Структурно-параметрический синтез моделей динамики горной промышленности Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Я.Е. Тейменсон, 2002

УДК 658.511.001.572

Я.Е. Тейменсон

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ГОРНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Одной из основных задач системного анализа и управления сложными системами является задача построения модели объекта по статистическим данным, полученным в условиях функционирования системы или структурно-параметрического синтеза модели объекта. Впервые задачи такого вида были поставлены в теории автоматического управления и составили предмет теории идентификации систем. Современный этап развития теории идентификации характеризуется, с одной стороны, распространением этих методов на новые классы объектов и систем, в частности на экономические системы, и на значительное усложнение самих задач за счет резкого повышения размерности, учета нелинейного характера связей, нестационарности, помех и искажений информации с другой. Особенно характерными эти обстоятельства являются для идентификации моделей системной динамики, примером которых могут служить модели динамики развития горной промышленности.

Целями построения моделей системной динамики горнодобывающей промышленности являются:

• оценка влияния горнодобывающего и горноперерабатывающего комплексов на макроэкономические и социальные процессы и показатели;

• исследование экологических проблем, связанных с влиянием горнодобывающего комплекса и использованием продуктов его добычи и переработки на окружающую среду;

• обоснование факторов производства, экспорта, импорта и потребления продукции земной коры и анализ тенденций их изменений в краткосрочной и долгосрочной перспективе.

Модели должны отображать процессы горной промышленности в системной взаимосвязи с другими макроэкономическими процессами, то есть они должны быть моделями системной динамики. Можно выделить основные особенности построения моделей системной динамики горнодобывающей промышленности:

• модели должны быть динамическими, представляя собой либо системы дифференциальных, либо конечно-разностных уравнений;

• модели должны включать интегральные факторы, в полной мере описывающие горную промышленность;

• параметры и структура моделей должны определяться на основании анализа статистических данных (временных рядов).

Дополнительным осложнением задачи построения моделей системной динамики является тот факт, что имеющиеся статистические данные неполны (имеются

Рис. 1. Классификация методов идентификации

пропущенные данные на некоторых интервалах) и/или искажены (случайно или преднамеренно).

Таким образом, является актуальной задача разработки методов структурно-параметрического синтеза моделей динамики горной промышленности и алгоритмов идентификации моделей системной динамики при условии ненаблюдаемых траекторий.

Был проведен анализ существующих методов идентификации [4, 6] (рис. 1), под которой понимается решение двух задач:

1) задача определения структуры и неизвестных параметров модели (структурный синтез);

2) задача оценки параметров модели при заданной ее структуре (параметрический синтез).

Известные в настоящее время методы идентификации основаны на теории многомерной минимизации и статистического оценивания, развитой в работах Я.З. Цыпкина [10, 11], Д. Химмельблау [9], Л. Льюнга [3], Э.П. Сейджа и Д.Л. Мелса [6] и многих других.

Проводимый анализ существующих методов идентификации показывает, что крайне важным является тот факт, что поведение системы в конечном счете зависит от конечного числа неизвестных параметров. Однако анализ реальных объектов показывает, что не всегда штрафную функцию можно представить как функцию конечного числа параметров. Особенно характерными примерами таких объектов являются динамические системы, описываемыми системами дифференциальных уравнений с ненаблюдаемыми траек-

МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Классические Саврнаотые

методы методы

1. Метода определит ее-

соеоЁ из урсЗЙНЙ'НиЕ

сегрмш

2. Корреяхфоюаге метода

3. Иде>еяифшщил жстафь

лгий&ви сйггая ое, по отулшу ш алфсоидояъ-

4. Метод моделей ша идяеяифшацш с зтовонной модеаню

1 Метод, ш

еижроесхой т еорш шец-нгййн систем

1 Метод мзкся&иънсео прае-дошд^и

2 ИоВесоесхиВ метод

3 Сцл*коен,1& метсд

4. трхмэаэ гасшсм: Лух&

Цяшеса

6 Мгтод еторт гроизеодюгх ¡¡потопа

7. Модифщ^робсмаШ метод

¡¡потопа - ¡¿фсона

& Метод яереня

Гс^сса - Ззй^м

б Метод мшящрейиего<г}ф;,т

10. метод с

дрс&д&шмшага

П. Iфоди-

ентсе

¡2. МетодМзтэх&дта

Входные шумы те(() или шумы

Вектор

наблюдений

Вектор

известных —- = f [x(t), u(t), w(t), P(t), r(t), t\ входных dt сигналов

Вектор неизвестных параметров для измеряемых сигналов

Вектор неизвестных параметров для ненаблюдаемых состояний

Вектор

ненаблюдаемых

состояний

ториями.

Задачу идентификации при ненаблюдаемых траекторий можно представить на рис. 2.

Далее в работе был проведен анализ существующих макроэкономических моделей, исходя из которого следует, что нет специальных динамических моделей для анализа развития горной промышленности. В работах [1, 7, 13] показано, что в качестве структуры модели можно использовать глобальные модели системной динамики Дж. Форрестера [8] и В.В. Леонтьева [2], в которых, вместо определения вида зависимостей взаимосвязанных между собой переменных, производится идентификация структуры модели и ее неизвестных или ненаблюдаемых параметров на основе статистических данных. Для описания динамики горной отрасли разных стран мира могут быть использованы следующие классы моделей:

• линейная и нелинейная дискретная модель производства и потребления ресурсов стран.

• линейная и нелинейная дифференциальная эконометрическая модель динамики производства и потребления ресурсов стран мира с ненаблюдаемыми траекториями.

Структура линейной дискретной эконометрической модели динамики производства и потребления ресурсов разных стран мира имеет вид [1, 7]:

X

і

(1)

где п = 1, 2, ..., N — годы; s — номер рассматриваемого в этом уравнении показателя; s = 1, 2, ..., 11; I — номер рассматриваемой страны, I = 1, 2, ..., 15; Хэ[п+1] — значение конкретного показателя в последующий момент времени; Хі[п] — значение конкретного показателя в текущем году; Ьбі — неизвестные параметры модели, определяемые по статистическим данным.

Дискретная модель может быть также записана в виде нелинейного уравнения [13]:

Рис. 2. Общая задача идентификации с учетом ненаблюдаемых траекторий

![n +1] = Z bstxt [n\ + £ £ bstjxt [n\Xj [n\ +

i=1 J=i

i=1

q q q

(2)

+х X X Ъ]Х [п]х] [п]хк[п]

1=1 ]=, к=]

Алгоритмы оценивания параметров разработанных выше моделей системной динамики с учетом ненаблюдаемых траекторий [12] можно подразделить на две основные группы:

1. Алгоритмы идентификации параметров динамических моделей, представленных в виде систем дифференциальных уравнений, где ненаблюдаемые траектории восстанавливаются с помощью разложения в ряд по известным функциям.

2. Алгоритмы идентификации динамических моделей на основе метода Маркуардта с исключением ненаблюдаемых траекторий из критерия минимума остаточных сумм квадратов разностей с помощью процедуры интегрирования Рунге-Кутта.

Рассмотрим более подробно эти алгоритмы.

Пусть динамическая модель описывается системой дифференциальных уравнений:

^ = Х (ги,х), ^ = %¥г, (ги,х), (3)

йг 1=1 йг 1=1

где р и г — неизвестные параметры системы дифференциальных уравнений; Z(t) = ^1^), Z2(t),..., z?(t)} — управляющие воздействия; U(t) = {и1(1), и2^),..., uy(t)} -- ненаблюдаемые траектории системы; X(t) = {х1 (t), Х2^),..., Xs(t)} — измеряемые траектории (факторы) системы; s — номер наблюдаемого показателя; у — номер неизмеряемой траектории.

Оценки констант Ь находятся из условия минимизации штрафной функции F [5]:

т ч 2

F = ХХ<Я(‘, /г,)- Х(11 /г,),Ъ) ^ ш1п, (4)

]=\ ,=1

где X(г ^ ) — значения вектор-функции экспериментальных траекторий t = ^; X(г ^ ) — оценен-

ные значения вектор-функции траекторий.

Алгоритм идентификации на основе линейного МНК для восстановления ненаблюдаемых траекторий с помощью разложения в ряд по известным функциям выглядит следующим образом.

Выражением для описания ненаблюдаемых траекторий иу^) может быть [5]:

М

иуТО ^ ку ^у Е ехр (цуЧ (5)

j=1

Параметры ку, Ху, Цу неизвестны и определяются на основании статистических данных.

Процедура для восстановления ненаблюдаемых траекторий в этом случае такова:

1) для некоторых начальных значений к

Г.

ц0^ удовлетворяющих физическим ограничениям на

x

S

Щ^, определяются значения оценок констант Bg.;

2) для найденных оценок Bg формируется функционал:

3(к^е,А°а,ц0а) = F(xl,...,х ) ; (6)

3) определяются новые оценки I удовлетворяющие условию:

J (k lo,Xlo^lo) < J (k °a, Ä a, ß°a ) i (7)

4) пп. 1, 2 и 3 повторяются до выполнения некоторого останова для значений K*Tg, л*,^, M*Tg.

В алгоритме идентификации на основе метода нелинейной оптимизации Маркуардта [5] ненаблюдаемые траектории исключаются из рассмотрения, а минимизация штрафной функции F происходит на основе измеряемых факторов динамической модели:

z NT ~ »

F(B) = Z Z Wish(Xs(th) - Xs(th, B))2 ^ min, (8)

s=1 h=1

где Wsh — весовые коэффициенты, необходимые для компенсации разной точности измерений Xs(th); h

= 1,2,..., NT; s=1 ,...,z; ti < t2 < tз <...< tNT.

Система уравнений для определения шагов Ab1, Ab2,..., Abq представлена так [5]:

(A + в * I) * AB = P, (9)

где I — квадратная единичная матрица размером

(qxq).

Итерационная процедура для нахождения оптимального вектора B*:

(10)

Bn = Bn-1 + AB"-1

где AB - удовлетворяет системе уравнений:

(A(Bn-1) + в * I) * AB"-1 = P(Bn-1), (11)

где в — регуляризующий параметр, 0 < и < да. Если в = 0 — итерационная схема на основе метода Ньютона - Рафсона, при в >1 — на базе метода Гаусса -- Зайделя.

Далее, для проверки эффективности и работоспо-Таблица 1

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ США

собности в реальных задачах алгоритмы идентификации были применены для построения моделей системной динамики горной промышленности.

Так, для линейной модели динамики производства и потребления ресурсов США в результате оценивания параметров были получены данные, представленные в табл. 1.

Анализируя результаты табл. 1, можно увидеть, что расчетный F-критерий Фишера практически для всех зависимых величин достаточно большой (достигает 276). Сравнивая полученные значения Fрасч. модели США с табличными Fтабл. при выбранном уровне значимости, можно сказать, что для большинства факторов модели Fрасч. больше соответствующего табличного значения Fтабл. для доверительных вероятностей 0,95, 0,99 и 0,999. По коэффициентам множественной корреляции R можно сделать вывод о сильной связи между анализируемыми факторами динамической модели США.

На примере отдельных показателей эконометрических моделей США и России покажем их оценивание методом оптимизации Маркуардта. На рис. 3 представлены экспериментальные и восстановленные траектории показателя уровня (качества) жизни.

Анализируя исходные и оцененные показатели, можно сделать вывод о работоспособности алгоритмов идентификации и их применимости к любым процессам.

Далее, на примере Х-и^+1] — уровня жизни, получены данные, отражающие изменение влияния разных показателей, характеризующих факторы модели, под действием увеличения количества ненаблюдаемых траекторий.

На рис. 4 представлена зависимость F-критерия от количества ненаблюдаемых траекторий для переменной Х-|1^+1] в моделях США, России, Китая и Австралии.

X1[n+1] X2[n+1] X3[n+1] X4[n+1] X5[n+1] X6[n+1] X7[n+1] X8[n+1] X9[n+1] X10[n+1] X11[n+1]

F-критерий 118.97 1.8438 85.023 1.9384 169.21 197.62 226.86 204.51 276.52 250.672 199.704

R 0.995 0.781 0.993 0.788 0.997 0.997 0.997 0.997 0.998 0.998 0.997

RI 0.99 0.609 0.986 0.621 0.993 0.994 0.995 0.994 0.996 0.995 0.994

Adjusted RI 0.982 0.279 0.975 0.301 0.987 0.989 0.99 0.989 0.992 0.991 0.989

Stand. Error 4.15 2.17 17.74 22.55 0.29 0.12 0.45 8.46 2.02 0.02 7.83

b1 0.0834 0.0112 -0.06 -0.01 0.009 -0.002 0.022 0.3369 0.0658 0.00081 0.30365

b2 -0.204 0.3253 -1.092 -0.708 -5E-04 -0.007 0.0266 -1.56 -0.114 -0.0008 -0.2693

b3 -0.059 -0.007 0.4157 0.0036 -1E-04 -7E-04 0.0024 -0.081 0.0122 0.00025 0.10999

b4 -0.119 -0.016 -0.553 0.3957 0.0002 -0.002 0.0124 -0.116 0.0328 0.00045 0.23808

b5 24.242 0.0581 11.169 0.1049 0.169 0.1021 0.1922 7.4044 0.9569 0.00943 2.09853

b6 -32.95 0.025 -35.7 -0.255 0.5185 0.6096 0.1879 29.672 0.0898 0.01886 0.64172

b7 -2.929 -0.03 4.9568 0.3597 0.0573 -2E-04 0.1498 1.3373 0.929 0.00576 2.07621

b8 0.0614 0.0065 -0.081 -2E-04 0.0056 0.003 0.0027 0.2034 -0.028 0.00025 0.03674

b9 0.1359 -0.011 2.8349 0.0794 0.0078 -0.001 0.0292 0.1309 0.2111 0.00117 0.44682

b10 31.302 -1.214 30.066 7.1203 1.1853 0.5736 2.4845 22.819 18.031 0.11858 39.4495

b11 0.106 -0.006 -0.058 0.0307 0.0028 0.0002 0.0088 -0.017 0.068 0.00038 0.14786

л

л

л

Таблица 2

РЕЗУЛЬТАТЫ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА МОДЕЛЕЙ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ СТРАН

/1[п+1] /2[п+1] /3[п+1] /4[п+1] /5[п+1] /6[п+1] /7[п+1] /8[п+1] /9[п+1] /10[п+1] /11[п+1]

США

Исходные данные 35,374 0,809 89,912 5,907 3,452 1,715 5,352 109 23,4 0,26 75,1

Прогноз 35,606 0,81 88,812 7,642 3,288 1,647 5,098 106,882 22,444 0,253 74,398

Ошибка прогноза 0,66 0,13 1,22 29,37 4,74 4 4,74 1,94 4,09 2,69 0,93

РОССИЯ

Исходные данные 24,791 1,589 88,465 62,518 1,308 0,183 2,59 47,081 35,7 0,287 57,1

Прогноз 23,671 1,508 84,765 62,958 1,331 0,181 2,7 47,273 35,028 0,271 54,186

Ошибка прогноза 4,52 5,13 4,18 0,7 1,69 1,31 4,24 0,41 1,88 5,86 5,1

-О- X11CША ■ X11СШАF X11РОССИЯ -й- X11РОССИЯF

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993

годы

Рис. 3

330

300

270

240

210

180

150

120

90

60

30

0

К11РОССИЯ

№¡4 К11 АВСТРАЛИЯ

В К11США

[ШМ К11 КИТАЙ

1

2

3

4

5

6

7

КОЛИЧЕСТВО НЕНАБЛЮДАЕМЫХ ТРАЕКТОРИИ

Общий вывод заключается в том, что для нормального оценивания параметров моделей и достаточно хорошей точности модели при прогнозировании заданных экономических процессов, необходимо иметь не менее 7-9 факторов, составляющих динамическую модель.

С целью проверки прогнозирующих свойств разработанных моделей системной динамики горной про-

Рис.3. Восстановление методом Маркуардта неизмеряемого фактора — качества жизни

Рис.4. Зависимость F-критерия от количества ненаблюдаемых траекторий для показателя — качества жизни

мышленности был осуществлен краткосрочный прогноз по моделям стран. Табл. 2 раскрывает результаты прогноза на примере моделей США и России.

Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что точность прогноза достаточна для практического применения разработанных моделей в задачах краткосрочного прогнозирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Л. А, Тейменсон Я. Е. Структуры эконометрических моделей для анализа влияния горной отрасли на макроэкономические показатели стра-ны//ГИАБ № 2 - М.: Изд-во МГГУ, 1999.

- С. 210-215.

2. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. - М.: Изд-во «Экономика», 1997.

3. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Главная

редакция физико-матема-тической литературы изд-ва «Наука», 1991.

4. Моисеев Н. Н, Иванов Ю. П.,

Столярова Е. М. Методы оптимизации.

— М.: Главная редакция физико-

математической литературы изд-ва «Наука», 1978.

5. Пучков Л.А., Бахвалов Л.А. Методы и алгоритмы автоматического управления проветриванием угольных шахт. — М.: Недра, 1992.

6. Сейдж Эндрю П., Мелса Джеймс

Л. Идентификация систем управления. -

- М.: Главная редакция физико-

математической литературы изд-ва «Наука», 1974.

7. Тейменсон Я Е. Алгоритмы построения системы дискретных уравнений динамики производства и потребления минеральных ресурсов. // Сб. науч. трудов кафедры аСу. — М.: МГГУ, 2000.

8. Форрестер Дж. Мировая динамика. — М.: Главная редакция физико-

математической литературы изд-ва «Наука», 1978.

9. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами: Пер. с англ. / Под ред. Горского В. Г. — М.: изд-во «Мир», 1973.

10. Цыпкин Я.З. Моделирование и оптимизация сложных систем управления. -- М.: Главная редакция физико-

математической литературы изд-ва «Наука», 1981.

11. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Главная редакция физико-математи-ческой литературы изд-ва «Наука», 1984.

12. Bahvalov L.A., Teymenson Y.E. Decision making risk at identification's algorithms of dynamic parameters of economic

systems with non-visible trajectories: Proceedings of Risk Analysis II — Bologna, Italy, 2000, p. 235-244.

Puchkov L.A., Bahvalov L.A., Teymenson Y. E. Mathematical models of mining industry influence on countries' macroeconomics: Proceedings of APCOM'99

— Golden, Colorado, USA, 1999, p. 711718.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Тейменсон Яков Евгеньевич — кандидат технических наук, Московский государственный горный университет.