МЕДЛЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ ПОСЛЕ ОТРЫВНОГО УДАРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

УДК 519.634

doi 10.18522/1026-2237-2021-2-16-21

МЕДЛЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ

ПОСЛЕ ОТРЫВНОГО УДАРА

© 2021 г. М.В. Норкин1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

SLOW MOTIONS OF A CIRCULAR CYLINDER IN A LIQUID AFTER A SEPARATION IMPACT

M.V. Norkin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Норкин Михаил Викторович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, email: norkinmi@mail.ru

Michail V. Norkin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: norkinmi@mail.ru

Рассматривается плоская задача об отрывном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в идеальную несжимаемую тяжелую жидкость. Предполагается, что после удара цилиндр движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. Позади тела образуется присоединенная каверна, форма которой зависит от физических и геометрических параметров задачи. Требуется изучить процесс схлопывания каверны при малых скоростях движения цилиндра, соответствующих небольшим числам Фруда. Решение задачи строится при помощи асимптотических разложений по малому параметру, которым является безразмерная скорость движения цилиндра. При этом в качестве характерной скорости выступает величина, равная корню квадратному из произведения радиуса цилиндра на ускорение свободного падения. В результате такого выбора указанный малый параметр совпадет с числом Фруда, и поэтому можно считать, что асимптотика задачи строится при малых числах Фруда. В главном асимптотическом приближении формулируется смешанная задача теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. С ее помощью определяется положение точек отрыва в каждый момент времени и находится время схлопывания тонкой каверны. Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач корабельной гидродинамики с учетом явления кавитации.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, круговой цилиндр, удар, схлопывание каверны, асимптотика, динамика точек отрыва, свободная граница, число Фруда, число кавитации.

The plane problem of the separation impact of a circular cylinder completely immersed in an ideal incompressible heavy liquid is considered. It is assumed that after the impact, the cylinder moves horizontally at a constant speed. An attached cavity is formed behind the body, the shape of which depends on the physical and geometric parameters of the problem. It is required to study the process of collapse of the cavity at low velocities of the cylinder, which correspond to small Froude numbers. The solution to the problem is constructed using asymptotic expansions in a small parameter, which is the dimensionless speed of the cylinder. In this case, as the characteristic speed of the problem, a value is chosen equal to the square root of the product of the radius of the cylinder and the acceleration of gravity. As a result of this choice the indicated small parameter coincides with the Froude number, and therefore, we can assume that the asymptotics of the problem is constructed for small Froude numbers. In the leading asymptotic approximation, a mixed problem ofpotential theory with one-sided constraints on the surface of the body is formulated. With its help, the position of the separation points at each moment of time is determined and the time of collapse of a thin cavity is found. The results obtained can be used to solve practical problems of ship hydrodynamics, in which it is necessary to take into account the phenomenon of cavitation.

Keywords: ideal incompressible liquid, circular cylinder, impact, collapse of a cavity, asymptotics, dynamics of separation points, free boundary, Froude number, cavitation number.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

Введение

Общая постановка задачи

Проблема ударного взаимодействия твердого тела с жидкостью с учетом явления кавитации является актуальной для современной гидродинамики. Для решения большого числа конкретных задач очень важную роль играет классическая модель удара с отрывом [1]. Представляя большой самостоятельный интерес, эта модель дает начальные условия для решения более сложной динамической кавитационной задачи. Получить полное решение этой задачи удара в общем случае не представляется возможным ввиду многообразия физических явлений и процессов, происходящих после удара. В частности, обратим внимание на то, что переход от классической модели удара к дальнейшей динамике связан с серьезными погранслойными проблемами, возникающими вблизи точек пересечения внутренней свободной границы жидкости с поверхностью тела (вблизи точек отрыва). В связи с этим большую актуальность приобретают асимптотические методы решения таких задач. К настоящему времени разработаны асимптотические методы, в которых разложения ведутся по малому времени, а также по малому параметру, которым является безразмерная скорость движения цилиндра [2, 3]. Первый подход позволяет определить форму присоединенной каверны на некотором начальном этапе движения тела в жидкости. Второй метод дает возможность получить полное решение проблемы образования и схлопывания каверны при малых скоростях движения цилиндра. Ранее, в статье [3], был проведен асимптотический анализ задачи о медленных вертикальных движениях прямоугольного цилиндра в жидкости после его отрывного удара. В настоящей работе дается обобщение этих результатом на случай горизонтального отрывного удара кругового цилиндра, полностью погруженного в жидкость. В главном асимптотическом приближении формулируется задача с односторонними ограничениями. На её основе определяется динамика точек отрыва и описывается процесс схлопывания тонкой каверны. Приводится конкретный пример с численным решением.

Обратим внимание на некоторые современные работы, в которых классические задачи удара решаются с применением аналитических методов [4— 9]. Эти работы свидетельствуют о широком интересе к данной тематике. Близкие вопросы возникают также в задачах проникания твердых тел в идеальную несжимаемую жидкость. Обзор соответствующих работ дан в [10].

Рассматривается плоская задача об отрывном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в идеальную несжимаемую тяжелую жидкость. Предполагается, что после удара цилиндр движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. Позади тела образуется присоединенная каверна, форма которой зависит от искусственного поддува воздуха, а также от физических и геометрических параметров задачи. Требуется изучить процесс схлопывания каверны при медленных движениях цилиндра. Давление в каверне предполагается постоянным и равным давлению насыщенных паров жидкости или газа (естественная ситуация) или давлению газа при искусственной кавитации. При малой скорости движения цилиндра и не очень большом давлении в каверне (порядка атмосферного) точки отрыва внутренней свободной границы жидкости будут двигаться по направлению друг к другу. Последнее соответствует монотонному уменьшению зоны отрыва. Схло-пывание каверны происходит тогда, когда эта зона полностью исчезает. Подчеркнем, что такая модель схлопывания справедлива, вообще говоря, только при малых скоростях движения цилиндра. При увеличении скорости цилиндра картина течения может измениться. Например, может произойти отрыв газового пузыря от тела или образоваться кумулятивная струйка, направленная к телу. Эти и многие другие вопросы остаются на сегодняшний день неизученными. Математическая постановка задачи, записанная в подвижной системе координат, связанной с цилиндром, имеет вид (рисунок):

ДФ = 0, г еО(0, — = Н(г)пх, г е £ц(0,

дп

дФ-щ) дф+1 ^ф)2+* (, - н)+^=о,

дг дх 2 р

г е ЗД);

(Ф х - Н(г ))х + Ф Уу

ТХчУ2

R ß) +дг

0 д0

ß(t )+f,

é(t) = R~2 [ф^x - (Фx - h(t))y ], R e S12 (t),

дФ • дФ 1 / 49

— -h(t) — + - (УФ)2 + g£( x, t) = 0, r e S2(t),

et dx 2

(1)

дФ_д^ Cy dx

дФ

дх

- h(t )

+ §, r e S2(t),

et

дФ

-= 0, y = -Hb ; УФ^да, x,

dy

Ф(x, y,0) = Фо(х, y), £(x,0) = 0 , r(é,0) = 0.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

Течение жидкости в начальный момент времени (в момент, непосредственно следующий после удара) имеет потенциал Фо(х„у), который определяется на основе решения смешанной краевой задачи теории потенциала с краевыми условиями типа неравенств [1]:

ДФ0 = 0, г ей(0), дФА

0 = Уо пх, Фо < 0, г е (0);

по формулам (штрихами помечаются размерные

дп дФ о дп

дФо ду

> УоПх, Фо = о, r е ^12(0) ;

= о, у = -Hb ; УФо ^о, х.

величины)

, a

t = t,

х = ax,

у = a^

Ф' = а^аФ, р'=^ар .

При таком определении безразмерных переменных основные безразмерные физические параметры задачи (числа Фруда и кавитации) будут опре-

деляться равенствами

е = Fr = x = ^a

Pa - Pc

Здесь и далее используются следующие обозначения: Ф^у.О - потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный относительно подвижной системы координат; П(0 - область, занятая жидкостью; S11 (t) - часть поверхности цилиндра, на которой не происходит отрыва частиц жидкости;

- оторвавшаяся от поверхности цилиндра внутренняя свободная граница жидкости (граница каверны); S2(0 - свободная поверхность жидкости, которая первоначально была горизонтальной; p=const - плотность жидкости; ра - атмосферное

давление; рс - давление в каверне; /(X) = у0 - скорость движения цилиндра после удара; у = Н - невозмущенная внешняя свободная граница жидкости; у = -Нъ - дно бассейна; г - радиус-вектор с координатами (x.y).

Уравнения внутренней и внешней свободных границ жидкости относительно подвижной системы координат имеют вид

я=Я0(в)0; у = Н+4( х, х).

Граница каверны описывается в полярных координатах (Я, в), где функция Я0(в) определяет форму границы тела. В случае кругового цилиндра Я0 (в) = а, где а - радиус цилиндра. Неподвижные координаты X, Y связаны с подвижными x, у соотношениями X=x, Y=y+h(t).

В точках пересечения внутренней свободной границы жидкости с поверхностью цилиндра (в точках отрыва) ставится условие Кутты - Жуковского, означающее, что скорость жидкости в этих точках должна быть конечной.

Асимптотический анализ задачи при малых числах Фруда

Сначала преобразуем задачу (1), введя соответствующие безразмерные независимые переменные

л/й^ Рёа

Число Фруда фактически совпадает с безразмерной скоростью движения цилиндра, которая играет роль малого параметра. Так как при уменьшении параметра 8 скорость движения точек отрыва сильно возрастает (или, что равносильно, быстро уменьшается время схлопывания), то целесообразно ввести растянутое время т по формуле X = 8т. После проведенных преобразований задача (1) принимает вид

Дф= 0, г ей (X), дф = пх, г е Яп(х),

дп

çv-s2 дф +1 s2 (v^2 + y - h - о,з^ = о,

дф ^2 Ф + 1„2

дт дх 2 r е Si2(t);

(фх - 1)х + фуУ

Vx 2 + у 2 1-2

вТт) + ^,

дт

0(т) = R-2фух - (фх -1)у], Г е Si2(t) , ^S2 дф + i£2(Vф)2 + у(х,t) = о, r еS2(t),

(2)

дт

дх 2

дф ду

ду дх

дф

дх

-1

+ s

-2 ду

дт '

r е S2(t ),

дф = 0 , у = -Нь ; Уф^да, х , ду

фх, у,0) = %(х, у), х,0) = 0, ¿(в,0) = 0, где новые функции ф,Ц связаны с функциями Ф равенствами Ф(х, у, 8т) = 8ф(х, у, т) , ¿¡(в, т) = Т](в, 8т) , X, т) = £(Х,8Т) , а функция ф0 (х, у) совпадает с Ф0 (х, у) при

У = 1.

Следует отметить, что после перехода к безразмерным переменным для функций Фи величин Н, Нь сохраняются прежние обозначения.

Решение задачи (2) будем искать в виде следующих асимптотических разложений:

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

рх, у, г) = р (х, у, г) +...; а&,т) = (в,г) +...;

щ(х, г) = е2щ (х, г) +...;

©! (ег) = в (г) +...; 02(ег) = в2(г) +..., где 0 у (г), ©2 (г) - угловые координаты точек отрыва в момент времени г . Многоточием обозначены члены более высокого порядка малости по е . Для определенности считаем, что 0 у (г) < ©2 (г) .

Подставляя эти разложения в уравнение и краевые условия задачи (2), осуществляя с помощью формулы Тейлора перенос краевых условий с возмущенных участков границы области 0(г) на первоначально невозмущенный уровень и приравнивая величины при одинаковых степенях е , придем в главном асимптотическом приближении к смешанной краевой задаче теории потенциала в области 0(0). В предположении, что точки отрыва монотонно сближаются, проинтегрируем динамическое условие в зоне отрыва по времени от 0 до г . При этом точку ( х, у) на поверхности цилиндра считаем фиксированной и принадлежащей зоне отрыва, соответствующей моменту времени г . Интегрируя динамическое условие на внешней свободной границе, придем к следующей задаче:

Др = 0, г е 0(0) ,

р = (0,5^ + Н - у) г, Я = 1, в (г) <в<в2(г) ,

р = пх, Я = 1, в2(г) < в < в (г) + 2л, (3) дп

р = 0, у = Н,

^^ = 0, у = -Нь; Ур ^ да, х ^ ±ю. ду

Так как уравнение и краевые условия последней задачи не зависят от малого параметра, то старшие приближения для угловых координат точек отрыва тоже не будут от него зависеть. Величины ву (г), в2 (г) определяются из условия Кутты - Жуковского, которое, по крайней мере локально, будет эквивалентно системе неравенств: (0,5^ + Н - у)г-р (х, у, г) + Р0 (х, у) > 0, Я = 1 ,

в2(г) <в<в(г) + 2л, (4)

^рр->пх, Я = 1,в(т)<в<в2(т). (5)

дп

Первое неравенство означает, что давление в зоне контакта не может быть ниже, чем в каверне. Второе говорит о том, что жидкие частицы не могут входить внутрь твердого тела.

Поскольку динамика зоны отрыва априори неизвестна, то задача (3), (4) относится к классу задач со свободными границами. Наличие сразу двух неравенств гарантирует существование единственного решения. В дальнейшем эти неравенства будут использоваться для численного решения задачи (3), (4) итерационным методом.

Численная реализация и анализ результатов

Исследование нелинейной нестационарной задачи (2) при малых е сводится к решению смешанной краевой задачи теории потенциала с односторонними ограничениями на поверхности тела. Численный метод решения последней задачи при любом фиксированном г основывается на специальном итерационном процессе, в котором последовательно уточняется неизвестная заранее зона отрыва частиц жидкости. В качестве начального приближения выбирается решение задачи (3) (без учета неравенств) с такой маленькой предполагаемой зоной отрыва, в окрестности которой нарушается динамическое условие в виде неравенства (4). Точки на поверхности цилиндра (расположенные вблизи начальной зоны отрыва), в которых левая часть этого неравенства принимает локальные отрицательные минимумы, выбираются за следующие приближения к точкам отрыва. Дальше процесс повторяется. Каждый следующий шаг итерационного процесса приводит к уменьшению зоны указанных отрицательных значений. Процесс заканчивается, когда эта зона полностью исчезает. Отметим, что линейные смешанные задачи теории потенциала, возникающие на каждом шаге итерационного процесса, решаются численно методом конечных элементов с применением пакета РгееРеш++ [11]. Более подробно указанный метод описан в работах автора, посвященных начальному этапу движения твердых тел в жидкости с учетом явления кавитации [2].

Изучим динамику точек отрыва и определим примерное время схлопывания тонкой каверны для конкретного примера. Пусть % = 0 , Н = 1,5 ,

Нь = 2, а боковые стенки, необходимые для численной реализации, удалены от тела на расстояние, которое в шесть раз превышает радиус цилиндра. В таблице приведены численные значения угловых координат точек отрыва (в главном приближении) при различных значениях г . При плавном увеличении г зона отрыва монотонно уменьшается и при г > 0,5 перемещается в область у > 0. При г = 0,68 эта зона практически уже не видна (происходит схлопывание тонкой каверны).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

Можно считать, что численные результаты, приведенные в таблице, соответствуют случаю s = 1. Однако эффективность полученных асимптотических формул можно гарантировать только при малых s . Для таких s численные значения угловых координат точек отрыва также могут быть получены на основании приведенной таблицы с помощью элементарного пересчета. Так, например, при s = 0,5 моментам реального времени t = 0,1; 0,2 соответствуют значения растянутого времени (t = 0,5т) т = 0,2; 0,4 . В этом случае время схло-пывания каверны t« 0,34 . Отметим также, что на рисунке изображены присоединенные каверны, соответствующие именно этим моментам времени. Как показывают проведенные исследования, процесс схлопывания каверны сопровождается небольшим увеличением возмущения внутренней свободной границы жидкости.

Численные значения угловых координат точек отрыва

для случая х = 0 , H = 1,5, H& = 2 / The numerical values of the angular coordinates of the separation points for the case x = 0 , H = 1.5, Hb = 2

T 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,65 0,67

ß(T) 1,8 1,89 1,99 2,08 2,18 2,29 2,41 2,5 2,57

02 (t) 4,06 3,9 3,72 3,54 3,35 3,14 2,91 2,76 2,67

Постановка задачи. Динамика присоединенной каверны после удара / Formulation of the problem. Dynamics of the attached cavity after impact

Заключение

В статье дано полное решение проблемы образования и схлопывания присоединенной каверны при горизонтальном ударе кругового цилиндра, полностью погруженного в жидкость. Исследование задачи проведено в предположении, что скорость движения цилиндра после удара является малой величиной. Главным моментом работы является постановка задачи с односторонними ограничениями, на основе которой определяется динамика зоны отрыва и находится примерное время схлопывания тонкой каверны. Рассмотрен конкретный численный пример, демонстрирующий описанный выше процесс схлопывания. Полученные в главном асимптотическом приближении результаты носят общий характер и легко переносятся на плавающие тела другой формы.

Литература

1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

2. Норкин М.В. Образование каверны при наклонном отрывном ударе кругового цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 8192. Doi 10.17377/sibjim.2016.19.409.

3. Норкин М.В. Асимптотика медленных движений прямоугольного цилиндра в жидкости после отрывного удара // Уч. зап. Казан. ун-та. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 162, кн. 4. C. 426-440. Doi 10.26907 /2541-7746.2020.4.426-440.

4. Поляков Н.В., Гоман О.Г., Катан В.А. К вопросу об ударном взаимодействии тела и жидкости со свободной поверхностью при наличии отрыва // Докл. НАН Украины. 2016. № 8. С. 46-52. Doi 10.15407/ dopovidi2016.08.046.

5. Гоман О.Г., Катан В.А. Ударное взаимодействие жидкости и наклонной пластинки на ее свободной поверхности. Определение суммарных силовых характеристик // Вестн. Днепропетровского ун-та. Механика. 2018. № 26(5). С. 118-127. Doi 10.15421 /371814.

6. Гоман О.Г., Никулина Т.М. Ударное взаимодействие тела в виде кругового сегмента с жидкостью с образованием зоны отрыва // Вестн. Днепропетровского ун-та. Механика. 2019. № 27(5). С. 54-66. Doi 10.15421/371906.

7. Hilmervik K.B., Tyvand P.A. Incompressible impulsive wall impact of liquid cylinders // J. Eng. Math. 2017. Vol. 103, № 1. P. 159-171. Doi 10.1007 / s10665-016-9866-6.

8. Hilmervik K.B., Tyvand P.A. Impact of narrow plates on broader liquid bodies // Appl. Ocean Res. 2019. Vol. 87. P. 247-255. Doi 10.1016/j.apor. 2019.04.002.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2

9. Savchenko Y., Savchenko G., Semenov Y.A. Impulsive motion inside a cylindrical cavity // Math. 2020. № 8(2). Р. 192. Doi 10.33 90/math8020192.

10. Reinhard M., Korobkin A.A., Cooker M.J. Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration // J. Eng. Math. 2016. Vol. 96(1). P. 155174. Doi 10.1007/s10665-015-9788-8.

11. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2008. 256 с.

References

1. Sedov L.I. (1966). Plane problems of hydrodynamics and aerodinamics. Moscow, Nauka Publ., 448 p. (in Russian).

2. Norkin M.V. (2016). Cavity Formation at the Inclined Separated Impact on a Circular Cylinder under a Free Surface of a Heavy Liquid. Journal of Applied and Industrial Mathematics, vol. 10, No. 4, pp. 538-548. Doi 10.1134/S1990478916040104.

3. Norkin M.V. (2020). Asymptotics of slow motions of a rectangular cylinder in a liquid after a separation impact. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki, vol. 162, No. 4, pp. 426-440. Doi 10.26907/2541-7746.2020.4.426-440. (in Russian).

4. Polyakov N.V., Goman O.G., Katan V.A. (2016). To the question of the impact interaction of a body and a liquid with a free surface at the presence of a separation.

Dokl. NAN Ukrainy, No. 8, pp. 46-52. Doi 10.15407/dopovidi2016.08.046. (in Russian).

5. Goman O.G., Katan V.A. (2018). Impact interaction of liquid and inclined plate on its free surface. Definition total power characteristics. Vestnik Dneprope-trovskogo universiteta. Mekhanika, No. 26 (5), pp. 118127. Doi 10.15421/371814. (in Russian).

6. Goman O.G., Nikulina T.M. (2019). Impact interaction of the body in the form a circular segment with a liquid with the formation of a separation zone. Vestnik Dnepropetrovskogo universiteta. Mekhanika, No. 27 (5), pp. 54-66. Doi 10.15421/371906. (in Russian).

7. Hilmervik K.B., Tyvand P.A. (2017). Incompressible impulsive wall impact of liquid cylinders. J. Eng. Math., vol. 103, No. 1, pp. 159-171. Doi 10.1007/ s10665-016-9866-6.

8. Hilmervik K.B., Tyvand P.A. (2019). Impact of narrow plates on broader liquid bodies. Appl. Ocean Res., vol. 87, pp. 247-255. Doi 10.1016/j.apor.2019.04.002.

9. Savchenko Yu., Savchenko G., Semenov Yu.A. (2020). Impulsive motion inside a cylindrical cavity. Mathematics, No. 8 (2), p. 192. Doi 10.3390/math8020192.

10. Reinhard M., Korobkin A.A, Cooker M.J. (2016). Cavity formation on the surface of a body entering water with deceleration. J. Eng. Math., vol. 96 (1), pp. 155-174. Doi 10.1007/s10665-015-9788-8.

11. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. (2008). Using the finite element package FreeFem++ for hydrodynamics problems, electrophoresis, and biology. Rostov-on-Don, Southern Federal University Press, 256 p. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received

12 марта 2021 г. /March 12, 2021