Схлопывание присоединенной каверны при малых числах Фруда после отрывного удара плавающего эллиптического цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Научная статья УДК 519.634

doi: 10.18522/1026-2237-2024-1-22-29

СХЛОПЫВАНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КАВЕРНЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ФРУДА ПОСЛЕ ОТРЫВНОГО УДАРА ПЛАВАЮЩЕГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

Михаил Викторович Норкин

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия norkinmi@mail. ru

Аннотация. Рассматривается плоская задача о схлопывании присоединенной каверны, образованной в результате отрывного удара эллиптического цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости. Предполагается, что после удара цилиндр движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. При малых числах Фруда, которые соответствуют небольшим скоростям движения цилиндра, возмущения свободных границ жидкости будут незначительными, и процесс схлопывания каверны в основном сводится к изучению динамики точек отрыва. Решение данной задачи строится при помощи асимптотических разложений по малому параметру, которым является число Фруда. В главном асимптотическом приближении формулируется смешанная краевая задача теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. На ее основе определяется динамика точек отрыва, форма тонкой каверны и реакция среды на тело. Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач морской и корабельной гидродинамики.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, эллиптический цилиндр, отрывной удар, схло-пывание присоединенной каверны, асимптотика, динамика точек отрыва, число Фруда, число кавитации

Для цитирования: Норкин М.В. Схлопывание присоединенной каверны при малых числах Фруда после отрывного удара плавающего эллиптического цилиндра // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 1. С. 22-29.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Original article

COLLAPSE OF THE ATTACHED CAVITY AT LOW FROUDE NUMBERS AFTER A SEPARATION IMPACT OF A FLOATING ELLIPTICAL CYLINDER

Mikhail V. Norkin

Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia norkinmi@mail. ru

Abstract. The plane problem of the collapse of an attached cavity formed as a result of a separation impact of an elliptical cylinder under the free surface of a heavy fluid is considered. It is assumed that after the impact the cylinder moves horizontally with constant velocity. At small Froude numbers, which correspond to small velocities of the cylinder, the free boundaries of the liquid are slightly perturbed and the process of cavity col-

© Норкин М.В., 2024

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

lapse is mainly reduced to the study of dynamics of breakaway points. The solution to this problem is constructed using asymptotic decompositions on a small parameter, which is the Froude number. In the main asymptotic approximation, the mixed boundary value problem of potential theory with one-sided restrictions on the body surface is formulated. On its basis, the dynamics of detachment points, the shape of a thin cavities, and the reaction of the environment to the body are determined. The results obtained can be used for solving practical problems of marine and ship hydrodynamics.

Keywords: ideal incompressible fluid, elliptical cylinder, separation impact, collapse of the attached cavity, asymptotics, dynamics of separation points, Froude number, cavitation number

For citation: Norkin M.V. Collapse of the Attached Cavity at Low Froude Numbers after a Separation Impact of a Floating Elliptical Cylinder. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(l):22-29. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

Проблема взаимодействия твердых тел с жидкостью с учетом явления кавитации относится к числу важных задач современной гидродинамики. Среди актуальных направлений исследования отметим задачи об отрывном ударе тел, плавающих на поверхности жидкости или полностью в нее погруженных [1-5]; задачи проникания тел в жидкость с учетом отрыва частиц жидкости от их поверхностей [6]; задачи подводного старта ракет кавитационным способом [7]; экспериментальное изучение ударного воздействия жидкости на твердые стенки в условиях кавитации [8, 9]. Общие принципы кавитационных течений при взаимодействии твердых тел с жидкостью изложены в [10, 11].

Настоящая статья представляет собой развитие результатов предыдущих работ автора [4, 5] на случай плавающего тела более общей формы. В ней рассматривается задача о горизонтальном и отрывном ударе эллиптического цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости и его последующем движении в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. Существенно отметить, что первоначальная зона отрыва, образующаяся на поверхности тела сразу после удара, от физических параметров задачи (чисел Фруда и кавитации) не зависит. Эти величины проявляют себя уже после мгновенного процесса удара. При малых числах Фруда, которые соответствуют небольшим скоростям движения цилиндра, возмущения внутренней и внешней свободных границ жидкости будут незначительными, и рассматриваемый процесс главным образом сводится к изучению динамики точек отрыва. Аналогично работам [4, 5] показывается, что данная задача при малых числах Фруда сводится к решению смешанной краевой задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. На ее основе определяется динамика точек отрыва, форма тонкой каверны и реакция жидкой и газообразной (в каверне) среды на тело.

Постановка задачи

Рассматривается плоская задача об отрывном ударе эллиптического цилиндра под свободной поверхностью идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. Предполагается, что после удара цилиндр движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. Позади тела образуется присоединенная каверна, форма которой зависит от искусственной подачи газа, а также от физических и геометрических параметров задачи. Требуется изучить процесс схлопыва-ния каверны при медленных движениях цилиндра после удара. Метод решения данной задачи основан на предположении, что точки отрыва внутренней свободной границы жидкости монотонно сближаются. Схлопывание каверны происходит тогда, когда зона отрыва полностью исчезает. Математическая постановка задачи, записанная в безразмерных переменных в подвижной системе координат, связанной с цилиндром, имеет вид (рис. 1)

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Ap = 0, r eQ (t),

Л

Ôp = nx ' r e Sn(t),

ôn

dv_s2 Ôp + I£2+

ÔT

ôx 2

+ y _ H _ 0,5X = 0, r e S^CO;

px _ Ix + Vvy

Рис. 1. Постановка задачи. Формы присоединенных каверн при s = 0,5 ; т = 0,2;0,4 / Fig. 1. Formulation of the problem. Forms of attached cavities at s= 0.5; z= 0.2;0.4

2 2 X2 + У2

->_ 2

в(т) = R- 2 [pyx _ (Px _ l)yl r e S12 (t)

m+s_ 2 ôf,

ÔT

ÔP_s2 ÔP +1 s2(vp)2 + y(x,T) = 0,

Ôp 2 Ôp 1 2/ ôt Ôx 2

r e S2(t),

(1)

Ôp Ôy

Ôy Ôx

Ôp

Ôx

_ 1

+ s-2 Ôy, r e S2(t),

ÔT

Ôpp = 0, y = _Hb ; Vp^ 0, x

Ôy

px, y,0) = p0(x, y), y(x,0) = 0 , f(0,0) = 0, Ap0 = 0, r e Q(0) ; p0 = 0, y = H,

Ôp0 Ôn

Ôp0

Ôn

Ôp0

Ôy

= nx, p0 < 0, r e Sii(0);

> nx, p0 = a r e Si2(0) ;

= 0, y = _Hb ; Vp0 ^ 0, x ^ ±o).

Функции р, , удовлетворяющие системе (1), выражаются через потенциал скоростей Ф и возмущения внутренней и внешней свободных границ жидкости ц и % :

Ф(х,у,ет) = р(х,у,т), %(6,т) = л(9,£т) , 1у(х,т) = %(х,ет), где т - растянутое время, связанное с безразмерным временем t равенством I = ет.

Характерными физическими параметрами задачи являются числа Фруда и кавитации (малый

параметр s совпадает с числом Фруда): s = Fr = ■

Х = 2

Pa _ Pc

■Jgâ' PSa

Безразмерные переменные вводятся с помощью соотношений:

? = ,—1, х'= ах, у' = ау, Ф' = а^аФ, р' = рар,

4ёа

где штрихами помечаются размерные величины. Неподвижные координаты X, Y связаны с подвижными х, у равенствами X=x+h(t), Y=y.

В работе также используются следующие обозначения: О.^) - область течения жидкости; ^(О - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости; «^(О -оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); « - граница всего тела; ^(О - внешняя свободная поверхность жидкости (у = Н - ее

невозмущенный уровень); p=const - плотность жидкости; ра - атмосферное давление; рс -

давление в каверне; Ъ(}) = у0 - скорость движения цилиндра после удара; у = -Нь - дно бассейна; а, Ь - полуоси эллипса; Г - радиус-вектор с координатами (х,у).

V

0

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Формы внутренней и внешней свободных границ жидкости относительно подвижной системы координат имеют вид

R = Rq(9) + г(в, t) ; y = H + Ç(x,t).

Внутренняя свободная граница описывается в полярных координатах (R, в), функцияR°(e) определяет форму эллипса:

R0(e) = (cos2(e) + S"2 sin2(e))r°'5, S = ba

В точках пересечения внутренней свободной границы жидкости с поверхностью цилиндра (точки отрыва) ставится условие Кутты - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.

Течение жидкости в начальный момент времени (момент, непосредственно следующий после удара) определяется на основе решения классической модели удара с отрывом [1].

Асимптотика при малых числах Фруда

Решение задачи (1) будем искать в виде следующих асимптотических разложений:

2 2

<p(x,y,О = p(x,y,г) +... ; <^(в,т) = s £1(в,т) +... ; iy(x,r) = s Vï(x,r) +...;

©!(«■) = в(т) +...; ®2(ет) = в2(т) +..., ©ï(t) <©2(t), где ©ï(t), ©2(t ) - угловые координаты точек отрыва в момент времени t, а многоточием обозначены члены более высокого порядка малости по s .

С помощью формулы Тейлора применяется стандартная процедура сноса краевых условий на невозмущенный уровень и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях s . В результате для главного асимптотического приближения возникает смешанная краевая задача теории потенциала в первоначально невозмущенной области Q(°). В ней вследствие интеграла Коши - Лагранжа краевые условия в зоне отрыва и на внешней свободной границе содержат производные по времени. Учитывая, что точки отрыва монотонно сближаются, проинтегрируем динамическое условие в зоне отрыва по времени от ° до т для любой фиксированной точки этой зоны, отвечающей моменту времени т . Интегрируя еще динамическое условие на внешней свободной границе и учитывая краевые условия типа неравенств, придем к следующей задаче:

Ар = °, r е Q(°), (2)

P = nx, (°,5Z + H - y^-p+p > °, r е S ï(t), (3)

on

P> nx, (°,5Z + H - у)т-ф1+п = °, r е S \ S ï(t), (4)

on

(Pï= °, y = H,

P = °, y = -Hb ; Vp^°, x (5)

oy

Объясним смысл краевых условий типа неравенств. Первое неравенство означает, что давление в зоне контакта не может быть ниже, чем давление в каверне. Второе запрещает жидким частицам входить внутрь твердого тела, хотя и не препятствует их отрыву от твердой поверхности. Полученная задача с односторонними ограничениями совпадает по своей структуре с классической задачей об ударе с отрывом, для которой доказана теорема существования и единственности решения. Важной особенностью задачи (2)-(5) является то, что ее решение имеет непрерывные первые производные в точках отрыва. Отсюда следует выполнение условия Кутты - Жуковского в главном асимптотическом приближении при малых числах Фруда. Отметим, что краевые условия типа неравенств фактически оказываются равносильными условию Кутты - Жуковского в точках отрыва. В частности, этим можно объяснить тот факт, что при малых числах Фруда и искусственной кавитации условие в зоне контакта имеет вид p > pc. В естественной ситуации, когда pc « °, оно совпадает с условием p > °. При больших и умерен-

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

ных числах Фруда такие рассуждения могут оказаться неверными, так как в этих случаях динамика задачи не описывается моделями с односторонними ограничениями. Также обратим внимание на то, что функция p°, стоящая в краевом условии (4), равна нулю.

После решения задачи (2)-(5) возмущения свободных границ жидкости находятся по формулам:

Ro(e)-ï[(Px -1)x + Pyy] = R°(e)R°(e)-2[pyx-(Px -1)y] + °TL , r е S\ Sn(t), (6)

dr

dPk = dlL y=H dy dr

Формулу (6) можно привести к более компактному виду: f 0)

dp

nx

dn

(cos2 в + ^sin2 dr ' J ( ) cos2 в + S~2 sin2 в '

Интегрируя ее по r с учетом нулевого начального условия, получим равенство

£(в,г) = /(в) Ц{д^-nxjdr. (8)

Обратим внимание на то, что функция (8) не удовлетворяет однородным краевым условиям в точках отрыва (при в = в (г),в2 (r)). В этом случае необходимо построить специальные решения (типа пограничного слоя), эффективные вблизи указанных точек. В идеале эти решения должны удовлетворять кинематическому уравнению внутренней свободной границы жидкости (7) (в главном асимптотическом приближении); однородным краевым условиям в точках отрыва; условию согласования с решением (8) (внешнее решение); нулевому начальному условию. Эту проблему предлагается решить с помощью локальных функций, эффективных в маленькой окрестности фиксированного r = r„:

£ (0,r) = (r + c(r* ))f (0)

dp га ч

—40, r* ) - Пх dn

(9)

При т = т* функция (9) точно удовлетворяет дифференциальному уравнению (7) (а в маленькой окрестности т приближенно, с высокой степенью точности) и однородным краевым условиям по в в точках отрыва. Кроме этого, с помощью численных экспериментов показывается, что за счет выбора постоянной с(т) удается добиться очень хорошего согласования с решением (8) (соответствующие кривые совпадают всюду, за исключением маленьких окрестностей точек отрыва). Отсюда следует, что при т = 0 должно выполняться однородное начальное условие (с(0) = 0). Подчеркнем, что при т* > 0 нулевое начальное условие для локальной функции не обязано выполняться.

Таким образом, локальные решения (9) представляют собой однопараметрическое семейство решений, которое при каждом фиксированном т„ подправляет решение (8) вблизи точек отрыва.

Далее остановимся на вопросе о совместном действии жидкой и газообразной (в каверне) среды на движущееся тело. Для обезразмеренных силы и момента ( Р ^ р%а2Р , М ^ р%а3М, р - рс ^ £%а(р - рс)) справедливы следующие представления:

Р = - I (р - Рс г = (Р, Р ), М = М, М = I (р - Рс )(хпу - упх

р - рс = 0,5^ + Н - у - и , и = .

от

При численной реализации некоторые трудности создает производная по времени, которая обычно заменяется разностным отношением. При этом для каждого фиксированного г приходится решать задачу с односторонними ограничениями и повторять эту процедуру для более мелких шагов, добиваясь хорошей точности вычислений. Изложим более эффективный способ нахождения этой производной, основанный на применении вариационного признака Огазо [12].

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Рассмотрим функцию р (в,т,в , в2), которая является решением обычной смешанной краевой задачи теории потенциала вида (2)-(5) без учета неравенств с точками раздела краевых условий в1, в2 . Согласно принципу Огазо, данная функция (как функция в1, в2 при фиксированных в, т)

имеет экстремум при в1 =в (т), в =в (т)- Находя полную производную этой функции по т и учитывая, что ее частные производные по в^, в2 обращаются в ноль, определим искомую функцию и в зоне контакта на основе решения краевой задачи. Эта задача имеет вид (2)-(5) без учета неравенств со следующими изменениями в краевых условиях: в (3) нормальная производная равна нулю, в (4) т = 1 (р = 0). При этом точки раздела краевых условий соответствуют точкам отрыва для данного т .

Численная реализация и анализ результатов

Для численного решения задачи (2)-(5) при любом фиксированном т применяется специальный итерационный метод последовательного уточнения неизвестных заранее зон отрыва и контакта частиц жидкости. Согласно этому методу, данная нелинейная задача сводится к последовательному решению линейных краевых задач с фиксированными точками раздела краевых условий на границе тела. Последние задачи, имеющие вид (2)-(5) без учета неравенств, решаются методом конечных элементов с применением пакета РгееРеш++ [13]. Более подробное описание этого метода дается в работах [2-4].

При рассмотрении конкретных численных примеров вводятся симметричные боковые стенки, удаленные от тела на большие расстояния (х = ±НК, Нк = 6). Фиксируются следующие параметры задачи: % = 0; 5 = 0,5; Н = 0,8; Нь = 2 . В таблице приведены численные значения угловых координат точек отрыва, а также компонент силы и момента при различных значениях т . Схлопывание тонкой каверны происходит при т « 0,53 . При увеличении т сила сопротивления | Рх | уменьшается, а подъемная сила Fy увеличивается. Момент М за рассматриваемый

промежуток времени меняет знак. Следует отметить, что сразу после схлопывания тонкой каверны реакция жидкости на тело стабилизируется (происходит выход на стационарный режим). При этом сила сопротивления оказывается равной нулю (происходит согласование с парадоксом Даламбера).

Численные значения угловых координат точек отрыва, компонент силы и момента для случая % = 0; H = 0,8; Hb = 2 / The numerical values of the angular coordinates of the separation points, force and moment component for the case % = 0; H = 0,8; Hb = 2

T ОТ О2(т) Fx F M

0 1,86 3,78 -0,61 0,73 -0,10

0,1 2,18 3,60 -0,60 0,91 -0,07

0,2 2,42 3,45 -0,56 1,08 -0,04

0,3 2,60 3,32 -0.49 1,26 0,001

0,4 2,74 3,19 -0,40 1,42 0,04

0,5 2,89 3,04 -0,24 1,55 0,05

0,52 2,94 2,98 -0,16 1,57 0,04

На рис. 1 изображены присоединенные каверны, соответствующие параметру £ = 0,5 и моментам растянутого времени т = 0,2; 0,4. На рис. 2 показано хорошее согласование решений (8) и (9) при т = т* = 0,4 (с(т*) = 0,4). Анализ форм каверн при других значениях т позволяет утверждать, что с хорошей степенью точности можно положить с(т) = т.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Учитывая, что кривая (9) пересекает границу тела под прямым углом (это следует из свойства регулярности решения задачи с односторонними ограничениями), можно предложить простой способ определения формы каверны при малых числах Фруда. Он состоит в том, чтобы соединить кривую, определяемую по формуле (8), отрезком прямой, идущим по нормали к границе тела. Образующиеся на пересечении этих линий углы, конечно, требуют некоторого сглаживания. Однако на форму каверны в целом это не повлияет.

Отметим, что при увеличении давления в каверне сила сопротивления | Fx | уменьшается. Так, например, при % = -0,55 и т = 0,1 величина Fx « -0,38, что сильно отличается от случая % = 0 и т = 0,1. При дальнейшем увеличении давления в каверне нарушается условие монотонного сближения точек отрыва.

Заключение

В работе описывается процесс схлопывания присоединенной каверны при медленных движениях эллиптического цилиндра в жидкости после отрывного удара. В главном асимптотическом приближении формулируется задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется динамика точек отрыва, форма тонкой каверны, а также реакция среды на тело. Рассматривается конкретный численный пример, демонстрирующий данный процесс схлопывания. Полученные результаты допускают обобщение на задачу о свободных кавитаци-онных движениях эллиптического цилиндра в жидкости после отрывного удара.

Список источников

1. СедовЛ.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

2. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder // J. Engng Math. 2011. Vol. 70. P. 239-254. Doi: 10.1007/s10665-010-9416-6.

3. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 81-92. Doi: 10.17377/sibjim.2016.19.409.

4. Норкин М.В. Динамика точек отрыва при ударе плавающего кругового цилиндра // Прикл. механика и техн. физика. 2019. Т. 60, № 5. С. 19-27. Doi: 10.15372/PMTF20190503.

5. Норкин М.В. Медленные движения кругового цилиндра в жидкости после отрывного удара // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2021. № 2. С. 16-21. Doi: 10.18522/1026-2237-2021-2-16-21.

6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration // J. Engng Math. 2016. Vol. 96 (1). P. 155-174. Doi: 10.1007/s10665-015-9788-8.

7. Пегов В.И., Мошкин И.Ю. Расчет гидродинамики кавитационного способа старта ракет // Челябинский физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, № 4. С. 476-485. Doi: 10.24411/2500-0101-2018-13408.

8. BergantA., Simpson A.R., Tijsseling A.S. Water hammer with column separation: A historical review // J. Fluids Struct. 2006. Vol. 22, № 2. P. 135-171. Doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2005.08.008.

9. Аганин А.А., Ильгамов М.А., Мустафин И.Н. Ударная кавитация жидкости в цилиндрической емкости // Учен. зап. Казанского ун-та. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 162, кн. 1. C. 27-37. Doi: 10.26907/25417746.2020.1.27-37.

10. ГуревичМ.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

11. ИвановА.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980. 240 с.

12. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

13. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2008. 256 с.

Рис. 2. Внутренняя свободная граница вблизи точек отрыва для случая s = 0,5; т= 0,4 / Fig. 2. The internal free boundary near the separation points for the case s = 0.5; т= 0.4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

References

1. Sedov L.I. Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics. Moscow: Nauka Publ.; 1966. 448 p. (In Russ.).

2. Norkin M., Korobkin A. The motion of the free-surface separation point during the initial stage of horizontal impulsive displacement of a floating circular cylinder. J. Engng Math. 2011;70:239-254, doi: 10.1007/s10665-010-9416-6.

3. Norkin M.V. Cavity Formation at the Inclined Separated Impact on a Circular Cylinder under a Free Surface of a Heavy Liquid. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2016;10(4):538-548, doi: 10.1134/S1990478916040104.

4. Norkin M.V. Dynamics of Separation Points upon Impact of a Floating Circular Cylinder. J. of Applied Mechanics and Technical Physics. 2019;60(5):798-804, doi: 10.1134/S0021894419050031.

5. Norkin M.V. Slow Motions of a Circular Cylinder in a Liquid After a Separation Impact. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2021;(2):16-21, doi: 10.18522/1026-2237-2021-2-16-21. (In Russ.).

6. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration. J. Engng Math. 2016;96(1):155-174, doi: 10.1007/s10665-015-9788-8.

7. Pegov V.I., Moshkin I.Yu. Analysis of Fluid Dynamics of Cavitational Launch Technique. Chelyabinskiy fiz.-mat. zhurn. = Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018;3(4):476-485, doi: 10.24411/25000101-2018-13408. (In Russ.).

8. Bergant A., Simpson A.R., Tijsseling A.S. Water hammer with column separation: A historical review. J. Fluids Struct. 2006;22(2):135-171, doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2005.08.008.

9. Aganin A.A., Ilgamov M.A., Mustafin I.N. Impact-induced cavitation in a cylindrical container with liquid. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki = Scientific Notes of the Kazan University. Physical and Mathematical Sciences. 2020;162(1):27-37, doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.27-37. (In Russ.).

10. Gurevich M.I. Theory ofjets of an ideal fluid. Moscow: Nauka Publ.; 1979. 536 p. (In Russ.).

11. Ivanov A.N. Hydrodynamics of developed cavitation flows. Leningrad: Sudostroenie Publ.; 1980. 240 p. (In Russ.).

12. Lions J.L. Optimal control of the systems described partial differential equations. Moscow: Mir Publ.; 1972. 416 p. (In Russ.).

13. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Using the finite element package FreeFem++ for hydrodynamics problems, electrophoresis, and biology. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2008. 256 p. (In Russ.).

Информация об авторе

М.В. Норкин - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича

Information about the author

M. V. Norkin - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Professor of Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.

Статья поступила в редакцию 09.10.2023; одобрена после рецензирования 14.11.2023; принята к публикации 19.02.2024. The article was submitted 09.10.2023; approved after reviewing 14.11.2023; accepted for publication 19.02.2024.