а) = -в + , в = Ci + да дt
f (а) = ва - в1,а > вл. (9)
Решение уравнения (9) будем искать в форме
z^, t) = eYF(T) +..., Т = ав1. (10)
После подстановки (10) в (9) и переходу к погранслойной переменной т придем к соотно-
,0,53 Y—ö Y—1 п "
шению, члены которого имеют следующие порядки малости по /: t , г , г . В самой хорошей ситуации, когда все показатели равны, величины у, ö определяются следующим образом: у = 1,5, ö = 1. Для нахождения функции F (т) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка с нулевым начальным условием и условием сращивания с внешним разложением на бесконечности
(т + ß) F '(т) — 1,5F (т) = -4Г, (11)
F (0) = 0, F (т) = + +... ,т—да.
4V т
Последнее условие получается путем перехода в (7) к погранслойной переменной т и использования асимптотического поведения функций Z)(a), Z\(a~) вблизи точки отрыва.
В случае ß1 < 0 решение задачи (11) имеет хорошо предсказуемую форму
F(т) = , 0 < т <| ß11. (12)
3| ß |
2
F(т) = —— [т1,5 — (т— | ß1 |)1,5 ], | ß11< т < да. (13)
3 1 ß1 |
Построенное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению (11), нулевому начальному условию и условию сращивания с внешним разложением. Обратим внимание на то, что соответствующая кривая подходит к точке отрыва по касательной, а условие сращивания выполняется с учетом всех найденных членов (первые два члена разложения функции (13) при т —> да совпадают с соответствующими слагаемыми в условии сращивания).
Проведенные рассуждения позволяют говорить о полном решении поставленной задачи на малых временах при ß1 < 0 . Однако представляют интерес и другие возможные варианты выбора величин у, ö . Рассмотрим случаи, когда равными оказываются только два показателя степени, а слагаемое, отвечающее за третий показатель, имеет более высокий порядок малости по t: 0,5ö = y — ö, 0,5ö = у — 1, y — ö = y — 1. В первом случае решение соответствующей задачи
Коши совпадает с формулой (12) при ß1 < 0 и отличается от (12) знаком минус при ß1 > 0 (в последнем случае кривая оказывается внутри круга). В третьем случае независимо от знака ßx получается решение, тождественно равное нулю. Поэтому остается только второй случай, который сводится к дифференциальному уравнению (у = 0,5ö +1, 0 <ö < 1)
0тF'(т) — yF(т) = с общим решением F(т) = 4т+ сту10.
Здесь нулевое начальное условие выполняется при любой постоянной с , а условие сращивания - только при с = 0. В результате приходим к окончательному выражению для возмущения свободной границы жидкости вблизи точки отрыва
Z(a, t) =ßf4r = ßt-4 a—esX. (14)
Отметим, что в исходных переменных получается формула, не зависящая от параметра ö.
Случаи, когда два показателя степени оказываются больше третьего, не приводят к новым решениям.
Таким образом, построены два решения типа пограничного слоя: (10), (12), (13) при у = 1,5, ö = 1 и (14). Решение (14), имеющее вид квадратного корня, соответствует главному приближению по времени (условие сращивания выполняется только в главном приближении), а решение (10), (12), (13), подправляющее (14) вблизи точки отрыва и на некотором удалении от нее, отвечает уже следующему приближению. Оно работает в более широком временном диапазоне и переходит в (14) при t — 0. Сравнение этих решений на малых временах показано на рис. 2. Как видно, различие между ними весьма незначительное.
Теперь перейдем к более сложному случаю ß1 > 0, где не удается найти подходящее решение уравнения (11), удовлетворяющее нулевому начальному условию (так как соответствующая кривая оказывается внутри круга). Но при этом получается построить решение этого урав-
нения, удовлетворяющее условию сращивания с внешним разложением (7) (с учетом всех найденных членов):
= ( + Д)1,5-г1,5 ]. (15)
Отметим, что формула (14) не зависит от параметра Д и, следовательно, оказывается справедливой также и для Д > 0 . Таким образом, можно сказать, что решение типа пограничного слоя в главном приближении по времени построено. При этом наблюдается неплохое согласование с внешним разложением (рис. 3).
Рис. 2. Сравнение двух решений типа пограничного слоя в случае х~~3 / Fig. 2. Comparison of two boundary layer solutions in the case X~~ 3
Рис. 3. Согласование погранслойных решений с внешним разложением при х = 0 . Сплошными линиями показаны погранслойные решения типа квадратного корня / Fig. 3. Coordination of boundary layer solutions with external expansion at х = 0 . Solid lines show boundary layer solutions like a square root
Однако не удается найти решение типа (10), (12), (13), подправляющее это главное приближение. Причина этого в том, что при Д > 0 внутренняя свободная граница расположена по разные стороны от точки отрыва. Далее остановимся на построении решений типа пограничного слоя, соответствующих этому случаю. Так как справа от точки отрыва (а <0^, г = 1) нормальная производная функции <р0 равна нулю, а ее производная по а непрерывна при а = 6л, то в главном асимптотическом приближении преобразованное кинематическое уравнение внутренней свободной границы жидкости принимает вид (9) с /(а) = 0 (а < 0^). Его решение будем искать в форме (10), где в выражении для т следует поставить знак минус. После подстановки этого проекта решения в соответствующее дифференциальное уравнение и переходу к погранслойной переменной придем к соотношению, члены которого имеют следующие порядки малости то (: , ^_1. Имеет смысл рассмотреть два случая: у — 5 = у — 1 (3 = 1) и у -8 >у-1. В первом случае возникает дифференциальное уравнение (Д - т)Р '(г) + уР(т) = 0
с общим решением ^(г) = с(Д - г).
Показатель у и постоянная с подбираются из условия согласования с решением (10), (15) (в (10) у = 1,5, 3 = 1). В результате приходим к следующему выражению для возмущения свободной границы, которое является естественным непрерывно дифференцируемым продолжением решения (10), (15) в область а <в,:
a«,t)=-foi- «F.
3А
(16)
Во втором случае получаем равенства 5tF'(t) = yF(г), F(j) = сту!5 .
Здесь показатель степени и постоянная C выбираются таким образом, чтобы при некотором а (0 < - а < Д t) совпали возмущения свободных границ и модули их производных по а
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
(условие максимальной близости между решениями в окрестности их общей точки). В результате возмущение свободной границы вблизи точки отрыва представляется в форме
№, t )=2Р
3ßi
(17)
При этом указанные равенства выполняются в точке а = 6л — 0,5 . Согласование трех по-гранслойных решений (10), (15), (16), (17) показано на рис. 4.
Численные расчеты проводились при следующих значениях параметров: е = 0,2; Н = 1,2; ? = 0,15; х = -3 (рис. 1, 2); х = 0 (рис. 3, 4). Для этих случаев вл « 0,324; с1 « 3,152(х = 0); с1 « - 1,029(х = -3). При численной реализации использовался пакет конечных элементов БгееРеш++ [10].
Заключение
В работе определяется форма присоединенной каверны, образованной в результате действия системы импульсивных давлений, распределенных на верхней части границы погруженного в жидкость кругового цилиндра. Основное внимание уделяется изучению формы внутренней свободной границы жидкости вблизи точки отрыва. В качестве основного математического аппарата применяется асимптотический анализ на малых временах вместе с методами теории пограничного слоя. Показывается, что при небольших давлениях в каверне внутренняя свободная граница жидкости вблизи точки отрыва расположена по разные стороны от этой точки. При этом концевая часть каверны напоминает струйку газа, стекающую вдоль границы цилиндра в сторону жидкости.
Рис. 4. Струйный эффект при х = 0 / Fig. 4. Jet effect at x = 0
Список источников
1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.
2. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. Engng Math. 2011. Vol. 70. P. 239-254. Doi: 10.1007/s10665-010-9416-6.
3. Норкин М.В. Движение кругового цилиндра в жидкости после удара на малых временах с образованием каверны // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 101-112.
4. Норкин М.В. Динамика внутренней свободной границы жидкости на малых временах при вертикальном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в жидкость // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 1. С. 30-35.
5. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 8192. Doi: 10.17377/sibjim.2016.19.409.
6. Кудрявцева Н.А. Горизонтальный удар плавающего эллипса о несжимаемую жидкость // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, № 2. С. 258-261.
7. Bingyue Song. Fuid/Structure Impact with Air Cavity Effect. Dissertation. London: University College, 2015. 203 p.
8. ГуревичМ.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.
9. ИвановА.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980. 240 с.
10. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2008. 256 с.
References
1. Sedov L.I. Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics. Moscow: Nauka Publ.; 1966. 448 p. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
2. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. J. Engng Math. 2011;70:239-254. Doi: 10.1007/s10665-010-9416-6.
3. Norkin M.V. Initial stage of the circular cylinder motion in a fluid after an impact with the formation of a cavity. Fluid Dynamics. 2012;47:375-386. Doi: 10.1134/S0015462812030118.
4. Norkin M.V. Dynamics of the internal free boundary of a liquid at short times during a vertical impact of a circular cylinder completely immersed in a liquid. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2015;(1):30-35. (In Russ.).
5. Norkin M.V. Cavity Formation at the Inclined Separated Impact on a Circular Cylinder under a Free Surface of a Heavy Liquid. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2016;10(4):538-548. Doi: 10.1134/S1990478916040104.
6. Kudryavtseva N.A. Horizontal impact of a floating ellipse on incompressible fluid. Prikl. matematika i mekhanika = Applied Mathematics and Mechanics. 1960;24(2):258-261. (In Russ.).
7. Bingyue Song. Fuid/Structure Impact with Air Cavity Effect. Dissertation. London: University College Press; 2015. 203 p.
8. Gurevich M.I. Theory of jets of an ideal fluid. Moscow: Nauka Publ.; 1979. 536 p. (In Russ.).
9. Ivanov A.N. Hydrodynamics of developed cavitation flows. Leningrad: Sudostroenie Publ.; 1980. 240 p. (In Russ.).
10. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Using the finite element package FreeFem++ for hydrodynamics problems, electrophoresis, and biology. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2008. 256 p. (In Russ.).
Информация об авторе
М.В. Норкин - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the author
M. V. Norkin - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Professor of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 10.04.2024; одобрена после рецензирования 24.05.2024; принята к публикации 04.07.2024. The article was submitted 10.04.2024; approved after reviewing 24.05.2024; accepted for publication 04.07.2024.
